यूलर ईंट - Revision history

Manidh at 05:33, 14 April 2023

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	== '''सूत्र बनाना''' ==		== '''सूत्र बनाना''' ==
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	{{DEFAULTSORT:Euler Brick}}		{{DEFAULTSORT:Euler Brick}}
	[[Category: ठोस ज्यामिति की अंकगणितीय समस्याएं]] [[Category: डायोफैंटाइन समीकरण]] [[Category: पाइथागोरस प्रमेय]] [[Category: संख्या सिद्धांत विषयक अनसुलझी समस्याएं]] [[Category: घनाभ]]

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alpha>Abhishek: /* उदाहरण */

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उदाहरण

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	== '''उदाहरण''' ==		== '''उदाहरण''' ==
	1719 में [[पॉल हल्के\|पॉल हाल्के]] द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'') <nowiki>=</nowiki> (44, 117, 240)}} और फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'' ) <nowiki>=</nowiki> (125, 244, 267)}} हैं।<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&dq=smallest+Euler+brick%2C+discovered+by+Paul+Halcke&pg=PT219 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17</ref> किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}} - फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'')}} के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे ''प्राथमिक'' समाधान नीचे हैं:		1719 में [[पॉल हल्के\|पॉल हाल्के]] द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'') <nowiki>=</nowiki> (44, 117, 240)}} और फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'' ) <nowiki>=</nowiki> (125, 244, 267)}} हैं।<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&dq=smallest+Euler+brick%2C+discovered+by+Paul+Halcke&pg=PT219 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17</ref> किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}} - फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'')}} के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे ''प्राथमिक'' समाधान नीचे हैं:
	[[File:Euler_brick_examples.svg\|thumb\|400px\|1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य यूलर ईंटें]]:{\| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"		[[File:Euler_brick_examples.svg\|thumb\|400px\|1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य यूलर ईंटें]]:
			:{\| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"
	\|(\|\| 85,\|\| 132,\|\| 720\|\|) — (\|\| 157,\|\| 725,\|\| 732\|\|)		\|(\|\| 85,\|\| 132,\|\| 720\|\|) — (\|\| 157,\|\| 725,\|\| 732\|\|)
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	== '''सूत्र बनाना''' ==		== '''सूत्र बनाना''' ==

alpha>VikasVerma at 05:50, 24 March 2023

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alpha>VikasVerma: /* यह भी देखें */

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यह भी देखें

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	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==
	* ~~पायथागॉरियन चौगुनी~~		* [[पाइथागोरियन]] [[चतुष्कोण]]

	== टिप्पणियाँ ==		== टिप्पणियाँ ==

alpha>VikasVerma: /* पूर्ण समान्तरषटफलक */

2023-03-24T05:24:12Z

पूर्ण समान्तरषटफलक

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	== पूर्ण ~~समानांतर चतुर्भुज~~ ==		== पूर्ण समान्तरषटफलक ==
	एक पूर्ण ~~समानांतर चतुर्भुज~~ पूर्णांक-लंबाई वाले किनारों, ~~चेहरे के~~ विकर्णों और ~~शरीर~~ के विकर्णों के साथ एक ~~समानांतर चतुर्भुज~~ है, लेकिन जरूरी नहीं कि सभी समकोण हों; एक आदर्श घनाभ एक पूर्ण ~~समांतर चतुर्भुज का~~ एक विशेष ~~मामला~~ है। 2009 में, ~~दर्जनों संपूर्ण समानांतर चतुर्भुजों~~ का ~~अस्तित्व दिखाया गया था~~,<ref>{{Cite journal\|first1=Jorge F.\|last1=Sawyer\|first2=Clifford A.\|last2=Reiter\|year=2011\|title=बिल्कुल सही समांतर चतुर्भुज मौजूद हैं\|journal=[[Mathematics of Computation]]\|volume=80\|issue=274\|pages=1037–1040\|arxiv=0907.0220\|doi=10.1090/s0025-5718-2010-02400-7\|s2cid=206288198 }}.</ref> ~~रिचर्ड के. गाइ के एक खुले प्रश्न~~ का ~~उत्तर देना।~~ इनमें से कुछ पूर्ण ~~समांतर चतुर्भुजों~~ में दो आयताकार फलक होते हैं। सबसे छोटे पूर्ण ~~समांतर चतुर्भुज~~ के किनारे 271, 106 और 103 हैं; लघु फलक विकर्ण 101, 266 और 255; लंबे फलक विकर्ण 183, 312 और 323; और ~~शरीर~~ के विकर्ण 374, 300, 278 और 272 हैं।		एक पूर्ण [[समान्तरषटफलक]] पूर्णांक-लंबाई वाले किनारों, फलक विकर्णों और निकाय के विकर्णों के साथ एक समान्तरषटफलक है, लेकिन जरूरी नहीं कि सभी समकोण हों; एक आदर्श घनाभ एक पूर्ण समान्तरषटफलक की एक विशेष स्थिति है। 2009 में, [[रिचर्ड गाइ]] के एक अनिर्णीत प्रश्न का उत्तर देते हुए,<ref>{{Cite journal\|first1=Jorge F.\|last1=Sawyer\|first2=Clifford A.\|last2=Reiter\|year=2011\|title=बिल्कुल सही समांतर चतुर्भुज मौजूद हैं\|journal=[[Mathematics of Computation]]\|volume=80\|issue=274\|pages=1037–1040\|arxiv=0907.0220\|doi=10.1090/s0025-5718-2010-02400-7\|s2cid=206288198 }}.</ref> दर्जनों सटीक समान्तरषटफलकों का अस्तित्व दिखाया गया था। इनमें से कुछ पूर्ण समान्तरषटफलकों में दो आयताकार फलक होते हैं। सबसे छोटे पूर्ण समान्तरषटफलक के किनारे 271, 106 और 103 हैं; लघु फलक विकर्ण 101, 266 और 255; लंबे फलक विकर्ण 183, 312 और 323; और निकाय के विकर्ण 374, 300, 278 और 272 हैं।

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==

alpha>VikasVerma: /* लगभग-परिपूर्ण घनाभ */

2023-03-24T05:07:45Z

लगभग-परिपूर्ण घनाभ

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	{{Asof\|2020\|July}}, 200,000,000,027 से कम सबसे छोटे पूर्णांक किनारे वाले 167,043 पाए गए घनाभ हैं: 61,042 यूलर (समिति) घनाभ हैं, 16,612 एक सम्मिश्र संख्या किनारे की लंबाई वाले किनारे के घनाभ हैं, 32,286 किनारे के घनाभ थे, और 57,103 फलक घनाभ थे।<ref>{{cite arXiv \|eprint=1705.05929v4 \|class=math.NT \|first=Randall L. \|last=Rathbun \|title=पूर्णांक घनाभ तालिका\|date=14 Jul 2020}}</ref>		{{Asof\|2020\|July}}, 200,000,000,027 से कम सबसे छोटे पूर्णांक किनारे वाले 167,043 पाए गए घनाभ हैं: 61,042 यूलर (समिति) घनाभ हैं, 16,612 एक सम्मिश्र संख्या किनारे की लंबाई वाले किनारे के घनाभ हैं, 32,286 किनारे के घनाभ थे, और 57,103 फलक घनाभ थे।<ref>{{cite arXiv \|eprint=1705.05929v4 \|class=math.NT \|first=Randall L. \|last=Rathbun \|title=पूर्णांक घनाभ तालिका\|date=14 Jul 2020}}</ref>

	{{Asof\|2017\|December}}, एक विस्तृत खोज ने 1,125,899,906,842,624: 194,652 से कम पूर्णांक अंतरिक्ष विकर्ण के साथ सभी किनारे और ~~चेहरे के~~ घनाभों को गिना, 350,778 ~~चेहरे के~~ घनाभ थे।<ref name=Belogourov/>		{{Asof\|2017\|December}}, एक विस्तृत खोज ने 1,125,899,906,842,624: 194,652 से कम पूर्णांक अंतरिक्ष विकर्ण के साथ सभी किनारे और फलक घनाभों को गिना, 350,778 फलक घनाभ थे।<ref name=Belogourov/>

alpha>VikasVerma: /* लगभग-परिपूर्ण घनाभ */

2023-03-24T05:05:06Z

लगभग-परिपूर्ण घनाभ

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Line 141:		Line 141:
	\| volume = 11}}</ref>		\| volume = 11}}</ref>
	किनारों, फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण (a, b, c, d, e, f, g) के रूप में दिए गए प्रत्येक प्रकार के लगभग '''परिपूर्ण''' घनाभों के लिए सबसे छोटे समाधान इस प्रकार हैं:		किनारों, फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण (a, b, c, d, e, f, g) के रूप में दिए गए प्रत्येक प्रकार के लगभग '''परिपूर्ण''' घनाभों के लिए सबसे छोटे समाधान इस प्रकार हैं:
	* ~~बॉडी क्यूबॉइड~~: {{math\|(44, 117, 240, 125, 244, 267, {{sqrt\|73225}})}}		* '''समिति घनाभ:''' {{math\|(44, 117, 240, 125, 244, 267, {{sqrt\|73225}})}}
	* किनारा घनाभ: {{math\|(520, 576, {{sqrt\|618849}}, 776, 943, 975, 1105)}}		* '''किनारा घनाभ:''' {{math\|(520, 576, {{sqrt\|618849}}, 776, 943, 975, 1105)}}
	* ~~चेहरा~~ घनाभ: {{math\|(104, 153, 672, 185, 680, {{sqrt\|474993}}, 697)}}		* '''फलक घनाभ:''' {{math\|(104, 153, 672, 185, 680, {{sqrt\|474993}}, 697)}}

	{{Asof\|2020\|July}}, 200,000,000,027 से कम सबसे छोटे पूर्णांक किनारे वाले 167,043 पाए गए घनाभ हैं: 61,042 यूलर (~~निकाय~~) घनाभ हैं, 16,612 एक ~~जटिल~~ संख्या किनारे की लंबाई वाले किनारे के घनाभ हैं, 32,286 किनारे के घनाभ थे, और 57,103 ~~चेहरे के~~ घनाभ थे।<ref>{{cite arXiv \|eprint=1705.05929v4 \|class=math.NT \|first=Randall L. \|last=Rathbun \|title=पूर्णांक घनाभ तालिका\|date=14 Jul 2020}}</ref>		{{Asof\|2020\|July}}, 200,000,000,027 से कम सबसे छोटे पूर्णांक किनारे वाले 167,043 पाए गए घनाभ हैं: 61,042 यूलर (समिति) घनाभ हैं, 16,612 एक सम्मिश्र संख्या किनारे की लंबाई वाले किनारे के घनाभ हैं, 32,286 किनारे के घनाभ थे, और 57,103 फलक घनाभ थे।<ref>{{cite arXiv \|eprint=1705.05929v4 \|class=math.NT \|first=Randall L. \|last=Rathbun \|title=पूर्णांक घनाभ तालिका\|date=14 Jul 2020}}</ref>

	{{Asof\|2017\|December}}, एक विस्तृत खोज ने 1,125,899,906,842,624: 194,652 से कम पूर्णांक अंतरिक्ष विकर्ण के साथ सभी किनारे और चेहरे के घनाभों को गिना, 350,778 चेहरे के घनाभ थे।<ref name=Belogourov/>		{{Asof\|2017\|December}}, एक विस्तृत खोज ने 1,125,899,906,842,624: 194,652 से कम पूर्णांक अंतरिक्ष विकर्ण के साथ सभी किनारे और चेहरे के घनाभों को गिना, 350,778 चेहरे के घनाभ थे।<ref name=Belogourov/>

alpha>VikasVerma: /* लगभग-परिपूर्ण घनाभ */

2023-03-24T04:55:53Z

लगभग-परिपूर्ण घनाभ

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Line 131:		Line 131:
	लगभग परिपूर्ण घनाभ की 7 में से 6 लम्बाई परिमेय है। इस तरह के घनाभों को तीन प्रकारों में बांटा जा सकता है, जिन्हें ''निकाय, किनारा और फलक'' घनाभ कहा जाता है।<ref>Rathbun R. L., Granlund Т., The integer cuboid table with body, edge, and face type of solutions // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.</ref> समिति घनाभ की स्थिति में, समिति (अंतरिक्ष) विकर्ण {{math\|''g''}} अपरिमेय है। किनारे वाले घनाभ के लिए, किनारों {{math\|''a'', ''b'', ''c''}} में से एक अपरिमेय है। फलक घनाभ का एक विकर्ण {{math\|''d'', ''e'', ''f''}} अपरिमेय है।		लगभग परिपूर्ण घनाभ की 7 में से 6 लम्बाई परिमेय है। इस तरह के घनाभों को तीन प्रकारों में बांटा जा सकता है, जिन्हें ''निकाय, किनारा और फलक'' घनाभ कहा जाता है।<ref>Rathbun R. L., Granlund Т., The integer cuboid table with body, edge, and face type of solutions // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.</ref> समिति घनाभ की स्थिति में, समिति (अंतरिक्ष) विकर्ण {{math\|''g''}} अपरिमेय है। किनारे वाले घनाभ के लिए, किनारों {{math\|''a'', ''b'', ''c''}} में से एक अपरिमेय है। फलक घनाभ का एक विकर्ण {{math\|''d'', ''e'', ''f''}} अपरिमेय है।

	समिति घनाभ को आमतौर पर लियोनहार्ड यूलर के सम्मान में ''यूलर घनाभ'' के रूप में जाना जाता है, जिन्होंने इस प्रकार के घनाभ पर चर्चा की।<ref>Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771</ref> वह ''फलक'' घनाभों के बारे में भी जानते थे, और उन्होंने (104, 153, 672) उदाहरण प्रदान किया।<ref> Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984</ref> तीन पूर्णांक घनाभ किनारे की लंबाई और एक फलक घनाभ की तीन पूर्णांक विकर्ण लंबाई को [[हेरोनियन टेट्राहेड्रॉन\|हेरोनियन चतुष्फलक]] के किनारे की लंबाई के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है जो कि श्लाफली ऑर्थोस्कीम भी है। असीम रूप से कई ~~चेहरे~~ वाले घनाभ हैं, और असीम रूप से कई हेरोनियन ऑर्थोस्केम हैं।<ref>{{citation		समिति घनाभ को आमतौर पर लियोनहार्ड यूलर के सम्मान में ''यूलर घनाभ'' के रूप में जाना जाता है, जिन्होंने इस प्रकार के घनाभ पर चर्चा की।<ref>Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771</ref> वह ''फलक'' घनाभों के बारे में भी जानते थे, और उन्होंने (104, 153, 672) उदाहरण प्रदान किया।<ref> Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984</ref> तीन पूर्णांक घनाभ किनारे की लंबाई और एक फलक घनाभ की तीन पूर्णांक विकर्ण लंबाई को [[हेरोनियन टेट्राहेड्रॉन\|हेरोनियन चतुष्फलक]] के किनारे की लंबाई के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है जो कि [[श्लाफली ऑर्थोस्कीम]] भी है। असीम रूप से कई फलक वाले घनाभ हैं, और असीम रूप से कई हेरोनियन ऑर्थोस्केम हैं।<ref>{{citation
	\| date = May 1985		\| date = May 1985
	\| department = Solutions		\| department = Solutions
Line 140:		Line 140:
	\| url = https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v11n05_May.pdf		\| url = https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v11n05_May.pdf
	\| volume = 11}}</ref>		\| volume = 11}}</ref>
	किनारों, ~~चेहरे के विकर्णों~~ और अंतरिक्ष विकर्ण के रूप में दिए गए प्रत्येक प्रकार के लगभग पूर्ण घनाभों के लिए सबसे छोटा समाधान {{math\|(''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f'', ''g''~~)}}, निम्नानुसार~~ हैं:		किनारों, फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण (a, b, c, d, e, f, g) के रूप में दिए गए प्रत्येक प्रकार के लगभग '''परिपूर्ण''' घनाभों के लिए सबसे छोटे समाधान इस प्रकार हैं:
	* बॉडी क्यूबॉइड: {{math\|(44, 117, 240, 125, 244, 267, {{sqrt\|73225}})}}		* बॉडी क्यूबॉइड: {{math\|(44, 117, 240, 125, 244, 267, {{sqrt\|73225}})}}
	* किनारा घनाभ: {{math\|(520, 576, {{sqrt\|618849}}, 776, 943, 975, 1105)}}		* किनारा घनाभ: {{math\|(520, 576, {{sqrt\|618849}}, 776, 943, 975, 1105)}}

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	~~[[Category:All articles containing potentially dated statements\|Euler Brick]]~~
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	~~[[Category:Created On 17/03/2023\|Euler Brick]]~~
	~~[[Category:Machine Translated Page\|Euler Brick]]~~
	~~[[Category:Pages with script errors\|Euler Brick]]~~
	~~[[Category:Short description with empty Wikidata description\|Euler Brick]]~~
	~~[[Category:Template documentation pages\|Short description/doc]]~~

	== '''सूत्र बनाना''' ==		== '''सूत्र बनाना''' ==
Line 178:		Line 178:

	{{DEFAULTSORT:Euler Brick}}		{{DEFAULTSORT:Euler Brick}}
	[[Category: ठोस ज्यामिति की अंकगणितीय समस्याएं]] [[Category: डायोफैंटाइन समीकरण]] [[Category: पाइथागोरस प्रमेय]] [[Category: संख्या सिद्धांत विषयक अनसुलझी समस्याएं]] [[Category: घनाभ]]

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	== '''उदाहरण''' ==		== '''उदाहरण''' ==
	1719 में [[पॉल हल्के\|पॉल हाल्के]] द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'') <nowiki>=</nowiki> (44, 117, 240)}} और फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'' ) <nowiki>=</nowiki> (125, 244, 267)}} हैं।<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&dq=smallest+Euler+brick%2C+discovered+by+Paul+Halcke&pg=PT219 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17</ref> किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}} - फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'')}} के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे ''प्राथमिक'' समाधान नीचे हैं:		1719 में [[पॉल हल्के\|पॉल हाल्के]] द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'') <nowiki>=</nowiki> (44, 117, 240)}} और फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'' ) <nowiki>=</nowiki> (125, 244, 267)}} हैं।<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&dq=smallest+Euler+brick%2C+discovered+by+Paul+Halcke&pg=PT219 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17</ref> किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}} - फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'')}} के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे ''प्राथमिक'' समाधान नीचे हैं:
	[[File:Euler_brick_examples.svg\|thumb\|400px\|1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य यूलर ईंटें]]:{\| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"		[[File:Euler_brick_examples.svg\|thumb\|400px\|1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य यूलर ईंटें]]:
			:{\| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"
	\|(\|\| 85,\|\| 132,\|\| 720\|\|) — (\|\| 157,\|\| 725,\|\| 732\|\|)		\|(\|\| 85,\|\| 132,\|\| 720\|\|) — (\|\| 157,\|\| 725,\|\| 732\|\|)
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	== '''सूत्र बनाना''' ==		== '''सूत्र बनाना''' ==

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	\| volume = 11}}</ref>		\| volume = 11}}</ref>
	किनारों, फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण (a, b, c, d, e, f, g) के रूप में दिए गए प्रत्येक प्रकार के लगभग '''परिपूर्ण''' घनाभों के लिए सबसे छोटे समाधान इस प्रकार हैं:		किनारों, फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण (a, b, c, d, e, f, g) के रूप में दिए गए प्रत्येक प्रकार के लगभग '''परिपूर्ण''' घनाभों के लिए सबसे छोटे समाधान इस प्रकार हैं:
	* ~~बॉडी क्यूबॉइड~~: {{math\|(44, 117, 240, 125, 244, 267, {{sqrt\|73225}})}}		* '''समिति घनाभ:''' {{math\|(44, 117, 240, 125, 244, 267, {{sqrt\|73225}})}}
	* किनारा घनाभ: {{math\|(520, 576, {{sqrt\|618849}}, 776, 943, 975, 1105)}}		* '''किनारा घनाभ:''' {{math\|(520, 576, {{sqrt\|618849}}, 776, 943, 975, 1105)}}
	* ~~चेहरा~~ घनाभ: {{math\|(104, 153, 672, 185, 680, {{sqrt\|474993}}, 697)}}		* '''फलक घनाभ:''' {{math\|(104, 153, 672, 185, 680, {{sqrt\|474993}}, 697)}}

	{{Asof\|2020\|July}}, 200,000,000,027 से कम सबसे छोटे पूर्णांक किनारे वाले 167,043 पाए गए घनाभ हैं: 61,042 यूलर (~~निकाय~~) घनाभ हैं, 16,612 एक ~~जटिल~~ संख्या किनारे की लंबाई वाले किनारे के घनाभ हैं, 32,286 किनारे के घनाभ थे, और 57,103 ~~चेहरे के~~ घनाभ थे।<ref>{{cite arXiv \|eprint=1705.05929v4 \|class=math.NT \|first=Randall L. \|last=Rathbun \|title=पूर्णांक घनाभ तालिका\|date=14 Jul 2020}}</ref>		{{Asof\|2020\|July}}, 200,000,000,027 से कम सबसे छोटे पूर्णांक किनारे वाले 167,043 पाए गए घनाभ हैं: 61,042 यूलर (समिति) घनाभ हैं, 16,612 एक सम्मिश्र संख्या किनारे की लंबाई वाले किनारे के घनाभ हैं, 32,286 किनारे के घनाभ थे, और 57,103 फलक घनाभ थे।<ref>{{cite arXiv \|eprint=1705.05929v4 \|class=math.NT \|first=Randall L. \|last=Rathbun \|title=पूर्णांक घनाभ तालिका\|date=14 Jul 2020}}</ref>

	{{Asof\|2017\|December}}, एक विस्तृत खोज ने 1,125,899,906,842,624: 194,652 से कम पूर्णांक अंतरिक्ष विकर्ण के साथ सभी किनारे और चेहरे के घनाभों को गिना, 350,778 चेहरे के घनाभ थे।<ref name=Belogourov/>		{{Asof\|2017\|December}}, एक विस्तृत खोज ने 1,125,899,906,842,624: 194,652 से कम पूर्णांक अंतरिक्ष विकर्ण के साथ सभी किनारे और चेहरे के घनाभों को गिना, 350,778 चेहरे के घनाभ थे।<ref name=Belogourov/>

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	{{short description\|Cuboid whose edges and face diagonals have integer lengths}}		{{short description\|Cuboid whose edges and face diagonals have integer lengths}}
	[[गणित]] में, एक '''यूलर ईंट''', जिसका नाम '''<small>[[लियोनहार्ड ऑयलर\|लियोनहार्ड यूलर]]</small>''' के नाम पर रखा गया है, एक [[आयताकार घनाभ]] है जिसके [[किनारों]] और [[फलक विकर्णों]] की लंबाई पूर्णांक होती है। एक '''अभाज्य यूलर ईंट''' एक ~~ऑयलर~~ ईंट होती है जिसके ~~किनारे~~ की लंबाई [[सापेक्षतः अभाज्य]] होती है। एक '''<small>[[पूर्ण ऑयलर ईंट\|पूर्ण यूलर ईंट]]</small>''' वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।		[[गणित]] में, एक '''यूलर ईंट''', जिसका नाम '''<small>[[लियोनहार्ड ऑयलर\|लियोनहार्ड यूलर]]</small>''' के नाम पर रखा गया है, एक [[आयताकार घनाभ]] है जिसके [[किनारों]] और [[फलक विकर्णों]] की लंबाई पूर्णांक होती है। एक '''अभाज्य यूलर ईंट''' एक यूलर ईंट होती है जिसके किनारों की लंबाई [[सापेक्षतः अभाज्य]] होती है। एक '''<small>[[पूर्ण ऑयलर ईंट\|पूर्ण यूलर ईंट]]</small>''' वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।
	[[File:Euler_brick.svg\|right\|399x199px\|अंगूठा\|किनारे वाली यूलर ईंट {{math\|''a'', ''b'', ''c''}} और विकर्णों का सामना करें {{math\|''d'', ''e'', ''f''}}]]		[[File:Euler_brick.svg\|right\|399x199px\|अंगूठा\|किनारे वाली यूलर ईंट {{math\|''a'', ''b'', ''c''}} और विकर्णों का सामना करें {{math\|''d'', ''e'', ''f''}}]]

	== परिभाषा ==		== '''परिभाषा''' ==
	ज्यामितीय पदों में ~~ऑयलर~~ ईंट की परिभाषा डायोफैंटिन समीकरणों की निम्नलिखित पद्धति के समाधान के बराबर है:		ज्यामितीय पदों में यूलर ईंट की परिभाषा डायोफैंटिन समीकरणों की निम्नलिखित पद्धति के समाधान के बराबर है:
	:<math>\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ a^2 + c^2 = e^2\\ b^2 + c^2 = f^2\end{cases}</math>		:<math>\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ a^2 + c^2 = e^2\\ b^2 + c^2 = f^2\end{cases}</math>
	जहाँ {{math\|''a'', ''b'', ''c''}} किनारे हैं और {{math\|''d'', ''e'', ''f''}} विकर्ण हैं।		जहाँ {{math\|''a'', ''b'', ''c''}} किनारे हैं और {{math\|''d'', ''e'', ''f''}} विकर्ण हैं।

	== गुण ==		== '''गुण''' ==

	* यदि {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}} एक समाधान है, तो {{math\|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} भी किसी भी (''k'')का एक समाधान है। अतः,[[परिमेय संख्याओं]] में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}}के साथ एक यूलर ईंट को देखते हुए, त्रिक {{math\|(''bc'', ''ac'', ''ab'')}} भी एक यूलर ईंट बनाता है।<ref name=Sierpinski>[[Wacław Sierpiński]], ''[[Pythagorean Triangles]]'', Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).</ref>{{rp\|p. 106}}		* यदि {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}} एक समाधान है, तो {{math\|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} भी किसी भी (''k'')का एक समाधान है। अतः,[[परिमेय संख्याओं]] में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}}के साथ एक यूलर ईंट को देखते हुए, त्रिक {{math\|(''bc'', ''ac'', ''ab'')}} भी एक यूलर ईंट बनाता है।<ref name=Sierpinski>[[Wacław Sierpiński]], ''[[Pythagorean Triangles]]'', Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).</ref>{{rp\|p. 106}}

	* ''अभाज्य'' ~~ऑयलर~~ ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।		* ''अभाज्य'' यूलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।

	* यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।<ref name=Sierpinski/>{{rp\|p. 106}}		* यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।<ref name=Sierpinski/>{{rp\|p. 106}}
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	* यूलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।<ref name=Sierpinski/>{{rp\|p. 106}}		* यूलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।<ref name=Sierpinski/>{{rp\|p. 106}}

	== उदाहरण ==		== '''उदाहरण''' ==
	1719 में [[पॉल हल्के\|पॉल हाल्के]] द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'') <nowiki>=</nowiki> (44, 117, 240)}} और फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'' ) <nowiki>=</nowiki> (125, 244, 267)}} हैं।<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&dq=smallest+Euler+brick%2C+discovered+by+Paul+Halcke&pg=PT219 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17</ref> किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}} - फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'')}} के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे ''प्राथमिक'' समाधान नीचे हैं:		1719 में [[पॉल हल्के\|पॉल हाल्के]] द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'') <nowiki>=</nowiki> (44, 117, 240)}} और फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'' ) <nowiki>=</nowiki> (125, 244, 267)}} हैं।<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&dq=smallest+Euler+brick%2C+discovered+by+Paul+Halcke&pg=PT219 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17</ref> किनारे {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}} - फलक विकर्ण {{math\|(''d'', ''e'', ''f'')}} के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे ''प्राथमिक'' समाधान नीचे हैं:
	[[File:Euler_brick_examples.svg\|thumb\|400px\|1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य ~~ऑयलर~~ ईंटें]]:{\| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"		[[File:Euler_brick_examples.svg\|thumb\|400px\|1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य यूलर ईंटें]]:{\| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"
	\|(\|\| 85,\|\| 132,\|\| 720\|\|) — (\|\| 157,\|\| 725,\|\| 732\|\|)		\|(\|\| 85,\|\| 132,\|\| 720\|\|) — (\|\| 157,\|\| 725,\|\| 732\|\|)
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	== सूत्र बनाना ==		== '''सूत्र बनाना''' ==

	यूलर ने समस्या के कम से कम दो [[पैरामीट्रिक समाधान\|प्राचलिक समाधान]] खोजे, लेकिन दोनों में से कोई भी सभी समाधान नहीं देता।<ref>{{mathworld\|urlname=EulerBrick\|title=Euler Brick}}</ref>		यूलर ने समस्या के कम से कम दो [[पैरामीट्रिक समाधान\|प्राचलिक समाधान]] खोजे, लेकिन दोनों में से कोई भी सभी समाधान नहीं देता।<ref>{{mathworld\|urlname=EulerBrick\|title=Euler Brick}}</ref>
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	* विषम किनारा 2.5 × 10<sup>13</sup> से अधिक होना चाहिए<sup>13</sup>,<ref name=Matson>{{cite web \|first=Robert D. \|last=Matson \|title=एक पूर्ण घनाभ के लिए कंप्यूटर खोज के परिणाम\|url=http://unsolvedproblems.org/S58.pdf \|work=unsolvedproblems.org \|accessdate=February 24, 2020}}</ref>		* विषम किनारा 2.5 × 10<sup>13</sup> से अधिक होना चाहिए<sup>13</sup>,<ref name=Matson>{{cite web \|first=Robert D. \|last=Matson \|title=एक पूर्ण घनाभ के लिए कंप्यूटर खोज के परिणाम\|url=http://unsolvedproblems.org/S58.pdf \|work=unsolvedproblems.org \|accessdate=February 24, 2020}}</ref>
	* सबसे छोटा किनारा {{val\|5e11}} से बड़ा होना चाहिए।<ref name=Matson/> *अंतरिक्ष विकर्ण 9 × 10<sup>15</sup> से अधिक होना चाहिए<sup>15</sup>.<ref name=Belogourov>Alexander Belogourov, Distributed search for a perfect cuboid, https://www.academia.edu/39920706/Distributed_search_for_a_perfect_cuboid</ref>		* सबसे छोटा किनारा {{val\|5e11}} से बड़ा होना चाहिए।<ref name=Matson/> *अंतरिक्ष विकर्ण 9 × 10<sup>15</sup> से अधिक होना चाहिए<sup>15</sup>.<ref name=Belogourov>Alexander Belogourov, Distributed search for a perfect cuboid, https://www.academia.edu/39920706/Distributed_search_for_a_perfect_cuboid</ref>
	[[मॉड्यूलर अंकगणित\|मापांक अंकगणित]] के आधार पर, गुणों के बारे में कुछ तथ्यों को जाना जाता है, जो एक अभाज्य पूर्ण घन द्वारा संतुष्ट होना चाहिए, यदि कुछ मौजूद है:<ref>M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).</ref>		[[मॉड्यूलर अंकगणित\|मापांक अंकगणित]] के आधार पर, गुणों के बारे में कुछ तथ्यों को जाना जाता है, जो एक अभाज्य पूर्ण घनाभ द्वारा संतुष्ट होना चाहिए, यदि कुछ मौजूद है:<ref>M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).</ref>
	* एक किनारा, दो फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण विषम होना चाहिए, एक किनारा और शेष फलक विकर्ण 4 से विभाज्य होना चाहिए, और शेष किनारा 16 से विभाज्य होना चाहिए।		* एक किनारा, दो फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण विषम होना चाहिए, एक किनारा और शेष फलक विकर्ण 4 से विभाज्य होना चाहिए, और शेष किनारा 16 से विभाज्य होना चाहिए।
	* दो किनारों की लंबाई 3 से विभाज्य होनी चाहिए और उनमें से कम से कम एक किनारे की लंबाई 9 से विभाज्य होनी चाहिए।		* दो किनारों की लंबाई 3 से विभाज्य होनी चाहिए और उनमें से कम से कम एक किनारे की लंबाई 9 से विभाज्य होनी चाहिए।