जनक फलन - Revision history

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Abhishek moved page जनरेटिंग फ़ंक्शन to जनक फलन without leaving a redirect

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	{{Short description\|Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers}}		{{Short description\|Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers}}गणित में, एक जनक फलन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को एक [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला\|औपचारिक घात श्रृंखला]] के गुणांक के रूप में मानकर कूटलेखन करने का एक तरीका ({{math\|''a''<sub>''n''</sub>}}) है। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक घात श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: जनक फलन को वस्तुतः एक फलन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर एक [[अनिश्चित (चर)]] रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में [[अब्राहम डी मोइवरे]] द्वारा जनक फलन को पहली बार प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{cite book \|author-link=Donald Knuth \|first=Donald E. \|last=Knuth \|series=[[The Art of Computer Programming]] \|volume=1 \|title=मौलिक एल्गोरिदम\|edition=3rd \|publisher=Addison-Wesley \|isbn=0-201-89683-4 \|year=1997 \|chapter=§1.2.9 Generating Functions}}</ref> संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक घात श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है।
	{{About\|गणित में फलन का निर्माण\|पारम्परिक यांत्रिकी में फलन उत्पन्न करना\|फलन उत्पादन (भौतिकी)\|कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में जनित्र\|जनित्र (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)\|आँकड़ों में क्षण उत्पन्न करने वाला फलन\|क्षण उत्पन्न करने वाला फलन}}
	~~{{Very long\|date=July 2022}}~~

	गणित में, एक जनक फलन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को एक [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला\|औपचारिक घात श्रृंखला]] के गुणांक के रूप में मानकर कूटलेखन करने का एक तरीका ({{math\|''a''<sub>''n''</sub>}}) है। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक घात श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: जनक फलन को वस्तुतः एक फलन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर एक [[अनिश्चित (चर)]] रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में [[अब्राहम डी मोइवरे]] द्वारा जनक फलन को पहली बार प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{cite book \|author-link=Donald Knuth \|first=Donald E. \|last=Knuth \|series=[[The Art of Computer Programming]] \|volume=1 \|title=मौलिक एल्गोरिदम\|edition=3rd \|publisher=Addison-Wesley \|isbn=0-201-89683-4 \|year=1997 \|chapter=§1.2.9 Generating Functions}}</ref> संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक घात श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है।

	विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा।		विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा।

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	विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा।		विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा।

	~~औपचा'''रिक~~ श्रृंखला के लिए परिभाषित~~'''~~ संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को प्रायः बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के स्थान पर) में व्यक्त किया जाता है। ~~इन भावों को~~ अनिश्चित के संदर्भ में ~~{{mvar\|x}} के संबंध~~ में अंकगणितीय ~~संचालन, भेदभाव~~ सम्मिलित हो ~~सकता है{{mvar\|~~x}} और संरचना ~~के साथ~~ (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य ~~जनक फलन~~; ~~चूंकि इन कार्यों को कार्यों~~ के लिए भी परिभाषित ~~किया गया है~~, परिणाम ~~एक कार्य की तरह दिखता~~ है~~{{mvar\|x}}~~. वस्तुतः, बंद रूप की ~~अभिव्यक्ति को~~ प्रायः एक ~~ऐसे~~ फलन के रूप में व्याख्या ~~किया~~ जा ~~सकता~~ है जिसका मूल्यांकन (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है ~~{{mvar\|x}}~~, और ~~जिसकी [[~~श्रृंखला विस्तार]] के रूप में औपचारिक श्रृंखला है; यह पदनाम जनक ~~फलनों~~ की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर ~~अभिसारी~~ श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है।~~{{mvar\|x}}.~~ साथ ही, वे सभी व्यंजक ~~नहीं हैं~~ जो के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैं~~{{mvar\|x}}~~ अर्थपूर्ण हैं क्योंकि ~~अभिव्यक्तियाँ~~ औपचारिक ~~श्रृंखला को~~ निर्दिष्ट ~~करती~~ हैं; उदाहरण के लिए, की ~~नकारात्मक~~ और ~~भिन्नात्मक घातयाँ{{mvar\|x}}~~ ऐसे ~~कार्यों~~ के उदाहरण हैं जिनके पास ~~संबंधित~~ औपचारिक घात श्रृंखला नहीं ~~है।~~		औपचारिक श्रृंखला के लिए परिभाषित संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को प्रायः बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के स्थान पर) में व्यक्त किया जाता है। अनिश्चित x के संदर्भ में इन अभिव्यक्तियों में अंकगणितीय परिचालन सम्मिलित हो सकते हैं, x के संबंध में भिन्नता और संरचना (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य उत्पन्न कार्यों के साथ हैं; चूँकि ये संक्रियाएँ फलनों के लिए भी परिभाषित हैं, परिणाम x के फलन जैसा दिखाई देता है. वस्तुतः, बंद रूप अभिव्यक्ति की प्रायः एक फलन के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसका मूल्यांकन x के (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है, और इसकी श्रृंखला विस्तार के रूप में औपचारिक श्रृंखला होती है; यह पदनाम "जनक फलन" की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान x के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसरण श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है। साथ ही, सभी व्यंजक जो x के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैं, अर्थपूर्ण नहीं हैं क्योंकि वे औपचारिक श्रंखला निर्दिष्ट करते हैं; उदाहरण के लिए, x की ऋणात्मक और आंशिक घात ऐसे फलनों के उदाहरण हैं जिनके पास संगत औपचारिक घात श्रृंखला नहीं है

	किसी फलन के ~~डोमेन~~ से [[कोडोमेन]] तक ~~मैपिंग~~ के औपचारिक अर्थ में जनक फलन फलन नहीं हैं। जनक फलन को कभी-कभी ~~उत्पन्निंग~~ शृंखला कहा जाता है,<ref>This alternative term can already be found in E.N. Gilbert (1956), "Enumeration of Labeled graphs", ''[[Canadian Journal of Mathematics]]'' 3, [https://books.google.com/books?id=x34z99fCRbsC&lpg=PA405&ots=eOp9p9mIoD&dq=%22generating%20series%22&lr=lang_en&pg=PA407#v=onepage&q=%22generating%20series%22&f=false p. 405–411], but its use is rare before the year 2000; since then it appears to be increasing.</ref> इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है।		किसी फलन के कार्यक्षेत्र से [[कोडोमेन]] तक प्रतिचित्रण के औपचारिक अर्थ में जनक फलन फलन नहीं हैं। जनक फलन को कभी-कभी उत्पादक शृंखला कहा जाता है,<ref>This alternative term can already be found in E.N. Gilbert (1956), "Enumeration of Labeled graphs", ''[[Canadian Journal of Mathematics]]'' 3, [https://books.google.com/books?id=x34z99fCRbsC&lpg=PA405&ots=eOp9p9mIoD&dq=%22generating%20series%22&lr=lang_en&pg=PA407#v=onepage&q=%22generating%20series%22&f=false p. 405–411], but its use is rare before the year 2000; since then it appears to be increasing.</ref> इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है।

	== परिभाषाएँ ==		== परिभाषाएँ ==

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