लघुगणक - Revision history

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	===संबंधित अवधारणाएं===		===संबंधित अवधारणाएं===
	समूह सिद्धांत के दृष्टिकोण से, पहचान {{math\|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} गुणन के अनुसार सकारात्मक वास्तविक संख्या और अतिरिक्त के अनुसार वास्तविक के मध्य समूह समरूपता व्यक्त करता है। लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस इन समूहों के मध्य एकमात्र निरंतर समरूपता हैं।<ref>{{Citation\|last1=Bourbaki\|first1=Nicolas\|author1-link=Nicolas Bourbaki\|title=General topology. Chapters 5–10\|publisher=[[Springer-Verlag]]\|location=Berlin, New York\|series=Elements of Mathematics\|isbn=978-3-540-64563-4\|mr=1726872\|year=1998}}, section V.4.1</ref> उस समरूपता के माध्यम से, हार उपाय (लेबेस्गु माप){{math\|''dx''}} वास्तविक पर हार ~~उपाय से मेल खाती है~~{{math\|''dx''/''x''}} सकारात्मक वास्तविकताओं पर।<ref>{{Citation\|last1=Ambartzumian\|first1=R.V.\|author-link=Rouben V. Ambartzumian\|title=Factorization calculus and geometric probability\|publisher=[[Cambridge University Press]]\|isbn=978-0-521-34535-4\|year=1990\|url-access=registration\|url=https://archive.org/details/factorizationcal0000amba}}, section 1.4</ref> गैर-ऋणात्मक वास्तविक में न केवल गुणा होता है, किंतु जोड़ भी होता है, और सेमिरिंग बनाता है, जिसे प्रायिकता सेमीरिंग कहा जाता है; यह वास्तव में सेमीफ़ील्ड है। इसके बाद लॉगरिदम गुणन को जोड़ (लॉग गुणन) में ले जाता है, और लॉग जोड़ (LogSumExp) में जोड़ लेता है, प्रायिकता सेमीरिंग और लॉग सेमीरिंग के मध्य सेमीरिंग का समरूपता देता है।		समूह सिद्धांत के दृष्टिकोण से, पहचान {{math\|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} गुणन के अनुसार सकारात्मक वास्तविक संख्या और अतिरिक्त के अनुसार वास्तविक के मध्य समूह समरूपता व्यक्त करता है। लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस इन समूहों के मध्य एकमात्र निरंतर समरूपता हैं।<ref>{{Citation\|last1=Bourbaki\|first1=Nicolas\|author1-link=Nicolas Bourbaki\|title=General topology. Chapters 5–10\|publisher=[[Springer-Verlag]]\|location=Berlin, New York\|series=Elements of Mathematics\|isbn=978-3-540-64563-4\|mr=1726872\|year=1998}}, section V.4.1</ref> उस समरूपता के माध्यम से, हार उपाय (लेबेस्गु माप) {{math\|''dx''}} वास्तविक पर हार {{math\|''dx''/''x''}} उपाय से मेल खाती है सकारात्मक वास्तविकताओं पर।<ref>{{Citation\|last1=Ambartzumian\|first1=R.V.\|author-link=Rouben V. Ambartzumian\|title=Factorization calculus and geometric probability\|publisher=[[Cambridge University Press]]\|isbn=978-0-521-34535-4\|year=1990\|url-access=registration\|url=https://archive.org/details/factorizationcal0000amba}}, section 1.4</ref> गैर-ऋणात्मक वास्तविक में न केवल गुणा होता है, किंतु जोड़ भी होता है, और सेमिरिंग बनाता है, जिसे प्रायिकता सेमीरिंग कहा जाता है; यह वास्तव में सेमीफ़ील्ड है। इसके बाद लॉगरिदम गुणन को जोड़ (लॉग गुणन) में ले जाता है, और लॉग जोड़ (LogSumExp) में जोड़ लेता है, प्रायिकता सेमीरिंग और लॉग सेमीरिंग के मध्य सेमीरिंग का समरूपता देता है।

	लघुगणकीय रूप \| लघुगणकीय एक-रूप{{math\|''df''/''f''}} लॉगरिदमिक पोल (जटिल विश्लेषण) के साथ अंतर रूपों के रूप में जटिल विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति में दिखाई देते हैं।<ref>{{Citation\|last1=Esnault\|first1=Hélène\|last2=Viehweg\|first2=Eckart\|title=Lectures on vanishing theorems\|location=Basel, Boston\|publisher=Birkhäuser Verlag\|series=DMV Seminar\|isbn=978-3-7643-2822-1\|mr=1193913\|year=1992\|volume=20\|doi=10.1007/978-3-0348-8600-0\|citeseerx=10.1.1.178.3227}}, section 2</ref> बहुलघुगणक द्वारा परिभाषित कार्य है		लघुगणकीय रूप \| लघुगणकीय एक-रूप {{math\|''df''/''f''}} लॉगरिदमिक पोल (जटिल विश्लेषण) के साथ अंतर रूपों के रूप में जटिल विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति में दिखाई देते हैं।<ref>{{Citation\|last1=Esnault\|first1=Hélène\|last2=Viehweg\|first2=Eckart\|title=Lectures on vanishing theorems\|location=Basel, Boston\|publisher=Birkhäuser Verlag\|series=DMV Seminar\|isbn=978-3-7643-2822-1\|mr=1193913\|year=1992\|volume=20\|doi=10.1007/978-3-0348-8600-0\|citeseerx=10.1.1.178.3227}}, section 2</ref>

			बहुलघुगणक द्वारा परिभाषित कार्य है
	:<math>		:<math>
	\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.		\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.
	</math>		</math>
	यह ~~द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से संबंधित है~~ {{math\|1=Li<sub>1</sub> (''z'') = −ln(1 − ''z'')}}. इसके अतिरिक्त, {{math\|Li<sub>''s''</sub> (1)}} रीमैन ज़ेटा फलन ~~के सामान्तर है~~ {{math\|ζ(''s'')}}.<ref>{{dlmf\|id= 25.12\|first= T.M.\|last= Apostol}}</ref>		यह {{math\|1=Li<sub>1</sub> (''z'') = −ln(1 − ''z'')}} द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से संबंधित है . इसके अतिरिक्त, {{math\|Li<sub>''s''</sub> (1)}} रीमैन ज़ेटा फलन {{math\|ζ(''s'')}} के सामान्तर है .<ref>{{dlmf\|id= 25.12\|first= T.M.\|last= Apostol}}</ref>

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	:<math>a_k = \ln (r) + i ( \varphi + 2 k \pi ),\quad</math> मनमानी पूर्णांकों के लिए.		:<math>a_k = \ln (r) + i ( \varphi + 2 k \pi ),\quad</math> मनमानी पूर्णांकों के लिए.

	{{mvar\|k}} ले रहा {{mvar\|k}} ऐसा है कि {{Math\|''φ'' + 2''k''{{pi}}}} प्रमुख तर्कों के लिए परिभाषित अंतराल के अंदर है, तब {{math\|''a''<sub>''k''</sub>}} लघुगणक का मुख्य मान कहा जाता है, निरूपित {{math\|Log(''z'')}}, फिर से पूंजी ~~के साथ~~{{math\|L}}. किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या ~~का मुख्य तर्क~~{{mvar\|x}} 0 है; इसलिए {{math\|Log(''x'')}} वास्तविक संख्या है और वास्तविक (प्राकृतिक) लघुगणक के सामान्तर है। चूँकि, उत्पादों और शक्तियों के लघुगणक के लिए उपरोक्त सूत्र घातांक याशक्ति की विफलता और जटिल लघुगणक के प्रमुख मूल्य के लिए लघुगणक पहचान।<ref>{{Citation \| last1=Wilde \| first1=Ivan Francis \| title=Lecture notes on complex analysis \| publisher=Imperial College Press \| location=London \| isbn=978-1-86094-642-4 \| year=2006\|url=https://books.google.com/books?id=vrWES2W6vG0C&q=complex+logarithm&pg=PA97}}, theorem 6.1.</ref>		{{mvar\|k}} ले रहा {{mvar\|k}} ऐसा है कि {{Math\|''φ'' + 2''k''{{pi}}}} प्रमुख तर्कों के लिए परिभाषित अंतराल के अंदर है, तब {{math\|''a''<sub>''k''</sub>}} लघुगणक का मुख्य मान कहा जाता है, निरूपित {{math\|Log(''z'')}}, फिर से पूंजी {{math\|L}} के साथ . किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या {{mvar\|x}} का मुख्य तर्क 0 है; इसलिए {{math\|Log(''x'')}} वास्तविक संख्या है और वास्तविक (प्राकृतिक) लघुगणक के सामान्तर है। चूँकि, उत्पादों और शक्तियों के लघुगणक के लिए उपरोक्त सूत्र घातांक याशक्ति की विफलता और जटिल लघुगणक के प्रमुख मूल्य के लिए लघुगणक पहचान।<ref>{{Citation \| last1=Wilde \| first1=Ivan Francis \| title=Lecture notes on complex analysis \| publisher=Imperial College Press \| location=London \| isbn=978-1-86094-642-4 \| year=2006\|url=https://books.google.com/books?id=vrWES2W6vG0C&q=complex+logarithm&pg=PA97}}, theorem 6.1.</ref>
	दाईं ओर का चित्रण ~~दर्शाता है~~ {{math\|Log(''z'')}}, ~~के तर्कों को सीमित करना~~ {{mvar\|z}} अंतराल तक {{open-closed\|−π, π}}. इस तरह जटिल लघुगणक की संबंधित शाखा में सभी नकारात्मक वास्तविक ~~के साथ विच्छिन्नता है~~ {{mvar\|x}}एक्सिस, जिसे वहां के रंग में उछाल में देखा जा सकता है। यह विच्छिन्नता ही शाखा में दूसरी सीमा पर छलांग लगाने से उत्पन्न होती है, जब सीमा पार करते हैं, अर्थात संबंधित में नहीं बदलते {{mvar\|k}}लगातार निकटतम शाखा का मूल्य। ऐसे लोकस को ब्रांच कट कहा जाता है। तर्क पर सीमा प्रतिबंधों को छोड़ने से संबंधों ~~का तर्क बन जाता है~~ {{mvar\|z}}, और फलस्वरूप ~~का लघुगणक~~ {{mvar\|z}}, बहु-मूल्यवान ~~कार्य।~~
			दाईं ओर का चित्रण {{math\|Log(''z'')}} को दर्शाता है , जो {{mvar\|z}} के तर्कों को अंतराल {{open-closed\|−π, π}} तक सीमित करता है\| इस तरह जटिल लघुगणक की संबंधित शाखा में सभी नकारात्मक वास्तविक {{mvar\|x}}एक्सिस के साथ विच्छिन्नता है , जिसे वहां के रंग में उछाल में देखा जा सकता है। यह विच्छिन्नता ही शाखा में दूसरी सीमा पर छलांग लगाने से उत्पन्न होती है, जब सीमा पार करते हैं, अर्थात संबंधित में नहीं बदलते {{mvar\|k}}लगातार निकटतम शाखा का मूल्य। ऐसे लोकस को ब्रांच कट कहा जाता है। तर्क पर सीमा प्रतिबंधों को छोड़ने से संबंधों {{mvar\|z}} का तर्क बन जाता है , और फलस्वरूप {{mvar\|z}} का लघुगणक , बहु-मूल्यवान फलन बन जाता है ।

	=== अन्य घातीय कार्यों के व्युत्क्रम ===		=== अन्य घातीय कार्यों के व्युत्क्रम ===
	घातांक गणित के अनेक क्षेत्रों में होता है और इसके व्युत्क्रम कार्य को अधिकांशतः लघुगणक के रूप में संदर्भित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आव्युह का लघुगणक आव्युह एक्सपोनेंशियल का (बहु-मूल्यवान) व्युत्क्रम कार्य है।<ref>{{Citation\|last1=Higham\|first1=Nicholas\|author1-link=Nicholas Higham\|title=Functions of Matrices. Theory and Computation\|location=Philadelphia, PA\|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics\|SIAM]]\|isbn=978-0-89871-646-7\|year=2008}}, chapter 11.</ref> और उदाहरण पी-एडिक लॉगरिदम फलन है। पी-एडिक लॉगरिदम, पी-एडिक एक्सपोनेंशियल फलन का उलटा फलन। दोनों को वास्तविक स्थितियोंके अनुरूप टेलर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया गया है।<ref>{{Neukirch ANT\|mode=cs2}}, section II.5.</ref> डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, एक्सपोनेंशियल मानचित्र (रीमैनियन ज्योमेट्री) उस बिंदु के ~~पड़ोस~~ (गणित) के लिए अलग-अलग अनेक गुना के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को मानचित्र करता है। इसके व्युत्क्रम को लघुगणक (या लॉग) मानचित्र भी कहा जाता है।<ref>{{Citation\|last1=Hancock\|first1=Edwin R.\|last2=Martin\|first2=Ralph R.\|last3=Sabin\|first3=Malcolm A.\|title=Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings\|url=https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379\|publisher=Springer\|year=2009\|page=379\|isbn=978-3-642-03595-1}}</ref>		घातांक गणित के अनेक क्षेत्रों में होता है और इसके व्युत्क्रम कार्य को अधिकांशतः लघुगणक के रूप में संदर्भित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आव्युह का लघुगणक आव्युह एक्सपोनेंशियल का (बहु-मूल्यवान) व्युत्क्रम कार्य है।<ref>{{Citation\|last1=Higham\|first1=Nicholas\|author1-link=Nicholas Higham\|title=Functions of Matrices. Theory and Computation\|location=Philadelphia, PA\|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics\|SIAM]]\|isbn=978-0-89871-646-7\|year=2008}}, chapter 11.</ref> और उदाहरण ''p'' -एडिक लॉगरिदम फलन है। ''p'' -एडिक लॉगरिदम, ''p'' -एडिक एक्सपोनेंशियल फलन का उलटा फलन। दोनों को वास्तविक स्थितियोंके अनुरूप टेलर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया गया है।<ref>{{Neukirch ANT\|mode=cs2}}, section II.5.</ref> डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, एक्सपोनेंशियल मानचित्र (रीमैनियन ज्योमेट्री) उस बिंदु के निकटतम (गणित) के लिए अलग-अलग अनेक गुना के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को मानचित्र करता है। इसके व्युत्क्रम को लघुगणक (या लॉग) मानचित्र भी कहा जाता है।<ref>{{Citation\|last1=Hancock\|first1=Edwin R.\|last2=Martin\|first2=Ralph R.\|last3=Sabin\|first3=Malcolm A.\|title=Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings\|url=https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379\|publisher=Springer\|year=2009\|page=379\|isbn=978-3-642-03595-1}}</ref>

			लॉगरिदम फलन है। जो ''p'' -एडिक एक्सपोनेंशियल फलन का उलटा फलन है । दोनों को वास्तविक स्थितियोंके अनुरूप टेलर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया गया है।<ref>{{Neukirch ANT\|mode=cs2}}, section II.5.</ref> डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, एक्सपोनेंशियल मानचित्र (रीमैनियन ज्योमेट्री) उस बिंदु के निकटतम (गणित) के लिए अलग-अलग अनेक गुना के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को मानचित्र करता है। इसके व्युत्क्रम को लघुगणक (या लॉग) मानचित्र भी कहा जाता है।<ref>{{Citation\|last1=Hancock\|first1=Edwin R.\|last2=Martin\|first2=Ralph R.\|last3=Sabin\|first3=Malcolm A.\|title=Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings\|url=https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379\|publisher=Springer\|year=2009\|page=379\|isbn=978-3-642-03595-1}}</ref>

	परिमित समूहों के संदर्भ में समूह तत्व को बार-बार गुणा करके घातांक दिया जाता है{{mvar\|b}} खुद के साथ। असतत लघुगणक पूर्णांक है{{mvar\|n}}समीकरण को हल करना		परिमित समूहों के संदर्भ में समूह तत्व को बार-बार गुणा करके घातांक दिया जाता है{{mvar\|b}} खुद के साथ। असतत लघुगणक पूर्णांक है{{mvar\|n}}समीकरण को हल करना
	:<math>b^n = x,</math>		:<math>b^n = x,</math>
	कहां {{mvar\|x}} समूह का अंग है। घातांक को कुशलता से किया जा सकता है, किन्तुकुछ समूहों में असतत लघुगणक की गणना करना बहुत कठिन माना जाता है। सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी में इस विषमता के महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज में, रूटीन जो असुरक्षित सूचना चैनलों पर क्रिप्टोग्राफी कुंजियों के सुरक्षित आदान-प्रदान की अनुमति देता है।<ref>{{Citation\|last1=Stinson\|first1=Douglas Robert\|title=Cryptography: Theory and Practice\|publisher=[[CRC Press]]\|location=London\|edition=3rd\|isbn=978-1-58488-508-5\|year=2006}}</ref> ज़ेच का लघुगणक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्वों के गुणात्मक समूह में असतत लघुगणक से संबंधित है।<ref>{{Citation\|last1=Lidl\|first1=Rudolf\|last2=Niederreiter\|first2=Harald\|author2-link=Harald Niederreiter\|title=Finite fields\|publisher=Cambridge University Press\|isbn=978-0-521-39231-0\|year=1997\|url-access=registration\|url=https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3}}</ref>		कहां {{mvar\|x}} समूह का अंग है। घातांक को कुशलता से किया जा सकता है, किन्तुकुछ समूहों में असतत लघुगणक की गणना करना बहुत कठिन माना जाता है। सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी में इस विषमता के महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज में, रूटीन जो असुरक्षित सूचना चैनलों पर क्रिप्टोग्राफी कुंजियों के सुरक्षित आदान-प्रदान की अनुमति देता है।<ref>{{Citation\|last1=Stinson\|first1=Douglas Robert\|title=Cryptography: Theory and Practice\|publisher=[[CRC Press]]\|location=London\|edition=3rd\|isbn=978-1-58488-508-5\|year=2006}}</ref> ज़ेच का लघुगणक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्वों के गुणात्मक समूह में असतत लघुगणक से संबंधित है।<ref>{{Citation\|last1=Lidl\|first1=Rudolf\|last2=Niederreiter\|first2=Harald\|author2-link=Harald Niederreiter\|title=Finite fields\|publisher=Cambridge University Press\|isbn=978-0-521-39231-0\|year=1997\|url-access=registration\|url=https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3}}</ref>

	आगे के लघुगणक-जैसे व्युत्क्रम कार्यों में दोहरा लघुगणक ~~सम्मिलित है~~{{math\|ln(ln(''x''))}}, सुपर-लघुगणक \| सुपर- या हाइपर-4-लघुगणक (जिसकी थोड़ी भिन्नता को कंप्यूटर विज्ञान में पुनरावृत्त लघुगणक कहा जाता है), ~~लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन और लॉगिट।~~ वे ~~डबल एक्सपोनेंशियल फलन, टेट्रेशन, के व्युत्क्रम कार्य हैं~~ {{math\|''f''(''w'') {{=}} ''we<sup>w</sup>''}},<ref>{{Citation \| last1=Corless \| first1=R. \| last2=Gonnet \| first2=G. \| last3=Hare \| first3=D. \| last4=Jeffrey \| first4=D. \| last5=Knuth \| first5=Donald \| author5-link=Donald Knuth \| title=On the Lambert ''W'' function \| url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf \| year=1996 \| journal=Advances in Computational Mathematics \| issn=1019-7168 \| volume=5 \| pages=329–59 \| doi=10.1007/BF02124750 \| s2cid=29028411 \| access-date=13 February 2011 \| archive-url=https://web.archive.org/web/20101214110615/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf \| archive-date=14 December 2010 \| url-status=dead}}</ref> ~~और रसद फलन की, क्रमशः।~~<ref>{{Citation \| last1=Cherkassky \| first1=Vladimir \| last2=Cherkassky \| first2=Vladimir S. \| last3=Mulier \| first3=Filip \| title=Learning from data: concepts, theory, and methods \| publisher=[[John Wiley & Sons]] \| location=New York \| series=Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control \| isbn=978-0-471-68182-3 \| year=2007}}, p. 357</ref>		आगे के लघुगणक-जैसे व्युत्क्रम कार्यों में दोहरा लघुगणक {{math\|ln(ln(''x''))}} सम्मिलित है, सुपर-लघुगणक \| सुपर- या हाइपर-4-लघुगणक (जिसकी थोड़ी भिन्नता को कंप्यूटर विज्ञान में पुनरावृत्त लघुगणक कहा जाता है), । वे क्रमशः {{math\|''f''(''w'') {{=}} ''we<sup>w</sup>''}} डबल एक्सपोनेंशियल फलन, टेट्रेशन, के व्युत्क्रम कार्य हैं ,<ref>{{Citation \| last1=Corless \| first1=R. \| last2=Gonnet \| first2=G. \| last3=Hare \| first3=D. \| last4=Jeffrey \| first4=D. \| last5=Knuth \| first5=Donald \| author5-link=Donald Knuth \| title=On the Lambert ''W'' function \| url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf \| year=1996 \| journal=Advances in Computational Mathematics \| issn=1019-7168 \| volume=5 \| pages=329–59 \| doi=10.1007/BF02124750 \| s2cid=29028411 \| access-date=13 February 2011 \| archive-url=https://web.archive.org/web/20101214110615/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf \| archive-date=14 December 2010 \| url-status=dead}}</ref> ।<ref>{{Citation \| last1=Cherkassky \| first1=Vladimir \| last2=Cherkassky \| first2=Vladimir S. \| last3=Mulier \| first3=Filip \| title=Learning from data: concepts, theory, and methods \| publisher=[[John Wiley & Sons]] \| location=New York \| series=Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control \| isbn=978-0-471-68182-3 \| year=2007}}, p. 357</ref>

alpha>Akanksha at 15:23, 11 July 2023

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	:<math>a_k = \ln (r) + i ( \varphi + 2 k \pi ),\quad</math> मनमानी पूर्णांकों के लिए.		:<math>a_k = \ln (r) + i ( \varphi + 2 k \pi ),\quad</math> मनमानी पूर्णांकों के लिए.

	{{mvar\|k}} ले रहा {{mvar\|k}} ऐसा है कि {{Math\|''φ'' + 2''k''{{pi}}}} प्रमुख तर्कों के लिए परिभाषित अंतराल के अंदर है, तब {{math\|''a''<sub>''k''</sub>}} लघुगणक का मुख्य मान कहा जाता है, निरूपित {{math\|Log(''z'')}}, फिर से पूंजी ~~के साथ~~{{math\|L}}. किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या ~~का मुख्य तर्क~~{{mvar\|x}} 0 है; इसलिए {{math\|Log(''x'')}} वास्तविक संख्या है और वास्तविक (प्राकृतिक) लघुगणक के सामान्तर है। चूँकि, उत्पादों और शक्तियों के लघुगणक के लिए उपरोक्त सूत्र घातांक याशक्ति की विफलता और जटिल लघुगणक के प्रमुख मूल्य के लिए लघुगणक पहचान।<ref>{{Citation \| last1=Wilde \| first1=Ivan Francis \| title=Lecture notes on complex analysis \| publisher=Imperial College Press \| location=London \| isbn=978-1-86094-642-4 \| year=2006\|url=https://books.google.com/books?id=vrWES2W6vG0C&q=complex+logarithm&pg=PA97}}, theorem 6.1.</ref>		{{mvar\|k}} ले रहा {{mvar\|k}} ऐसा है कि {{Math\|''φ'' + 2''k''{{pi}}}} प्रमुख तर्कों के लिए परिभाषित अंतराल के अंदर है, तब {{math\|''a''<sub>''k''</sub>}} लघुगणक का मुख्य मान कहा जाता है, निरूपित {{math\|Log(''z'')}}, फिर से पूंजी {{math\|L}} के साथ . किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या {{mvar\|x}} का मुख्य तर्क 0 है; इसलिए {{math\|Log(''x'')}} वास्तविक संख्या है और वास्तविक (प्राकृतिक) लघुगणक के सामान्तर है। चूँकि, उत्पादों और शक्तियों के लघुगणक के लिए उपरोक्त सूत्र घातांक याशक्ति की विफलता और जटिल लघुगणक के प्रमुख मूल्य के लिए लघुगणक पहचान।<ref>{{Citation \| last1=Wilde \| first1=Ivan Francis \| title=Lecture notes on complex analysis \| publisher=Imperial College Press \| location=London \| isbn=978-1-86094-642-4 \| year=2006\|url=https://books.google.com/books?id=vrWES2W6vG0C&q=complex+logarithm&pg=PA97}}, theorem 6.1.</ref>
	दाईं ओर का चित्रण ~~दर्शाता है~~ {{math\|Log(''z'')}}, ~~के तर्कों को सीमित करना~~ {{mvar\|z}} अंतराल तक {{open-closed\|−π, π}}. इस तरह जटिल लघुगणक की संबंधित शाखा में सभी नकारात्मक वास्तविक ~~के साथ विच्छिन्नता है~~ {{mvar\|x}}एक्सिस, जिसे वहां के रंग में उछाल में देखा जा सकता है। यह विच्छिन्नता ही शाखा में दूसरी सीमा पर छलांग लगाने से उत्पन्न होती है, जब सीमा पार करते हैं, अर्थात संबंधित में नहीं बदलते {{mvar\|k}}लगातार निकटतम शाखा का मूल्य। ऐसे लोकस को ब्रांच कट कहा जाता है। तर्क पर सीमा प्रतिबंधों को छोड़ने से संबंधों ~~का तर्क बन जाता है~~ {{mvar\|z}}, और फलस्वरूप ~~का लघुगणक~~ {{mvar\|z}}, बहु-मूल्यवान ~~कार्य।~~
			दाईं ओर का चित्रण {{math\|Log(''z'')}} को दर्शाता है , जो {{mvar\|z}} के तर्कों को अंतराल {{open-closed\|−π, π}} तक सीमित करता है\| इस तरह जटिल लघुगणक की संबंधित शाखा में सभी नकारात्मक वास्तविक {{mvar\|x}}एक्सिस के साथ विच्छिन्नता है , जिसे वहां के रंग में उछाल में देखा जा सकता है। यह विच्छिन्नता ही शाखा में दूसरी सीमा पर छलांग लगाने से उत्पन्न होती है, जब सीमा पार करते हैं, अर्थात संबंधित में नहीं बदलते {{mvar\|k}}लगातार निकटतम शाखा का मूल्य। ऐसे लोकस को ब्रांच कट कहा जाता है। तर्क पर सीमा प्रतिबंधों को छोड़ने से संबंधों {{mvar\|z}} का तर्क बन जाता है , और फलस्वरूप {{mvar\|z}} का लघुगणक , बहु-मूल्यवान फलन बन जाता है ।

	=== अन्य घातीय कार्यों के व्युत्क्रम ===		=== अन्य घातीय कार्यों के व्युत्क्रम ===
	घातांक गणित के अनेक क्षेत्रों में होता है और इसके व्युत्क्रम कार्य को अधिकांशतः लघुगणक के रूप में संदर्भित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आव्युह का लघुगणक आव्युह एक्सपोनेंशियल का (बहु-मूल्यवान) व्युत्क्रम कार्य है।<ref>{{Citation\|last1=Higham\|first1=Nicholas\|author1-link=Nicholas Higham\|title=Functions of Matrices. Theory and Computation\|location=Philadelphia, PA\|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics\|SIAM]]\|isbn=978-0-89871-646-7\|year=2008}}, chapter 11.</ref> और उदाहरण पी-एडिक लॉगरिदम फलन है। पी-एडिक लॉगरिदम, पी-एडिक एक्सपोनेंशियल फलन का उलटा फलन। दोनों को वास्तविक स्थितियोंके अनुरूप टेलर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया गया है।<ref>{{Neukirch ANT\|mode=cs2}}, section II.5.</ref> डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, एक्सपोनेंशियल मानचित्र (रीमैनियन ज्योमेट्री) उस बिंदु के ~~पड़ोस~~ (गणित) के लिए अलग-अलग अनेक गुना के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को मानचित्र करता है। इसके व्युत्क्रम को लघुगणक (या लॉग) मानचित्र भी कहा जाता है।<ref>{{Citation\|last1=Hancock\|first1=Edwin R.\|last2=Martin\|first2=Ralph R.\|last3=Sabin\|first3=Malcolm A.\|title=Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings\|url=https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379\|publisher=Springer\|year=2009\|page=379\|isbn=978-3-642-03595-1}}</ref>		घातांक गणित के अनेक क्षेत्रों में होता है और इसके व्युत्क्रम कार्य को अधिकांशतः लघुगणक के रूप में संदर्भित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आव्युह का लघुगणक आव्युह एक्सपोनेंशियल का (बहु-मूल्यवान) व्युत्क्रम कार्य है।<ref>{{Citation\|last1=Higham\|first1=Nicholas\|author1-link=Nicholas Higham\|title=Functions of Matrices. Theory and Computation\|location=Philadelphia, PA\|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics\|SIAM]]\|isbn=978-0-89871-646-7\|year=2008}}, chapter 11.</ref> और उदाहरण ''p'' -एडिक लॉगरिदम फलन है। ''p'' -एडिक लॉगरिदम, ''p'' -एडिक एक्सपोनेंशियल फलन का उलटा फलन। दोनों को वास्तविक स्थितियोंके अनुरूप टेलर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया गया है।<ref>{{Neukirch ANT\|mode=cs2}}, section II.5.</ref> डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, एक्सपोनेंशियल मानचित्र (रीमैनियन ज्योमेट्री) उस बिंदु के निकटतम (गणित) के लिए अलग-अलग अनेक गुना के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को मानचित्र करता है। इसके व्युत्क्रम को लघुगणक (या लॉग) मानचित्र भी कहा जाता है।<ref>{{Citation\|last1=Hancock\|first1=Edwin R.\|last2=Martin\|first2=Ralph R.\|last3=Sabin\|first3=Malcolm A.\|title=Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings\|url=https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379\|publisher=Springer\|year=2009\|page=379\|isbn=978-3-642-03595-1}}</ref>

			लॉगरिदम फलन है। जो ''p'' -एडिक एक्सपोनेंशियल फलन का उलटा फलन है । दोनों को वास्तविक स्थितियोंके अनुरूप टेलर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया गया है।<ref>{{Neukirch ANT\|mode=cs2}}, section II.5.</ref> डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, एक्सपोनेंशियल मानचित्र (रीमैनियन ज्योमेट्री) उस बिंदु के निकटतम (गणित) के लिए अलग-अलग अनेक गुना के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को मानचित्र करता है। इसके व्युत्क्रम को लघुगणक (या लॉग) मानचित्र भी कहा जाता है।<ref>{{Citation\|last1=Hancock\|first1=Edwin R.\|last2=Martin\|first2=Ralph R.\|last3=Sabin\|first3=Malcolm A.\|title=Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings\|url=https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379\|publisher=Springer\|year=2009\|page=379\|isbn=978-3-642-03595-1}}</ref>

	परिमित समूहों के संदर्भ में समूह तत्व को बार-बार गुणा करके घातांक दिया जाता है{{mvar\|b}} खुद के साथ। असतत लघुगणक पूर्णांक है{{mvar\|n}}समीकरण को हल करना		परिमित समूहों के संदर्भ में समूह तत्व को बार-बार गुणा करके घातांक दिया जाता है{{mvar\|b}} खुद के साथ। असतत लघुगणक पूर्णांक है{{mvar\|n}}समीकरण को हल करना
	:<math>b^n = x,</math>		:<math>b^n = x,</math>
	कहां {{mvar\|x}} समूह का अंग है। घातांक को कुशलता से किया जा सकता है, किन्तुकुछ समूहों में असतत लघुगणक की गणना करना बहुत कठिन माना जाता है। सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी में इस विषमता के महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज में, रूटीन जो असुरक्षित सूचना चैनलों पर क्रिप्टोग्राफी कुंजियों के सुरक्षित आदान-प्रदान की अनुमति देता है।<ref>{{Citation\|last1=Stinson\|first1=Douglas Robert\|title=Cryptography: Theory and Practice\|publisher=[[CRC Press]]\|location=London\|edition=3rd\|isbn=978-1-58488-508-5\|year=2006}}</ref> ज़ेच का लघुगणक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्वों के गुणात्मक समूह में असतत लघुगणक से संबंधित है।<ref>{{Citation\|last1=Lidl\|first1=Rudolf\|last2=Niederreiter\|first2=Harald\|author2-link=Harald Niederreiter\|title=Finite fields\|publisher=Cambridge University Press\|isbn=978-0-521-39231-0\|year=1997\|url-access=registration\|url=https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3}}</ref>		कहां {{mvar\|x}} समूह का अंग है। घातांक को कुशलता से किया जा सकता है, किन्तुकुछ समूहों में असतत लघुगणक की गणना करना बहुत कठिन माना जाता है। सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी में इस विषमता के महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज में, रूटीन जो असुरक्षित सूचना चैनलों पर क्रिप्टोग्राफी कुंजियों के सुरक्षित आदान-प्रदान की अनुमति देता है।<ref>{{Citation\|last1=Stinson\|first1=Douglas Robert\|title=Cryptography: Theory and Practice\|publisher=[[CRC Press]]\|location=London\|edition=3rd\|isbn=978-1-58488-508-5\|year=2006}}</ref> ज़ेच का लघुगणक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्वों के गुणात्मक समूह में असतत लघुगणक से संबंधित है।<ref>{{Citation\|last1=Lidl\|first1=Rudolf\|last2=Niederreiter\|first2=Harald\|author2-link=Harald Niederreiter\|title=Finite fields\|publisher=Cambridge University Press\|isbn=978-0-521-39231-0\|year=1997\|url-access=registration\|url=https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3}}</ref>

	आगे के लघुगणक-जैसे व्युत्क्रम कार्यों में दोहरा लघुगणक ~~सम्मिलित है~~{{math\|ln(ln(''x''))}}, सुपर-लघुगणक \| सुपर- या हाइपर-4-लघुगणक (जिसकी थोड़ी भिन्नता को कंप्यूटर विज्ञान में पुनरावृत्त लघुगणक कहा जाता है), ~~लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन और लॉगिट।~~ वे ~~डबल एक्सपोनेंशियल फलन, टेट्रेशन, के व्युत्क्रम कार्य हैं~~ {{math\|''f''(''w'') {{=}} ''we<sup>w</sup>''}},<ref>{{Citation \| last1=Corless \| first1=R. \| last2=Gonnet \| first2=G. \| last3=Hare \| first3=D. \| last4=Jeffrey \| first4=D. \| last5=Knuth \| first5=Donald \| author5-link=Donald Knuth \| title=On the Lambert ''W'' function \| url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf \| year=1996 \| journal=Advances in Computational Mathematics \| issn=1019-7168 \| volume=5 \| pages=329–59 \| doi=10.1007/BF02124750 \| s2cid=29028411 \| access-date=13 February 2011 \| archive-url=https://web.archive.org/web/20101214110615/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf \| archive-date=14 December 2010 \| url-status=dead}}</ref> ~~और रसद फलन की, क्रमशः।~~<ref>{{Citation \| last1=Cherkassky \| first1=Vladimir \| last2=Cherkassky \| first2=Vladimir S. \| last3=Mulier \| first3=Filip \| title=Learning from data: concepts, theory, and methods \| publisher=[[John Wiley & Sons]] \| location=New York \| series=Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control \| isbn=978-0-471-68182-3 \| year=2007}}, p. 357</ref>		आगे के लघुगणक-जैसे व्युत्क्रम कार्यों में दोहरा लघुगणक {{math\|ln(ln(''x''))}} सम्मिलित है, सुपर-लघुगणक \| सुपर- या हाइपर-4-लघुगणक (जिसकी थोड़ी भिन्नता को कंप्यूटर विज्ञान में पुनरावृत्त लघुगणक कहा जाता है), । वे क्रमशः {{math\|''f''(''w'') {{=}} ''we<sup>w</sup>''}} डबल एक्सपोनेंशियल फलन, टेट्रेशन, के व्युत्क्रम कार्य हैं ,<ref>{{Citation \| last1=Corless \| first1=R. \| last2=Gonnet \| first2=G. \| last3=Hare \| first3=D. \| last4=Jeffrey \| first4=D. \| last5=Knuth \| first5=Donald \| author5-link=Donald Knuth \| title=On the Lambert ''W'' function \| url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf \| year=1996 \| journal=Advances in Computational Mathematics \| issn=1019-7168 \| volume=5 \| pages=329–59 \| doi=10.1007/BF02124750 \| s2cid=29028411 \| access-date=13 February 2011 \| archive-url=https://web.archive.org/web/20101214110615/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf \| archive-date=14 December 2010 \| url-status=dead}}</ref> ।<ref>{{Citation \| last1=Cherkassky \| first1=Vladimir \| last2=Cherkassky \| first2=Vladimir S. \| last3=Mulier \| first3=Filip \| title=Learning from data: concepts, theory, and methods \| publisher=[[John Wiley & Sons]] \| location=New York \| series=Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control \| isbn=978-0-471-68182-3 \| year=2007}}, p. 357</ref>