भाजक - Revision history

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alpha>Neetua08: /* परिभाषा */

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परिभाषा

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	:<math>m\mid n.</math>		:<math>m\mid n.</math>
	उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं {{mvar\|m}} विभाजित {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का भाजक है {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का कारक है {{mvar\|n}}, तथा {{mvar\|n}} का गुणज है {{mvar\|m}}. यदि {{mvar\|m}} विभाजित नहीं करता {{mvar\|n}}, तो अंकन है <math> m\not\mid n</math>.<ref name="hardy-wright-p1">{{harnvb \|Hardy\|Wright\|1960\| p=1}}</ref><ref name="niven-p4">{{harnvb \|Niven\|Zuckerman\|Montgomery\|1991\|p=4}}</ref>		उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं {{mvar\|m}} विभाजित {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का भाजक है {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का कारक है {{mvar\|n}}, तथा {{mvar\|n}} का गुणज है {{mvar\|m}}. यदि {{mvar\|m}} विभाजित नहीं करता {{mvar\|n}}, तो अंकन है <math> m\not\mid n</math>.<ref name="hardy-wright-p1">{{harnvb \|Hardy\|Wright\|1960\| p=1}}</ref><ref name="niven-p4">{{harnvb \|Niven\|Zuckerman\|Montgomery\|1991\|p=4}}</ref>
	सामान्यतः, {{mvar\|m}} अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन {{mvar\|n}} शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, <math>m \mid 0</math> प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar\|m}}.<ref name="hardy-wright-p1" /><ref name="niven-p4" />कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं <math>m</math> शून्य न हो।<ref>{{harvnb \|Durbin\|2009\| p=57\|loc=Chapter III Section 10}}</ref>
			सामान्यतः, {{mvar\|m}} अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन {{mvar\|n}} शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, <math>m \mid 0</math> प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar\|m}}.<ref name="hardy-wright-p1" /><ref name="niven-p4" /> कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं <math>m</math> शून्य न हो।<ref>{{harvnb \|Durbin\|2009\| p=57\|loc=Chapter III Section 10}}</ref>
	== सामान्य ==		== सामान्य ==
	विभाजक [[ ऋणात्मक संख्या ]] के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं,यद्यपि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।		विभाजक [[ ऋणात्मक संख्या ]] के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं,यद्यपि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।

alpha>Neetua08 at 07:06, 21 November 2022

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alpha>Neetua08 at 07:03, 21 November 2022

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Line 1:		Line 1:
	{{short description\|Integer that is a factor of another integer}}		{{short description\|Integer that is a factor of another integer}}
	{{more footnotes\|date=June 2015}}		{{more footnotes\|date=June 2015}}
	{{about\|~~an integer that is a factor of another integer~~\|~~a number used to divide another number in a division operation~~\|~~Division~~ (~~mathematics~~)\|~~other uses~~\|}}		{{about\|एक पूर्णांक जो दूसरे पूर्णांक का गुणनखंड है\|एक संख्या एक विभाजन संक्रिया में दूसरी संख्या को विभाजित करने के लिए उपयोग की जाती है\|प्रभाग (गणित)\|अन्य उपयोग\|}}
	{{redirect\|~~Divisible~~\|~~divisibility of groups~~\|~~Divisible group~~}}		{{redirect\|भाज्य\|समूहों की विभाज्यता\|विभाज्य समूह}}
	[[File:Cuisenaire ten.JPG\|thumb\|10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10]]गणित में, एक पूर्णांक का भाजक <math>n</math>, जिसे कारक भी कहा जाता है <math>n</math>, एक [[ पूर्णांक ]] है <math>m</math> जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है <math>n</math>. ऐसे में एक का यह भी कहना है <math>n</math> का गुणज है <math>m.</math> पूर्णांक <math>n</math> किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है <math>m</math> यदि <math>m</math> का भाजक है <math>n</math>; इसका अर्थ है विभाजित करना <math>n</math> द्वारा <math>m</math> शेष नहीं ~~रहता।~~		[[File:Cuisenaire ten.JPG\|thumb\|10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10]]गणित में, एक पूर्णांक का भाजक <math>n</math>, जिसे कारक भी कहा जाता है <math>n</math>, एक [[ पूर्णांक ]] है <math>m</math> जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है <math>n</math>. ऐसे में एक का यह भी कहना है <math>n</math> का गुणज है <math>m.</math> पूर्णांक <math>n</math> किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है <math>m</math> यदि <math>m</math> का भाजक है <math>n</math>; इसका अर्थ है विभाजित करना <math>n</math> द्वारा <math>m</math> शेष नहीं रहता है।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
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	[[File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg\|center\|350px]]		[[File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg\|center\|350px]]

	== आगे की धारणाएं और तथ्य ==~~<!-- Perfect number links here. -->~~		== आगे की धारणाएं और तथ्य ==
	कुछ प्राथमिक नियम हैं:		कुछ प्राथमिक नियम हैं:
	* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>b \mid c</math>, फिर <math>a \mid c</math>, अर्थात विभाज्यता एक [[ सकर्मक संबंध \| सकारात्मक संबंध]] है।		* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>b \mid c</math>, फिर <math>a \mid c</math>, अर्थात विभाज्यता एक [[ सकर्मक संबंध \| सकारात्मक संबंध]] है।
Line 49:		Line 49:
	के सकारात्मक विभाजकों की कुल संख्या <math>n</math> एक गुणक कार्य है <math>d(n)</math>, जिसका अर्थ है कि जब दो नंबर <math>m</math> तथा <math>n</math> अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. उदाहरण के लिए, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; 42 के आठ विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 और 42 हैं। <math>m</math> तथा <math>n</math> एक सामान्य विभाजक भागीदारी करें, तो यह सच नहीं हो सकता है <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. के सकारात्मक भाजक का योग <math>n</math> एक अन्य गुणक कार्य है <math>\sigma (n)</math> (उदा <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). ये दोनों फलन [[ भाजक फलन ]] के उदाहरण हैं।		के सकारात्मक विभाजकों की कुल संख्या <math>n</math> एक गुणक कार्य है <math>d(n)</math>, जिसका अर्थ है कि जब दो नंबर <math>m</math> तथा <math>n</math> अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. उदाहरण के लिए, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; 42 के आठ विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 और 42 हैं। <math>m</math> तथा <math>n</math> एक सामान्य विभाजक भागीदारी करें, तो यह सच नहीं हो सकता है <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. के सकारात्मक भाजक का योग <math>n</math> एक अन्य गुणक कार्य है <math>\sigma (n)</math> (उदा <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). ये दोनों फलन [[ भाजक फलन ]] के उदाहरण हैं।

	~~{{anchor\|number_of_divisors_formula}}~~
	यदि . का अभाज्य गुणनखंडन <math>n</math> द्वारा दिया गया है		यदि . का अभाज्य गुणनखंडन <math>n</math> द्वारा दिया गया है

Line 59:		Line 58:

	:<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>		:<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>
	यहाँ पर <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> प्रत्येक के लिए <math>1 \le i \le k.</math>		यहाँ पर <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> प्रत्येक के लिए <math>1 \le i \le k.</math> प्रत्येक प्राकृतिक के लिए <math>n</math>, <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.
	प्रत्येक प्राकृतिक के लिए <math>n</math>, <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.

	भी,<ref>{{harvnb\|Hardy\|Wright\|1960\|p=264\|loc=Theorem 320}}</ref>		भी,<ref>{{harvnb\|Hardy\|Wright\|1960\|p=264\|loc=Theorem 320}}</ref>
	:<math>d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).</math>		:<math>d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).</math>
	यहाँ पर <math> \gamma </math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।		यहाँ पर <math> \gamma </math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।
	इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है
	के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. यद्यपि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या \| संख्याओं के योगदान का परिणाम है।		इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है, के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. यद्यपि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या \| संख्याओं के योगदान का परिणाम है।

	== आधुनिक बीजगणित में ==		== आधुनिक बीजगणित में ==

	=== वलय सिद्धांत ===		=== वलय सिद्धांत ===
	{{Main\|~~Divisibility~~ (~~ring theory~~)}}		{{Main\|विभाज्यता (अंगूठी सिद्धांत)}}


	=== विभाजन जाली ===		=== विभाजन जाली ===
	{{Main\|~~Division lattice~~}}		{{Main\|डिवीजन लेटिस}}
	जिन परिभाषाओं में 0 शामिल है, विभाज्यता का संबंध सेट को बदल देता है <math>\mathbb{N}</math> आंशिक रूप से आदेशित सेट में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का: एक [[ जाली (आदेश) ]]। इस जाली का सबसे बड़ा अवयव 0 है और सबसे छोटा 1 है। मिलन संक्रिया ∧ सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक द्वारा दी जाती है और जोड़ संक्रिया अल्पतम उभयनिष्ठ गुणज द्वारा दी जाती है। यह जाली अनंत [[ चक्रीय समूह ]] पूर्णांक के [[ उपसमूहों की जाली ]] के [[ द्वैत (क्रम सिद्धांत) ]] के समरूप है\|<math>\mathbb{Z}</math>.		जिन परिभाषाओं में 0 शामिल है, विभाज्यता का संबंध सेट को बदल देता है <math>\mathbb{N}</math> आंशिक रूप से आदेशित सेट में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का: एक [[ जाली (आदेश) ]]। इस जाली का सबसे बड़ा अवयव 0 है और सबसे छोटा 1 है। मिलन संक्रिया ∧ सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक द्वारा दी जाती है और जोड़ संक्रिया अल्पतम उभयनिष्ठ गुणज द्वारा दी जाती है। यह जाली अनंत [[ चक्रीय समूह ]] पूर्णांक के [[ उपसमूहों की जाली ]] के [[ द्वैत (क्रम सिद्धांत) ]] के समरूप है\|<math>\mathbb{Z}</math>.

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	{{about\|an integer that is a factor of another integer\|a number used to divide another number in a division operation\|Division (mathematics)\|other uses\|}}		{{about\|an integer that is a factor of another integer\|a number used to divide another number in a division operation\|Division (mathematics)\|other uses\|}}
	{{redirect\|Divisible\|divisibility of groups\|Divisible group}}		{{redirect\|Divisible\|divisibility of groups\|Divisible group}}
	[[File:Cuisenaire ten.JPG\|thumb\|10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10]]गणित में, एक पूर्णांक का भाजक <math>n</math>, जिसे का कारक भी कहा जाता है <math>n</math>, एक [[ पूर्णांक ]] है <math>m</math> जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है <math>n</math>. ऐसे में एक का यह भी कहना है <math>n</math> का गुणज है <math>m.</math> पूर्णांक <math>n</math> किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है <math>m</math> यदि <math>m</math> का भाजक है <math>n</math>; इसका अर्थ है विभाजित करना <math>n</math> द्वारा <math>m</math> शेष नहीं रहता।		[[File:Cuisenaire ten.JPG\|thumb\|10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10]]गणित में, एक पूर्णांक का भाजक <math>n</math>, जिसे कारक भी कहा जाता है <math>n</math>, एक [[ पूर्णांक ]] है <math>m</math> जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है <math>n</math>. ऐसे में एक का यह भी कहना है <math>n</math> का गुणज है <math>m.</math> पूर्णांक <math>n</math> किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है <math>m</math> यदि <math>m</math> का भाजक है <math>n</math>; इसका अर्थ है विभाजित करना <math>n</math> द्वारा <math>m</math> शेष नहीं रहता।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	पूर्णांक {{mvar\|n}} एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है {{mvar\|m}} यदि कोई पूर्णांक ~~मौजूद~~ है {{mvar\|k}} ऐसा है कि <math>n=km</math>. यह इस प्रकार लिखा गया है		पूर्णांक {{mvar\|n}} एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है {{mvar\|m}} यदि कोई पूर्णांक उपस्थित है {{mvar\|k}} ऐसा है कि <math>n=km</math>. यह इस प्रकार लिखा गया है
	:<math>m\mid n.</math>		:<math>m\mid n.</math>
	उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं {{mvar\|m}} विभाजित {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का भाजक है {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का कारक है {{mvar\|n}}, तथा {{mvar\|n}} का गुणज है {{mvar\|m}}. यदि {{mvar\|m}} विभाजित नहीं करता {{mvar\|n}}, तो अंकन है <math> m\not\mid n</math>.<ref name="hardy-wright-p1">{{harnvb \|Hardy\|Wright\|1960\| p=1}}</ref><ref name="niven-p4">{{harnvb \|Niven\|Zuckerman\|Montgomery\|1991\|p=4}}</ref>		उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं {{mvar\|m}} विभाजित {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का भाजक है {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का कारक है {{mvar\|n}}, तथा {{mvar\|n}} का गुणज है {{mvar\|m}}. यदि {{mvar\|m}} विभाजित नहीं करता {{mvar\|n}}, तो अंकन है <math> m\not\mid n</math>.<ref name="hardy-wright-p1">{{harnvb \|Hardy\|Wright\|1960\| p=1}}</ref><ref name="niven-p4">{{harnvb \|Niven\|Zuckerman\|Montgomery\|1991\|p=4}}</ref>
	~~आमतौर पर~~, {{mvar\|m}} अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन {{mvar\|n}} शून्य होने की ~~अनुमति~~ है। इस ~~सम्मेलन~~ के साथ, <math>m \mid 0</math> प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar\|m}}.<ref name="hardy-wright-p1" /><ref name="niven-p4" />कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं <math>m</math> शून्य न हो।<ref>{{harvnb \|Durbin\|2009\| p=57\|loc=Chapter III Section 10}}</ref>		सामान्यतः, {{mvar\|m}} अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन {{mvar\|n}} शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, <math>m \mid 0</math> प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar\|m}}.<ref name="hardy-wright-p1" /><ref name="niven-p4" />कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं <math>m</math> शून्य न हो।<ref>{{harvnb \|Durbin\|2009\| p=57\|loc=Chapter III Section 10}}</ref>

alpha>Arti Shah: /* इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची */

2022-11-17T06:15:04Z

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

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-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
 == संदर्भ ==
 *{{cite book |last=Durbin |first=John R. |title=Modern Algebra: An Introduction |edition=6th |year=2009 |publisher=Wiley |location=New York |url=https://books.google.com/books?id=dnDJDwAAQBAJ | isbn=978-0470-38443-5}}

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	{{about\|an integer that is a factor of another integer\|a number used to divide another number in a division operation\|Division (mathematics)\|other uses\|}}		{{about\|an integer that is a factor of another integer\|a number used to divide another number in a division operation\|Division (mathematics)\|other uses\|}}
	{{redirect\|Divisible\|divisibility of groups\|Divisible group}}		{{redirect\|Divisible\|divisibility of groups\|Divisible group}}
	[[File:Cuisenaire ten.JPG\|thumb\|10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10]]गणित में, एक पूर्णांक का भाजक <math>n</math>, जिसे का कारक भी कहा जाता है <math>n</math>, एक [[ पूर्णांक ]] है <math>m</math> जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है <math>n</math>. ऐसे में एक का यह भी कहना है <math>n</math> का गुणज है <math>m.</math> पूर्णांक <math>n</math> किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है <math>m</math> यदि <math>m</math> का भाजक है <math>n</math>; इसका अर्थ है विभाजित करना <math>n</math> द्वारा <math>m</math> शेष नहीं रहता।		[[File:Cuisenaire ten.JPG\|thumb\|10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10]]गणित में, एक पूर्णांक का भाजक <math>n</math>, जिसे कारक भी कहा जाता है <math>n</math>, एक [[ पूर्णांक ]] है <math>m</math> जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है <math>n</math>. ऐसे में एक का यह भी कहना है <math>n</math> का गुणज है <math>m.</math> पूर्णांक <math>n</math> किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है <math>m</math> यदि <math>m</math> का भाजक है <math>n</math>; इसका अर्थ है विभाजित करना <math>n</math> द्वारा <math>m</math> शेष नहीं रहता।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	पूर्णांक {{mvar\|n}} एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है {{mvar\|m}} यदि कोई पूर्णांक ~~मौजूद~~ है {{mvar\|k}} ऐसा है कि <math>n=km</math>. यह इस प्रकार लिखा गया है		पूर्णांक {{mvar\|n}} एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है {{mvar\|m}} यदि कोई पूर्णांक उपस्थित है {{mvar\|k}} ऐसा है कि <math>n=km</math>. यह इस प्रकार लिखा गया है
	:<math>m\mid n.</math>		:<math>m\mid n.</math>
	उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं {{mvar\|m}} विभाजित {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का भाजक है {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का कारक है {{mvar\|n}}, तथा {{mvar\|n}} का गुणज है {{mvar\|m}}. यदि {{mvar\|m}} विभाजित नहीं करता {{mvar\|n}}, तो अंकन है <math> m\not\mid n</math>.<ref name="hardy-wright-p1">{{harnvb \|Hardy\|Wright\|1960\| p=1}}</ref><ref name="niven-p4">{{harnvb \|Niven\|Zuckerman\|Montgomery\|1991\|p=4}}</ref>		उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं {{mvar\|m}} विभाजित {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का भाजक है {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का कारक है {{mvar\|n}}, तथा {{mvar\|n}} का गुणज है {{mvar\|m}}. यदि {{mvar\|m}} विभाजित नहीं करता {{mvar\|n}}, तो अंकन है <math> m\not\mid n</math>.<ref name="hardy-wright-p1">{{harnvb \|Hardy\|Wright\|1960\| p=1}}</ref><ref name="niven-p4">{{harnvb \|Niven\|Zuckerman\|Montgomery\|1991\|p=4}}</ref>
	~~आमतौर पर~~, {{mvar\|m}} अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन {{mvar\|n}} शून्य होने की ~~अनुमति~~ है। इस ~~सम्मेलन~~ के साथ, <math>m \mid 0</math> प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar\|m}}.<ref name="hardy-wright-p1" /><ref name="niven-p4" />कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं <math>m</math> शून्य न हो।<ref>{{harvnb \|Durbin\|2009\| p=57\|loc=Chapter III Section 10}}</ref>		सामान्यतः, {{mvar\|m}} अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन {{mvar\|n}} शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, <math>m \mid 0</math> प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar\|m}}.<ref name="hardy-wright-p1" /><ref name="niven-p4" />कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं <math>m</math> शून्य न हो।<ref>{{harvnb \|Durbin\|2009\| p=57\|loc=Chapter III Section 10}}</ref>

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	उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं {{mvar\|m}} विभाजित {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का भाजक है {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का कारक है {{mvar\|n}}, तथा {{mvar\|n}} का गुणज है {{mvar\|m}}. यदि {{mvar\|m}} विभाजित नहीं करता {{mvar\|n}}, तो अंकन है <math> m\not\mid n</math>.<ref name="hardy-wright-p1">{{harnvb \|Hardy\|Wright\|1960\| p=1}}</ref><ref name="niven-p4">{{harnvb \|Niven\|Zuckerman\|Montgomery\|1991\|p=4}}</ref>		उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं {{mvar\|m}} विभाजित {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का भाजक है {{mvar\|n}}, {{mvar\|m}} का कारक है {{mvar\|n}}, तथा {{mvar\|n}} का गुणज है {{mvar\|m}}. यदि {{mvar\|m}} विभाजित नहीं करता {{mvar\|n}}, तो अंकन है <math> m\not\mid n</math>.<ref name="hardy-wright-p1">{{harnvb \|Hardy\|Wright\|1960\| p=1}}</ref><ref name="niven-p4">{{harnvb \|Niven\|Zuckerman\|Montgomery\|1991\|p=4}}</ref>
	सामान्यतः, {{mvar\|m}} अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन {{mvar\|n}} शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, <math>m \mid 0</math> प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar\|m}}.<ref name="hardy-wright-p1" /><ref name="niven-p4" />कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं <math>m</math> शून्य न हो।<ref>{{harvnb \|Durbin\|2009\| p=57\|loc=Chapter III Section 10}}</ref>		सामान्यतः, {{mvar\|m}} अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन {{mvar\|n}} शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, <math>m \mid 0</math> प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar\|m}}.<ref name="hardy-wright-p1" /><ref name="niven-p4" />कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं <math>m</math> शून्य न हो।<ref>{{harvnb \|Durbin\|2009\| p=57\|loc=Chapter III Section 10}}</ref>


	== सामान्य ==		== सामान्य ==
	विभाजक [[ ऋणात्मक संख्या ]] के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं,यद्यपि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।		विभाजक [[ ऋणात्मक संख्या ]] के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं,यद्यपि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।
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	यदि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है और <math>p \mid ab</math> फिर <math>p \mid a</math> या <math>p \mid b</math>.		यदि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है और <math>p \mid ab</math> फिर <math>p \mid a</math> या <math>p \mid b</math>.

	का धनात्मक भाजक <math>n</math> जो इससे अलग है <math>n</math> ए कहा जाता है उचित विभाजन या एक {{vanchor\|~~aliquot part~~}} का <math>n</math>. एक संख्या जो समान रूप से विभाजित नहीं होती <math>n</math> लेकिन एक शेष छोड़ देता है जिसे कभी-कभी एक कहा जाता है {{vanchor\|~~aliquant part~~}} का <math>n</math>.		का धनात्मक भाजक <math>n</math> जो इससे अलग है <math>n</math> ए कहा जाता है उचित विभाजन या एक {{vanchor\|विभाज्य भाग}} का <math>n</math>. एक संख्या जो समान रूप से विभाजित नहीं होती <math>n</math> लेकिन एक शेष छोड़ देता है जिसे कभी-कभी एक कहा जाता है {{vanchor\|तरल भाग}} का <math>n</math>.

	पूर्णांक <math>n > 1</math> जिसका एकमात्र उचित भाजक 1 है, अभाज्य संख्या कहलाती है। समतुल्य रूप से, एक अभाज्य संख्या एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसके दो सकारात्मक कारक हैं: 1 और स्वयं।		पूर्णांक <math>n > 1</math> जिसका एकमात्र उचित भाजक 1 है, अभाज्य संख्या कहलाती है। समतुल्य रूप से, एक अभाज्य संख्या एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसके दो सकारात्मक कारक हैं: 1 और स्वयं।

	का कोई सकारात्मक विभाजक <math>n</math> के प्रमुख कारक का उत्पाद है <math>n</math> कुछ शक्ति के लिए ~~उठाया।~~ यह अंकगणित के मौलिक प्रमेय का परिणाम है।		का कोई सकारात्मक विभाजक <math>n</math> के प्रमुख कारक का उत्पाद है <math>n</math> कुछ शक्ति के लिए उठाया, यह अंकगणित के मौलिक प्रमेय का परिणाम है।

	एक संख्या <math>n</math> पूर्ण संख्या कहलाती है यदि यह अपने उचित भाजक के योग के बराबर है, दोषपूर्ण संख्या यदि इसके उचित भाजक का योग इससे कम है <math>n</math>, और प्रचुर मात्रा में संख्या यदि यह योग अधिक हो <math>n</math>.		एक संख्या <math>n</math> पूर्ण संख्या कहलाती है यदि यह अपने उचित भाजक के योग के बराबर है, दोषपूर्ण संख्या यदि इसके उचित भाजक का योग इससे कम है <math>n</math>, और प्रचुर मात्रा में संख्या यदि यह योग अधिक हो <math>n</math>.

	के सकारात्मक विभाजकों की कुल संख्या <math>n</math> एक गुणक कार्य है <math>d(n)</math>, जिसका अर्थ है कि जब दो नंबर <math>m</math> तथा <math>n</math> अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. उदाहरण के लिए, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; 42 के आठ विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 और 42 हैं। <math>m</math> तथा <math>n</math> एक सामान्य विभाजक भागीदारी करें, तो यह सच नहीं हो सकता है <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. के सकारात्मक भाजक का योग <math>n</math> एक अन्य गुणक कार्य है <math>\sigma (n)</math> (उदा <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). ये दोनों फलन [[ भाजक फलन ]] के उदाहरण हैं।		के सकारात्मक विभाजकों की कुल संख्या <math>n</math> एक गुणक कार्य है <math>d(n)</math>, जिसका अर्थ है कि जब दो नंबर <math>m</math> तथा <math>n</math> अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. उदाहरण के लिए, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; 42 के आठ विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 और 42 हैं। <math>m</math> तथा <math>n</math> एक सामान्य विभाजक भागीदारी करें, तो यह सच नहीं हो सकता है <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. के सकारात्मक भाजक का योग <math>n</math> एक अन्य गुणक कार्य है <math>\sigma (n)</math> (उदा के लिए<math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). ये दोनों फलन [[ भाजक फलन ]] के उदाहरण हैं।

	यदि . का अभाज्य गुणनखंडन <math>n</math> द्वारा दिया गया है		यदि का अभाज्य गुणनखंडन <math>n</math> द्वारा दिया गया है

	:<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math>		:<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math>
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	=== विभाजन जाली ===		=== विभाजन जाली ===
	{{Main\|डिवीजन लेटिस}}		{{Main\|डिवीजन लेटिस}}
	जिन परिभाषाओं में 0 शामिल है, विभाज्यता का संबंध सेट को बदल देता है <math>\mathbb{N}</math> आंशिक रूप से आदेशित सेट में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का: एक [[ जाली (आदेश) ]]। इस जाली का सबसे बड़ा अवयव 0 है और सबसे छोटा 1 है। मिलन संक्रिया ∧ सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक द्वारा दी जाती है और जोड़ संक्रिया अल्पतम उभयनिष्ठ गुणज द्वारा दी जाती है। यह जाली अनंत [[ चक्रीय समूह ]] पूर्णांक के [[ उपसमूहों की जाली ]] के [[ द्वैत (क्रम सिद्धांत) ]] ~~के समरूप है\|~~<math>\mathbb{Z}</math>.		जिन परिभाषाओं में 0 शामिल है, विभाज्यता का संबंध सेट को बदल देता है <math>\mathbb{N}</math> आंशिक रूप से आदेशित सेट में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का: एक [[ जाली (आदेश) ]]। इस जाली का सबसे बड़ा अवयव 0 है और सबसे छोटा 1 है। मिलन संक्रिया ∧ सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक द्वारा दी जाती है और जोड़ संक्रिया अल्पतम उभयनिष्ठ गुणज द्वारा दी जाती है। यह जाली अनंत [[ चक्रीय समूह ]] पूर्णांक के [[ उपसमूहों की जाली ]] के [[ द्वैत (क्रम सिद्धांत) ]] <math>\mathbb{Z}</math> के समरूप है\|.

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==

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	== आगे की धारणाएं और तथ्य ==<!-- Perfect number links here. -->		== आगे की धारणाएं और तथ्य ==<!-- Perfect number links here. -->
	कुछ प्राथमिक नियम हैं:		कुछ प्राथमिक नियम हैं:
	* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>b \mid c</math>, फिर <math>a \mid c</math>, अर्थात विभाज्यता एक [[ सकर्मक संबंध ]] है।		* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>b \mid c</math>, फिर <math>a \mid c</math>, अर्थात विभाज्यता एक [[ सकर्मक संबंध \| सकारात्मक संबंध]] है।
	* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>b \mid a</math>, फिर <math>a = b</math> या <math>a = -b</math>.		* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>b \mid a</math>, फिर <math>a = b</math> या <math>a = -b</math>.
	* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>a \mid c</math>, फिर <math> a \mid (b + c)</math> धारण करता है, के रूप में करता है <math> a \mid (b - c)</math>.<ref><math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b+c=(j+k)a \Rightarrow a \mid (b+c)</math>. Similarly, <math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b-c=(j-k)a \Rightarrow a \mid (b-c)</math></ref> ~~हालांकि~~, यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>c \mid b</math>, फिर <math>(a + c) \mid b</math> हमेशा धारण नहीं करता (उदा। <math>2\mid6</math> तथा <math>3 \mid 6</math> लेकिन 5, 6 को विभाजित नहीं करता है)।		* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>a \mid c</math>, फिर <math> a \mid (b + c)</math> धारण करता है, के रूप में करता है <math> a \mid (b - c)</math>.<ref><math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b+c=(j+k)a \Rightarrow a \mid (b+c)</math>. Similarly, <math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b-c=(j-k)a \Rightarrow a \mid (b-c)</math></ref> यद्यपि, यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>c \mid b</math>, फिर <math>(a + c) \mid b</math> हमेशा धारण नहीं करता (उदा। <math>2\mid6</math> तथा <math>3 \mid 6</math> लेकिन 5, 6 को विभाजित नहीं करता है)।

	यदि <math>a \mid bc</math>, तथा <math>\gcd(a, b) = 1</math>, फिर <math>a \mid c</math>.<ref group="note"><math>\gcd</math> refers to the [[greatest common divisor]].</ref> इसे यूक्लिड की लेम्मा कहा जाता है।		यदि <math>a \mid bc</math>, तथा <math>\gcd(a, b) = 1</math>, फिर <math>a \mid c</math>.<ref group="note"><math>\gcd</math> refers to the [[greatest common divisor]].</ref> इसे यूक्लिड की लेम्मा कहा जाता है।
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	यदि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है और <math>p \mid ab</math> फिर <math>p \mid a</math> या <math>p \mid b</math>.		यदि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है और <math>p \mid ab</math> फिर <math>p \mid a</math> या <math>p \mid b</math>.

	का धनात्मक भाजक <math>n</math> जो इससे अलग है <math>n</math> ए कहा जाता है~~{{vanchor\|proper divisor}}~~या एक{{vanchor\|aliquot part}}का <math>n</math>. एक संख्या जो समान रूप से विभाजित नहीं होती <math>n</math> लेकिन एक शेष छोड़ देता है जिसे कभी-कभी एक कहा जाता है{{vanchor\|aliquant part}}का <math>n</math>.		का धनात्मक भाजक <math>n</math> जो इससे अलग है <math>n</math> ए कहा जाता है उचित विभाजन या एक {{vanchor\|aliquot part}} का <math>n</math>. एक संख्या जो समान रूप से विभाजित नहीं होती <math>n</math> लेकिन एक शेष छोड़ देता है जिसे कभी-कभी एक कहा जाता है {{vanchor\|aliquant part}} का <math>n</math>.

	पूर्णांक <math>n > 1</math> जिसका एकमात्र उचित भाजक 1 है, अभाज्य संख्या कहलाती है। समतुल्य रूप से, एक अभाज्य संख्या एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसके दो सकारात्मक कारक हैं: 1 और स्वयं।		पूर्णांक <math>n > 1</math> जिसका एकमात्र उचित भाजक 1 है, अभाज्य संख्या कहलाती है। समतुल्य रूप से, एक अभाज्य संख्या एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसके दो सकारात्मक कारक हैं: 1 और स्वयं।
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	का कोई सकारात्मक विभाजक <math>n</math> के प्रमुख कारक का उत्पाद है <math>n</math> कुछ शक्ति के लिए उठाया। यह अंकगणित के मौलिक प्रमेय का परिणाम है।		का कोई सकारात्मक विभाजक <math>n</math> के प्रमुख कारक का उत्पाद है <math>n</math> कुछ शक्ति के लिए उठाया। यह अंकगणित के मौलिक प्रमेय का परिणाम है।

	एक संख्या <math>n</math> पूर्ण संख्या कहलाती है यदि यह अपने उचित भाजक के योग के बराबर है, ~~[[ कमी~~ संख्या ]] यदि इसके उचित भाजक का योग इससे कम है <math>n</math>, और प्रचुर मात्रा में संख्या यदि यह योग अधिक हो <math>n</math>.		एक संख्या <math>n</math> पूर्ण संख्या कहलाती है यदि यह अपने उचित भाजक के योग के बराबर है, दोषपूर्ण संख्या यदि इसके उचित भाजक का योग इससे कम है <math>n</math>, और प्रचुर मात्रा में संख्या यदि यह योग अधिक हो <math>n</math>.

	के सकारात्मक विभाजकों की कुल संख्या <math>n</math> एक गुणक कार्य है <math>d(n)</math>, जिसका अर्थ है कि जब दो नंबर <math>m</math> तथा <math>n</math> अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. उदाहरण के लिए, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; 42 के आठ विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 और 42 हैं। <math>m</math> तथा <math>n</math> एक सामान्य विभाजक ~~साझा~~ करें, तो यह सच नहीं हो सकता है <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. के सकारात्मक भाजक का योग <math>n</math> एक अन्य गुणक कार्य है <math>\sigma (n)</math> (उदा <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). ये दोनों फलन [[ भाजक फलन ]] के उदाहरण हैं।		के सकारात्मक विभाजकों की कुल संख्या <math>n</math> एक गुणक कार्य है <math>d(n)</math>, जिसका अर्थ है कि जब दो नंबर <math>m</math> तथा <math>n</math> अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. उदाहरण के लिए, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; 42 के आठ विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 और 42 हैं। <math>m</math> तथा <math>n</math> एक सामान्य विभाजक भागीदारी करें, तो यह सच नहीं हो सकता है <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. के सकारात्मक भाजक का योग <math>n</math> एक अन्य गुणक कार्य है <math>\sigma (n)</math> (उदा <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). ये दोनों फलन [[ भाजक फलन ]] के उदाहरण हैं।

	{{anchor\|number_of_divisors_formula}}		{{anchor\|number_of_divisors_formula}}
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	:<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>		:<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>
	~~कहाँ पे~~ <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> प्रत्येक के लिए <math>1 \le i \le k.</math>		यहाँ पर <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> प्रत्येक के लिए <math>1 \le i \le k.</math>
	प्रत्येक प्राकृतिक के लिए <math>n</math>, <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.		प्रत्येक प्राकृतिक के लिए <math>n</math>, <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.

	भी,<ref>{{harvnb\|Hardy\|Wright\|1960\|p=264\|loc=Theorem 320}}</ref>		भी,<ref>{{harvnb\|Hardy\|Wright\|1960\|p=264\|loc=Theorem 320}}</ref>
	:<math>d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).</math>		:<math>d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).</math>
	~~कहाँ पे~~ <math> \gamma </math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।		यहाँ पर <math> \gamma </math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।
	इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है		इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है
	के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. ~~हालांकि~~, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या \| संख्याओं के योगदान का परिणाम है।		के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. यद्यपि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या \| संख्याओं के योगदान का परिणाम है।

	== ~~अमूर्त~~ बीजगणित में ==		== आधुनिक बीजगणित में ==

	=== वलय सिद्धांत ===		=== वलय सिद्धांत ===
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	=== ~~डिवीजन~~ जाली ===		=== विभाजन जाली ===
	{{Main\|Division lattice}}		{{Main\|Division lattice}}
	जिन परिभाषाओं में 0 शामिल है, विभाज्यता का संबंध सेट को बदल देता है <math>\mathbb{N}</math> आंशिक रूप से आदेशित सेट में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का: एक [[ जाली (आदेश) ]]। इस जाली का सबसे बड़ा अवयव 0 है और सबसे छोटा 1 है। मिलन संक्रिया ∧ सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक द्वारा दी जाती है और जोड़ संक्रिया अल्पतम उभयनिष्ठ गुणज द्वारा दी जाती है। यह जाली अनंत [[ चक्रीय समूह ]] पूर्णांक के [[ उपसमूहों की जाली ]] के [[ द्वैत (क्रम सिद्धांत) ]] के समरूप है\|<math>\mathbb{Z}</math>.		जिन परिभाषाओं में 0 शामिल है, विभाज्यता का संबंध सेट को बदल देता है <math>\mathbb{N}</math> आंशिक रूप से आदेशित सेट में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का: एक [[ जाली (आदेश) ]]। इस जाली का सबसे बड़ा अवयव 0 है और सबसे छोटा 1 है। मिलन संक्रिया ∧ सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक द्वारा दी जाती है और जोड़ संक्रिया अल्पतम उभयनिष्ठ गुणज द्वारा दी जाती है। यह जाली अनंत [[ चक्रीय समूह ]] पूर्णांक के [[ उपसमूहों की जाली ]] के [[ द्वैत (क्रम सिद्धांत) ]] के समरूप है\|<math>\mathbb{Z}</math>.

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	== सामान्य ==		== सामान्य ==
	विभाजक [[ ऋणात्मक संख्या ]] के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं, ~~हालांकि~~ कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।		विभाजक [[ ऋणात्मक संख्या ]] के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं,यद्यपि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।

	1 और −1 प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित (विभाजक) करते हैं। प्रत्येक पूर्णांक (और उसका निषेध) स्वयं का एक विभाजक है। 2 से विभाज्य पूर्णांक [[ सम और विषम संख्या ]]एँ कहलाती हैं, और 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं।		1 और −1 प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित (विभाजक) करते हैं। प्रत्येक पूर्णांक (और उसका निषेध) स्वयं का एक विभाजक है। 2 से विभाज्य पूर्णांक [[ सम और विषम संख्या \| सम और विषम संख्या]]एँ कहलाती हैं, और 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं।

	1, −1, n और −n को n का '~~तुच्छ~~ विभाजक' कहा जाता है। n का एक भाजक जो ~~तुच्छ~~ भाजक नहीं है, उसे 'गैर-~~तुच्छ~~ भाजक' (या सख्त भाजक) के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite web\| url = https://perso.crans.org/cauderlier/org/ITP17_draft.pdf\| title = राफेल कॉडरलियर और कैथरीन डुबोइस द्वारा प्रूफ इंटरऑपरेबिलिटी के लिए बचाव के लिए FoCaLiZe और Dedukti}}</ref>). कम से कम एक गैर-~~तुच्छ~~ भाजक के साथ एक गैर-शून्य पूर्णांक को ~~समग्र~~ संख्या के रूप में जाना जाता है, जबकि इकाई (रिंग सिद्धांत) -1 और 1 और [[ अभाज्य संख्या ]]ओं ~~में~~ कोई गैर-~~तुच्छ~~ भाजक नहीं होता है।		1, −1, n और −n को n का 'छोटा विभाजक' कहा जाता है। n का एक भाजक जो छोटा भाजक नहीं है, उसे 'गैर-छोटा भाजक' (या सख्त भाजक) के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite web\| url = https://perso.crans.org/cauderlier/org/ITP17_draft.pdf\| title = राफेल कॉडरलियर और कैथरीन डुबोइस द्वारा प्रूफ इंटरऑपरेबिलिटी के लिए बचाव के लिए FoCaLiZe और Dedukti}}</ref>). कम से कम एक गैर-छोटा भाजक के साथ एक गैर-शून्य पूर्णांक को समस्त संख्या के रूप में जाना जाता है, जबकि इकाई (रिंग सिद्धांत) -1 और 1 और [[ अभाज्य संख्या \| अभाज्य संख्या]]ओं कोई गैर-छोटा भाजक नहीं होता है।

	[[ विभाज्यता नियम ]] हैं जो किसी संख्या के अंकों से किसी संख्या के कुछ विभाजकों को पहचानने की ~~अनुमति~~ देते हैं।		[[ विभाज्यता नियम ]] हैं जो किसी संख्या के अंकों से किसी संख्या के कुछ विभाजकों को पहचानने की स्वीकृति देते हैं।

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==
	[[File:Highly composite numbers.svg\|thumb\|250px\|1 से 1000 तक पूर्णांकों के विभाजकों की संख्या का आलेख। अभाज्य संख्याओं में बिल्कुल 2 विभाजक होते हैं, और अत्यधिक ~~संमिश्र~~ संख्याएँ ~~बोल्ड~~ में होती हैं।]]*7 42 का भाजक है क्योंकि <math>7\times 6=42</math>, तो हम कह सकते हैं <math>7\mid 42</math>. यह भी कहा जा सकता है कि 42, 7 से विभाज्य है, 42, 7 का गुणज (गणित) है, 7, 42 को विभाजित करता है, या 7, 42 का एक गुणनखंड है।		[[File:Highly composite numbers.svg\|thumb\|250px\|1 से 1000 तक पूर्णांकों के विभाजकों की संख्या का आलेख। अभाज्य संख्याओं में बिल्कुल 2 विभाजक होते हैं, और अत्यधिक सम्मिश्र संख्याएँ मोटे में होती हैं।]]*7 42 का भाजक है क्योंकि <math>7\times 6=42</math>, तो हम कह सकते हैं <math>7\mid 42</math>. यह भी कहा जा सकता है कि 42, 7 से विभाज्य है, 42, 7 का गुणज (गणित) है, 7, 42 को विभाजित करता है, या 7, 42 का एक गुणनखंड है।
	*6 के गैर-~~तुच्छ~~ भाजक 2, -2, 3, -3 हैं।		*6 के गैर-छोटा भाजक 2, -2, 3, -3 हैं।
	*42 के धनात्मक भाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 हैं।		*42 के धनात्मक भाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 हैं।
	*60 के सभी धनात्मक भाजक का समुच्चय (गणित), <math>A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}</math>, आंशिक रूप से विभाज्यता द्वारा निर्धारित आदेश दिया गया है, हस आरेख है:		*60 के सभी धनात्मक भाजक का समुच्चय (गणित), <math>A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}</math>, आंशिक रूप से विभाज्यता द्वारा निर्धारित आदेश दिया गया है, यह आरेख है:

	[[File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg\|center\|350px]]		[[File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg\|center\|350px]]
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	कहाँ पे <math> \gamma </math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।		कहाँ पे <math> \gamma </math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।
	इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है		इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है
	के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. हालांकि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक ~~समग्र~~ संख्या \| संख्याओं के योगदान का परिणाम है।		के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. हालांकि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या \| संख्याओं के योगदान का परिणाम है।

	== अमूर्त बीजगणित में ==		== अमूर्त बीजगणित में ==