पॉलीटॉप - Revision history

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alpha>Alokchanchal at 06:15, 28 November 2022

2022-11-28T06:15:28Z

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alpha>Sureshchandra at 19:48, 24 November 2022

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	[[ स्टार पॉलीहेड्रॉन ]] और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने इसके इंटीरियर की अनदेखी करते हुए एक पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा। रेफरी> क्रॉमवेल, पी।; पॉलीहेड्रा, सीयूपी (पीपीबीके 1999) पीपी 205 एफएफ।</ref> चूँकि, यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ तारक (स्टार) पॉलीटोप्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।		[[ स्टार पॉलीहेड्रॉन ]] और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने इसके इंटीरियर की अनदेखी करते हुए एक पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा। रेफरी> क्रॉमवेल, पी।; पॉलीहेड्रा, सीयूपी (पीपीबीके 1999) पीपी 205 एफएफ।</ref> चूँकि, यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ तारक (स्टार) पॉलीटोप्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।

	तारक(स्टार) बहुकोणीय आकृति और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने एक बहुकोणीय आकृति को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके आंतरिक भाग की अनदेखी की। इस प्रकाश के पी-क्षेत्र में उत्तल पॉलीटोप्स (पी-1) क्षेत्र के टाइलिंग के बराबर हैं, जबकि अन्य अर्धवृत्ताकार, फ्लैट या टोरॉयडल (पी-1) सतह के टाइलिंग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए [[अंडाकार टाइलिंग\|अर्धवृत्ताकार टाइलिंग]] और [[टोरॉयडल पॉलीहेड्रॉन\|टोरॉयडल]] बहुकोणीय आकृति को देखें। बहुकोणीय आकृति को एक ऐसी सतह के रूप में समझा जाता है जिसके फेस [[ बहुभुज \|ज्यामिति बहुभुज]] के होते हैं, एक [[ 4-पॉलीटॉप \| 4-पॉलीटॉप]] ऊनविम पृष्ठ के रूप में होता है। जिसके फेस ज्यामिति बहुकोणीय आकृति के होते हैं।		तारक(स्टार) बहुकोणीय आकृति और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने एक बहुकोणीय आकृति को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके आंतरिक भाग की अनदेखी की। इस प्रकाश के पी-क्षेत्र में उत्तल पॉलीटोप्स (पी-1) क्षेत्र के टाइलिंग के बराबर हैं, जबकि अन्य अर्धवृत्ताकार, फ्लैट या टोरॉयडल (पी-1) सतह के टाइलिंग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए [[अंडाकार टाइलिंग\|अर्धवृत्ताकार टाइलिंग]] और [[टोरॉयडल पॉलीहेड्रॉन\|टोरॉयडल]] बहुकोणीय आकृति को देखें। बहुकोणीय आकृति को एक ऐसी सतह के रूप में समझा जाता है जिसके फेस [[ बहुभुज \|ज्यामिति बहुभुज]] के होते हैं, एक [[ 4-पॉलीटॉप \| 4-पॉलीटॉप]] ऊनविम पृष्ठ के रूप में होता है। जिसके फेस ज्यामिति बहुकोणीय आकृति के होते हैं।

	निम्न आयामों से उच्च बहुरूपी के निर्माण के विचार को कभी कभी नीचे की ओर आयाम को बढ़ाया जाता है।, जिसमें किनारे को एक बिंदु जोड़ी द्वारा बंधे [[1-पॉलीटॉप]] के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या [[शीर्ष]] को 0-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।		निम्न आयामों से उच्च बहुरूपी के निर्माण के विचार को कभी कभी नीचे की ओर आयाम को बढ़ाया जाता है।, जिसमें किनारे को एक बिंदु जोड़ी द्वारा बंधे [[1-पॉलीटॉप]] के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या [[शीर्ष]] को 0-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।
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	*वर्गाकार और [[ नियमित अष्टफलक ]] सहित [[ ऑर्थोप्लेक्स \|अस्थिजाल]] या क्रॉस पॉलीटोप होते हैं।		*वर्गाकार और [[ नियमित अष्टफलक ]] सहित [[ ऑर्थोप्लेक्स \|अस्थिजाल]] या क्रॉस पॉलीटोप होते हैं।

	आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपता होती है और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल तारक (स्टार) होते हैं, और दो आयामों में अनंत रूप से एन-गुना समरूपता के कई [[ नियमित बहुभुज ]] होते हैं, दोनों उत्तल और n ≥ 5 के लिए तारक (स्टार) होते हैं। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप नहीं होते हैं।<ref name="coxeter1973"/>		आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपता होती है और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल तारक (स्टार) होते हैं, और दो आयामों में अनंत रूप से एन-गुना समरूपता के कई[[ नियमित बहुभुज ]] होते हैं, दोनों उत्तल और n ≥ 5 के लिए तारक (स्टार) होते हैं। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप नहीं होते हैं।<ref name="coxeter1973"/>

	तीन आयामों में उत्तल [[ प्लेटोनिक ठोस \|सैद्धांतिक ठोस]] में पांच गुना-सममित [[ द्वादशफ़लक \| द्वादशफ़लक]] और [[ विंशतिफलक \| विंशतिफलक]] सम्मिलित हैं, और पांच गुना समरूपता के साथ चार तारक (स्टार)[[ केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा \| केप्लर-पॉइन्सॉट बहुकोणीय आकृति]] भी हैं, जो कुल नौ नियमित बहुकोणीय आकृति को लाते हैं।		तीन आयामों में उत्तल [[ प्लेटोनिक ठोस \|सैद्धांतिक ठोस]] में पांच गुना-सममित [[ द्वादशफ़लक \| द्वादशफ़लक]] और [[ विंशतिफलक \| विंशतिफलक]] सम्मिलित हैं, और पांच गुना समरूपता के साथ चार तारक (स्टार)[[ केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा \| केप्लर-पॉइन्सॉट बहुकोणीय आकृति]] भी हैं, जो कुल नौ नियमित बहुकोणीय आकृति को लाते हैं।

alpha>Sureshchandra at 19:45, 24 November 2022

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alpha>Sureshchandra at 17:58, 24 November 2022

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alpha>Sureshchandra at 12:19, 24 November 2022

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	=== स्व-दोहरी पॉलीटोप्स ===		=== स्व-दोहरी पॉलीटोप्स ===
	[[File:Schlegel wireframe 5-cell.png\|120px\|thumb\|[[ 5-कोशिका ]] (4-सिम्प्लेक्स) 5 कोने और 5 टेट्राहेड्रल कोशिकाओं के साथ स्व-दोहरी है।]]यदि एक पॉलीटॉप में किनारों की संख्या समान है, किनारों की लकीरें हैं, और आगे समान संयोजकताएं ~~हैं~~, तो दोहरी आकृति मूल के समान ~~होगी~~ और पॉलीटॉप स्व-दोहरी ~~है।~~		[[File:Schlegel wireframe 5-cell.png\|120px\|thumb\|[[ 5-कोशिका ]] (4-सिम्प्लेक्स) 5 कोने और 5 टेट्राहेड्रल कोशिकाओं के साथ स्व-दोहरी है।]]यदि एक पॉलीटॉप में किनारों की संख्या समान है tatha किनारों par लकीरें हैं, iske sath आगे समान संयोजकताएं bhi sammlit ho, तो yein दोहरी आकृति wale मूल के समान hongi और पॉलीटॉप स्व-दोहरी hogi।

	कुछ सामान्य स्व-दोहरी पॉलीटोप्स में सम्मिलित हैं।		कुछ सामान्य स्व-दोहरी पॉलीटोप्स में सम्मिलित हैं।
	*प्रत्येक नियमित एन-एकमुखी, किसी भी संख्या में आयामों में, श्लाफली प्रतीक के साथ {3<sup>एन</sup>}. इनमें समबाहु त्रिभुज {3}, नियमित चतुष्फलक {3,3}, और 5-कोशिका {3,3,3} सम्मिलित हैं।		*प्रत्येक नियमित एन-एकमुखी, किसी भी संख्या में आयामों में, श्लाफली प्रतीक के साथ {3<sup>n</sup>}. इनमें समबाहु त्रिभुज {3}, नियमित चतुष्फलक {3,3}, और 5-कोशिका {3,3,3} सम्मिलित हैं।
	*हर [[ हाइपरक्यूबिक मधुकोश \|छिद्रान्वेषी मधुकोश]] ~~, किसी भी आयाम में। इनमें~~ एपिरोगोन {∞}, [[ चौकोर खपरैल ]] {4,4} और [[ घन मधुकोश ]] {4,3,4} सम्मिलित हैं।		*किसी भी आयाम में हर [[ हाइपरक्यूबिक मधुकोश \|छिद्रान्वेषी मधुकोश]] hoga। jinमें एपिरोगोन {∞}, [[ चौकोर खपरैल ]] {4,4} और [[ घन मधुकोश ]] {4,3,4} सम्मिलित हैं।
	*कई कॉम्पैक्ट, पैराकॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक टाइलिंग, जैसे कि [[ इकोसाहेड्रल मधुकोश ]] {3,5,3}, और [[ क्रम-5 पंचकोणीय खपरैल ]] {5,5}।		*कई कॉम्पैक्ट, पैराकॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक टाइलिंग, जैसे कि [[ इकोसाहेड्रल मधुकोश ]] {3,5,3}, और [[ क्रम-5 पंचकोणीय खपरैल ]] {5,5}।
	*2 आयामों में, सभी नियमित बहुभुज नियमित 2-पॉलीटॉप हैं।		*2 आयामों में, सभी नियमित बहुभुज नियमित 2-पॉलीटॉप हैं।
	*3 आयामों में, विहित रूप [[ बहुभुज पिरामिड ]] और [[ लम्बी पिरामिड ]], और चतुष्फलकीय रूप से कम डोडेकाहेड्रोन हैं।		*3 आयामों में, विहित रूप [[ बहुभुज पिरामिड ]] और [[ लम्बी पिरामिड ]], और चतुष्फलकीय रूप से कम डोडेकाहेड्रोन हैं।
	*4 आयामों में, [[ 24-सेल ]]~~, श्लाफली प्रतीक {3,4,3} के साथ।~~ इसके अलावा [[ महान 120-सेल \| प्रमुख 120-सेल]] {5,5/2,5} और [[ भव्य तारकीय 120-सेल ]] {5/2,5,5/2}।		*श्लाफली प्रतीक {3,4,3} के साथ 4 आयामों में, [[ 24-सेल \|24-सेल]]। इसके अलावा [[ महान 120-सेल \| प्रमुख 120-सेल]] {5,5/2,5} और [[ भव्य तारकीय 120-सेल ]] {5/2,5,5/2}।

	== इतिहास ==		== इतिहास ==

alpha>Alokchanchal at 08:59, 23 November 2022

2022-11-23T08:59:25Z

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alpha>Sureshchandra at 06:41, 21 November 2022

2022-11-21T06:41:47Z

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	\| colspan="6" \| एक बहुतल एक 3-आयामी पॉलीटॉप है		\| colspan="6" \| एक बहुतल एक 3-आयामी पॉलीटॉप है
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	[[File:Assorted polygons.svg\|thumb\|400px\|right\|एक [[बहुभुज]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण है, खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग को अनदेखा करना), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के अलग-अलग घनत्व के साथ स्व-प्रतिच्छेद करना]]प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय ~~वस्तु~~ है जिसमें समतल [[फेसेस]] होते है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी [[ बहुतल ]] का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम {{mvar\|n}} में {{mvar\|n}}-विमीय पॉलीटोप या {{mvar\|n}}-पॉलीटोप के रूप में मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी बहुतल 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ {{math\|(''k'' + 1)}} पॉलीटोप से मिलकर बनाता है और {{mvar\|k}}-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें {{math\|(''k'' – 1)}} पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।		[[File:Assorted polygons.svg\|thumb\|400px\|right\|एक [[बहुभुज]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण है, खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग को अनदेखा करना), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के अलग-अलग घनत्व के साथ स्व-प्रतिच्छेद करना]]प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय ऑब्जेक्ट है जिसमें समतल [[फेसेस]] होते है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी [[ बहुतल ]] का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम {{mvar\|n}} में {{mvar\|n}}-विमीय पॉलीटोप या {{mvar\|n}}-पॉलीटोप के रूप में मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी बहुतल 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ {{math\|(''k'' + 1)}} पॉलीटोप से मिलकर बनाता है और {{mvar\|k}}-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें {{math\|(''k'' – 1)}} पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।

	कुछ सिद्धांतों ने इस विचार को सामान्य बना दिया है जैसे कि अपरिबद्ध [[ अनंतता \|अनंतता]] और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें [[गोलाकार पॉलीहेड्रा,]] और सम्मुचय-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होते हैं।		कुछ सिद्धांतों ने इस विचार को सामान्य बना दिया है जैसे कि अपरिबद्ध [[ अनंतता \|अनंतता]] और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें [[गोलाकार पॉलीहेड्रा,]] और सम्मुचय-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होते हैं।
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	== परिभाषा के दृष्टिकोण ==		== परिभाषा के दृष्टिकोण ==
	आजकल, पॉलीटॉप शब्द एक व्यापक शब्द है जिसमें ~~वस्तुओं~~ की एक विस्तृत श्रेणी सम्मिलित है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएँ दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएँ एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप ~~वस्तुओं~~ के अलग-अलग अतिव्यापी सम्मुचयों को पॉलीटॉप्स कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य ~~वस्तुओं~~ को सम्मिलित करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाने के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।		आजकल, पॉलीटॉप शब्द एक व्यापक शब्द है जिसमें ऑब्जेक्ट्स की एक विस्तृत श्रेणी सम्मिलित है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएँ दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएँ एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप ऑब्जेक्ट्स के अलग-अलग अतिव्यापी सम्मुचयों को पॉलीटॉप्स कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य ऑब्जेक्ट्स को सम्मिलित करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाने के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

	मूल दृष्टिकोण सामान्तया लुडविग श्लाफली, [[थोरोल्ड गॉसेट\|थोरोल्ड गॉसम्मुचय]] और अन्य द्वारा व्यापक रूप से अनुसरण किया जाता है, क्रमशः दो या तीन आयामों में बहुभुज और बहुतल के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।<ref name="coxeter1973">Coxeter (1973)</ref>		मूल दृष्टिकोण सामान्तया लुडविग श्लाफली, [[थोरोल्ड गॉसेट\|थोरोल्ड गॉसम्मुचय]] और अन्य द्वारा व्यापक रूप से अनुसरण किया जाता है, क्रमशः दो या तीन आयामों में बहुभुज और बहुतल के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।<ref name="coxeter1973">Coxeter (1973)</ref>
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	{{Main\|उत्तल पॉलीटॉप}}		{{Main\|उत्तल पॉलीटॉप}}

	पॉलीटॉप उत्तल भी हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स होते हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी अर्ध-रिक्त स्थान के सम्मुचय को प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक फलन में एक पॉलीटोप को बांधा जाता है यदि परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है। इसमें पॉलीटॉप को पॉइंटेड कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। और हर घिरा हुआ गैर-खाली पॉलीटॉप पॉइंटेड होता है। यह एक गैर-पॉइंटेड पॉलीटॉप का उदाहरण सम्मुचय है <math>\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}</math>, पॉलीटॉप परिमित है यदि इसे परिमित संख्या में ~~वस्तुओं~~ के रूप में परिभाषित जाता है, उदाहरण के लिए, अर्ध समतल की परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में है।		पॉलीटॉप उत्तल भी हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स होते हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी अर्ध-रिक्त स्थान के सम्मुचय को प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक फलन में एक पॉलीटोप को बांधा जाता है यदि परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है। इसमें पॉलीटॉप को पॉइंटेड कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। और हर घिरा हुआ गैर-खाली पॉलीटॉप पॉइंटेड होता है। यह एक गैर-पॉइंटेड पॉलीटॉप का उदाहरण सम्मुचय है <math>\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}</math>, पॉलीटॉप परिमित है यदि इसे परिमित संख्या में ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित जाता है, उदाहरण के लिए, अर्ध समतल की परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में है।
	यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं, तो यह एक [[ अभिन्न पॉलीटॉप ]] है।		यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं, तो यह एक [[ अभिन्न पॉलीटॉप ]] है।

Line 165:		Line 165:
	{{Main\|सार पॉलीटॉप}}		{{Main\|सार पॉलीटॉप}}

	अमूर्त पॉलीटॉप्स का सिद्धांत उनके विशुद्ध रूप से संयोजी गुणों पर विचार करते हुए, उन्हें युक्त स्थान से पॉलीटोप्स को अलग करने का प्रयास करता है। यह उन ~~वस्तुओं~~ को सम्मिलित करने के लिए शब्द की परिभाषा को विस्तृत करने की अनुमति देता है जिनके लिए एक सहज अंतर्निहित स्थान को परिभाषित करना मुश्किल है, जैसे कि [[ 11-कोशिका ]]।		अमूर्त पॉलीटॉप्स का सिद्धांत उनके विशुद्ध रूप से संयोजी गुणों पर विचार करते हुए, उन्हें युक्त स्थान से पॉलीटोप्स को अलग करने का प्रयास करता है। यह उन ऑब्जेक्ट्स को सम्मिलित करने के लिए शब्द की परिभाषा को विस्तृत करने की अनुमति देता है जिनके लिए एक सहज अंतर्निहित स्थान को परिभाषित करना मुश्किल है, जैसे कि [[ 11-कोशिका ]]।

	एक अमूर्त पॉलीटॉप तत्वों या सदस्यों का [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट \| आंशिक रूप से आदेशित सम्मुचय]] है, जो कुछ नियमों का पालन करता है। यह एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय संरचना है, और सिद्धांत को कुछ विषय से बचने के लिए विकसित किया गया था, जिससे एक सुसंगत गणितीय ढांचे के भीतर विभिन्न ज्यामितीय वर्गों का संग्रह मुश्किल हो जाता है। और संबंधित अमूर्त पॉलीटोप के कुछ वास्तविक स्थानो को एक ज्यामितीय पॉलीटोप के प्रत्यक्षीकरण के रूप में जाना जाता है।<ref>{{citation \| last1 = McMullen \| first1 = Peter \| author1-link = Peter McMullen \| first2 = Egon \| last2 = Schulte \| title = Abstract Regular Polytopes \| edition = 1st \| publisher = [[Cambridge University Press]] \| isbn = 0-521-81496-0 \| date = December 2002 \| url-access = registration \| url = https://archive.org/details/abstractregularp0000mcmu }}</ref>		एक अमूर्त पॉलीटॉप तत्वों या सदस्यों का [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट \| आंशिक रूप से आदेशित सम्मुचय]] है, जो कुछ नियमों का पालन करता है। यह एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय संरचना है, और सिद्धांत को कुछ विषय से बचने के लिए विकसित किया गया था, जिससे एक सुसंगत गणितीय ढांचे के भीतर विभिन्न ज्यामितीय वर्गों का संग्रह मुश्किल हो जाता है। और संबंधित अमूर्त पॉलीटोप के कुछ वास्तविक स्थानो को एक ज्यामितीय पॉलीटोप के प्रत्यक्षीकरण के रूप में जाना जाता है।<ref>{{citation \| last1 = McMullen \| first1 = Peter \| author1-link = Peter McMullen \| first2 = Egon \| last2 = Schulte \| title = Abstract Regular Polytopes \| edition = 1st \| publisher = [[Cambridge University Press]] \| isbn = 0-521-81496-0 \| date = December 2002 \| url-access = registration \| url = https://archive.org/details/abstractregularp0000mcmu }}</ref>