टेंट मैप - Revision history

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	[[Category:Templates generating microformats\|Tent Map]]		[[Category:Templates generating microformats\|Tent Map]]
	[[Category:Templates that are not mobile friendly\|Tent Map]]		[[Category:Templates that are not mobile friendly\|Tent Map]]
			[[Category:Vigyan Ready]]

alpha>Abhishek at 07:48, 23 November 2023

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alpha>Abhishek: Abhishek moved page तम्बू का नक्शा to टेंट मैप without leaving a redirect

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Abhishek moved page तम्बू का नक्शा to टेंट मैप without leaving a redirect

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alpha>Abhishek: /* बाहरी संबंध */

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बाहरी संबंध

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	* [http://chaosbook.org/ ChaosBook.org]		* [http://chaosbook.org/ ChaosBook.org]

	~~{{Chaos theory}}~~		[[Category:Collapse templates\|Tent Map]]
			[[Category:Created On 15/08/2023\|Tent Map]]
	~~{{DEFAULTSORT~~:Tent Map}}[[Category: ~~अराजक मानचित्र~~]]		[[Category:Machine Translated Page\|Tent Map]]
			[[Category:Navigational boxes\| ]]
			[[Category:Navigational boxes without horizontal lists\|Tent Map]]
			[[Category:Pages with script errors\|Tent Map]]
	[[Category: ~~Machine Translated Page~~]]		[[Category:Sidebars with styles needing conversion\|Tent Map]]
	[[Category:~~Created On 15/08/2023~~]]		[[Category:Template documentation pages\|Documentation/doc]]
			[[Category:Templates generating microformats\|Tent Map]]
			[[Category:Templates that are not mobile friendly\|Tent Map]]

alpha>Mahima Patel at 07:26, 23 November 2023

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alpha>Mahima Patel at 05:05, 23 November 2023

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	μ के मूल्य के आधार पर, टेंट मानचित्र पूर्वानुमानित से लेकर अराजक तक गतिशील व्यवहार की एक श्रृंखला प्रदर्शित करता है।		μ के मूल्य के आधार पर, टेंट मानचित्र पूर्वानुमानित से लेकर अराजक तक गतिशील व्यवहार की एक श्रृंखला प्रदर्शित करता है।
	* यदि μ 1 से कम होता है तो बिंदु x = 0, x के सभी प्रारंभिक मानों के लिए प्रणाली का एक आकर्षक [[निश्चित बिंदु (गणित)\|निश्चित बिंदु]] होता है अर्थात् प्रणाली x के किसी भी प्रारंभिक मान से x = 0 की ओर परिवर्तित हो जाएगा।		* यदि μ 1 से कम होता है तो बिंदु x = 0, x के सभी प्रारंभिक मानों के लिए प्रणाली का एक आकर्षक [[निश्चित बिंदु (गणित)\|निश्चित बिंदु]] होता है अर्थात् प्रणाली x के किसी भी प्रारंभिक मान से x = 0 की ओर परिवर्तित हो जाएगा।
	* यदि μ 1 है तो 1/2 से कम या उसके समान x के सभी मान प्रणाली के निश्चित बिंदु हैं।		* यदि μ 1 है तो 1/2 से कम या उसके समान x के सभी मान प्रणाली के निश्चित बिंदु होते हैं।
	* यदि μ 1 से अधिक है तो प्रणाली में दो निश्चित बिंदु होते हैं, एक 0 पर, और दूसरा μ/(μ + 1) पर। दोनों निश्चित बिंदु अस्थिर होते हैं, अर्थात किसी भी निश्चित बिंदु के समीप x का मान उसकी ओर जाने के अतिरिक्त उससे दूर चला जाएगा। उदाहरण के लिए, जब μ 1.5 है तो x = 0.6 पर एक निश्चित बिंदु होता है (चूंकि 1.5(1 − 0.6) = 0.6) परन्तु x = 0.61 से प्रारंभ करने पर हमें ~~मिलता~~ है		* यदि μ 1 से अधिक है तो प्रणाली में दो निश्चित बिंदु होते हैं, एक 0 पर, और दूसरा μ/(μ + 1) पर। दोनों निश्चित बिंदु अस्थिर होते हैं, अर्थात किसी भी निश्चित बिंदु के समीप x का मान उसकी ओर जाने के अतिरिक्त उससे दूर चला जाएगा। उदाहरण के लिए, जब μ 1.5 है तो x = 0.6 पर एक निश्चित बिंदु होता है (चूंकि 1.5(1 − 0.6) = 0.6) परन्तु x = 0.61 से प्रारंभ करने पर हमें निम्न प्रकार से प्राप्त होता है

	::<math>0.61 \to 0.585 \to 0.6225 \to 0.56625 \to 0.650625 \ldots</math>		::<math>0.61 \to 0.585 \to 0.6225 \to 0.56625 \to 0.650625 \ldots</math>
	* यदि μ 1 और 2 के वर्गमूल के मध्य होता है तो प्रणाली μ − μ<sup>2</sup> और μ/2 के मध्य अंतराल का एक समुच्चय ~~मानचित्र~~ करता है। अंतरालों का यह समुच्चय मानचित्र का [[जूलिया सेट\|जूलिया समुच्चय]] होता है - अर्थात, यह इस मानचित्र के अंतर्गत वास्तविक रेखा का सबसे छोटा अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय होता है। यदि μ 2 के वर्गमूल से अधिक होता है, तो ये अंतराल विलीन हो जाते हैं, और जूलिया समुच्चय μ − μ<sup>2</sup> से μ/2 संपूर्ण अंतराल है (द्विभाजन आरेख देखें)।		* यदि μ 1 और 2 के वर्गमूल के मध्य होता है तो प्रणाली μ − μ<sup>2</sup> और μ/2 के मध्य अंतराल का एक समुच्चय मानचित्रित करता है। अंतरालों का यह समुच्चय मानचित्र का [[जूलिया सेट\|जूलिया समुच्चय]] होता है - अर्थात, यह इस मानचित्र के अंतर्गत वास्तविक रेखा का सबसे छोटा अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय होता है। यदि μ 2 के वर्गमूल से अधिक होता है, तो ये अंतराल विलीन हो जाते हैं, और जूलिया समुच्चय μ − μ<sup>2</sup> से μ/2 संपूर्ण अंतराल है (द्विभाजन आरेख देखें)।
	* यदि μ 1 और 2 के मध्य है तो अंतराल [μ − μ<sup>2</sup>/2, μ/2] में आवधिक और गैर-आवधिक दोनों बिंदु सम्मिलित होते हैं, यधपि सभी कक्षा (गतिशीलता) अस्थिर होती हैं (~~यानी~~ आस-पास के बिंदु कक्षाओं की ओर जाने के अतिरिक्त उनसे दूर जाते हैं)। μ बढ़ने पर लंबी लंबाई वाली कक्षाएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए:		* यदि μ 1 और 2 के मध्य है तो अंतराल [μ − μ<sup>2</sup>/2, μ/2] में आवधिक और गैर-आवधिक दोनों बिंदु सम्मिलित होते हैं, यधपि सभी कक्षा (गतिशीलता) अस्थिर होती हैं (अर्थात् आस-पास के बिंदु कक्षाओं की ओर जाने के अतिरिक्त उनसे दूर जाते हैं)। μ बढ़ने पर लंबी लंबाई वाली कक्षाएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए:

	::<math>\frac{\mu}{\mu^2+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^2+1} \to \frac{\mu}{\mu^2+1} \mbox{ appears at } \mu=1</math>		::<math>\frac{\mu}{\mu^2+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^2+1} \to \frac{\mu}{\mu^2+1} \mbox{ appears at } \mu=1</math>

alpha>Mahima Patel at 19:10, 22 November 2023

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alpha>Mahima Patel at 15:28, 22 November 2023

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	~~{{Refimprove\|date=December 2009}}~~
	[[File:Tent map 2.png\|thumb\|right\|तम्बू मानचित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़]]		[[File:Tent map 2.png\|thumb\|right\|तम्बू मानचित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़]]
	[[File:Tent map.gif\|300px\|thumb\|right\|प्रारंभिक स्थिति x को पुनरावृत्त करने का उदाहरण<sub>0</sub>= μ = 1.9 के साथ तम्बू मानचित्र पर 0.4।]]गणित में, पैरामीटर μ वाला टेंट मैप [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाला फ़ंक्शन है (गणित) ''f''<sub>μ</sub> द्वारा परिभाषित		[[File:Tent map.gif\|300px\|thumb\|right\|प्रारंभिक स्थिति x को पुनरावृत्त करने का उदाहरण<sub>0</sub>= μ = 1.9 के साथ तम्बू मानचित्र पर 0.4।]]गणित में, पैरामीटर μ वाला टेंट मैप [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाला फ़ंक्शन है (गणित) ''f''<sub>μ</sub> द्वारा परिभाषित
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	\mu (1-x_n) & \mathrm{for}~~ \frac{1}{2} \le x_n		\mu (1-x_n) & \mathrm{for}~~ \frac{1}{2} \le x_n
	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>
	जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक है। उदाहरण के लिए पैरामीटर μ = 2 चुनना, फ़ंक्शन f का प्रभाव<sub>μ</sub> इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने, फिर परिणामी [[अंतराल (गणित)]] [0, 1/2] को फिर से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए खींचने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, किसी भी बिंदु x<sub>0</sub> जैसा कि ऊपर वर्णित है, अंतराल नई अनुवर्ती स्थितियाँ ग्रहण करता है, जिससे एक अनुक्रम x उत्पन्न होता है<sub>''n''</sub> [0, 1] में। <math>\mu=2</math> h> टेंट मैप का मामला [[ बिट शिफ्ट मानचित्र ]] और [[ लॉजिस्टिक मानचित्र ]] के r = 4 केस दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन है।		जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक है। उदाहरण के लिए पैरामीटर μ = 2 चुनना, फ़ंक्शन f का प्रभाव<sub>μ</sub> इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने, फिर परिणामी [[अंतराल (गणित)]] [0, 1/2] को फिर से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए खींचने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, किसी भी बिंदु x<sub>0</sub> जैसा कि ऊपर वर्णित है, अंतराल नई अनुवर्ती स्थितियाँ ग्रहण करता है, जिससे एक अनुक्रम x उत्पन्न होता है<sub>''n''</sub> [0, 1] में। <math>\mu=2</math> h> टेंट मैप का मामला [[ बिट शिफ्ट मानचित्र \|बिट शिफ्ट मानचित्र]] और [[ लॉजिस्टिक मानचित्र \|लॉजिस्टिक मानचित्र]] के r = 4 केस दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन है।

	==व्यवहार==		==व्यवहार==
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	::<math>\frac{\mu}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^3+1} \to \frac{\mu}{\mu^3+1} \mbox{ appears at } \mu=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>		::<math>\frac{\mu}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^3+1} \to \frac{\mu}{\mu^3+1} \mbox{ appears at } \mu=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
	::<math>\frac{\mu}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^4}{\mu^4+1} \to \frac{\mu}{\mu^4+1} \mbox{ appears at } \mu \approx 1.8393</math>		::<math>\frac{\mu}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^4}{\mu^4+1} \to \frac{\mu}{\mu^4+1} \mbox{ appears at } \mu \approx 1.8393</math>
	* यदि μ 2 के बराबर है तो सिस्टम अंतराल [0, 1] को स्वयं मैप करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी हैं। आवधिक बिंदु [0, 1] में घने सेट हैं, इसलिए नक्शा [[अराजकता सिद्धांत]] बन गया है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और केवल यदि <math>x_0</math> [[अपरिमेय संख्या]] है. इसे नोट करके देखा जा सकता है कि मानचित्र कब क्या करता है <math>x_n</math> [[ बाइनरी संख्या ]] नोटेशन में व्यक्त किया गया है: यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में बदल देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार के मामले में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से शुरू होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए हमेशा चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व है।<ref>Collett, Pierre, and [[Jean-Pierre Eckmann\|Eckmann, Jean-Pierre]], ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Boston: Birkhauser, 1980.</ref> पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन {<math>x_n</math>} सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।<ref name="Brock">Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," ''Journal of Economic Theory'' 40, October 1986, 168-195.</ref> इस प्रकार <math>x_n</math> ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके इसे सफेद शोर से अलग नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मानचित्र का r = 4 मामला और <math>\mu = 2</math> तम्बू मानचित्र के मामले एक-दूसरे के समरूप हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को दर्शाते हुए <math>y_n</math>, होमोमोर्फिज्म है		* यदि μ 2 के बराबर है तो सिस्टम अंतराल [0, 1] को स्वयं मैप करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी हैं। आवधिक बिंदु [0, 1] में घने सेट हैं, इसलिए नक्शा [[अराजकता सिद्धांत]] बन गया है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और केवल यदि <math>x_0</math> [[अपरिमेय संख्या]] है. इसे नोट करके देखा जा सकता है कि मानचित्र कब क्या करता है <math>x_n</math> [[ बाइनरी संख्या \|बाइनरी संख्या]] नोटेशन में व्यक्त किया गया है: यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में बदल देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार के मामले में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से शुरू होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए हमेशा चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व है।<ref>Collett, Pierre, and [[Jean-Pierre Eckmann\|Eckmann, Jean-Pierre]], ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Boston: Birkhauser, 1980.</ref> पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन {<math>x_n</math>} सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।<ref name="Brock">Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," ''Journal of Economic Theory'' 40, October 1986, 168-195.</ref> इस प्रकार <math>x_n</math> ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके इसे सफेद शोर से अलग नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मानचित्र का r = 4 मामला और <math>\mu = 2</math> तम्बू मानचित्र के मामले एक-दूसरे के समरूप हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को दर्शाते हुए <math>y_n</math>, होमोमोर्फिज्म है

	::<math>x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).</math>		::<math>x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).</math>
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	(1-v_n)/(1-a) &\mathrm{for}~~ v_n \in [a,1]		(1-v_n)/(1-a) &\mathrm{for}~~ v_n \in [a,1]
	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>
	पैरामीटर के लिए <math>a \in [0,1]</math>. <math>\mu = 2</math> h> तम्बू मानचित्र का मामला वर्तमान मामला है <math>a= \tfrac{1}{2}</math>. एक क्रम {<math>v_n</math>} में समान स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन होगा<ref name="Brock" />जैसा कि प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया से डेटा होगा <math>w_{n+1} = (2a-1)w_n + u_{n+1}</math> साथ {<math>u_n</math>} [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]]। इस प्रकार एक असममित तम्बू मानचित्र के डेटा को, ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके, प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न डेटा से अलग नहीं किया जा सकता है।		पैरामीटर के लिए <math>a \in [0,1]</math>. <math>\mu = 2</math> h> तम्बू मानचित्र का मामला वर्तमान मामला है <math>a= \tfrac{1}{2}</math>. एक क्रम {<math>v_n</math>} में समान स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन होगा<ref name="Brock" />जैसा कि प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया से डेटा होगा <math>w_{n+1} = (2a-1)w_n + u_{n+1}</math> साथ {<math>u_n</math>} [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]]। इस प्रकार एक असममित तम्बू मानचित्र के डेटा को, ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके, प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न डेटा से अलग नहीं किया जा सकता है।

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==

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{{Refimprove|date=December 2009}}
[[File:Tent map 2.png|thumb|right|तम्बू मानचित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़]]
[[File:Tent map.gif|300px|thumb|right|प्रारंभिक स्थिति x को पुनरावृत्त करने का उदाहरण0= μ = 1.9 के साथ तम्बू मानचित्र पर 0.4।]]गणित में, पैरामीटर μ वाला टेंट मैप [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाला फ़ंक्शन है (गणित) ''f''μ द्वारा परिभाषित
:<math>f_\mu(x) := \mu\min\{x,\,1-x\},</math>
यह नाम f के एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के तम्बू जैसे आकार के कारण हैμ. 0 और 2 के भीतर पैरामीटर μ के मानों के लिए, fμ [[छवि (गणित)]] [[इकाई अंतराल]] [0, 1] को अपने आप में, इस प्रकार उस पर एक अलग-समय [[गतिशील प्रणाली]] को परिभाषित करना (समकक्ष, एक [[पुनरावृत्ति संबंध]])। विशेष रूप से, [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन]] एक बिंदु x0 [0, 1] में एक अनुक्रम उत्पन्न होता है <math>x_n</math>:

:<math>x_{n+1} = f_\mu(x_n) = \begin{cases}
\mu x_n & \mathrm{for}~~ x_n < \frac{1}{2} \\
\mu (1-x_n) & \mathrm{for}~~ \frac{1}{2} \le x_n
\end{cases}</math>
जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक है। उदाहरण के लिए पैरामीटर μ = 2 चुनना, फ़ंक्शन f का प्रभावμ इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने, फिर परिणामी [[अंतराल (गणित)]] [0, 1/2] को फिर से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए खींचने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, किसी भी बिंदु x0 जैसा कि ऊपर वर्णित है, अंतराल नई अनुवर्ती स्थितियाँ ग्रहण करता है, जिससे एक अनुक्रम x उत्पन्न होता है''n'' [0, 1] में। <math>\mu=2</math> h> टेंट मैप का मामला [[ बिट शिफ्ट मानचित्र ]] और [[ लॉजिस्टिक मानचित्र ]] के r = 4 केस दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन है।

==व्यवहार==
[[Image:Tent-map.png|thumb|right|इकाई-ऊंचाई तम्बू मानचित्र की कक्षाएँ]]
[[Image:TentMap BifurcationDiagram.png|thumb|right|तम्बू मानचित्र के लिए द्विभाजन आरेख। उच्च घनत्व μ पैरामीटर के दिए गए मान के लिए x चर के उस मान को प्राप्त करने की बढ़ी हुई संभावना को इंगित करता है।]]पैरामीटर μ = 2 के साथ तम्बू मानचित्र और पैरामीटर r = 4 के साथ लॉजिस्टिक मानचित्र स्थलीय रूप से संयुग्मित हैं,<ref>[http://www.math.lsa.umich.edu/~rauch/558/logisticconjugation.pdf Conjugating the Tent and Logistic Maps], [[Jeffrey Rauch]], University of Michigan</ref> और इस प्रकार दो मानचित्रों का व्यवहार इस अर्थ में पुनरावृत्ति के तहत समान है।

μ के मूल्य के आधार पर, तम्बू मानचित्र पूर्वानुमानित से लेकर अराजक तक गतिशील व्यवहार की एक श्रृंखला प्रदर्शित करता है।
* यदि μ 1 से कम है तो बिंदु x = 0, x के सभी प्रारंभिक मानों के लिए सिस्टम का एक आकर्षक [[निश्चित बिंदु (गणित)]] है यानी सिस्टम x के किसी भी प्रारंभिक मान से x = 0 की ओर परिवर्तित हो जाएगा।
* यदि μ 1 है तो 1/2 से कम या उसके बराबर x के सभी मान सिस्टम के निश्चित बिंदु हैं।
* यदि μ 1 से अधिक है तो सिस्टम में दो निश्चित बिंदु हैं, एक 0 पर, और दूसरा μ/(μ + 1) पर। दोनों निश्चित बिंदु अस्थिर हैं, अर्थात किसी भी निश्चित बिंदु के करीब x का मान उसकी ओर जाने के बजाय उससे दूर चला जाएगा। उदाहरण के लिए, जब μ 1.5 है तो x = 0.6 पर एक निश्चित बिंदु है (चूंकि 1.5(1 − 0.6) = 0.6) लेकिन x = 0.61 से शुरू करने पर हमें मिलता है

::<math>0.61 \to 0.585 \to 0.6225 \to 0.56625 \to 0.650625 \ldots</math>
* यदि μ 1 और 2 के वर्गमूल के बीच है तो सिस्टम μ - μ के बीच अंतराल का एक सेट मैप करता है2/2 और μ/2 स्वयं को। अंतरालों का यह सेट मानचित्र का [[जूलिया सेट]] है - अर्थात, यह इस मानचित्र के अंतर्गत वास्तविक रेखा का सबसे छोटा अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय है। यदि μ 2 के वर्गमूल से अधिक है, तो ये अंतराल विलीन हो जाते हैं, और जूलिया सेट μ - μ से संपूर्ण अंतराल है2/2 से μ/2 (द्विभाजन आरेख देखें)।
* यदि μ 1 और 2 के बीच है तो अंतराल [μ − μ है2/2, μ/2] में आवधिक और गैर-आवधिक दोनों बिंदु शामिल हैं, हालांकि सभी कक्षा (गतिशीलता) अस्थिर हैं (यानी आस-पास के बिंदु कक्षाओं की ओर जाने के बजाय उनसे दूर जाते हैं)। μ बढ़ने पर लंबी लंबाई वाली कक्षाएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए:

::<math>\frac{\mu}{\mu^2+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^2+1} \to \frac{\mu}{\mu^2+1} \mbox{ appears at } \mu=1</math>
::<math>\frac{\mu}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^3+1} \to \frac{\mu}{\mu^3+1} \mbox{ appears at } \mu=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
::<math>\frac{\mu}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^4}{\mu^4+1} \to \frac{\mu}{\mu^4+1} \mbox{ appears at } \mu \approx 1.8393</math>
* यदि μ 2 के बराबर है तो सिस्टम अंतराल [0, 1] को स्वयं मैप करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी हैं। आवधिक बिंदु [0, 1] में घने सेट हैं, इसलिए नक्शा [[अराजकता सिद्धांत]] बन गया है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और केवल यदि <math>x_0</math> [[अपरिमेय संख्या]] है. इसे नोट करके देखा जा सकता है कि मानचित्र कब क्या करता है <math>x_n</math> [[ बाइनरी संख्या ]] नोटेशन में व्यक्त किया गया है: यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में बदल देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार के मामले में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से शुरू होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए हमेशा चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व है।<ref>Collett, Pierre, and [[Jean-Pierre Eckmann|Eckmann, Jean-Pierre]], ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Boston: Birkhauser, 1980.</ref> पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन {<math>x_n</math>} सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।<ref name="Brock">Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," ''Journal of Economic Theory'' 40, October 1986, 168-195.</ref> इस प्रकार <math>x_n</math> ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके इसे सफेद शोर से अलग नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मानचित्र का r = 4 मामला और <math>\mu = 2</math> तम्बू मानचित्र के मामले एक-दूसरे के समरूप हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को दर्शाते हुए <math>y_n</math>, होमोमोर्फिज्म है

::<math>x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).</math>
* यदि μ 2 से अधिक है तो मानचित्र का जूलिया सेट डिस्कनेक्ट हो जाता है, और अंतराल [0, 1] के भीतर एक [[कैंटर सेट]] में टूट जाता है। जूलिया सेट में अभी भी गैर-आवधिक और आवधिक दोनों बिंदुओं (किसी भी कक्षा की लंबाई के लिए कक्षाओं सहित) की अनंत संख्या शामिल है, लेकिन [[लगभग हर जगह]] [0, 1] के भीतर बिंदु अब अंततः अनंत की ओर विचलन करेगा। कैनोनिकल कैंटर सेट (यूनिट लाइन के सबसेट से मध्य तिहाई को क्रमिक रूप से हटाकर प्राप्त किया गया) μ = 3 के लिए टेंट मैप का जूलिया सेट है।

===संख्यात्मक त्रुटियाँ ===
फ़ाइल: पैरामीटर m= के लिए टेंट मानचित्र की समय श्रृंखला2.0 which shows numerical error.svg|thumb|right|पैरामीटर m = 2.0 के लिए टेंट मैप की [[समय श्रृंखला]] जो संख्यात्मक त्रुटि दिखाती है: समय श्रृंखला का प्लॉट (पुनरावृत्तियों की संख्या के संबंध में x चर का प्लॉट) में उतार-चढ़ाव बंद हो जाता है और n = 50 के बाद कोई मान नहीं देखा जाता है। पैरामीटर एम = 2.0, प्रारंभिक बिंदु यादृच्छिक है।

==कक्षा आरेख को आवर्धित करना==
[[Image:TentMagnification.JPG|thumb|right|टिप के पास आवर्धन अधिक विवरण दिखाता है।]]* कक्षा आरेख को करीब से देखने पर पता चलता है कि μ ≈ 1 पर 4 अलग-अलग क्षेत्र हैं। आगे आवर्धन के लिए, 2 संदर्भ रेखाएं (लाल) टिप से उपयुक्त x तक निश्चित μ पर खींची जाती हैं (उदाहरण के लिए, 1.10) जैसा कि दिखाया गया है।

[[Image:TentTipDetail.JPG|thumb|right|आगे आवर्धन 8 अलग-अलग क्षेत्रों को दर्शाता है।]]* संबंधित संदर्भ रेखाओं से मापी गई दूरी के साथ, आगे का विवरण मानचित्र के ऊपरी और निचले हिस्से में दिखाई देता है। (कुछ μ पर कुल 8 अलग-अलग क्षेत्र)

==असममित तम्बू मानचित्र==
असममित तम्बू मानचित्र मूल रूप से एक विकृत, लेकिन फिर भी टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन का संस्करण है <math>\mu = 2</math> तम्बू मानचित्र का मामला. इसे परिभाषित किया गया है

:<math>v_{n+1}=\begin{cases}
v_n/a &\mathrm{for}~~ v_n \in [0,a] \\
(1-v_n)/(1-a) &\mathrm{for}~~ v_n \in [a,1]
\end{cases}</math>
पैरामीटर के लिए <math>a \in [0,1]</math>. <math>\mu = 2</math> h> तम्बू मानचित्र का मामला वर्तमान मामला है <math>a= \tfrac{1}{2}</math>. एक क्रम {<math>v_n</math>} में समान स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन होगा<ref name="Brock" />जैसा कि प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया से डेटा होगा <math>w_{n+1} = (2a-1)w_n + u_{n+1}</math> साथ {<math>u_n</math>} [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]]। इस प्रकार एक असममित तम्बू मानचित्र के डेटा को, ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके, प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न डेटा से अलग नहीं किया जा सकता है।

== यह भी देखें ==
* [[जगह बदलें]]
* [[ग्रे कोड]]

==संदर्भ==
{{reflist}}

==बाहरी संबंध==
* [http://chaosbook.org/ ChaosBook.org]

{{Chaos theory}}

{{DEFAULTSORT:Tent Map}}[[Category: अराजक मानचित्र]]

[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 15/08/2023]]

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	[[File:Tent map.gif\|300px\|thumb\|right\|μ = 1.9 के साथ टेंट मानचित्र पर प्रारंभिक स्थिति ''x''<sub>0</sub> = 0.4 को दोहराने का उदाहरण।]]गणित में, मापदंड μ वाला '''टेंट मानचित्र''' [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाला एक फलन होता है जिसे ''f''<sub>μ</sub> द्वारा परिभाषित किया जाता है		[[File:Tent map.gif\|300px\|thumb\|right\|μ = 1.9 के साथ टेंट मानचित्र पर प्रारंभिक स्थिति ''x''<sub>0</sub> = 0.4 को दोहराने का उदाहरण।]]गणित में, मापदंड μ वाला '''टेंट मानचित्र''' [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाला एक फलन होता है जिसे ''f''<sub>μ</sub> द्वारा परिभाषित किया जाता है
	:<math>f_\mu(x) := \mu\min\{x,\,1-x\},</math>		:<math>f_\mu(x) := \mu\min\{x,\,1-x\},</math>
	इसे यह नाम ''f''<sub>μ</sub>के एक फलन के ग्राफ़ के टेंट जैसे आकार के होने के कारण दिया गया था। 0 और 2 के भीतर मापदंड μ के मानों के लिए, f<sub>μ</sub> [[इकाई अंतराल]] [0, 1] को अपने आप में मानचित्रित करता है, इस प्रकार उस पर एक भिन्न-समय [[गतिशील प्रणाली]] को परिभाषित करता है (समकक्ष, एक [[पुनरावृत्ति संबंध]])। विशेष रूप से, [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन\|पुनरावृत्त फलन]] एक बिंदु x<sub>0</sub> [0, 1] में एक अनुक्रम <math>x_n</math> उत्पन्न होता है :		इसे यह नाम ''f''<sub>μ</sub>के एक फलन के ग्राफ़ के टेंट जैसे आकार के होने के कारण दिया गया था। 0 और 2 के भीतर मापदंड μ के मानों के लिए, f<sub>μ</sub> [[इकाई अंतराल]] [0, 1] को अपने आप में मानचित्रित करता है, इस प्रकार यह उस पर एक भिन्न-समय [[गतिशील प्रणाली]] को परिभाषित करता है (समकक्ष, एक [[पुनरावृत्ति संबंध]])। विशेष रूप से, [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन\|पुनरावृत्त फलन]] एक बिंदु x<sub>0</sub> [0, 1] में एक अनुक्रम <math>x_n</math> उत्पन्न होता है:

	:<math>x_{n+1} = f_\mu(x_n) = \begin{cases}		:<math>x_{n+1} = f_\mu(x_n) = \begin{cases}
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	जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक होता है। उदाहरण के लिए मापदंड μ = 2 का चयन करते हुए, फलन ''f''<sub>μ</sub> के प्रभाव को इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है, फिर परिणामी [[अंतराल (गणित)]] [0, 1/2] को पुनः से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, अंतराल का कोई भी बिंदु ''x''<sub>0</sub> ऊपर वर्णित अनुसार नई पश्चात की स्थिति ग्रहण करता है, जिससे [0, 1] में एक अनुक्रम ''x<sub>n</sub>'' उत्पन्न होता है।		जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक होता है। उदाहरण के लिए मापदंड μ = 2 का चयन करते हुए, फलन ''f''<sub>μ</sub> के प्रभाव को इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है, फिर परिणामी [[अंतराल (गणित)]] [0, 1/2] को पुनः से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, अंतराल का कोई भी बिंदु ''x''<sub>0</sub> ऊपर वर्णित अनुसार नई पश्चात की स्थिति ग्रहण करता है, जिससे [0, 1] में एक अनुक्रम ''x<sub>n</sub>'' उत्पन्न होता है।

	<math>\mu=2</math~~> h~~> टेंट मानचित्र कि स्थिति [[ बिट शिफ्ट मानचित्र \|बिट शिफ्ट मानचित्र]] और [[ लॉजिस्टिक मानचित्र \|लॉजिस्टिक मानचित्र]] के r = 4 स्थिति में दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन होता है।		<math>\mu=2</math> टेंट मानचित्र कि स्थिति [[ बिट शिफ्ट मानचित्र \|बिट शिफ्ट मानचित्र]] और [[ लॉजिस्टिक मानचित्र \|लॉजिस्टिक मानचित्र]] के r = 4 स्थिति में दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन होता है।

	==व्यवहार==		==व्यवहार==
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	::<math>0.61 \to 0.585 \to 0.6225 \to 0.56625 \to 0.650625 \ldots</math>		::<math>0.61 \to 0.585 \to 0.6225 \to 0.56625 \to 0.650625 \ldots</math>
	* यदि μ 1 और 2 के वर्गमूल के मध्य होता है तो प्रणाली μ − μ<sup>2</sup> और μ/2 के मध्य अंतराल का एक समुच्चय मानचित्रित करता है। अंतरालों का यह समुच्चय मानचित्र का [[जूलिया सेट\|जूलिया समुच्चय]] होता है - अर्थात, यह इस मानचित्र के अंतर्गत वास्तविक रेखा का सबसे छोटा अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय होता है। यदि μ 2 के वर्गमूल से अधिक होता है, तो ये अंतराल विलीन हो जाते हैं, और जूलिया समुच्चय μ − μ<sup>2</sup> से μ/2 संपूर्ण अंतराल है (द्विभाजन आरेख देखें)।		* यदि μ 1 और 2 के वर्गमूल के मध्य होता है तो प्रणाली μ − μ<sup>2</sup> और μ/2 के मध्य अंतराल का एक समुच्चय मानचित्रित करता है। अंतरालों का यह समुच्चय मानचित्र का [[जूलिया सेट\|जूलिया समुच्चय]] होता है - अर्थात, यह इस मानचित्र के अंतर्गत वास्तविक रेखा का सबसे छोटा अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय होता है। यदि μ 2 के वर्गमूल से अधिक होता है, तो ये अंतराल विलीन हो जाते हैं, और जूलिया समुच्चय μ − μ<sup>2</sup> से μ/2 तक संपूर्ण अंतराल होता है (द्विभाजन आरेख देखें)।
	* यदि μ 1 और 2 के मध्य है तो अंतराल [μ − μ<sup>2</sup>/2, μ/2] में आवधिक और गैर-आवधिक दोनों बिंदु सम्मिलित होते हैं, यधपि सभी कक्षा (गतिशीलता) अस्थिर होती हैं (अर्थात् आस-पास के बिंदु कक्षाओं की ओर जाने के अतिरिक्त उनसे दूर जाते हैं)। μ बढ़ने पर लंबी लंबाई वाली कक्षाएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए:		* यदि μ 1 और 2 के मध्य है तो अंतराल [μ − μ<sup>2</sup>/2, μ/2] में आवधिक और गैर-आवधिक दोनों बिंदु सम्मिलित होते हैं, यधपि सभी कक्षा (गतिशीलता) अस्थिर होती हैं (अर्थात् आस-पास के बिंदु कक्षाओं की ओर जाने के अतिरिक्त उनसे दूर जाते हैं)। μ बढ़ने पर लंबी लंबाई वाली कक्षाएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए:

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	::<math>\frac{\mu}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^3+1} \to \frac{\mu}{\mu^3+1} \mbox{ appears at } \mu=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>		::<math>\frac{\mu}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^3+1} \to \frac{\mu}{\mu^3+1} \mbox{ appears at } \mu=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
	::<math>\frac{\mu}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^4}{\mu^4+1} \to \frac{\mu}{\mu^4+1} \mbox{ appears at } \mu \approx 1.8393</math>		::<math>\frac{\mu}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^4}{\mu^4+1} \to \frac{\mu}{\mu^4+1} \mbox{ appears at } \mu \approx 1.8393</math>
	* यदि μ 2 के समान होता है तो प्रणाली अंतराल [0, 1] को स्वयं ~~मानचित्र~~ करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी उपस्थित होता है। [0, 1] में आवर्त बिंदु सघन होता हैं, इसलिए मानचित्र [[अराजकता सिद्धांत]] बन ~~गया~~ है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और मात्र यदि <math>x_0</math> एक [[अपरिमेय संख्या]] हो। इसे बात पर ध्यान देकर देखा जा सकता है कि जब <math>x_n</math> को [[ बाइनरी संख्या \|बाइनरी संख्या]] ~~नोटेशन~~ में व्यक्त किया जाता है तो मानचित्र क्या करता है : यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में परिवर्तित कर देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार की स्थिति में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से प्रारंभ होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए सदैव चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व होता है।<ref>Collett, Pierre, and [[Jean-Pierre Eckmann\|Eckmann, Jean-Pierre]], ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Boston: Birkhauser, 1980.</ref> पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फलन {<math>x_n</math>} सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।<ref name="Brock">Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," ''Journal of Economic Theory'' 40, October 1986, 168-195.</ref> इस प्रकार <math>x_n</math> स्वत:सहसंबंध फलन का उपयोग करके इसे सफेद ध्वनि से भिन्न नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मानचित्र का r = 4 स्थिति और <math>\mu = 2</math> टेंट मानचित्र की स्थिति एक-दूसरे के समरूप होती हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को प्रदर्शित करते हुए <math>y_n</math>, होमोमोर्फिज्म निम्न प्रकार होता है		* यदि μ 2 के समान होता है तो प्रणाली अंतराल [0, 1] को स्वयं मानचित्रित करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी उपस्थित होता है। [0, 1] में आवर्त बिंदु सघन होता हैं, इसलिए मानचित्र [[अराजकता सिद्धांत]] बन जाता है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और मात्र यदि <math>x_0</math> एक [[अपरिमेय संख्या]] हो। इसे बात पर ध्यान देकर देखा जा सकता है कि जब <math>x_n</math> को [[ बाइनरी संख्या \|बाइनरी संख्या]] अंकन में व्यक्त किया जाता है तो मानचित्र क्या करता है: यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में परिवर्तित कर देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार की स्थिति में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से प्रारंभ होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए सदैव चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व होता है।<ref>Collett, Pierre, and [[Jean-Pierre Eckmann\|Eckmann, Jean-Pierre]], ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Boston: Birkhauser, 1980.</ref> पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फलन {<math>x_n</math>} सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।<ref name="Brock">Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," ''Journal of Economic Theory'' 40, October 1986, 168-195.</ref> इस प्रकार <math>x_n</math> स्वत:सहसंबंध फलन का उपयोग करके इसे सफेद ध्वनि से भिन्न नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मानचित्र का r = 4 स्थिति और <math>\mu = 2</math> टेंट मानचित्र की स्थिति एक-दूसरे के समरूप होती हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को प्रदर्शित करते हुए <math>y_n</math>, होमोमोर्फिज्म निम्न प्रकार होता है

	::<math>x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).</math>		::<math>x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).</math>