ठोस कोण - Revision history

Neeraja at 11:59, 25 August 2023

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	\| derivations = <math>\Omega = A/r^2</math>		\| derivations = <math>\Omega = A/r^2</math>
	}}		}}
	[[ ज्यामिति ]] में, ठोस कोण (प्रतीक: {{math\|Ω}})किसी विशेष बिंदु से [[ देखने के क्षेत्र \|दृष्टि क्षेत्र]] की मात्रा का माप है जो किसी दिए गए पिंडको कवर करता है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को पिंडकितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से पिंडको देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि पिंडउस बिंदु पर अपना ठोस कोण बनाती है।		[[ ज्यामिति ]] में, '''ठोस कोण'''(प्रतीक: {{math\|Ω}})किसी विशेष बिंदु से [[ देखने के क्षेत्र \|दृष्टि क्षेत्र]] की मात्रा का माप है जो किसी दिए गए पिंडको कवर करता है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को पिंडकितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से पिंडको देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि पिंडउस बिंदु पर अपना ठोस कोण बनाती है।

	अन्तरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली(एसआई) में, एक ठोस कोण को विमाहीन संख्या इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे [[ steradian \|स्टेरेडियन]] (प्रतीक: sr) कहा जाता है। स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर [[ इकाई क्षेत्र \|इकाई क्षेत्र]] पर इकाई वृत्त से मेल खाता है, इसलिए पिंडजो शीर्ष से सभी अर्धरखा को अवरुद्ध करती है, इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र <math>4\pi</math> के बराबर स्टेरेडियन की संख्या को कवर करेगी। ठोस कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड जैसे कोणीय उपायों के वर्गों में भी मापा जा सकता है।		अन्तरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली(एसआई) में, एक ठोस कोण को विमाहीन संख्या इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे [[ steradian \|स्टेरेडियन]] (प्रतीक: sr) कहा जाता है। स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर [[ इकाई क्षेत्र \|इकाई क्षेत्र]] पर इकाई वृत्त से मेल खाता है, इसलिए पिंडजो शीर्ष से सभी अर्धरखा को अवरुद्ध करती है, इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र <math>4\pi</math> के बराबर स्टेरेडियन की संख्या को कवर करेगी। ठोस कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड जैसे कोणीय उपायों के वर्गों में भी मापा जा सकता है।
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	[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page\|Solid Angle]]		[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page\|Solid Angle]]
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 {{Classical mechanics derived SI units}}
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alpha>Nitya: text

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text

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	{{distinguish\|गोलाकार कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए}}		{{distinguish\|गोलाकार कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए}}
	{{Infobox physical quantity		{{Infobox physical quantity
	\| name = ~~Solid angle~~		\| name = ठोस कोण
	\| width =		\| width =
	\| background =		\| background =
	\| image =		\| image =
	\| caption =		\| caption =
	\| unit = ~~[[steradian]]~~		\| unit = स्टेरेडियन
	\| otherunits = ~~[[Square degree]]~~		\| otherunits = वर्ग डिग्री
	\| symbols = Ω		\| symbols = Ω
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	\| dimension = wikidata		\| dimension = wikidata
	\| conserved = No		\| conserved = नहीं
	\| transformsas =		\| transformsas =
	\| derivations = <math>\Omega = A/r^2</math>		\| derivations = <math>\Omega = A/r^2</math>

alpha>Sugatha: /* पिरामिड */

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पिरामिड

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	{{short description\|Measure of how large an object appears to an observer at a given point in three-dimensional space}}		{{short description\|Measure of how large an object appears to an observer at a given point in three-dimensional space}}
	{{distinguish\|गोलाकार कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए}}		{{distinguish\|गोलाकार कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए}}
	~~{{more citations needed\|date=December 2011}}~~
	{{Infobox physical quantity		{{Infobox physical quantity
	\| name = Solid angle		\| name = Solid angle
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	जहां		जहां
	<math display=block> \theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}. </math>		<math display=block> \theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}. </math>
	एक ~~और दिलचस्प~~ सूत्र में 3 आयामी समष्टि में शिखरों को सदिश के रूप में व्यक्त करना सम्मलित है। मान लीजिए <math>\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c </math> शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं, और {{mvar\|a}}, {{mvar\|b}}, और {{mvar\|c}} प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण {{math\|Ω}} है:<ref>{{cite journal\| first=Folke\| last=Eriksson\| title= On the measure of solid angles\| journal= Math. Mag.\| volume=63\|issue=3\|pages=184–187\|year=1990\| doi=10.2307/2691141\| jstor=2691141}}</ref><ref>{{cite journal\| last = Van Oosterom\| first = A\|author2=Strackee, J \| year = 1983\| title = The Solid Angle of a Plane Triangle\| journal = IEEE Trans. Biomed. Eng.\| volume = BME-30\| issue = 2\| pages = 125–126\| doi = 10.1109/TBME.1983.325207\| pmid = 6832789\| s2cid = 22669644}}</ref>		एक सूत्र में 3 आयामी समष्टि में शिखरों को सदिश के रूप में व्यक्त करना सम्मलित है। मान लीजिए <math>\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c </math> शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं, और {{mvar\|a}}, {{mvar\|b}}, और {{mvar\|c}} प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण {{math\|Ω}} है:<ref>{{cite journal\| first=Folke\| last=Eriksson\| title= On the measure of solid angles\| journal= Math. Mag.\| volume=63\|issue=3\|pages=184–187\|year=1990\| doi=10.2307/2691141\| jstor=2691141}}</ref><ref>{{cite journal\| last = Van Oosterom\| first = A\|author2=Strackee, J \| year = 1983\| title = The Solid Angle of a Plane Triangle\| journal = IEEE Trans. Biomed. Eng.\| volume = BME-30\| issue = 2\| pages = 125–126\| doi = 10.1109/TBME.1983.325207\| pmid = 6832789\| s2cid = 22669644}}</ref>

	<math display=block>\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) =		<math display=block>\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) =
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	[[ कोणीय व्यास \| कोणीय व्यास]] की परिभाषा का उपयोग करके, खगोलीय पिंड के ठोस कोण के सूत्र को पिंड की त्रिज्या, <math display="inline">R</math>, और प्रेक्षक से पिंड की दूरी के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।, <math>d</math>:		[[ कोणीय व्यास \| कोणीय व्यास]] की परिभाषा का उपयोग करके, खगोलीय पिंड के ठोस कोण के सूत्र को पिंड की त्रिज्या, <math display="inline">R</math>, और प्रेक्षक से पिंड की दूरी के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।, <math>d</math>:

	<math display=block>\Omega = 2 \pi \left (1 - \frac{\sqrt{d^2 - R^2}}{d} \right ) : d \geq R.</math> सूर्य और चंद्रमा (पृथ्वी के संबंध में) के लिए उपयुक्त औसत मान डालने पर, सूर्य का औसत ठोस कोण 6.794×10-5 स्टेरेडियन और चंद्रमा का औसत ठोस कोण 6.418×10-5 स्टेरेडियन होता है। कुल खगोलीय क्षेत्र के संदर्भ में, सूर्य और चंद्रमा क्रमशः 0.0005406% ({{val\|5.406\|u=[[part per million\|पीपीएम]]}}) और 0.0005107% (5.107 पीपीएम) के औसत भिन्नात्मक क्षेत्रों को घटाते हैं। चूँकि ये ठोस कोण लगभग समान आकार के होते हैं, ग्रहण के दौरान पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी के आधार पर चंद्रमा पूर्ण और कुंडलाकार दोनों तरह के सौर ग्रहण का कारण बन सकता है।		<math display=block>\Omega = 2 \pi \left (1 - \frac{\sqrt{d^2 - R^2}}{d} \right ) : d \geq R.</math> सूर्य और चंद्रमा (पृथ्वी के संबंध में) के लिए उपयुक्त औसत मान डालने पर, सूर्य का औसत ठोस कोण 6.794×10<sup>−5</sup> स्टेरेडियन और चंद्रमा का औसत ठोस कोण 6.418×10<sup>−5</sup> स्टेरेडियन होता है। कुल खगोलीय क्षेत्र के संदर्भ में, सूर्य और चंद्रमा क्रमशः 0.0005406% ({{val\|5.406\|u=[[part per million\|पीपीएम]]}}) और 0.0005107% (5.107 पीपीएम) के औसत भिन्नात्मक क्षेत्रों को घटाते हैं। चूँकि ये ठोस कोण लगभग समान आकार के होते हैं, ग्रहण के दौरान पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी के आधार पर चंद्रमा पूर्ण और कुंडलाकार दोनों तरह के सौर ग्रहण का कारण बन सकता है।

	== यादृच्छिक आयामों में ठोस कोण ==		== यादृच्छिक आयामों में ठोस कोण ==
Line 175:		Line 174:

	ध्यान दें कि यहाँ <math>\N_0</math> = गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, या 0 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याएँ। अंकन <math>\alpha_{ji}</math> के लिए <math>j > i</math> चर का अर्थ है <math>\alpha_{ij}</math>, इसी तरह घातांक के लिए <math>a_{ji}</math>.		ध्यान दें कि यहाँ <math>\N_0</math> = गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, या 0 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याएँ। अंकन <math>\alpha_{ji}</math> के लिए <math>j > i</math> चर का अर्थ है <math>\alpha_{ij}</math>, इसी तरह घातांक के लिए <math>a_{ji}</math>.

	इसलिए, शब्द <math display="inline">\sum_{m \ne l} a_{lm}</math> का अर्थ है सभी पदों का योग <math>\vec a</math> जिसमें या तो पहली या दूसरी अनुक्रमणिका के रूप में प्रकट होता है। जहाँ यह श्रृंखला अभिसरण करती है, यह सदिशों द्वारा परिभाषित ठोस कोण में परिवर्तित हो जाती है।		इसलिए, शब्द <math display="inline">\sum_{m \ne l} a_{lm}</math> का अर्थ है सभी पदों का योग <math>\vec a</math> जिसमें या तो पहली या दूसरी अनुक्रमणिका के रूप में प्रकट होता है। जहाँ यह श्रृंखला अभिसरण करती है, यह सदिशों द्वारा परिभाषित ठोस कोण में परिवर्तित हो जाती है।

Line 252:		Line 252:
	\|volume=580 \| pages=149–152		\|volume=580 \| pages=149–152
	\|bibcode=2007NIMPA.580..149T}}		\|bibcode=2007NIMPA.580..149T}}
	~~{{commons category}}~~


	== बाहरी कड़ियाँ ==		== बाहरी कड़ियाँ ==
	*[https://www.academia.edu/8747694/HCRs_Theory_of_Polygon_solid_angle_subtended_by_any_polygonal_plane_at_any_point_in_the_space_ HCR's Theory of Polygon(solid angle subtended by any polygon)] from [[Academia.edu]]		*[https://www.academia.edu/8747694/HCRs_Theory_of_Polygon_solid_angle_subtended_by_any_polygonal_plane_at_any_point_in_the_space_ HCR's Theory of Polygon(solid angle subtended by any polygon)] from [[Academia.edu]]
Line 263:		Line 260:
	{{Classical mechanics derived SI units}}		{{Classical mechanics derived SI units}}

	{{DEFAULTSORT:Solid Angle}}[[Category:कोण]]~~[[श्रेणी: यूक्लिडियन ठोस ज्यामिति]]~~		{{DEFAULTSORT:Solid Angle}}[[Category:कोण]]


	[[Category: Machine Translated Page]]		[[Category: Machine Translated Page]]
	[[Category:Created On 05/01/2023]]		[[Category:Created On 05/01/2023]]

alpha>Nitya: /* परिभाषा और गुण */

2023-01-17T06:37:09Z

परिभाषा और गुण

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	स्टेरेडियन में पिंडका ठोस कोण इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि पिंडको कवर करता है। स्टेरेडियन में इकाई क्षेत्र के खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में इकाई वृत्त के चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में ठोस कोण किसी पिंडद्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्रफल का अनुपात उक्त त्रिज्या के वर्ग वृत्त द्वारा दिए गए क्षेत्रफल से होता है। सूत्र है<math display=block>\Omega=\frac{A}{r^2},</math>जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है।		स्टेरेडियन में पिंडका ठोस कोण इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि पिंडको कवर करता है। स्टेरेडियन में इकाई क्षेत्र के खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में इकाई वृत्त के चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में ठोस कोण किसी पिंडद्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्रफल का अनुपात उक्त त्रिज्या के वर्ग वृत्त द्वारा दिए गए क्षेत्रफल से होता है। सूत्र है<math display=block>\Omega=\frac{A}{r^2},</math>जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है।

	ठोस कोण ~~अक्सर~~ खगोल शास्त्र, भौतिकी और विशेष रूप से [[ खगोल भौतिकी \|खगोल भौतिकी]] में उपयोग किए जाते हैं। किसी पिंडका ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ पिंडका वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।		ठोस कोण अधिकांशतः खगोल शास्त्र, भौतिकी और विशेष रूप से [[ खगोल भौतिकी \|खगोल भौतिकी]] में उपयोग किए जाते हैं। किसी पिंडका ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ पिंडका वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।

	[[Image:Solid_Angle,_1_Steradian.svg\|thumb\|एक गोले पर कोई भी क्षेत्र जो इसके त्रिज्या के वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, जब इसके केंद्र से देखा जाता है, तो ठीक एक स्टेरेडियन अंतरित होता है।]]गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु 4π sr से मापा जाता है, और घन के केंद्र पर उसके फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या {{sfrac\|2{{pi}}\|3}} sr है। ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = {{pars\|s=200%\|{{sfrac\|180\|{{pi}}}}}}<sup>2</sup> वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = {{sfrac\|1\|4{{pi}}}} आंशिक क्षेत्र), जिसे[[ विवाद (इकाई) \| स्पैट (इकाई) (]]1 sp = 4π sr) के रूप में भी जाना जाता है।		[[Image:Solid_Angle,_1_Steradian.svg\|thumb\|एक गोले पर कोई भी क्षेत्र जो इसके त्रिज्या के वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, जब इसके केंद्र से देखा जाता है, तो ठीक एक स्टेरेडियन अंतरित होता है।]]गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु 4π sr से मापा जाता है, और घन के केंद्र पर उसके फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या {{sfrac\|2{{pi}}\|3}} sr है। ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = {{pars\|s=200%\|{{sfrac\|180\|{{pi}}}}}}<sup>2</sup> वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = {{sfrac\|1\|4{{pi}}}} आंशिक क्षेत्र), जिसे[[ विवाद (इकाई) \| स्पैट (इकाई) (]]1 sp = 4π sr) के रूप में भी जाना जाता है।
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	<math display=block>\Omega = \iint_S \frac{ \hat{r} \cdot \hat{n}}{r^2}\,dS \ = \iint_S \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,</math>		<math display=block>\Omega = \iint_S \frac{ \hat{r} \cdot \hat{n}}{r^2}\,dS \ = \iint_S \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,</math>
	जहां <math>\hat{r} = \vec{r} / r</math> के अनुरूप इकाई सदिश है <math> \vec{r} </math>, बिंदु {{mvar\|P}} के संबंध में सतह {{math\|''dS''}} के अतिसूक्ष्म क्षेत्र की[[ स्थिति वेक्टर \| स्थिति सदिश]] और जहाँ <math> \hat{n} </math>, {{math\|''dS''}} को इकाई [[ सामान्य वेक्टर \|सामान्य सदिश]] का प्रतिनिधित्व करता है। यहां तक कि ~~अगर~~ इकाई क्षेत्र पर सतह {{mvar\|S}} पर प्रक्षेपण [[ समरूपी \|समरूपी]] नहीं है, तो अदिश गुणनफल <math>\hat{r} \cdot \hat{n}</math> है।		जहां <math>\hat{r} = \vec{r} / r</math> के अनुरूप इकाई सदिश है <math> \vec{r} </math>, बिंदु {{mvar\|P}} के संबंध में सतह {{math\|''dS''}} के अतिसूक्ष्म क्षेत्र की[[ स्थिति वेक्टर \| स्थिति सदिश]] और जहाँ <math> \hat{n} </math>, {{math\|''dS''}} को इकाई [[ सामान्य वेक्टर \|सामान्य सदिश]] का प्रतिनिधित्व करता है। यहां तक कि यदि इकाई क्षेत्र पर सतह {{mvar\|S}} पर प्रक्षेपण [[ समरूपी \|समरूपी]] नहीं है, तो अदिश गुणनफल <math>\hat{r} \cdot \hat{n}</math> है।

	इस प्रकार कोई भी छोटे से पहलू द्वारा अंतरित ठोस कोण का अनुमान लगा सकता है जिसमें सपाट सतह क्षेत्र {{math\|''dS''}}, अभिविन्यास <math>\hat{n}</math>, दर्शक से {{math\|''r''}} दूरी इस प्रकार है:		इस प्रकार कोई भी छोटे से पहलू द्वारा अंतरित ठोस कोण का अनुमान लगा सकता है जिसमें सपाट सतह क्षेत्र {{math\|''dS''}}, अभिविन्यास <math>\hat{n}</math>, दर्शक से {{math\|''r''}} दूरी इस प्रकार है:
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	&= 2\pi\left(1 - \cos\theta \right).		&= 2\pi\left(1 - \cos\theta \right).
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	यह सूत्र बिना कलन के भी निकाला जा सकता है। 2200 साल पहले [[ आर्किमिडीज \|आर्किमिडीज]] ने ~~साबित~~ किया कि गोलाकार कैप का सतह क्षेत्र हमेशा वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसकी त्रिज्या गोलाकार कैप के रिम से उस बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है, जहां कैप की समरूपता की अक्ष कैप को काटती है।<ref>{{cite journal \|year = 2015 \|title = Archimedes on Spheres and Cylinders \|journal = Math Pages \|url = http://www.mathpages.com/home/kmath343/kmath343.htm}}</ref> आरेख में इस त्रिज्या के रूप में दिया गया है		यह सूत्र बिना कलन के भी निकाला जा सकता है। 2200 साल पहले [[ आर्किमिडीज \|आर्किमिडीज]] ने सिद्ध किया कि गोलाकार कैप का सतह क्षेत्र हमेशा वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसकी त्रिज्या गोलाकार कैप के रिम से उस बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है, जहां कैप की समरूपता की अक्ष कैप को काटती है।<ref>{{cite journal \|year = 2015 \|title = Archimedes on Spheres and Cylinders \|journal = Math Pages \|url = http://www.mathpages.com/home/kmath343/kmath343.htm}}</ref> आरेख में इस त्रिज्या के रूप में दिया गया है

	<math display=block> 2r \sin \frac{\theta}{2}. </math>		<math display=block> 2r \sin \frac{\theta}{2}. </math>
Line 110:		Line 110:
	जहां		जहां
	<math display=block> \theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}. </math>		<math display=block> \theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}. </math>
	एक और दिलचस्प सूत्र में 3 आयामी समष्टि में शिखरों को सदिश के रूप में व्यक्त करना ~~शामिल~~ है। मान लीजिए <math>\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c </math> शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं, और {{mvar\|a}}, {{mvar\|b}}, और {{mvar\|c}} प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण {{math\|Ω}} है:<ref>{{cite journal\| first=Folke\| last=Eriksson\| title= On the measure of solid angles\| journal= Math. Mag.\| volume=63\|issue=3\|pages=184–187\|year=1990\| doi=10.2307/2691141\| jstor=2691141}}</ref><ref>{{cite journal\| last = Van Oosterom\| first = A\|author2=Strackee, J \| year = 1983\| title = The Solid Angle of a Plane Triangle\| journal = IEEE Trans. Biomed. Eng.\| volume = BME-30\| issue = 2\| pages = 125–126\| doi = 10.1109/TBME.1983.325207\| pmid = 6832789\| s2cid = 22669644}}</ref>		एक और दिलचस्प सूत्र में 3 आयामी समष्टि में शिखरों को सदिश के रूप में व्यक्त करना सम्मलित है। मान लीजिए <math>\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c </math> शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं, और {{mvar\|a}}, {{mvar\|b}}, और {{mvar\|c}} प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण {{math\|Ω}} है:<ref>{{cite journal\| first=Folke\| last=Eriksson\| title= On the measure of solid angles\| journal= Math. Mag.\| volume=63\|issue=3\|pages=184–187\|year=1990\| doi=10.2307/2691141\| jstor=2691141}}</ref><ref>{{cite journal\| last = Van Oosterom\| first = A\|author2=Strackee, J \| year = 1983\| title = The Solid Angle of a Plane Triangle\| journal = IEEE Trans. Biomed. Eng.\| volume = BME-30\| issue = 2\| pages = 125–126\| doi = 10.1109/TBME.1983.325207\| pmid = 6832789\| s2cid = 22669644}}</ref>

	<math display=block>\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) =		<math display=block>\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) =
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	\right).		\right).
	</math>		</math>
	जहाँ कोष्ठक (* ) अदिश गुणनफल है और वर्गाकार कोष्ठक [ * *] त्रिगुणात्मक गुणनफल है, और {{mvar\|i}} [[ काल्पनिक इकाई \| काल्पनिक इकाई]] है। सूचकांकों का चक्रण किया जाता है: {{math\|''s''<sub>0</sub> {{=}} ''s''<sub>''n''</sub>}} और {{math\|''s''<sub>1</sub> {{=}} ''s''<sub>''n'' + 1</sub>}}। जटिल गुणनफल बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष कोण से जुड़े चरण को जोड़ते हैं। ~~हालांकि~~,<math>2\pi</math> का गुणक <math>\arg</math> के ब्रांच कट में खो गया है और इसे अलग से मार्ग किया जाना चाहिए। इसके ~~अलावा~~, जटिल चरणों के चलने वाले गुणनफल को लगभग समांतर खंडों की सीमा में अधः प्रवाह से बचने के लिए कभी-कभी बढ़ाया जाना चाहिए।		जहाँ कोष्ठक (* ) अदिश गुणनफल है और वर्गाकार कोष्ठक [ * *] त्रिगुणात्मक गुणनफल है, और {{mvar\|i}} [[ काल्पनिक इकाई \| काल्पनिक इकाई]] है। सूचकांकों का चक्रण किया जाता है: {{math\|''s''<sub>0</sub> {{=}} ''s''<sub>''n''</sub>}} और {{math\|''s''<sub>1</sub> {{=}} ''s''<sub>''n'' + 1</sub>}}। जटिल गुणनफल बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष कोण से जुड़े चरण को जोड़ते हैं। चूंकि,<math>2\pi</math> का गुणक <math>\arg</math> के ब्रांच कट में खो गया है और इसे अलग से मार्ग किया जाना चाहिए। इसके अतिरिक्त, जटिल चरणों के चलने वाले गुणनफल को लगभग समांतर खंडों की सीमा में अधः प्रवाह से बचने के लिए कभी-कभी बढ़ाया जाना चाहिए।

	=== अक्षांश-देशांतर आयत ===		=== अक्षांश-देशांतर आयत ===
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	== यादृच्छिक आयामों में ठोस कोण ==		== यादृच्छिक आयामों में ठोस कोण ==
	{{math\|''d''}} -आयामी यूक्लिडियन समष्टि में यूनिट स्फीयर की पूर्ण ({{mvar\|d − 1}})-आयामी गोलाकार सतह द्वारा अंतरित ठोस कोण को किसी भी आयाम ''d'' में परिभाषित किया जा सकता है। गोलाकार समरूपता के साथ गणना में ~~अक्सर~~ इस ठोस कोण कारक की आवश्यकता होती है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है		{{math\|''d''}} -आयामी यूक्लिडियन समष्टि में यूनिट स्फीयर की पूर्ण ({{mvar\|d − 1}})-आयामी गोलाकार सतह द्वारा अंतरित ठोस कोण को किसी भी आयाम ''d'' में परिभाषित किया जा सकता है। गोलाकार समरूपता के साथ गणना में अधिकांशतः इस ठोस कोण कारक की आवश्यकता होती है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है
	<math display="block">\Omega_{d} = \frac{2\pi^\frac{d}{2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}\right)}, </math>		<math display="block">\Omega_{d} = \frac{2\pi^\frac{d}{2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}\right)}, </math>
	जहां {{math\|Γ}} [[ गामा समारोह \|गामा]] फलन है। जब {{math\|''d''}} पूर्णांक होता है, तो गामा फलन की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है।<ref>{{cite journal\| last = Jackson\| first = FM\| year = 1993\| title = Polytopes in Euclidean n-space\| journal = Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications\| volume = 29\| issue = 11/12\| pages = 172–174\| url = https://www.researchgate.net/publication/265585180}}</ref> यह इस प्रकार है कि		जहां {{math\|Γ}} [[ गामा समारोह \|गामा]] फलन है। जब {{math\|''d''}} पूर्णांक होता है, तो गामा फलन की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है।<ref>{{cite journal\| last = Jackson\| first = FM\| year = 1993\| title = Polytopes in Euclidean n-space\| journal = Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications\| volume = 29\| issue = 11/12\| pages = 172–174\| url = https://www.researchgate.net/publication/265585180}}</ref> यह इस प्रकार है कि

alpha>Nitya: /* परिभाषा और गुण */

2023-01-17T06:33:40Z

परिभाषा और गुण

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alpha>Nitya: /* परिभाषा और गुण */

2023-01-17T05:51:46Z

परिभाषा और गुण

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alpha>Nitya: /* परिभाषा और गुण */

2023-01-17T05:16:12Z

परिभाषा और गुण

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