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2023-03-31T05:59:01Z

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[[विशेष सापेक्षता]] में, चार-संवेग (जिसे संवेग-ऊर्जा या मोम-ऊर्जा भी कहा जाता है<ref>{{cite book |last1=Taylor |first1=Edwin |last2=Wheeler |first2=John |title=स्पेसटाइम भौतिकी विशेष सापेक्षता का परिचय|date=1992 |publisher=W. H. Freeman and Company |location=New York |isbn=978-0-7167-2327-1 |page=191}}</ref> ) शास्त्रीय त्रि-आयामी संवेग का चार-आयामी दिक्-काल में सामान्यीकरण है। मोमेंटम [[तीन आयाम]]ों में एक वेक्टर है; इसी तरह चार-मोमेंटम [[ अंतरिक्ष समय ]] में एक [[चार-वेक्टर]] है। आपेक्षिक ऊर्जा वाले कण का प्रतिपरिवर्ती सदिश चार-संवेग {{mvar|E}} और तीन-गति {{math|1='''p''' = (''p''x, ''p''y, ''p''z) = ''γm'''''v'''}}, कहाँ {{math|'''v'''}} कण का तीन-वेग है और {{mvar|γ}} [[लोरेंत्ज़ कारक]], है
<math display="block">p = \left(p^0 , p^1 , p^2 , p^3\right) = \left(\frac E c , p_x , p_y , p_z\right).</math>
मात्रा {{math|''m'''''v'''}उपरोक्त का } साधारण संवेग#एकल कण|कण का गैर-सापेक्ष संवेग है और {{mvar|m}} उसका विराम द्रव्यमान। सापेक्षतावादी गणनाओं में चार-संवेग उपयोगी है क्योंकि यह एक [[लोरेंत्ज़ सहसंयोजक]] वेक्टर है। इसका मतलब यह है कि [[लोरेंत्ज़ परिवर्तन]]ों के तहत यह कैसे रूपांतरित होता है, इस पर नज़र रखना आसान है।

उपरोक्त परिभाषा समन्वय सम्मेलन के तहत लागू होती है {{math|1=''x''0 = ''ct''}}. कुछ लेखक सम्मेलन का उपयोग करते हैं {{math|1=''x''0 = ''t''}}, जो एक संशोधित परिभाषा देता है {{math|1=''p''0 = ''E''/''c''2}}. सहपरिवर्ती सदिश चार-संवेग को परिभाषित करना भी संभव है {{math|''p''''μ''}} जहां ऊर्जा का चिन्ह (या चुने हुए [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] के आधार पर तीन-गति का चिन्ह) उलटा हो।

== मिंकोस्की मानदंड ==

मिन्कोवस्की स्थान की गणना करना#चार-मोमेंटम की गणितीय संरचना एक [[लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय]] मात्रा के बराबर देती है ([[प्रकाश की गति]] के कारकों तक) {{math|''c''}}) कण के [[उचित द्रव्यमान]] के वर्ग तक:
<math display="block">p \cdot p = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = p_\nu p^\nu = -{E^2 \over c^2} + |\mathbf p|^2 = -m^2 c^2</math>
कहाँ
<math display="block"> \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} </math>
निश्चितता के लिए मीट्रिक हस्ताक्षर के साथ विशेष सापेक्षता का मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) चुना जाना है {{math|(–1, 1, 1, 1)}}. मानदंड की नकारात्मकता दर्शाती है कि संवेग विशाल कणों के लिए एक समय-समान चार-वेक्टर है। हस्ताक्षर की दूसरी पसंद कुछ सूत्रों में संकेत फ़्लिप करेगी (जैसे यहां आदर्श के लिए)। यह चुनाव महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन एक बार बना लेने के बाद इसे निरंतरता बनाए रखना चाहिए।

मिन्कोव्स्की मानदंड लोरेंत्ज़ इनवेरिएंट है, जिसका अर्थ है कि इसका मूल्य लोरेंत्ज़ परिवर्तनों/संदर्भ के विभिन्न फ़्रेमों में वृद्धि द्वारा नहीं बदला गया है। अधिक आम तौर पर, किसी भी दो चार-क्षण के लिए {{mvar|p}} और {{mvar|q}}, मात्रा {{math|''p'' ⋅ ''q''}} अपरिवर्तनीय है।

== चार-वेग से संबंध ==

एक विशाल कण के लिए, चार-संवेग कण के [[अपरिवर्तनीय द्रव्यमान]] द्वारा दिया जाता है {{mvar|m}} कण के [[चार-वेग]] से गुणा,
<math display="block">p^\mu = m u^\mu,</math>
जहां चार-वेग {{mvar|u}} है
<math display="block"> u = \left(u^0 , u^1 , u^2 , u^3\right) = \gamma_v \left(c , v_x , v_y , v_z\right), </math>
और
<math display="block">\gamma_v = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>
लोरेंत्ज़ कारक है (गति के साथ जुड़ा हुआ है {{mvar|v}}), {{math|''c''}} प्रकाश की गति है।

== व्युत्पत्ति ==
चार-संवेग के लिए सही व्यंजक पर पहुँचने के कई तरीके हैं। एक तरीका यह है कि पहले चार-वेग को परिभाषित किया जाए {{math|1=''u'' = ''dx''/''dτ''}} और बस परिभाषित करें {{math|1=''p'' = ''mu''}}, संतुष्ट होने के नाते कि यह सही इकाइयों और सही व्यवहार वाला चार-वेक्टर है। एक और, अधिक संतोषजनक, दृष्टिकोण कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के साथ शुरू करना है और ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति सहित चार-गति को प्राप्त करने के लिए लग्रांगियन यांत्रिकी का उपयोग करना है।<ref>{{harvnb|Landau|Lifshitz|2002|pp=25–29}}</ref> एक बार में, नीचे दिए गए अवलोकनों का उपयोग करते हुए, क्रिया (भौतिकी) # एकल सापेक्ष कण से चार-संवेग को परिभाषित कर सकते हैं {{mvar|S}}. यह देखते हुए कि सामान्य रूप से सामान्यीकृत निर्देशांक वाले बंद सिस्टम के लिए {{math|''q''''i''}} और [[विहित गति]] {{math|''p''''i''}},<ref>{{harvnb|Landau|Lifshitz|1975|pp=139}}</ref>
<math display="block">p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} = \frac{\partial S}{\partial x_i}, \quad E = -\frac{\partial S}{\partial t} = - c \cdot \frac{\partial S}{\partial x_0},</math>
यह तत्काल है (याद करते हुए {{math|1=''x''0 = ''ct''}}, {{math|1=''x''1 = ''x''}}, {{math|1=''x''2 = ''y''}}, {{math|1=''x''3 = ''z''}} और {{math|1=''x''0 = −''x''0}}, {{math|1=''x''1 = ''x''1}}, {{math|1=''x''2 = ''x''2}}, {{math|1=''x''3 = ''x''3}} वर्तमान मीट्रिक सम्मेलन में) कि
<math display="block">p_\mu = -\frac{\partial S}{\partial x^\mu} = \left({E \over c}, -\mathbf p\right)</math>
एक सहसंयोजक चार-वेक्टर है जिसमें तीन-वेक्टर भाग विहित संवेग (नकारात्मक) है।
{{Hidden begin
| titlestyle = color:green; background:lightgrey; padding:0.2em;
| title = Observations
}}
स्वतंत्रता की एक डिग्री की शुरुआत में एक प्रणाली पर विचार करें {{mvar|q}}. हैमिल्टन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए कार्रवाई से [[गति के समीकरण]]ों की व्युत्पत्ति में, एक (आम तौर पर) कार्रवाई की भिन्नता की कलन के लिए एक मध्यवर्ती चरण में पाता है,
<math display="block">\delta S = \left. \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]\right|_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)\delta q dt.</math>
धारणा यह है कि विविध पथ संतुष्ट करते हैं {{math|1=''δq''(''t''1) = ''δq''(''t''2) = 0}}, जिससे Lagrange के समीकरण तुरंत अनुसरण करते हैं। जब गति के समीकरण ज्ञात होते हैं (या केवल संतुष्ट मान लिया जाता है), कोई आवश्यकता को छोड़ सकता है {{math|1=''δq''(''t''2) = 0}}. इस मामले में गति के समीकरणों को संतुष्ट करने के लिए पथ माना जाता है, और क्रिया ऊपरी एकीकरण सीमा का एक कार्य है {{math|''δq''(''t''2)}}, लेकिन {{math|''t''2}} अभी भी तय है। उपरोक्त समीकरण बन जाता है {{math|1=''S'' = ''S''(''q'')}}, और परिभाषित करना {{math|1=''δq''(''t''2) = ''δq''}}, और स्वतंत्रता की अधिक मात्रा में देना,
<math display="block">\delta S = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i = \sum_i p_i \delta q_i.</math>
यह देखते हुए
<math display="block">\delta S = \sum_i \frac{\partial S}{\partial {q}_i}\delta q_i,</math>
एक ने निष्कर्ष निकाला
<math display="block">p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}.</math>
इसी तरह, एंडपॉइंट्स को स्थिर रखें, लेकिन जाने दें {{math|1=''t''2 = ''t''}} अलग होना। इस बार, सिस्टम को मनमाना गति से या अधिक या कम ऊर्जा के साथ विन्यास स्थान के माध्यम से स्थानांतरित करने की अनुमति दी जाती है, क्षेत्र समीकरणों को अभी भी धारण करने के लिए माना जाता है और भिन्नता को अभिन्न पर किया जा सकता है, लेकिन इसके बजाय निरीक्षण करें
<math display="block">\frac{dS}{dt} = L</math>
कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा। विहित संवेग के लिए उपरोक्त व्यंजक का उपयोग करके गणना करें,
<math display="block">
\frac{dS}{dt} = \frac{\partial S}{\partial t} + \sum_i \frac{\partial S}{\partial q_i}\dot{q}_i =
\frac{\partial S}{\partial t} + \sum_i p_i\dot{q}_i = L.
</math>
अब प्रयोग कर रहे हैं
<math display="block">H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L,</math>
कहाँ {{mvar|H}} [[हैमिल्टन समारोह]] है, जिसके बाद से होता है {{math|1=''E'' = ''H''}} वर्तमान मामले में,
<math display="block">E = H = -\frac{\partial S}{\partial t}.</math>
संयोग से, का उपयोग कर {{math|1=''H'' = ''H''(''q'', ''p'', ''t'')}} साथ {{math|1=''p'' = {{sfrac|∂''S''|∂''q''}}}} उपरोक्त समीकरण में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण प्राप्त होते हैं। इस संदर्भ में, {{mvar|S}} हैमिल्टन का मुख्य फलन कहलाता है।
----
{{Hidden end}}

कार्य {{mvar|S}} द्वारा दिया गया है
<math display="block">S = -mc\int ds = \int L dt, \quad L = -mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}},</math>
कहाँ {{mvar|L}} एक मुक्त कण के लिए आपेक्षिकीय Lagrangian यांत्रिकी है। इस से,
{{Hidden begin
| titlestyle = color:green; background:lightgrey; padding:0.2em;
| title=glossing over these details,
}}
क्रिया का रूपांतर है
<math display="block">\delta S = -mc\int \delta ds.</math>
की गणना करना {{math|''δds''}}, पहले उसे देखें {{math|1=''δds''2 = 2''dsδds''}} ओर वो
<math display="block">\delta ds^2
= \delta \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu
= \eta_{\mu\nu} \left(\delta \left(dx^\mu\right) dx^\nu + dx^\mu \delta \left(dx^\nu\right)\right)
= 2\eta_{\mu\nu} \delta \left(dx^\mu\right) dx^\nu.
</math>
इसलिए
<math display="block">\delta ds = \eta_{\mu\nu} \delta dx^\mu \frac{dx^\nu}{ds} = \eta_{\mu\nu} d\delta x^\mu \frac{dx^\nu}{ds},</math>
या
<math display="block">\delta ds = \eta_{\mu\nu} \frac{d\delta x^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{cd\tau}d\tau,</math>
और इस तरह
<math display="block">\delta S =
-m\int \eta_{\mu\nu} \frac{d\delta x^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau}d\tau =
-m\int \eta_{\mu\nu} \frac{d\delta x^\mu}{d\tau} u^\nu d\tau =
-m\int \eta_{\mu\nu} \left[\frac{d}{d\tau} \left(\delta x^\mu u^\nu\right) - \delta x^\mu\frac{d}{d\tau}u^\nu\right] d\tau
</math>
जो न्यायसंगत है
<math display="block">\delta S = \left[-mu_\mu\delta x^\mu\right]_{t_1}^{t_2} + m \int_{t_1}^{t_2} \delta x^\mu\frac{du_\mu}{ds}ds</math>
----
{{Hidden end}}
<math display="block">\delta S = \left[ -mu_\mu\delta x^\mu\right]_{t_1}^{t_2} + m\int_{t_1}^{t_2}\delta x^\mu\frac{du_\mu}{ds}ds = -mu_\mu\delta x^\mu = \frac{\partial S}{\partial x^\mu}\delta x^\mu = -p_\mu\delta x^\mu,</math>
जहां दूसरा चरण क्षेत्र समीकरणों को नियोजित करता है {{math|1=''du''''μ''/''ds'' = 0}}, {{math|1=(''δx''''μ'')''t''1 = 0}}, और {{math|(''δx''''μ'')''t''2 ≡ ''δx''''μ''}} उपरोक्त टिप्पणियों के अनुसार। अब खोजने के लिए पिछले तीन भावों की तुलना करें
<math display="block">p^\mu = -\partial^\mu[S] = -\frac{\partial S}{\partial x_\mu} = mu^\mu = m\left(\frac{c}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \frac{v_x}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \frac{v_y}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \frac{v_z}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right),</math>
आदर्श के साथ {{math|−''m''2''c''2}}, और सापेक्षतावादी ऊर्जा के लिए प्रसिद्ध परिणाम,

{{Equation box 1
|indent =:
|title=
|equation = <math>E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = m_{r}c^2,</math>
|cellpadding = 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor = #F9FFF7
}}

कहाँ {{math|''m''''r''}} विशेष सापेक्षता में अब अप्रचलित द्रव्यमान है#सापेक्षतावादी द्रव्यमान, इस प्रकार है। संवेग और ऊर्जा के भावों की सीधे तुलना करके, किसी के पास है

{{Equation box 1
|indent =:
|title=
|equation = <math>\mathbf p = E\frac{\mathbf v}{c^2},</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor = #F9FFF7
}}

जो द्रव्यमान रहित कणों पर भी लागू होता है। ऊर्जा और तीन-संवेग के लिए व्यंजकों का वर्ग करना और उन्हें संबंधित करना ऊर्जा-संवेग संबंध देता है,

{{Equation box 1
|indent =:
|title=
|equation = <math>\frac{E^2}{c^2} = \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2c^2.</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7
}}

स्थानापन्न
<math display="block">p_\mu \leftrightarrow -\frac{\partial S}{\partial x^\mu}</math>
आदर्श के लिए समीकरण में सापेक्षवादी हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण देता है,<ref>{{harvnb|Landau|Lifshitz|1975|p=30}}</ref>

{{Equation box 1
|indent =:
|title=
|equation = <math>\eta^{\mu\nu}\frac{\partial S}{\partial x^\mu}\frac{\partial S}{\partial x^\nu} = -m^2c^2.</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7
}}

Lagrangian से सीधे परिणाम प्राप्त करना भी संभव है। परिभाषा से,<ref>{{harvnb|Landau|Lifshitz|1975|pp=15–16}}</ref>
<math display="block">\begin{align}
\mathbf p &= \frac{\partial L}{\partial \mathbf v}
= \left({\partial L\over \partial \dot x}, {\partial L\over\partial \dot y}, {\partial L\over\partial \dot z}\right)
= m(\gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) = m\gamma \mathbf v
= m \mathbf u , \\[3pt]
E &= \mathbf p \cdot \mathbf v - L = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}},
\end{align}</math>
जो एक बंद (समय-स्वतंत्र Lagrangian) प्रणाली की विहित गति और ऊर्जा के लिए मानक सूत्र बनाते हैं। इस दृष्टिकोण से यह कम स्पष्ट है कि ऊर्जा और संवेग एक चार-वेक्टर के हिस्से हैं।

Lagrangian ढांचे में पृथक प्रणालियों के लिए ऊर्जा और तीन-गति अलग-अलग संरक्षित मात्राएं हैं। इसलिए चार-मोमेंटम भी संरक्षित है। इस पर अधिक नीचे।

अधिक पैदल चलने वालों के दृष्टिकोण में इलेक्ट्रोडायनामिक्स में अपेक्षित व्यवहार शामिल है।<ref>{{harvnb|Sard|1970|loc=Section 3.1}}</ref> इस दृष्टिकोण में, शुरुआती बिंदु कण के बाकी फ्रेम में [[लोरेंत्ज़ बल कानून]] और न्यूटन के दूसरे कानून का अनुप्रयोग है। इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड टेन्सर के ट्रांसफ़ॉर्मेशन गुण, जिसमें [[ बिजली का आवेश ]] का इंवेरियन शामिल है, का उपयोग तब लैब फ्रेम में बदलने के लिए किया जाता है, और परिणामी अभिव्यक्ति (फिर से लोरेंत्ज़ बल कानून) की व्याख्या न्यूटन के दूसरे नियम की भावना से की जाती है, जिससे सही अभिव्यक्ति होती है सापेक्षवादी तीन गति के लिए। बेशक, नुकसान यह है कि यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि परिणाम सभी कणों पर लागू होता है, चाहे चार्ज किया गया हो या नहीं, और यह पूर्ण चार-वेक्टर नहीं देता है।

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म से बचना भी संभव है और अच्छी तरह से प्रशिक्षित भौतिकविदों को बिलियर्ड गेंदों को फेंकने, वेग के अतिरिक्त सूत्र के ज्ञान का उपयोग करने और संवेग के संरक्षण को संभालने के लिए अच्छी तरह से प्रशिक्षित प्रयोगों का उपयोग करना संभव है।<ref>{{harvnb|Sard|1970|loc=Section 3.2}}</ref><ref>{{harvnb|Lewis|Tolman|1909}} [[s:The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics|Wikisource version]]</ref> यह भी केवल तीन-सदिश भाग देता है।

== चार-[[गति]] का संरक्षण ==
जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, तीन संरक्षण कानून हैं (स्वतंत्र नहीं हैं, अंतिम दो पहले और इसके विपरीत हैं):
*चार गति {{mvar|p}} (या तो सहपरिवर्ती या प्रतिपरिवर्ती) संरक्षित है।
* कुल [[ऊर्जा]] {{math|1=''E'' = ''p''0''c''}} संरक्षित है।
* [[3-अंतरिक्ष]] गति <math>\mathbf{p} = \left(p^1, p^2, p^3\right)</math> संरक्षित है (क्लासिक गैर-सापेक्षतावादी गति के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए <math>m\mathbf{v}</math>).

ध्यान दें कि कणों की एक प्रणाली का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान कणों के बाकी द्रव्यमानों के योग से अधिक हो सकता है, क्योंकि प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र में [[गतिज ऊर्जा]] और कणों के बीच बलों से [[संभावित ऊर्जा]] अपरिवर्तनीय द्रव्यमान में योगदान करती है। एक उदाहरण के रूप में, चार-आवेग वाले दो कण {{nowrap|(5 GeV/''c'', 4 GeV/''c'', 0, 0)}} और {{nowrap|(5 GeV/''c'', −4 GeV/''c'', 0, 0)}} प्रत्येक का (आराम) द्रव्यमान 3 है{{nbsp}}जीईवी/सी2 अलग से, लेकिन उनका कुल द्रव्यमान (सिस्टम द्रव्यमान) 10 है{{nbsp}}जीईवी/सी2</उप>। यदि ये कण आपस में टकराकर चिपक जाते हैं, तो मिश्रित वस्तु का द्रव्यमान 10 होगा{{nbsp}}जीईवी/सी2</उप>।

अपरिवर्तनीय द्रव्यमान के संरक्षण के [[कण भौतिकी]] से एक व्यावहारिक अनुप्रयोग में चार-संवेग का संयोजन शामिल है {{math|''p''A}} और {{math|''p''B}} चार-संवेग वाले एक भारी कण के क्षय में उत्पन्न दो पुत्री कणों की {{math|''p''C}} भारी कण का द्रव्यमान ज्ञात करने के लिए। चार-गति का संरक्षण देता है {{math|1=''p''C''μ'' = ''p''A''μ'' + ''p''B''μ''}}, जबकि द्रव्यमान {{math|''M''}भारी कण का } द्वारा दिया जाता है {{math|1=−''P''C ⋅ ''P''C = ''M''2''c''2}}. बेटी कणों की ऊर्जा और तीन-मोमेंट को मापकर, दो-कण प्रणाली के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान का पुनर्निर्माण किया जा सकता है, जो बराबर होना चाहिए {{mvar|M}}. इस तकनीक का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, उच्च-ऊर्जा कण [[कोलाइडर]] में Z' बोसोन के लिए प्रयोगात्मक खोजों में, जहां Z' बोसोन [[इलेक्ट्रॉन]]-पॉज़िट्रॉन या म्यूऑन-एंटीमुऑन जोड़े के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान स्पेक्ट्रम में टक्कर के रूप में दिखाई देगा।

यदि किसी वस्तु का द्रव्यमान नहीं बदलता है, तो उसके चार-संवेग और इसी [[चार-त्वरण]] का मिन्कोव्स्की आंतरिक उत्पाद {{math|''A''''μ''}} बस शून्य है। चार-त्वरण कण के द्रव्यमान से विभाजित चार-संवेग के उचित समय व्युत्पन्न के समानुपाती होता है, इसलिए
<math display="block">p^\mu A_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu A^\nu = \eta_{\mu\nu} p^\mu \frac{d}{d\tau} \frac{p^{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{d\tau} p \cdot p = \frac{1}{2m} \frac{d}{d\tau} \left(-m^2c^2\right) = 0 .</math>

== एक विद्युत चुम्बकीय क्षमता की उपस्थिति में विहित संवेग ==
विद्युत आवेश के [[आवेशित कण]] के लिए {{math|''q''}}, [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] द्वारा दिए गए विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में घूम रहा है:
<math display="block"> A = \left(A^0 , A^1 , A^2 , A^3\right) = \left({\phi \over c}, A_x , A_y , A_z\right) </math>
कहाँ {{mvar|φ}} स्केलर क्षमता है और {{math|1='''A''' = (''A''x, ''A''y, ''A''z)}} [[वेक्टर क्षमता]], के घटक ([[गेज इनवेरियन]] नहीं| गेज-इनवेरिएंट) कैनोनिकल मोमेंटम फोर-वेक्टर {{mvar|P}} है
<math display="block"> P^\mu = p^\mu + q A^\mu. </math>
यह, बदले में, इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता में आवेशित कण से संभावित ऊर्जा और चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर [[लोरेंत्ज़ बल]] को [[सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी]] में एक कॉम्पैक्ट तरीके से शामिल करने की अनुमति देता है।

== यह भी देखें ==
{{portal|Physics}}
* [[चार बल]]
* चार-ढाल
* पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर

==संदर्भ==
{{reflist}}
*{{cite book| last=Goldstein|first=Herbert| title=Classical mechanics|year=1980| publisher=Addison–Wesley Pub. Co.| location=Reading, Mass.| isbn=978-0201029185| edition=2nd }}
*{{Cite book|last1=Landau|first1=L. D.| authorlink1=Lev Landau| last2=Lifshitz|first2=E. M.| authorlink2=E. M. Lifshitz| title=Mechanics| year=1975| edition=3rd| orig-year=1939| isbn=978-0-7506-28969| publisher=Elsevier| location=Amsterdam| others=Translated from Russian by J. B. Sykes and [[John Stewart Bell|J. S. Bell]].}}
*{{cite book|last1=Landau|first1=L.D.| first2=E.M.|last2=Lifshitz|title=The classical theory of fields|year=2000| publisher=Butterworth Heinemann| location=Oxford|isbn=9780750627689 | others=4th rev. English edition, reprinted with corrections; translated from the Russian by Morton Hamermesh}}
*{{cite book | author=Rindler, Wolfgang | title=Introduction to Special Relativity | edition=2nd | location=Oxford | publisher=Oxford University Press | year=1991 | isbn=978-0-19-853952-0 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/introductiontosp0000rind }}
*{{cite book|last=Sard|first=R. D.|title=Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics|year=1970|publisher=W. A. Benjamin|location=New York|isbn=978-0805384918|url-access=registration|url=https://archive.org/details/relativisticmech0000sard}}
*{{cite journal|first1=G. N.|last1=Lewis|authorlink1=Gilbert N. Lewis|first2=R. C.|last2=Tolman|authorlink2=Richard C. Tolman|title=The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics|journal=Phil. Mag.|series=6|volume=18|issue=106|doi=10.1080/14786441008636725|pages=510–523|year=1909|url=https://zenodo.org/record/1430872}} [[s:The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics|Wikisource version]]
[[Category: चार-वैक्टर]] [[Category: गति]]

[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 31/03/2023]]

@@ Line 199: / Line 199: @@
 *{{cite book|last=Sard|first=R. D.|title=Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics|year=1970|publisher=W. A. Benjamin|location=New York|isbn=978-0805384918|url-access=registration|url=https://archive.org/details/relativisticmech0000sard}}
 *{{cite journal|first1=G. N.|last1=Lewis|authorlink1=Gilbert N. Lewis|first2=R. C.|last2=Tolman|authorlink2=Richard C. Tolman|title=The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics|journal=Phil. Mag.|series=6|volume=18|issue=106|doi=10.1080/14786441008636725|pages=510&ndash;523|year=1909|url=https://zenodo.org/record/1430872}} [[s:The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics|Wikisource version]]
 [[Category:Created On 31/03/2023]]
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