दोलन - Revision history

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alpha>Saurabh at 15:17, 1 April 2023

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← Older revision		Revision as of 20:47, 1 April 2023
Line 69:		Line 69:
	इसके अतिरिक्त , दोलन प्रणाली कुछ बाहरी बल के अधीन हो सकती है, जैसे कि जब एसी इलेक्ट्रॉनिक परिपथ बाहरी शक्ति स्रोत से जुड़ा होता है। इस स्थितियों में दोलन को संचालित दोलन कहा जाता है।		इसके अतिरिक्त , दोलन प्रणाली कुछ बाहरी बल के अधीन हो सकती है, जैसे कि जब एसी इलेक्ट्रॉनिक परिपथ बाहरी शक्ति स्रोत से जुड़ा होता है। इस स्थितियों में दोलन को संचालित दोलन कहा जाता है।

	इसका सबसे सरल उदाहरण साइन वेव ~~ड्राइविंग~~ बल के साथ स्प्रिंग-मास प्रणाली है।		इसका सबसे सरल उदाहरण साइन वेव चलन बल के साथ स्प्रिंग-मास प्रणाली है।

	<math>\ddot{x} + 2 \beta\dot{x} + \omega_0^2x = f(t)</math>, जहाँ पे <math>f(t) = f_0 \cos(\omega t + \delta)</math>		<math>\ddot{x} + 2 \beta\dot{x} + \omega_0^2x = f(t)</math>, जहाँ पे <math>f(t) = f_0 \cos(\omega t + \delta)</math>
Line 83:		Line 83:

	=== अनुनाद ===		=== अनुनाद ===
	एक नम चालित दोलक में अनुनाद तब होता है जब ω = ω<sub>0</sub>, अर्थात , जब ~~ड्राइविंग~~ आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है। जब ऐसा होता है, तो आयाम का हर छोटा हो जाता है, जो दोलनों के आयाम को अधिकतम करता है।		एक नम चालित दोलक में अनुनाद तब होता है जब ω = ω<sub>0</sub>, अर्थात , जब चलन बल आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है। जब ऐसा होता है, तो आयाम का हर छोटा हो जाता है, जो दोलनों के आयाम को अधिकतम करता है।

	==युग्मित दोलन ==		==युग्मित दोलन ==

alpha>Saurabh at 15:12, 1 April 2023

2023-04-01T15:12:43Z

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alpha>Saurabh at 19:42, 31 March 2023

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alpha>Saurabh at 19:41, 31 March 2023

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alpha>Saurabh at 19:24, 31 March 2023

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alpha>Saurabh at 19:23, 31 March 2023

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alpha>Saurabh at 19:23, 31 March 2023

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← Older revision		Revision as of 00:53, 1 April 2023
Line 19:		Line 19:
	<math>\ddot{x} = -\frac km x = -\omega^2x</math>,		<math>\ddot{x} = -\frac km x = -\omega^2x</math>,

	~~कहाँ~~ पे <math>\omega = \sqrt \frac km</math>		जहाँ पे <math>\omega = \sqrt \frac km</math>
	इस अंतर समीकरण का समाधान एक साइनसॉइडल स्थिति फ़ंक्शन उत्पन्न करता है।		इस अंतर समीकरण का समाधान एक साइनसॉइडल स्थिति फ़ंक्शन उत्पन्न करता है।

Line 54:		Line 54:
	<math>\ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega_0^2x = 0</math>,		<math>\ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega_0^2x = 0</math>,

	~~कहाँ~~ पे <math>2 \beta = \frac b m</math>		जहाँ पे <math>2 \beta = \frac b m</math>
	यह सामान्य समाधान उत्पन्न करता है:		यह सामान्य समाधान उत्पन्न करता है:

	<math>x(t) = e^{- \beta t} (C_1e^{\omega _1 t} + C_2 e^{- \omega_1t})</math>,		<math>x(t) = e^{- \beta t} (C_1e^{\omega _1 t} + C_2 e^{- \omega_1t})</math>,

	~~कहाँ~~ पे <math>\omega_1 = \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}</math>		जहाँ पे <math>\omega_1 = \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}</math>

	कोष्ठक के बाहर घातांकीय पद घातीय क्षय है और β अवमंदन गुणांक है। नम दोलकों की 3 श्रेणियां हैं: अंडर-डंप, जहां β <<sub>0</sub>; अधिक नमी, जहां β ><sub>0</sub>; और गंभीर रूप से भीग गया, जहां β =<sub>0</sub>.		कोष्ठक के बाहर घातांकीय पद घातीय क्षय है और β अवमंदन गुणांक है। नम दोलकों की 3 श्रेणियां हैं: अंडर-डंप, जहां β <<sub>0</sub>; अधिक नमी, जहां β ><sub>0</sub>; और गंभीर रूप से भीग गया, जहां β =<sub>0</sub>.

Line 67:		Line 68:
	इसका सबसे सरल उदाहरण साइन वेव ड्राइविंग बल के साथ स्प्रिंग-मास सिस्टम है।		इसका सबसे सरल उदाहरण साइन वेव ड्राइविंग बल के साथ स्प्रिंग-मास सिस्टम है।

	<math>\ddot{x} + 2 \beta\dot{x} + \omega_0^2x = f(t)</math>, ~~कहाँ~~ पे <math>f(t) = f_0 \cos(\omega t + \delta)</math>		<math>\ddot{x} + 2 \beta\dot{x} + \omega_0^2x = f(t)</math>, जहाँ पे <math>f(t) = f_0 \cos(\omega t + \delta)</math>
	यह समाधान देता है:		यह समाधान देता है:

	<math>x(t) = A \cos(\omega t - \delta) + A_{tr} \cos(\omega_1 t - \delta_{tr})</math>,		<math>x(t) = A \cos(\omega t - \delta) + A_{tr} \cos(\omega_1 t - \delta_{tr})</math>,

	~~कहाँ~~ पे <math>A = \sqrt{\frac {f_0^2} {(\omega_0^2 - \omega ^2) + 2 \beta \omega}}</math> तथा <math>\delta = \tan^{-1}(\frac {2 \beta \omega} {\omega_0^2 - \omega^2})</math>		जहाँ पे <math>A = \sqrt{\frac {f_0^2} {(\omega_0^2 - \omega ^2) + 2 \beta \omega}}</math> तथा <math>\delta = \tan^{-1}(\frac {2 \beta \omega} {\omega_0^2 - \omega^2})</math>
	x(t) का दूसरा पद अवकल समीकरण का क्षणिक हल है। सिस्टम की प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करके क्षणिक समाधान पाया जा सकता है।		x(t) का दूसरा पद अवकल समीकरण का क्षणिक हल है। सिस्टम की प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करके क्षणिक समाधान पाया जा सकता है।

Line 95:		Line 96:
	<math>F = M\ddot{x} = kx</math>,		<math>F = M\ddot{x} = kx</math>,

	~~कहाँ~~ पे <math>M=\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix}</math>, <math>x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}</math>, तथा <math>k = \begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \end{bmatrix}</math>		जहाँ पे <math>M=\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix}</math>, <math>x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}</math>, तथा <math>k = \begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \end{bmatrix}</math>
	k और m के मानों को आव्यूहों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।		k और m के मानों को आव्यूहों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।