त्रिभुज - Revision history

Neeraja at 10:19, 11 August 2023

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Neeraja: /* आंतरिक कोणों द्वारा */

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आंतरिक कोणों द्वारा

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	* समकोण त्रिभुज का एक आंतरिक कोण 90° (समकोण) होता है। समकोण में सम्मुख भुजा कर्ण होती है, जो त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है। अन्य दो भुजाओं को त्रिभुज के पाद या कैथेटी<ref>{{cite book \|last=Zeidler \|first=Eberhard \|title=Oxford Users' Guide to Mathematics \|publisher=[[Oxford University Press]] \|isbn=978-0-19-850763-5 \|year=2004 \|page=[https://archive.org/details/oxfordusersguide00ezei/page/n751 729]\|title-link=Oxford Users' Guide to Mathematics }}</ref> (एकवचन: कैथेट) कहा जाता है। समकोण त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय का पालन करते हैं: दो पाद की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है: {{nowrap\|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} c<sup>2</sup>}}, जहां a और b पाद की लंबाई हैं और c है कर्ण की लंबाई। [[Special right triangles\|विशेष समकोण त्रिभुज]] एक समकोण त्रिभुज होता है जिसमें कुछ नियमित विशेषताएँ होती हैं जो त्रिभुज पर गणना को आसान बनाती हैं। दो सबसे प्रसिद्ध में से एक 3-4-5 समकोण त्रिभुज है, जहाँ {{nowrap\|3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> {{=}} 5<sup>2</sup>}}। 3-4-5 त्रिभुज को मिस्र के त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{Cite book\|last=Gullberg\|first=Jan\|title=Mathematics From the Birth of Numbers\|isbn=9780393040029\|pages=393}}</ref> इस स्थिति में, 3, 4, और 5 एक पाइथागोरस त्रिक हैं। दूसरा एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें 45° (45-45-90 त्रिभुज) माप के 2 कोण होते हैं।		* समकोण त्रिभुज का एक आंतरिक कोण 90° (समकोण) होता है। समकोण में सम्मुख भुजा कर्ण होती है, जो त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है। अन्य दो भुजाओं को त्रिभुज के पाद या कैथेटी<ref>{{cite book \|last=Zeidler \|first=Eberhard \|title=Oxford Users' Guide to Mathematics \|publisher=[[Oxford University Press]] \|isbn=978-0-19-850763-5 \|year=2004 \|page=[https://archive.org/details/oxfordusersguide00ezei/page/n751 729]\|title-link=Oxford Users' Guide to Mathematics }}</ref> (एकवचन: कैथेट) कहा जाता है। समकोण त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय का पालन करते हैं: दो पाद की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है: {{nowrap\|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} c<sup>2</sup>}}, जहां a और b पाद की लंबाई हैं और c है कर्ण की लंबाई। [[Special right triangles\|विशेष समकोण त्रिभुज]] एक समकोण त्रिभुज होता है जिसमें कुछ नियमित विशेषताएँ होती हैं जो त्रिभुज पर गणना को आसान बनाती हैं। दो सबसे प्रसिद्ध में से एक 3-4-5 समकोण त्रिभुज है, जहाँ {{nowrap\|3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> {{=}} 5<sup>2</sup>}}। 3-4-5 त्रिभुज को मिस्र के त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{Cite book\|last=Gullberg\|first=Jan\|title=Mathematics From the Birth of Numbers\|isbn=9780393040029\|pages=393}}</ref> इस स्थिति में, 3, 4, और 5 एक पाइथागोरस त्रिक हैं। दूसरा एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें 45° (45-45-90 त्रिभुज) माप के 2 कोण होते हैं।
	** वे त्रिभुज जिनमें 90° का कोण नहीं होता, तिरछे त्रिभुज कहलाते हैं।		** वे त्रिभुज जिनमें 90° का कोण नहीं होता, तिरछे त्रिभुज कहलाते हैं।
	* त्रिभुज जिसमें सभी आंतरिक कोण 90° से कम होता हैं, न्यूनकोण त्रिभुज कहलाते है।~~<ref 2="" name=":" />~~ यदि c सबसे लंबी भुजा की लंबाई है, तो {{nowrap\|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> > ''c''<sup>2</sup>}}, जहां a और b अन्य भुजाओं की लंबाई हैं।		* त्रिभुज जिसमें सभी आंतरिक कोण 90° से कम होता हैं, न्यूनकोण त्रिभुज कहलाते है। यदि c सबसे लंबी भुजा की लंबाई है, तो {{nowrap\|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> > ''c''<sup>2</sup>}}, जहां a और b अन्य भुजाओं की लंबाई हैं।
	*त्रिभुज जिसका एक आंतरिक कोण 90° से अधिक होता है, अधिक कोण त्रिभुज कहलाते है।~~<ref 2="" name=":" />~~ यदि c सबसे लंबी भुजा की लंबाई है, तो {{nowrap\|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> < ''c''<sup>2</sup>}}, जहां a और b अन्य भुजाओं की लंबाई हैं।		*त्रिभुज जिसका एक आंतरिक कोण 90° से अधिक होता है, अधिक कोण त्रिभुज कहलाते है। यदि c सबसे लंबी भुजा की लंबाई है, तो {{nowrap\|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> < ''c''<sup>2</sup>}}, जहां a और b अन्य भुजाओं की लंबाई हैं।
	* 180° (और समरेखीय शीर्षों) के आंतरिक कोण वाला त्रिभुज पतित होता है। समकोण त्रिभुज में संरेखीय शीर्ष होते हैं, जिनमें से दो संपाती हैं।		* 180° (और समरेखीय शीर्षों) के आंतरिक कोण वाला त्रिभुज पतित होता है। समकोण त्रिभुज में संरेखीय शीर्ष होते हैं, जिनमें से दो संपाती हैं।

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2022-09-29T10:06:59Z

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alpha>Neeraja at 06:21, 29 September 2022

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	Triangle.Isosceles.svg\|समद्विबाहु त्रिभुज		Triangle.Isosceles.svg\|समद्विबाहु त्रिभुज
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	~~</gallery>~~
	~~Triangle.Isosceles.svg\|Isosceles triangle~~
	~~Triangle.Scalene.svg\|Scalene triangle~~
	~~</gallery>~~

	हैच मार्क्स, जिन्हें टिक मार्क भी कहा जाता है, समान लंबाई की भुजाओं की पहचान करने के लिए त्रिभुजों और अन्य ज्यामितीय आकृतियों के आरेखों में उपयोग किए जाते हैं। एक भुजा को "टिक" के पैटर्न के साथ चिह्नित किया जा सकता है, टैली मार्क्स के रूप में लघु रेखाखंड, दो भुजाओं की लंबाई समान होती है यदि वे दोनों एक ही पैटर्न के साथ चिह्नित होते हैं। त्रिभुज में, पैटर्न सामान्यतः 3 टिक से अधिक नहीं होता है। समबाहु त्रिभुज में सभी 3 भुजाओं पर समान पैटर्न होता है, समद्विबाहु त्रिभुज में केवल 2 भुजाओं पर समान पैटर्न होता है, और विषमकोण त्रिभुज में सभी भुजाओं पर अलग-अलग पैटर्न होते हैं क्योंकि कोई भी भुजा समान नहीं होती है।		हैच मार्क्स, जिन्हें टिक मार्क भी कहा जाता है, समान लंबाई की भुजाओं की पहचान करने के लिए त्रिभुजों और अन्य ज्यामितीय आकृतियों के आरेखों में उपयोग किए जाते हैं। एक भुजा को "टिक" के पैटर्न के साथ चिह्नित किया जा सकता है, टैली मार्क्स के रूप में लघु रेखाखंड, दो भुजाओं की लंबाई समान होती है यदि वे दोनों एक ही पैटर्न के साथ चिह्नित होते हैं। त्रिभुज में, पैटर्न सामान्यतः 3 टिक से अधिक नहीं होता है। समबाहु त्रिभुज में सभी 3 भुजाओं पर समान पैटर्न होता है, समद्विबाहु त्रिभुज में केवल 2 भुजाओं पर समान पैटर्न होता है, और विषमकोण त्रिभुज में सभी भुजाओं पर अलग-अलग पैटर्न होते हैं क्योंकि कोई भी भुजा समान नहीं होती है।
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	इसी तरह, कोणों के अंदर 1, 2, या 3 संकेंद्रित चापों के पैटर्न का उपयोग समान कोणों को इंगित करने के लिए किया जाता है: समबाहु त्रिभुज के सभी 3 कोणों पर समान पैटर्न होता है, समद्विबाहु त्रिभुज के केवल 2 कोणों पर समान पैटर्न होता है, और विषमबाहु त्रिभुज के सभी कोणों पर अलग-अलग पैटर्न होता हैं, क्योंकि कोई भी कोण समान नहीं है।		इसी तरह, कोणों के अंदर 1, 2, या 3 संकेंद्रित चापों के पैटर्न का उपयोग समान कोणों को इंगित करने के लिए किया जाता है: समबाहु त्रिभुज के सभी 3 कोणों पर समान पैटर्न होता है, समद्विबाहु त्रिभुज के केवल 2 कोणों पर समान पैटर्न होता है, और विषमबाहु त्रिभुज के सभी कोणों पर अलग-अलग पैटर्न होता हैं, क्योंकि कोई भी कोण समान नहीं है।

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	== मूल तथ्य ==		== मूल तथ्य ==

alpha>Neeraja: /* भुजाओं की लंबाई के द्वारा */

2022-09-29T06:20:36Z

भुजाओं की लंबाई के द्वारा

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	* समद्विबाहु त्रिभुज ({{lang-gr\|ἰσοσκελὲς\|translit=isoskelés\|lit=equal legs}}) की दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।<ref group="note">Euclid defines isosceles triangles based on the number of equal sides, i.e. ''only two equal sides''. An alternative approach defines isosceles triangles based on shared properties, i.e. ''equilateral triangles are a special case of isosceles triangles''. [[wikt:Isosceles triangle]]</ref><ref name="MWISOSCELES" /> समद्विबाहु त्रिभुज में एक ही माप के दो कोण होते हैं, अर्थात् समान लंबाई की दो भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं। यह तथ्य समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय की अंतर्वस्तु है, जिसे यूक्लिड द्वारा जाना जाता था। कुछ गणितज्ञ समद्विबाहु त्रिभुज को दो समान भुजाओं वाले समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जबकि अन्य समद्विबाहु त्रिभुज को कम से कम दो बराबर भुजाओं वाले एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं।<ref name="MWisosceles">{{MathWorld \|title=Isosceles Triangle \|urlname=IsoscelesTriangle}}</ref> बाद की परिभाषा सभी समबाहु त्रिभुजों को समद्विबाहु त्रिभुज बनाती है। 45-45-90 समकोण त्रिभुज, जो चतुष्ट वर्गाकार टाइलिंग में दिखाई देता है, समद्विबाहु होते है।		* समद्विबाहु त्रिभुज ({{lang-gr\|ἰσοσκελὲς\|translit=isoskelés\|lit=equal legs}}) की दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।<ref group="note">Euclid defines isosceles triangles based on the number of equal sides, i.e. ''only two equal sides''. An alternative approach defines isosceles triangles based on shared properties, i.e. ''equilateral triangles are a special case of isosceles triangles''. [[wikt:Isosceles triangle]]</ref><ref name="MWISOSCELES" /> समद्विबाहु त्रिभुज में एक ही माप के दो कोण होते हैं, अर्थात् समान लंबाई की दो भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं। यह तथ्य समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय की अंतर्वस्तु है, जिसे यूक्लिड द्वारा जाना जाता था। कुछ गणितज्ञ समद्विबाहु त्रिभुज को दो समान भुजाओं वाले समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जबकि अन्य समद्विबाहु त्रिभुज को कम से कम दो बराबर भुजाओं वाले एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं।<ref name="MWisosceles">{{MathWorld \|title=Isosceles Triangle \|urlname=IsoscelesTriangle}}</ref> बाद की परिभाषा सभी समबाहु त्रिभुजों को समद्विबाहु त्रिभुज बनाती है। 45-45-90 समकोण त्रिभुज, जो चतुष्ट वर्गाकार टाइलिंग में दिखाई देता है, समद्विबाहु होते है।
	*विषमबाहु त्रिभुज ({{lang-gr\|σκαληνὸν\|translit=skalinón\|lit=unequal}}) की सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं।<ref>{{MathWorld \|title=Scalene triangle \|urlname=ScaleneTriangle}}</ref> समान रूप से, इसमें सभी कोण विभिन्न माप के होते हैं।		*विषमबाहु त्रिभुज ({{lang-gr\|σκαληνὸν\|translit=skalinón\|lit=unequal}}) की सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं।<ref>{{MathWorld \|title=Scalene triangle \|urlname=ScaleneTriangle}}</ref> समान रूप से, इसमें सभी कोण विभिन्न माप के होते हैं।

	<gallery>		<gallery>
	~~Triangle.Equilateral.svg\|E<gallery>~~
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	Triangle.Isosceles.svg\|समद्विबाहु त्रिभुज		Triangle.Isosceles.svg\|समद्विबाहु त्रिभुज

alpha>Neeraja: /* भुजाओं की लंबाई के द्वारा */

2022-09-29T06:20:02Z

भुजाओं की लंबाई के द्वारा

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 * समद्विबाहु त्रिभुज ({{lang-gr|ἰσοσκελὲς|translit=isoskelés|lit=equal legs}}) की दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।<ref group="note">Euclid defines isosceles triangles based on the number of equal sides, i.e. ''only two equal sides''. An alternative approach defines isosceles triangles based on shared properties, i.e. ''equilateral triangles are a special case of isosceles triangles''. [[wikt:Isosceles triangle]]</ref><ref name="MWISOSCELES" /> समद्विबाहु त्रिभुज में एक ही माप के दो कोण होते हैं, अर्थात् समान लंबाई की दो भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं। यह तथ्य समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय की अंतर्वस्तु है, जिसे यूक्लिड द्वारा जाना जाता था। कुछ गणितज्ञ समद्विबाहु त्रिभुज को दो समान भुजाओं वाले समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जबकि अन्य समद्विबाहु त्रिभुज को कम से कम दो बराबर भुजाओं वाले एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं।<ref name="MWisosceles">{{MathWorld |title=Isosceles Triangle |urlname=IsoscelesTriangle}}</ref> बाद की परिभाषा सभी समबाहु त्रिभुजों को समद्विबाहु त्रिभुज बनाती है। 45-45-90 समकोण त्रिभुज, जो चतुष्ट वर्गाकार टाइलिंग में दिखाई देता है, समद्विबाहु होते है।
 *विषमबाहु त्रिभुज ({{lang-gr|σκαληνὸν|translit=skalinón|lit=unequal}}) की सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं।<ref>{{MathWorld |title=Scalene triangle |urlname=ScaleneTriangle}}</ref> समान रूप से, इसमें सभी कोण विभिन्न माप के होते हैं।
 हैच मार्क्स, जिन्हें टिक मार्क भी कहा जाता है, समान लंबाई की भुजाओं की पहचान करने के लिए त्रिभुजों और अन्य ज्यामितीय आकृतियों के आरेखों में उपयोग किए जाते हैं। एक भुजा को "टिक" के पैटर्न के साथ चिह्नित किया जा सकता है, टैली मार्क्स के रूप में लघु रेखाखंड, दो भुजाओं की लंबाई समान होती है यदि वे दोनों एक ही पैटर्न के साथ चिह्नित होते हैं। त्रिभुज में, पैटर्न सामान्यतः 3 टिक से अधिक नहीं होता है। समबाहु त्रिभुज में सभी 3 भुजाओं पर समान पैटर्न होता है, समद्विबाहु त्रिभुज में केवल 2 भुजाओं पर समान पैटर्न होता है, और विषमकोण त्रिभुज में सभी भुजाओं पर अलग-अलग पैटर्न होते हैं क्योंकि कोई भी भुजा समान नहीं होती है।
 इसी तरह, कोणों के अंदर 1, 2, या 3 संकेंद्रित चापों के पैटर्न का उपयोग समान कोणों को इंगित करने के लिए किया जाता है: समबाहु त्रिभुज के सभी 3 कोणों पर समान पैटर्न होता है, समद्विबाहु त्रिभुज के केवल 2 कोणों पर समान पैटर्न होता है, और विषमबाहु त्रिभुज के सभी कोणों पर अलग-अलग पैटर्न होता हैं, क्योंकि कोई भी कोण समान नहीं है।
 === आंतरिक कोणों द्वारा ===

alpha>Neeraja: added Category:Vigyan Ready using HotCat

2022-09-29T05:56:53Z

added Category:Vigyan Ready using HotCat

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	{{Polygons}}		{{Polygons}}
	{{Authority control}}		{{Authority control}}

			[[Category:Vigyan Ready]]

alpha>Alokchanchal at 05:22, 29 September 2022

2022-09-29T05:22:55Z

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	\| colspan="2" \| ~~असम~~		\| colspan="2" \| तिरछे त्रिभुज
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alpha>Abhishekk: /* समकोण त्रिभुजों में त्रिकोणमितीय अनुपात */

2022-09-28T14:52:59Z

समकोण त्रिभुजों में त्रिकोणमितीय अनुपात

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