मौलटन तल - Revision history

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	== आवेदन ==		== आवेदन ==
	मौलटन तल एक सजातीय तल है जिसमें देसार्गेस प्रमेय धारण नहीं करता है।<ref>{{harvnb\|Beutelspacher\|Rosenbaum\|1998\|page=[https://books.google.com/books?id=I4OqBcaKAJ0C&pg=PA77 77]}}</ref> संबंधित प्रक्षेपी तल फलस्वरूप गैर-डिसार्गेसियन भी है। इसका मतलब है कि किसी भी (तिरछा) क्षेत्र F के लिए <math> PG(2,F) </math> के लिए समरूपी नहीं होने वाले प्रक्षेपी तल हैं। यहाँ <math> PG(2,F) </math> प्रक्षेपी समतल <math> P(F^3) </math> है जो (तिरछा) क्षेत्र F पर 3-आयामी सदिश स्थान द्वारा निर्धारित किया गया है।		मौलटन तल एक सजातीय तल है जिसमें देसार्गेस प्रमेय धारण नहीं करता है। <ref>{{harvnb\|Beutelspacher\|Rosenbaum\|1998\|page=[https://books.google.com/books?id=I4OqBcaKAJ0C&pg=PA77 77]}}</ref> संबंधित प्रक्षेपी तल फलस्वरूप गैर-डिसार्गेसियन भी है। इसका मतलब है कि किसी भी (तिरछा) क्षेत्र F के लिए <math> PG(2,F) </math> के लिए समरूपी नहीं होने वाले प्रक्षेपी तल हैं। यहाँ <math> PG(2,F) </math> प्रक्षेपी समतल <math> P(F^3) </math> है जो (तिरछा) क्षेत्र F पर 3-आयामी सदिश स्थान द्वारा निर्धारित किया गया है।

	==टिप्पणियाँ==		==टिप्पणियाँ==

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	*रिचर्ड एस. मिलमैन, जॉर्ज डी. पार्कर: ज्यामिति: मॉडल के साथ एक मीट्रिक दृष्टिकोण. स्प्रिंगर 1991, {{isbn\|9780387974125}}, pp. [https://books.google.com/books?id=KpQ49uySA-EC&pg=PA97 97-104]		*रिचर्ड एस. मिलमैन, जॉर्ज डी. पार्कर: ज्यामिति: मॉडल के साथ एक मीट्रिक दृष्टिकोण. स्प्रिंगर 1991, {{isbn\|9780387974125}}, pp. [https://books.google.com/books?id=KpQ49uySA-EC&pg=PA97 97-104]

	{{DEFAULTSORT:Moulton Plane}}~~[[Category: घटना ज्यामिति]]~~		{{DEFAULTSORT:Moulton Plane}}

			[[Category:CS1 errors\|Moulton Plane]]
			[[Category:Created On 01/05/2023\|Moulton Plane]]
	[[Category: ~~Machine Translated Page~~]]		[[Category:Machine Translated Page\|Moulton Plane]]
	[[Category:Created On 01/05/2023]]		[[Category:Pages with script errors\|Moulton Plane]]
	[[Category:Vigyan Ready]]		[[Category:Templates Vigyan Ready\|Moulton Plane]]
			[[Category:घटना ज्यामिति\|Moulton Plane]]

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	[[File:Moulton plane2.svg\|thumb\|right\|upright=1.5\|मौलटन ~~विमान।~~ नीचे और दाईं ओर झुकी हुई रेखाएँ मुड़ी हुई होती हैं जहाँ वे y-अक्ष को पार करती हैं।]][[घटना ज्यामिति]] में, मौलटन ~~विमान~~ एक एफाइन ~~प्लेन~~ (~~घटना~~ ज्यामिति) का एक उदाहरण है जिसमें डेसार्गेस के प्रमेय का पालन नहीं होता है। इसका नाम अमेरिकी खगोलशास्त्री [[वन रे मौलटन]] के नाम पर रखा गया है। मौलटन तल के बिंदु केवल वास्तविक तल R ~~के बिंदु हैं~~<sup>2</sup> और रेखाएँ नियमित रेखाएँ भी हैं, इस अपवाद के साथ कि ऋणात्मक [[ढलान]] वाली रेखाओं के लिए, जब वे y-अक्ष को पार करती हैं तो ढलान दोगुनी हो जाती है।		[[File:Moulton plane2.svg\|thumb\|right\|upright=1.5\|मौलटन तल। नीचे और दाईं ओर झुकी हुई रेखाएँ मुड़ी हुई होती हैं जहाँ वे y-अक्ष को पार करती हैं।]][[घटना ज्यामिति\|आपतन ज्यामिति]] में, मौलटन तल एक एफाइन तल (आपतन ज्यामिति) का एक उदाहरण है जिसमें डेसार्गेस के प्रमेय का पालन नहीं होता है। इसका नाम अमेरिकी खगोलशास्त्री [[वन रे मौलटन]] के नाम पर रखा गया है। मौलटन तल के बिंदु केवल वास्तविक तल R<sup>2</sup> के बिंदु हैं और रेखाएँ नियमित रेखाएँ भी हैं, इस अपवाद के साथ कि ऋणात्मक [[ढलान]] वाली रेखाओं के लिए, जब वे y-अक्ष को पार करती हैं तो ढलान दोगुनी हो जाती है।

	== औपचारिक परिभाषा ==		== औपचारिक परिभाषा ==
	मौलटन ~~प्लेन~~ एक [[घटना संरचना]] है <math>\mathfrak M=\langle P, G,\textrm I\rangle</math>, ~~कहाँ~~ <math>P</math> बिंदुओं के समूह को दर्शाता है, <math>G</math> ~~लाइनों का सेट~~ और <math>\textrm I</math> ~~घटना~~ संबंध निहित है:		मौलटन तल एक [[घटना संरचना\|आपतन संरचना]] <math>\mathfrak M=\langle P, G,\textrm I\rangle</math> है, जहाँ <math>P</math> बिंदुओं के समूह को दर्शाता है, <math>G</math> रेखाओं के सम्मुच्चय और <math>\textrm I</math> आपतन संबंध निहित है:
	:<math> P:=\mathbb R^2 \,</math>		:<math> P:=\mathbb R^2 \,</math>
	:<math> G:=(\mathbb R \cup \{\infty\}) \times \mathbb R,</math>		:<math> G:=(\mathbb R \cup \{\infty\}) \times \mathbb R,</math>

	<math>\infty</math> एक तत्व के लिए सिर्फ एक औपचारिक प्रतीक है <math>\not\in\mathbb R</math>. इसका उपयोग लंबवत रेखाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिन्हें आप असीम रूप से बड़ी ढलान वाली रेखाओं के रूप में सोच सकते हैं।		<math>\infty</math> एक तत्व के लिए सिर्फ एक औपचारिक प्रतीक <math>\not\in\mathbb R</math> है। इसका उपयोग लंबवत रेखाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिन्हें आप असीम रूप से बड़ी ढलान वाली रेखाओं के रूप में सोच सकते हैं।

	आपतन संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:		आपतन संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

	~~के लिए~~ <math>p = (x, y) \in P</math> और <math>g = (m, b) \in G</math> ~~अपने~~ पास		<math>p = (x, y) \in P</math> और <math>g = (m, b) \in G</math> के लिए हमारे पास निम्न है

	:<math>		:<math>
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	== आवेदन ==		== आवेदन ==
	मौलटन तल एक सजातीय तल है जिसमें देसार्गेस प्रमेय धारण नहीं करता है।<ref>{{harvnb\|Beutelspacher\|Rosenbaum\|1998\|page=[https://books.google.com/books?id=I4OqBcaKAJ0C&pg=PA77 77]}}</ref> संबंधित प्रक्षेपी तल फलस्वरूप गैर-डिसार्गेसियन भी है। इसका मतलब यह है कि ~~ऐसे प्रोजेक्टिव प्लेन हैं जिनके~~ लिए ~~आइसोमोर्फिक नहीं है~~ <math> PG(2,F) </math> ~~किसी भी [[डिवीजन रिंग]]~~ के लिए~~\|(तिरछा) फील्ड एफ। यहां~~ <math> PG(2,F) </math> प्रक्षेपी ~~तल है~~ <math> P(F^3) </math> (तिरछा) ~~फ़ील्ड~~ F पर 3-आयामी ~~वेक्टर स्पेस~~ द्वारा ~~निर्धारित।~~		मौलटन तल एक सजातीय तल है जिसमें देसार्गेस प्रमेय धारण नहीं करता है।<ref>{{harvnb\|Beutelspacher\|Rosenbaum\|1998\|page=[https://books.google.com/books?id=I4OqBcaKAJ0C&pg=PA77 77]}}</ref> संबंधित प्रक्षेपी तल फलस्वरूप गैर-डिसार्गेसियन भी है। इसका मतलब है कि किसी भी (तिरछा) क्षेत्र F के लिए <math> PG(2,F) </math> के लिए समरूपी नहीं होने वाले प्रक्षेपी तल हैं। यहाँ <math> PG(2,F) </math> प्रक्षेपी समतल <math> P(F^3) </math> है जो (तिरछा) क्षेत्र F पर 3-आयामी सदिश स्थान द्वारा निर्धारित किया गया है।

	==टिप्पणियाँ==		==टिप्पणियाँ==
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	==संदर्भ==		==संदर्भ==
	* {{citation\|last1=Beutelspacher\|first1=~~Albrecht~~\|last2=Rosenbaum\|first2=Ute\|author1-link=~~Albrecht Beutelspacher~~\|title=~~Projective Geometry~~ : ~~From Foundations to Applications~~\|year= 1998\|publisher=~~Cambridge University Press~~\|isbn=978-0-521-48364-3\|pages=[https://books.google.com/books?id=I4OqBcaKAJ0C&pg=PA76 76–78]}}		* {{citation\|last1=Beutelspacher\|first1=अल्ब्रेक्ट\|last2=Rosenbaum\|first2=Ute\|author1-link=अल्ब्रेक्ट ब्यूटलस्पाकर\|title=प्रक्षेपी ज्यामिति: नींव से अनुप्रयोगों तक\|year= 1998\|publisher=कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस\|isbn=978-0-521-48364-3\|pages=[https://books.google.com/books?id=I4OqBcaKAJ0C&pg=PA76 76–78]}}
	* {{Citation \| last1=Moulton \| first1=~~Forest Ray~~ \| title=~~A Simple Non~~-Desarguesian ~~Plane Geometry~~ \| jstor=1986419 \| publisher=[[~~American Mathematical Society~~]] \| location=Providence, R.I. \| year=1902 \| journal=[[~~Transactions of the American Mathematical Society~~]] \| issn=0002-9947 \| volume=3 \| issue=2 \| pages=192–195 \| doi=10.2307/1986419\| doi-access=~~free~~ }}		* {{Citation \| last1=Moulton \| first1=फॉरेस्ट रे \| title=एक साधारण गैर-Desarguesian विमान ज्यामिति \| jstor=1986419 \| publisher=[[अमेरिकी गणितीय सोसायटी]] \| location=Providence, R.I. \| year=1902 \| journal=[[अमेरिकन मैथमेटिकल सोसायटी के लेन-देन]] \| issn=0002-9947 \| volume=3 \| issue=2 \| pages=192–195 \| doi=10.2307/1986419\| doi-access=मुक्त }}
	*~~Richard S~~. ~~Millman~~, ~~George D~~. ~~Parker~~: ~~''Geometry~~: ~~A Metric Approach with Models''~~. ~~Springer~~ 1991, {{isbn\|9780387974125}}, pp. [https://books.google.com/books?id=KpQ49uySA-EC&pg=PA97 97-104]		*रिचर्ड एस. मिलमैन, जॉर्ज डी. पार्कर: ज्यामिति: मॉडल के साथ एक मीट्रिक दृष्टिकोण. स्प्रिंगर 1991, {{isbn\|9780387974125}}, pp. [https://books.google.com/books?id=KpQ49uySA-EC&pg=PA97 97-104]

	{{DEFAULTSORT:Moulton Plane}}[[Category: घटना ज्यामिति]]		{{DEFAULTSORT:Moulton Plane}}[[Category: घटना ज्यामिति]]

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== औपचारिक परिभाषा ==
मौलटन प्लेन एक [[घटना संरचना]] है <math>\mathfrak M=\langle P, G,\textrm I\rangle</math>, कहाँ <math>P</math> बिंदुओं के समूह को दर्शाता है, <math>G</math> लाइनों का सेट और <math>\textrm I</math> घटना संबंध निहित है:
:<math> P:=\mathbb R^2 \,</math>
:<math> G:=(\mathbb R \cup \{\infty\}) \times \mathbb R,</math>

<math>\infty</math> एक तत्व के लिए सिर्फ एक औपचारिक प्रतीक है <math>\not\in\mathbb R</math>. इसका उपयोग लंबवत रेखाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिन्हें आप असीम रूप से बड़ी ढलान वाली रेखाओं के रूप में सोच सकते हैं।

आपतन संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

के लिए <math>p = (x, y) \in P</math> और <math>g = (m, b) \in G</math> अपने पास

:<math>
p\,\textrm I\,g\iff\begin{cases}
x=b&\text{if }m=\infty\\
y=\frac{1}{2}mx+b&\text{if }m\leq 0, x\leq 0\\
y=mx+b&\text{if }m\geq 0 \text{ or } x\geq 0.
\end{cases}
</math>

== आवेदन ==
मौलटन तल एक सजातीय तल है जिसमें देसार्गेस प्रमेय धारण नहीं करता है।<ref>{{harvnb|Beutelspacher|Rosenbaum|1998|page=[https://books.google.com/books?id=I4OqBcaKAJ0C&pg=PA77 77]}}</ref> संबंधित प्रक्षेपी तल फलस्वरूप गैर-डिसार्गेसियन भी है। इसका मतलब यह है कि ऐसे प्रोजेक्टिव प्लेन हैं जिनके लिए आइसोमोर्फिक नहीं है <math> PG(2,F) </math> किसी भी [[डिवीजन रिंग]] के लिए|(तिरछा) फील्ड एफ। यहां <math> PG(2,F) </math> प्रक्षेपी तल है <math> P(F^3) </math> (तिरछा) फ़ील्ड F पर 3-आयामी वेक्टर स्पेस द्वारा निर्धारित।

==टिप्पणियाँ==
{{reflist}}

==संदर्भ==
* {{citation|last1=Beutelspacher|first1=Albrecht|last2=Rosenbaum|first2=Ute|author1-link=Albrecht Beutelspacher|title=Projective Geometry : From Foundations to Applications|year= 1998|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-48364-3|pages=[https://books.google.com/books?id=I4OqBcaKAJ0C&pg=PA76 76–78]}}
* {{Citation | last1=Moulton | first1=Forest Ray | title=A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry | jstor=1986419 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | year=1902 | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9947 | volume=3 | issue=2 | pages=192–195 | doi=10.2307/1986419| doi-access=free }}
*Richard S. Millman, George D. Parker: ''Geometry: A Metric Approach with Models''. Springer 1991, {{isbn|9780387974125}}, pp. [https://books.google.com/books?id=KpQ49uySA-EC&pg=PA97 97-104]

{{DEFAULTSORT:Moulton Plane}}[[Category: घटना ज्यामिति]]

[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 01/05/2023]]