प्रमेय - Revision history

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alpha>Neetua08 at 14:30, 28 November 2022

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	== प्रमेय और सत्य ==		== प्रमेय और सत्य ==
	19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी [[गणितीय सिद्धांत]]ों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक [[रेखा (गणित)]] है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था अभिधारणाएँ या ~~अभिगृहीत कहलाते थे~~; उदाहरण के लिए यूक्लिड की अभिधारणाएँ। सभी प्रमेयों को स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से इन मूल गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, और, इन मूल गुणों के प्रमाण के कारण, एक सिद्ध प्रमेय को एक निश्चित सत्य माना जाता था, जब तक कि प्रमाण में कोई त्रुटि न हो। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के [[आंतरिक कोण]]ों का योग 180° के बराबर होता है, और इसे एक निस्संदेह तथ्य माना जाता था।		19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी [[गणितीय सिद्धांत]]ों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक [[रेखा (गणित)]] है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था, उन्हें अभिधारणाएँ या स्वयंसिद्ध कहा जाता था; उदाहरण के लिए यूक्लिड की अभिधारणाएँ। सभी प्रमेयों को स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से इन मूल गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, और, इन मूल गुणों के प्रमाण के कारण, एक सिद्ध प्रमेय को एक निश्चित सत्य माना जाता था, जब तक कि प्रमाण में कोई त्रुटि न हो। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के [[आंतरिक कोण]]ों का योग 180° के बराबर होता है, और इसे एक निस्संदेह तथ्य माना जाता था।

	गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, चूंकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, [[सेट (गणित)]] के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में परिचालन करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है।		गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, चूंकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, [[सेट (गणित)]] के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में परिचालन करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है।

alpha>Neetua08 at 03:42, 28 November 2022

2022-11-28T03:42:25Z

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	== ज्ञानमीमांसा संबंधी विचार ==		== ज्ञानमीमांसा संबंधी विचार ==
	कई गणितीय प्रमेय सशर्त कथन हैं, जिनके प्रमाण परिकल्पना या परिसर के रूप में जानी जाने वाली स्थितियों से निष्कर्ष निकालते हैं। सत्य के औचित्य के रूप में प्रमाण की व्याख्या के आलोक में, निष्कर्ष को प्राक्कल्पना की [[आवश्यकता और पर्याप्तता]] के रूप में देखा जाता है। अर्थात्, यह निष्कर्ष सत्य है यदि परिकल्पनाएँ सत्य हैं - बिना किसी और धारणा के। यद्यपि, कुछ निगमनात्मक प्रणालियों में सशर्त की अलग-अलग व्याख्या की जा सकती है, जो व्युत्पत्ति नियमों और सशर्त प्रतीक (जैसे, गैर-~~शास्त्रीय~~ तर्क) को दिए गए अर्थों पर निर्भर करती है।		कई गणितीय प्रमेय सशर्त कथन हैं, जिनके प्रमाण परिकल्पना या परिसर के रूप में जानी जाने वाली स्थितियों से निष्कर्ष निकालते हैं। सत्य के औचित्य के रूप में प्रमाण की व्याख्या के आलोक में, निष्कर्ष को प्राक्कल्पना की [[आवश्यकता और पर्याप्तता]] के रूप में देखा जाता है। अर्थात्, यह निष्कर्ष सत्य है यदि परिकल्पनाएँ सत्य हैं - बिना किसी और धारणा के। यद्यपि, कुछ निगमनात्मक प्रणालियों में सशर्त की अलग-अलग व्याख्या की जा सकती है, जो व्युत्पत्ति नियमों और सशर्त प्रतीक (जैसे, गैर-उत्कृष्ट तर्क) को दिए गए अर्थों पर निर्भर करती है।

	चूंकि प्रमेयों को पूरी तरह से प्रतीकात्मक रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए, प्रस्तावपरक कलन में प्रस्तावों के रूप में), बेहतर पठनीयता के लिए उन्हें सामान्यतः अंग्रेजी जैसी प्राकृतिक भाषा में अनौपचारिक रूप से व्यक्त किया जाता है। प्रमाणों के बारे में भी यही सच है, जिन्हें प्रायः तार्किक रूप से संगठित और स्पष्ट शब्दों में अनौपचारिक तर्कों के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका उद्देश्य पाठकों को किसी भी संदेह से परे प्रमेय के कथन की सच्चाई से अभिव्यक्त कराना है, और जिससे सैद्धांतिक रूप से एक औपचारिक प्रतीकात्मक प्रमाण का निर्माण किया जा सकता है।		चूंकि प्रमेयों को पूरी तरह से प्रतीकात्मक रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए, प्रस्तावपरक कलन में प्रस्तावों के रूप में), बेहतर पठनीयता के लिए उन्हें सामान्यतः अंग्रेजी जैसी प्राकृतिक भाषा में अनौपचारिक रूप से व्यक्त किया जाता है। प्रमाणों के बारे में भी यही सच है, जिन्हें प्रायः तार्किक रूप से संगठित और स्पष्ट शब्दों में अनौपचारिक तर्कों के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका उद्देश्य पाठकों को किसी भी संदेह से परे प्रमेय के कथन की सच्चाई से अभिव्यक्त कराना है, और जिससे सैद्धांतिक रूप से एक औपचारिक प्रतीकात्मक प्रमाण का निर्माण किया जा सकता है।

alpha>Neetua08 at 03:31, 28 November 2022

2022-11-28T03:31:14Z

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	==वैज्ञानिक सिद्धांतों से संबंध==		==वैज्ञानिक सिद्धांतों से संबंध==
	{{unreferenced section\|date=February 2018}}		{{unreferenced section\|date=February 2018}}
	गणित में प्रमेय और विज्ञान में सिद्धांत उनकी ज्ञानमीमांसा में मौलिक रूप से भिन्न हैं। एक वैज्ञानिक सिद्धांत सिद्ध नहीं किया जा सकता; इसकी प्रमुख विशेषता यह है कि यह मिथ्या है, अर्थात यह प्राकृतिक दुनिया के बारे में भविष्यवाणियां करता है जो [[प्रयोग]]ों द्वारा परीक्षण योग्य हैं। भविष्यवाणी और प्रयोग के बीच कोई भी असहमति वैज्ञानिक सिद्धांत की गलतता को प्रदर्शित करती है, या कम से कम इसकी ~~सटीकता~~ या वैधता के क्षेत्र को सीमित करती है। दूसरी ओर, गणितीय प्रमेय विशुद्ध रूप से अमूर्त औपचारिक कथन हैं: एक प्रमेय के प्रमाण में प्रयोग या अन्य अनुभवजन्य साक्ष्य सम्मलित नहीं हो सकते हैं, जिस तरह से वैज्ञानिक सिद्धांतों का समर्थन करने के लिए इस तरह के साक्ष्य का उपयोग किया जाता है।<ref name=":0"/>		गणित में प्रमेय और विज्ञान में सिद्धांत उनकी ज्ञानमीमांसा में मौलिक रूप से भिन्न हैं। एक वैज्ञानिक सिद्धांत सिद्ध नहीं किया जा सकता; इसकी प्रमुख विशेषता यह है कि यह मिथ्या है, अर्थात यह प्राकृतिक दुनिया के बारे में भविष्यवाणियां करता है जो [[प्रयोग]]ों द्वारा परीक्षण योग्य हैं। भविष्यवाणी और प्रयोग के बीच कोई भी असहमति वैज्ञानिक सिद्धांत की गलतता को प्रदर्शित करती है, या कम से कम इसकी परिशुद्धता या वैधता के क्षेत्र को सीमित करती है। दूसरी ओर, गणितीय प्रमेय विशुद्ध रूप से अमूर्त औपचारिक कथन हैं: एक प्रमेय के प्रमाण में प्रयोग या अन्य अनुभवजन्य साक्ष्य सम्मलित नहीं हो सकते हैं, जिस तरह से वैज्ञानिक सिद्धांतों का समर्थन करने के लिए इस तरह के साक्ष्य का उपयोग किया जाता है।<ref name=":0"/>

	[[File:CollatzFractal.png\|thumb\|250px\|right\|[[Collatz अनुमान]]: इसकी जटिलता को दर्शाने का एक तरीका यह है कि पुनरावृत्ति को प्राकृतिक संख्याओं से जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जाए। परिणाम एक [[भग्न]] है, जो (सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियों) के अनुसार) [[मैंडेलब्रॉट सेट]] जैसा दिखता है।]]यद्यपि, गणितीय प्रमेयों की खोज में कुछ हद तक अनुभववाद और डेटा संग्रह प्रयोग है। एक पैटर्न की स्थापना करके, कभी-कभी एक शक्तिशाली कंप्यूटर के उपयोग के साथ, गणितज्ञों को यह पता चल सकता है कि क्या सिद्ध करना है, और कुछ विषयों में प्रमाण देने के बारे में भी एक योजना है। एक एकल प्रति-उदाहरण खोजना भी संभव है और इसलिए जैसा कि कहा गया है, प्रस्ताव के लिए एक प्रमाण की असंभवता स्थापित करें, और संभवतः मूल प्रस्ताव के प्रतिबंधित रूपों का सुझाव दें जिनके पास संभव प्रमाण हो सकते हैं।		[[File:CollatzFractal.png\|thumb\|250px\|right\|[[Collatz अनुमान]]: इसकी जटिलता को दर्शाने का एक तरीका यह है कि पुनरावृत्ति को प्राकृतिक संख्याओं से जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जाए। परिणाम एक [[भग्न]] है, जो (सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियों) के अनुसार) [[मैंडेलब्रॉट सेट]] जैसा दिखता है।]]यद्यपि, गणितीय प्रमेयों की खोज में कुछ हद तक अनुभववाद और डेटा संग्रह प्रयोग है। एक पैटर्न की स्थापना करके, कभी-कभी एक शक्तिशाली कंप्यूटर के उपयोग के साथ, गणितज्ञों को यह पता चल सकता है कि क्या सिद्ध करना है, और कुछ विषयों में प्रमाण देने के बारे में भी एक योजना है। एक एकल प्रति-उदाहरण खोजना भी संभव है और इसलिए जैसा कि कहा गया है, प्रस्ताव के लिए एक प्रमाण की असंभवता स्थापित करें, और संभवतः मूल प्रस्ताव के प्रतिबंधित रूपों का सुझाव दें जिनके पास संभव प्रमाण हो सकते हैं।

alpha>Neetua08 at 03:19, 28 November 2022

2022-11-28T03:19:40Z

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	== शब्दावली ==		== शब्दावली ==
	गणितीय कथनों के लिए कई अलग-अलग शब्द प्रस्तुत हैं; ये पद किसी विशेष विषय में निभाई जाने वाली भूमिका ~~बयानों~~ को उल्लेख करते हैं। विभिन्न शब्दों के बीच अंतर कभी-कभी ~~मनमाना~~ होता है, और कुछ शब्दों का उपयोग समय के साथ विकसित हुआ है।		गणितीय कथनों के लिए कई अलग-अलग शब्द प्रस्तुत हैं; ये पद किसी विशेष विषय में निभाई जाने वाली भूमिका कथनों को उल्लेख करते हैं। विभिन्न शब्दों के बीच अंतर कभी-कभी स्वैच्छिक होता है, और कुछ शब्दों का उपयोग समय के साथ विकसित हुआ है।
	* एक स्वयंसिद्ध या अभिधारणा अध्ययन की वस्तु के संबंध में एक मौलिक धारणा है, जिसे बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया जाता है। एक संबंधित अवधारणा एक [[परिभाषा]] की है, जो ज्ञात अवधारणाओं के संदर्भ में एक शब्द या वाक्यांश का अर्थ देती है। शास्त्रीय ज्यामिति स्वयंसिद्धों के बीच विचार करती है, जो सामान्य कथन हैं; और अभिधारणाएँ, जो कि ज्यामितीय वस्तुओं के बारे में कथन हैं।<ref>{{cite book\|first1=G. \|last1=Wentworth \|first2=D.E. \|last2=Smith \|year=1913 \|title=समतल ज्यामिति\|publisher=Ginn & Co. \|at=Articles 46, 47 \|url=https://archive.org/details/planegeometry00gwen}}</ref> ऐतिहासिक रूप से, सूक्तियों को स्व-साक्ष्य के रूप में माना जाता था\|स्व-स्पष्ट; आज उन्हें केवल सच माना जाता है।		* एक स्वयंसिद्ध या अभिधारणा अध्ययन की वस्तु के संबंध में एक मौलिक धारणा है, जिसे बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया जाता है। एक संबंधित अवधारणा एक [[परिभाषा]] की है, जो ज्ञात अवधारणाओं के संदर्भ में एक शब्द या वाक्यांश का अर्थ देती है। शास्त्रीय ज्यामिति स्वयंसिद्धों के बीच विचार करती है, जो सामान्य कथन हैं; और अभिधारणाएँ, जो कि ज्यामितीय वस्तुओं के बारे में कथन हैं।<ref>{{cite book\|first1=G. \|last1=Wentworth \|first2=D.E. \|last2=Smith \|year=1913 \|title=समतल ज्यामिति\|publisher=Ginn & Co. \|at=Articles 46, 47 \|url=https://archive.org/details/planegeometry00gwen}}</ref> ऐतिहासिक रूप से, सूक्तियों को स्व-साक्ष्य के रूप में माना जाता था \| स्व-स्पष्ट; आज उन्हें केवल सच माना जाता है।
	* एक अनुमान एक अप्रमाणित कथन है जिसे सत्य माना जाता है। अनुमान सामान्यतः सार्वजनिक रूप से बनाए जाते हैं, और उनके निर्माता के नाम पर रखे जाते हैं (उदाहरण के लिए, गोल्डबैक का अनुमान और कोलॉज अनुमान)। परिकल्पना शब्द का प्रयोग इस अर्थ में भी किया जाता है (उदाहरण के लिए, रीमैन परिकल्पना), जिसे प्रमाण के आधार के रूप में परिकल्पना के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। अन्य शब्दों का भी अधिकांशतः पर उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए समस्या जब लोग सुनिश्चित नहीं होते हैं कि कथन को सत्य माना जाना चाहिए या नहीं। फर्मेट की अंतिम प्रमेय को ऐतिहासिक रूप से एक प्रमेय कहा जाता था, चूंकि सदियों से यह केवल एक अनुमान था।		* एक अनुमान एक अप्रमाणित कथन है जिसे सत्य माना जाता है। अनुमान सामान्यतः सार्वजनिक रूप से बनाए जाते हैं, और उनके निर्माता के नाम पर रखे जाते हैं (उदाहरण के लिए, गोल्डबैक का अनुमान और कोलॉज अनुमान)। परिकल्पना शब्द का प्रयोग इस अर्थ में भी किया जाता है (उदाहरण के लिए, रीमैन परिकल्पना), जिसे प्रमाण के आधार के रूप में परिकल्पना के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। अन्य शब्दों का भी अधिकांशतः पर उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए समस्या जब लोग सुनिश्चित नहीं होते हैं कि कथन को सत्य माना जाना चाहिए या नहीं। फर्मेट की अंतिम प्रमेय को ऐतिहासिक रूप से एक प्रमेय कहा जाता था, चूंकि सदियों से यह केवल एक अनुमान था।
	<!-- The following definition repeats the lead for easy reference -->		<!-- The following definition repeats the lead for easy reference -->
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	निश्चित शैली लेखक या प्रकाशन पर निर्भर करती है। कई प्रकाशन [[शैली गाइड]] में टाइपसेटिंग के लिए निर्देश या [[मैक्रो (कंप्यूटर विज्ञान)]] प्रदान करते हैं।		निश्चित शैली लेखक या प्रकाशन पर निर्भर करती है। कई प्रकाशन [[शैली गाइड]] में टाइपसेटिंग के लिए निर्देश या [[मैक्रो (कंप्यूटर विज्ञान)]] प्रदान करते हैं।

	प्रमेय में प्रयुक्त शब्दों के निश्चित अर्थ का वर्णन करने वाली परिभाषाओं से पहले एक प्रमेय का होना आम बात है। एक प्रमेय के लिए कई प्रस्तावों या लेममा से पहले होना भी आम है जो तब प्रमाण में उपयोग किए जाते हैं। चूंकि, लेम्मा को कभी-कभी एक प्रमेय के प्रमाण में एम्बेडेड किया जाता है, या तो नेस्टेड साक्ष्य के साथ, या प्रमेय के प्रमाण के बाद उनके प्रमाण प्रस्तुत किए जाते हैं।		प्रमेय में प्रयुक्त शब्दों के निश्चित अर्थ का वर्णन करने वाली परिभाषाओं से पहले एक प्रमेय का होना सामान्य बात है। एक प्रमेय के लिए कई प्रस्तावों या लेममा से पहले होना भी सामान्य है जो तब प्रमाण में उपयोग किए जाते हैं। चूंकि, लेम्मा को कभी-कभी एक प्रमेय के प्रमाण में एम्बेडेड किया जाता है, या तो नेस्टेड साक्ष्य के साथ, या प्रमेय के प्रमाण के बाद उनके प्रमाण प्रस्तुत किए जाते हैं।

	किसी प्रमेय के परिणाम या तो प्रमेय और उपपत्ति के बीच प्रस्तुत किए जाते हैं, या सीधे उपपत्ति के बाद। कभी-कभी, उपप्रमेयों के अपने स्वयं के प्रमाण होते हैं जो बताते हैं कि वे प्रमेय से क्यों अनुसरण करते हैं।		किसी प्रमेय के परिणाम या तो प्रमेय और उपपत्ति के बीच प्रस्तुत किए जाते हैं, या सीधे उपपत्ति के बाद। कभी-कभी, उपप्रमेयों के अपने स्वयं के प्रमाण होते हैं जो बताते हैं कि वे प्रमेय से क्यों अनुसरण करते हैं।
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	== विद्या ==		== विद्या ==

	यह अनुमान लगाया गया है कि हर साल एक लाख से अधिक प्रमेय सिद्ध होते हैं।<ref>Hoffman 1998, p. 204.</ref>		यह अनुमान लगाया गया है कि हर साल एक लाख से अधिक प्रमेय सिद्ध होते हैं।<ref>Hoffman 1998, p. 204.</ref>सुप्रसिद्ध सूक्ति, एक गणितज्ञ कॉफी को प्रमेयों में बदलने के लिए एक उपकरण है, संभवतः यह अल्फ़्रेड रेनी के कारण है, चूंकि इसे अधिकांशतः रेनी के सहयोगी पॉल एर्डोस (और रेनी एर्दोस के बारे में सोच रहा होगा) के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो अपने द्वारा निर्मित कई प्रमेयों के लिए प्रसिद्ध थे, एर्डो के उनके सहयोग की संख्या, और उनकी कॉफी पीने की संख्या।<ref>Hoffman 1998, p. 7.</ref>
	सुप्रसिद्ध सूक्ति, ~~क्यू: पॉल एर्डोस \|~~ एक गणितज्ञ कॉफी को प्रमेयों में बदलने के लिए एक उपकरण है, संभवतः यह अल्फ़्रेड रेनी के कारण है, चूंकि इसे अधिकांशतः रेनी के सहयोगी पॉल एर्डोस (और रेनी एर्दोस के बारे में सोच रहा होगा) के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो अपने द्वारा निर्मित कई प्रमेयों के लिए प्रसिद्ध थे, एर्डो के उनके सहयोग की संख्या, और उनकी कॉफी पीने की संख्या।<ref>Hoffman 1998, p. 7.</ref>		[[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] कुछ लोगों द्वारा प्रमेय का सबसे लंबा प्रमाण माना जाता है। इसमें लगभग 100 लेखकों द्वारा 500 जर्नल लेखों में हजारों पृष्ठ सम्मलित हैं। माना जाता है कि ये कागजात एक साथ एक पूर्ण प्रमाण देते हैं, और कई चल रही परियोजनाएँ इस प्रमाण को छोटा और सरल बनाने की आशा करती हैं।<ref>[http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html An enormous theorem: the classification of finite simple groups], Richard Elwes, Plus Magazine, Issue 41 December 2006.</ref> इस प्रकार का एक अन्य प्रमेय चार रंग प्रमेय है जिसका कंप्यूटर जनित प्रमाण मानव के पढ़ने के लिए बहुत लंबा है। यह एक प्रमेय के सबसे लंबे समय तक ज्ञात प्रमाणों में से एक है, जिसके कथन को सामान्य व्यक्ति आसानी से समझ सकता है।{{citation needed\|date=April 2020}}
	[[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] कुछ लोगों द्वारा प्रमेय का सबसे लंबा प्रमाण माना जाता है। इसमें लगभग 100 लेखकों द्वारा 500 जर्नल लेखों में हजारों पृष्ठ सम्मलित हैं। माना जाता है कि ये कागजात एक साथ एक पूर्ण प्रमाण देते हैं, और कई चल रही परियोजनाएँ इस प्रमाण को छोटा और सरल बनाने की आशा करती हैं।<ref>[http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html An enormous theorem: the classification of finite simple groups], Richard Elwes, Plus Magazine, Issue 41 December 2006.</ref> इस प्रकार का एक अन्य प्रमेय चार रंग प्रमेय है जिसका कंप्यूटर जनित प्रमाण मानव के पढ़ने के लिए बहुत लंबा है। यह एक प्रमेय के सबसे लंबे समय तक ज्ञात प्रमाणों में से एक है, जिसके कथन को ~~आम आदमी~~ आसानी से समझ सकता है।{{citation needed\|date=April 2020}}

alpha>Neetua08 at 02:56, 28 November 2022

2022-11-28T02:56:00Z

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alpha>Neetua08 at 16:12, 27 November 2022

2022-11-27T16:12:06Z

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