चार-वेग - Revision history

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 * {{cite book | author = Einstein, Albert | translator =  Robert W. Lawson | title = Relativity: The Special and General Theory | location = New York | publisher = Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995 | year = 1920 }}
 * {{cite book| author=Rindler, Wolfgang| title=Introduction to Special Relativity (2nd)| location=Oxford| publisher=Oxford University Press| year=1991| isbn=0-19-853952-5| url-access=registration| url=https://archive.org/details/introductiontosp0000rind}}
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	{{Short description\|Analogue of velocity in four-dimensional spacetime}}		{{Short description\|Analogue of velocity in four-dimensional spacetime}}
	भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर\|चार-सदिश]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के ~~सापेक्षवादी समकक्ष~~ का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी सदिश है।		भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर\|चार-सदिश]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के आपेक्षिकीय प्रतिरूप का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी सदिश है।

	भौतिक [[घटना (सापेक्षता)\|घटना(सापेक्षता)]] समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का समूह एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास अंतरिक्ष-समय में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी [[विश्व रेखा]] कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से [[प्रकाश की गति]] से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के [[उचित समय]] के अनुसार [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)\|पैरामीट्रिज्ड(ज्यामिति)]] हो सकती है। चार-[[वेग]] वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के(त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा प्रेक्षक द्वारा देखा गया है, प्रेक्षक के समय के संबंध में।		भौतिक [[घटना (सापेक्षता)\|घटना(सापेक्षता)]] समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का समूह एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास अंतरिक्ष-समय में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी [[विश्व रेखा]] कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से [[प्रकाश की गति]] से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के [[उचित समय]] के अनुसार [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)\|पैरामीट्रिज्ड(ज्यामिति)]] हो सकती है। चार-[[वेग]] वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के(त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा प्रेक्षक द्वारा देखा गया है, प्रेक्षक के समय के संबंध में।
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	=== ~~चतुर्भुज~~ की परिभाषा ===		=== चार-वेग की परिभाषा ===

	चार-वेग एक [[समयबद्ध वक्र]] विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश ~~है।चतुर्भुज~~ <math>\mathbf{U}</math> विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर <math>\mathbf{X}(\tau)</math> परिभाषित किया जाता है:		चार-वेग एक [[समयबद्ध वक्र]] विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश है। चार-वेग <math>\mathbf{U}</math> विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर <math>\mathbf{X}(\tau)</math> परिभाषित किया जाता है:

	:<math>\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}</math>		:<math>\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}</math>
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	:<math>x^0 = ct </math>		:<math>x^0 = ct </math>
	:द्वारा परिभाषित किया गया है।		:द्वारा परिभाषित किया गया है।
	उचित समय τ के संबंध में इसका व्युत्पन्न लेते हुए, हम μ = 0 ~~के लिए U<sup>μ</sup> वेग घटक पाते हैं~~:		उचित समय τ के संबंध में इसका व्युत्पन्न लेते हुए, हम μ = 0:

	:<math>U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{d(ct)}{d\tau} = c\frac{dt}{d\tau} = c \gamma(u)</math>		:<math>U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{d(ct)}{d\tau} = c\frac{dt}{d\tau} = c \gamma(u)</math>
	और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें यू μ = 1, 2, 3 ~~के लिए u<sup>μ</sup> वेग घटक मिलता है~~:		:के लिए U<sup>μ</sup> वेग घटक पाते हैं:
			और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें μ = 1, 2, 3:

	:<math>U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =		<math>U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =
	\frac{dx^i}{dt} \frac{dt}{d\tau} =		\frac{dx^i}{dt} \frac{dt}{d\tau} =
	\frac{dx^i}{dt} \gamma(u) =		\frac{dx^i}{dt} \gamma(u) =
	\gamma(u) u^i		\gamma(u) u^i
	</math>		</math>


			के लिए u<sup>μ</sup> वेग घटक मिलता है।

	जहाँ हमने [[श्रृंखला नियम]] और संबंधों का उपयोग किया है		जहाँ हमने [[श्रृंखला नियम]] और संबंधों का उपयोग किया है

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	:<math>\gamma(u) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\,,</math>		:<math>\gamma(u) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\,,</math>
	3डी वेग सदिश		3डी वेग सदिश <math>\vec{u}</math> के यूक्लिडियन नियम u का एक चर है:

	के यूक्लिडियन नियम u का एक चर है:के यूक्लिडियनयूक्लिडियन नियम u का एक फंक्शन हैयूक्लिडियन नियम u का एक फंक्शन है

	:

	<math>\vec{u}</math>
	:<math>u = \\|\ \vec{u}\ \\| = \sqrt{ \left(u^1\right)^2 + \left(u^2\right)^2 + \left(u^3\right)^2} \,.</math>		:<math>u = \\|\ \vec{u}\ \\| = \sqrt{ \left(u^1\right)^2 + \left(u^2\right)^2 + \left(u^3\right)^2} \,.</math>

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	=== चतुर्भुज की परिभाषा ===		=== चतुर्भुज की परिभाषा ===

	चार-वेग एक [[समयबद्ध वक्र]] विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश ~~है।~~		चार-वेग एक [[समयबद्ध वक्र]] विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश है।चतुर्भुज <math>\mathbf{U}</math> विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर <math>\mathbf{X}(\tau)</math> परिभाषित किया जाता है:
	~~चतुर्भुज~~ <math>\mathbf{U}</math> विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर <math>\mathbf{X}(\tau)</math> परिभाषित किया जाता है:

	:<math>\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}</math>		:<math>\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}</math>
	~~कहाँ~~ <math>\mathbf{X}</math> चार स्थिति है और <math>\tau</math> उचित समय है।<ref>{{cite book\|last1=McComb\|first1=W. D.\|title=गतिशीलता और सापेक्षता\|date=1999\|publisher=Oxford University Press\|location=Oxford [etc.]\|isbn=0-19-850112-9\|pages=230}}</ref>		<math>\mathbf{X}</math> चार स्थिति है और <math>\tau</math> उचित समय है।<ref>{{cite book\|last1=McComb\|first1=W. D.\|title=गतिशीलता और सापेक्षता\|date=1999\|publisher=Oxford University Press\|location=Oxford [etc.]\|isbn=0-19-850112-9\|pages=230}}</ref>
	किसी वस्तु के उचित समय का उपयोग करते हुए यहां परिभाषित चार-वेग द्रव्यमान रहित वस्तुओं जैसे कि प्रकाश की गति से ~~यात्रा करने~~ वाले फोटॉन के लिए विश्व रेखाओं के लिए ~~मौजूद~~ नहीं है; न ही इसे [[अन्य सी ह्युंग]] विश्व रेखाओं के लिए परिभाषित किया गया है, जहां स्पर्शरेखा सदिश [[ spacelike ]] है।
			किसी वस्तु के उचित समय का उपयोग करते हुए यहां परिभाषित चार-वेग द्रव्यमान रहित वस्तुओं जैसे कि प्रकाश की गति से चलने वाले फोटॉन के लिए विश्व रेखाओं के लिए स्थित नहीं है; न ही इसे [[अन्य सी ह्युंग]] विश्व रेखाओं के लिए परिभाषित किया गया है, जहां स्पर्शरेखा सदिश [[ spacelike \| अंतरिक्ष जैसे]] है।

	=== चार-वेग के घटक ===		=== चार-वेग के घटक ===

	समय t और निर्देशांक समय x ~~के बीच संबंध~~<sup>0</sup> ~~द्वारा परिभाषित किया गया है~~		समय t और निर्देशांक समय ''x''<sup>0</sup> के बीच संबंध को

	:<math>x^0 = ct .</math>		:<math>x^0 = ct </math>
	उचित समय τ के संबंध में ~~इसकी व्युत्पत्ति~~ लेते हुए, हम U ~~पाते हैं~~<sup>μ</sup> वेग घटक ~~μ = 0 के लिए~~:		:द्वारा परिभाषित किया गया है।
			उचित समय τ के संबंध में इसका व्युत्पन्न लेते हुए, हम μ = 0 के लिए U<sup>μ</sup> वेग घटक पाते हैं:

	:<math>U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{d(ct)}{d\tau} = c\frac{dt}{d\tau} = c \gamma(u)</math>		:<math>U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{d(ct)}{d\tau} = c\frac{dt}{d\tau} = c \gamma(u)</math>
	और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें यू ~~मिलता है<sup>μ</sup>~~ μ = 1, 2, 3 के लिए वेग घटक:		और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें यू μ = 1, 2, 3 के लिए u<sup>μ</sup> वेग घटक मिलता है:

	:<math>U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =		:<math>U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =
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	:<math>u^i = {dx^i \over dt } \,,\quad \frac{dt}{d\tau} = \gamma (u)</math>		:<math>u^i = {dx^i \over dt } \,,\quad \frac{dt}{d\tau} = \gamma (u)</math>
	इस प्रकार, हम चार-वेग ~~के लिए पाते हैं~~ <math>\mathbf{U}</math>:		इस प्रकार, हम चार-वेग <math>\mathbf{U}</math> के लिए पाते हैं :

	:<math>\mathbf{U} = \gamma \begin{bmatrix} c\\ \vec{u} \\ \end{bmatrix}.</math>		:<math>\mathbf{U} = \gamma \begin{bmatrix} c\\ \vec{u} \\ \end{bmatrix}.</math>

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{{Short description|Analogue of velocity in four-dimensional spacetime}}
भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के सापेक्षवादी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी वेक्टर है।

भौतिक [[घटना (सापेक्षता)]] समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का सेट एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास स्पेसटाइम में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी [[विश्व रेखा]] कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से [[प्रकाश की गति]] से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के [[उचित समय]] के अनुसार [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)]] हो सकती है। चार-[[वेग]] वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के (त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा पर्यवेक्षक द्वारा देखा गया है, पर्यवेक्षक के समय के संबंध में।

किसी वस्तु के चार-वेग के मैग्नीट्यूड_(गणित)#स्यूडो-यूक्लिडियन_स्पेस का मान, यानी मीट्रिक टेन्सर (सामान्य_सापेक्षता) लगाने से प्राप्त मात्रा {{math|''g''}} चार-वेग के लिए {{math|'''U'''}}, वह है {{math|1={{norm|'''U'''}}2 = '''U''' ⋅ '''U''' {{=}} ''g''''μν''''U''''ν''''U''''μ''}}, हमेशा बराबर होता है {{math|±''c''2}}, कहाँ {{mvar|c}} प्रकाश की गति है। प्लस या माइनस साइन लागू होता है या नहीं यह [[ मीट्रिक हस्ताक्षर ]] के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु के आराम के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय होता है {{math|''U''0 {{=}} ''c''}}. एक चार-वेग इस प्रकार एक विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। हालांकि यह एक सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से एक चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।<ref group=nb>The set of four-velocities is a subset of the tangent space (which ''is'' a vector space) at an event. The label ''four-vector'' stems from the behavior under [[Lorentz transformation]]s, namely under which particular [[Representation theory of the Lorentz group|representation]] they transform.</ref>

== वेग ==

त्रि-आयामी अंतरिक्ष (एक जड़त्वीय फ्रेम में) में किसी वस्तु का मार्ग तीन स्थानिक समन्वय कार्यों x के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता हैi(t) समय t का, जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।

तीन निर्देशांक 3डी [[स्थिति वेक्टर]] बनाते हैं, जिसे [[कॉलम वेक्टर]] के रूप में लिखा जाता है

:<math>\vec{x}(t) = \begin{bmatrix} x^1(t) \\ x^2(t) \\ x^3(t) \end{bmatrix} \,.</math>
वेग के घटक <math>{\vec{u}}</math> (वक्र की स्पर्शरेखा) विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर हैं

:<math>\vec{u} = \begin{bmatrix}u^1 \\ u^2 \\ u^3\end{bmatrix} = {d \vec{x} \over dt} =
\begin{bmatrix} \tfrac{dx^1}{dt} \\ \tfrac{dx^2}{dt} \\ \tfrac{dx^3}{dt} \end{bmatrix}.</math>
प्रत्येक घटक बस लिखा है

:<math>u^i = {dx^i \over dt}</math>

== सापेक्षता का सिद्धांत ==

आइंस्टीन के [[सापेक्षता के सिद्धांत]] में, संदर्भ के एक विशेष फ्रेम के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय कार्यों x द्वारा परिभाषित किया गया हैμ(τ), जहां μ एक स्पेसटाइम इंडेक्स है जो टाइमलाइक घटक के लिए मान 0 लेता है, और स्पेसलाइक निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,
:<math>x^{0} = ct\,,</math> प्रत्येक फ़ंक्शन एक पैरामीटर τ पर निर्भर करता है जिसे इसका उचित समय कहा जाता है। स्तंभ सदिश के रूप में,

:<math>
\mathbf{x} = \begin{bmatrix}
x^0(\tau)\\ x^1(\tau) \\ x^2(\tau) \\ x^3(\tau) \\
\end{bmatrix}\,.
</math>

=== [[समय फैलाव]] ===

समय फैलाव से, निर्देशांक समय t और उचित समय τ में एक फलन के अंतर से संबंधित हैं

:<math>dt = \gamma(u) d\tau</math>
जहां [[लोरेंत्ज़ कारक]],

:<math>\gamma(u) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\,,</math>
3डी वेलोसिटी वेक्टर के नॉर्म (गणित)#यूक्लिडियन नॉर्म यू का एक फंक्शन है <math>\vec{u}</math>:

:<math>u = \|\ \vec{u}\ \| = \sqrt{ \left(u^1\right)^2 + \left(u^2\right)^2 + \left(u^3\right)^2} \,.</math>

=== चतुर्भुज की परिभाषा ===

चार-वेग एक [[समयबद्ध वक्र]] विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-वेक्टर है।
चतुर्भुज <math>\mathbf{U}</math> विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर <math>\mathbf{X}(\tau)</math> परिभाषित किया जाता है:

:<math>\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}</math>
कहाँ <math>\mathbf{X}</math> चार स्थिति है और <math>\tau</math> उचित समय है।<ref>{{cite book|last1=McComb|first1=W. D.|title=गतिशीलता और सापेक्षता|date=1999|publisher=Oxford University Press|location=Oxford [etc.]|isbn=0-19-850112-9|pages=230}}</ref>
किसी वस्तु के उचित समय का उपयोग करते हुए यहां परिभाषित चार-वेग द्रव्यमान रहित वस्तुओं जैसे कि प्रकाश की गति से यात्रा करने वाले फोटॉन के लिए विश्व रेखाओं के लिए मौजूद नहीं है; न ही इसे [[अन्य सी ह्युंग]] विश्व रेखाओं के लिए परिभाषित किया गया है, जहां स्पर्शरेखा वेक्टर [[ spacelike ]] है।

=== चार-वेग के घटक ===

समय t और निर्देशांक समय x के बीच संबंध0 द्वारा परिभाषित किया गया है

:<math>x^0 = ct .</math>
उचित समय τ के संबंध में इसकी व्युत्पत्ति लेते हुए, हम U पाते हैंμ वेग घटक μ = 0 के लिए:

:<math>U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{d(ct)}{d\tau} = c\frac{dt}{d\tau} = c \gamma(u)</math>
और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें यू मिलता हैμ μ = 1, 2, 3 के लिए वेग घटक:

:<math>U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =
\frac{dx^i}{dt} \frac{dt}{d\tau} =
\frac{dx^i}{dt} \gamma(u) =
\gamma(u) u^i
</math>
जहाँ हमने [[श्रृंखला नियम]] और संबंधों का उपयोग किया है

:<math>u^i = {dx^i \over dt } \,,\quad \frac{dt}{d\tau} = \gamma (u)</math>
इस प्रकार, हम चार-वेग के लिए पाते हैं <math>\mathbf{U}</math>:

:<math>\mathbf{U} = \gamma \begin{bmatrix} c\\ \vec{u} \\ \end{bmatrix}.</math>
मानक चार-वेक्टर संकेतन में लिखा गया है:

:<math>\mathbf{U} = \gamma \left(c, \vec{u}\right) = \left(\gamma c, \gamma \vec{u}\right)</math>
कहाँ <math>\gamma c</math> लौकिक घटक है और <math>\gamma \vec{u}</math> स्थानिक घटक है।

फ्लैट स्पेसटाइम के एक विशेष स्लाइस से जुड़े सिंक्रनाइज़ घड़ियों और शासकों के संदर्भ में, चार-वेग के तीन स्पेसलाइक घटक एक यात्रा वस्तु के [[उचित वेग]] को परिभाषित करते हैं। <math>\gamma \vec{u} = d\vec{x}/d\tau</math> यानी वह दर जिस पर वस्तु के साथ यात्रा करने वाली घड़ियों पर प्रति यूनिट उचित समय के संदर्भ मानचित्र फ्रेम में दूरी तय की जाती है।

अधिकांश अन्य चार-वैक्टरों के विपरीत, चार-वेग में केवल 3 स्वतंत्र घटक होते हैं <math>u_x, u_y, u_z</math> 4 के बजाय। <math>\gamma</math> h> कारक त्रि-आयामी वेग का एक कार्य है <math>\vec{u}</math>.

जब कुछ लोरेंत्ज़ अदिशों को चार-वेग से गुणा किया जाता है, तो एक को नए भौतिक चार-वैक्टर मिलते हैं जिनमें 4 स्वतंत्र घटक होते हैं।

उदाहरण के लिए:
*[[चार गति]]: <math>\mathbf{P} = m_o\mathbf{U} = \gamma m_o\left(c, \vec{u}\right) = m\left(c, \vec{u}\right) = \left(mc, m\vec{u}\right) = \left(mc, \vec{p}\right) = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right)</math>, कहाँ <math>m_o</math> द्रव्यमान है
* [[चार-वर्तमान]] | चार-वर्तमान घनत्व: <math>\mathbf{J} = \rho_o\mathbf{U} = \gamma \rho_o\left(c, \vec{u}\right) = \rho\left(c, \vec{u}\right) = \left(\rho c, \rho\vec{u}\right) = \left(\rho c, \vec{j}\right)</math>, कहाँ <math>\rho_o</math> चार्ज घनत्व है

प्रभावी रूप से, <math>\gamma</math> कारक चौथा स्वतंत्र घटक बनाने के लिए लोरेंत्ज़ स्केलर शब्द के साथ जुड़ता है
:<math>m = \gamma m_o</math> और <math>\rho = \gamma \rho_o</math>

=== परिमाण ===
बाकी फ्रेम में चार-स्थिति के अंतर का उपयोग करके, चार-वेग का परिमाण प्राप्त किया जा सकता है:

:<math>\|\mathbf{U}\|^2 = g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = g_{\mu\nu}\frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX^\nu}{d\tau} = c^2 \,,</math>
संक्षेप में, किसी भी वस्तु के लिए चार-वेग का परिमाण हमेशा एक निश्चित स्थिरांक होता है:

:<math>\|\mathbf{U}\|^2 = c^2 \,</math>
एक गतिमान फ्रेम में, समान मानदंड है:

:<math>\|\mathbf{U}\|^2 = {\gamma(u)}^2 \left( c^2 - \vec{u}\cdot\vec{u} \right) \,,</math>
ताकि:

:<math>c^2 = {\gamma(u)}^2 \left( c^2 - \vec{u}\cdot\vec{u} \right) \,,</math>
जो लोरेंत्ज़ कारक की परिभाषा को कम करता है।

== यह भी देखें ==
{{Portal|Physics}}

*[[चार-त्वरण]]
*चार गति
* [[चार बल]]
* चार-ढाल
* [[भौतिक स्थान का बीजगणित]]
* [[सर्वांगसमता (सामान्य सापेक्षता)]]
* [[हाइपरबोलाइड मॉडल]]
* शीघ्रता

== टिप्पणी ==
{{Reflist|group=nb}}

== संदर्भ ==
* {{cite book | author = Einstein, Albert | translator = Robert W. Lawson | title = Relativity: The Special and General Theory | location = New York | publisher = Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995 | year = 1920 }}
* {{cite book| author=Rindler, Wolfgang| title=Introduction to Special Relativity (2nd)| location=Oxford| publisher=Oxford University Press| year=1991| isbn=0-19-853952-5| url-access=registration| url=https://archive.org/details/introductiontosp0000rind}}
[[Category: चार-वैक्टर]]

[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 28/02/2023]]

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	भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के सापेक्षवादी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी वेक्टर है।		भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के सापेक्षवादी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी वेक्टर है।

	भौतिक [[घटना (सापेक्षता)]] समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का ~~सेट~~ एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास ~~स्पेसटाइम~~ में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी [[विश्व रेखा]] कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से [[प्रकाश की गति]] से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के [[उचित समय]] के अनुसार [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)]] हो सकती है। चार-[[वेग]] वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के (त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा ~~पर्यवेक्षक~~ द्वारा देखा गया है, ~~पर्यवेक्षक~~ के समय के संबंध में।		भौतिक [[घटना (सापेक्षता)]] समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का समूह एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास अंतरिक्ष-समय में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी [[विश्व रेखा]] कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से [[प्रकाश की गति]] से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के [[उचित समय]] के अनुसार [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)\|पैरामीट्रिज्ड (ज्यामिति)]] हो सकती है। चार-[[वेग]] वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के (त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा प्रेक्षक द्वारा देखा गया है, प्रेक्षक के समय के संबंध में।

	किसी वस्तु के चार-वेग के ~~मैग्नीट्यूड_(गणित)#स्यूडो-यूक्लिडियन_स्पेस~~ का मान, ~~यानी~~ मीट्रिक टेन्सर (सामान्य_सापेक्षता) ~~लगाने से प्राप्त मात्रा~~ {{math\|''g''}} चार-वेग ~~के लिए~~ {{math\|'''U'''}}, ~~वह है~~ {{math\|1={{norm\|'''U'''}}<sup>2</sup> = '''U''' ⋅ '''U''' {{=}} ''g''<sub>''μν''</sub>''U''<sup>''ν''</sup>''U''<sup>''μ''</sup>}}, ~~हमेशा बराबर होता है~~ {{math\|±''c''<sup>2</sup>}}, ~~कहाँ~~ {{mvar\|c}} प्रकाश की गति है। ~~प्लस~~ या ~~माइनस साइन~~ लागू होता है या नहीं यह [[ मीट्रिक हस्ताक्षर ]] के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु ~~के आराम~~ के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय ~~होता है~~ {{math\|''U''<sup>0</sup> {{=}} ''c''}}. एक चार-वेग इस प्रकार एक विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। ~~हालांकि~~ यह एक सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से एक चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।<ref group=nb>The set of four-velocities is a subset of the tangent space (which ''is'' a vector space) at an event. The label ''four-vector'' stems from the behavior under [[Lorentz transformation]]s, namely under which particular [[Representation theory of the Lorentz group\|representation]] they transform.</ref>		किसी वस्तु के चार-वेग के परिमाण का मान, अर्थात मीट्रिक टेन्सर (सामान्य_सापेक्षता) {{math\|''g''}} को चार- वेग {{math\|'''U'''}} पर लागू करने से प्राप्त मात्रा, अर्थात {{math\|1={{norm\|'''U'''}}<sup>2</sup> = '''U''' ⋅ '''U''' {{=}} ''g''<sub>''μν''</sub>''U''<sup>''ν''</sup>''U''<sup>''μ''</sup>}}, सदैव {{math\|±''c''<sup>2</sup>}} बराबर होता है, जहाँ {{mvar\|c}} प्रकाश की गति है। धनात्कम या ऋणात्मक चिन्ह लागू होता है या नहीं यह [[ मीट्रिक हस्ताक्षर ]] के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु की स्थिरता के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय {{math\|''U''<sup>0</sup> {{=}} ''c''}} होता है। एक चार-वेग इस प्रकार एक विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। यद्यपि यह एक सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से एक चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।<ref group="nb">The set of four-velocities is a subset of the tangent space (which ''is'' a vector space) at an event. The label ''four-vector'' stems from the behavior under [[Lorentz transformation]]s, namely under which particular [[Representation theory of the Lorentz group\|representation]] they transform.</ref>


	== वेग ==		== वेग ==

	त्रि-आयामी ~~अंतरिक्ष~~ (एक जड़त्वीय ~~फ्रेम~~ में) में किसी वस्तु का मार्ग तीन स्थानिक समन्वय ~~कार्यों~~ x ~~के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है~~<sup>i</sup>(t) ~~समय t का,~~ जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।		त्रि-आयामी स्थान (एक जड़त्वीय रचना में) में किसी वस्तु का मार्ग समय t के तीन स्थानिक समन्वय चरों ''x<sup>i</sup>''(''t'') के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।

	तीन निर्देशांक 3डी [[स्थिति वेक्टर]] बनाते हैं, जिसे [[कॉलम वेक्टर]] के रूप में लिखा जाता है		तीन निर्देशांक 3डी [[स्थिति वेक्टर]] बनाते हैं, जिसे [[कॉलम वेक्टर]] के रूप में लिखा जाता है
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	== सापेक्षता का सिद्धांत ==		== सापेक्षता का सिद्धांत ==

	आइंस्टीन के [[सापेक्षता के सिद्धांत]] में, संदर्भ के एक विशेष फ्रेम के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय कार्यों x द्वारा परिभाषित किया गया है<sup>μ</sup>(τ), जहां μ एक ~~स्पेसटाइम~~ इंडेक्स है जो टाइमलाइक घटक के लिए मान 0 लेता है, और स्पेसलाइक निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,		आइंस्टीन के [[सापेक्षता के सिद्धांत]] में, संदर्भ के एक विशेष फ्रेम के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय कार्यों x द्वारा परिभाषित किया गया है<sup>μ</sup>(τ), जहां μ एक अंतरिक्ष-समय इंडेक्स है जो टाइमलाइक घटक के लिए मान 0 लेता है, और स्पेसलाइक निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,
	:<math>x^{0} = ct\,,</math> प्रत्येक फ़ंक्शन एक पैरामीटर τ पर निर्भर करता है जिसे इसका उचित समय कहा जाता है। स्तंभ सदिश के रूप में,		:<math>x^{0} = ct\,,</math> प्रत्येक फ़ंक्शन एक पैरामीटर τ पर निर्भर करता है जिसे इसका उचित समय कहा जाता है। स्तंभ सदिश के रूप में,

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	कहाँ <math>\gamma c</math> लौकिक घटक है और <math>\gamma \vec{u}</math> स्थानिक घटक है।		कहाँ <math>\gamma c</math> लौकिक घटक है और <math>\gamma \vec{u}</math> स्थानिक घटक है।

	फ्लैट ~~स्पेसटाइम~~ के एक विशेष स्लाइस से जुड़े सिंक्रनाइज़ घड़ियों और शासकों के संदर्भ में, चार-वेग के तीन स्पेसलाइक घटक एक यात्रा वस्तु के [[उचित वेग]] को परिभाषित करते हैं। <math>\gamma \vec{u} = d\vec{x}/d\tau</math> ~~यानी~~ वह दर जिस पर वस्तु के साथ यात्रा करने वाली घड़ियों पर प्रति यूनिट उचित समय के संदर्भ मानचित्र फ्रेम में दूरी तय की जाती है।		फ्लैट अंतरिक्ष-समय के एक विशेष स्लाइस से जुड़े सिंक्रनाइज़ घड़ियों और शासकों के संदर्भ में, चार-वेग के तीन स्पेसलाइक घटक एक यात्रा वस्तु के [[उचित वेग]] को परिभाषित करते हैं। <math>\gamma \vec{u} = d\vec{x}/d\tau</math> अर्थात वह दर जिस पर वस्तु के साथ यात्रा करने वाली घड़ियों पर प्रति यूनिट उचित समय के संदर्भ मानचित्र फ्रेम में दूरी तय की जाती है।

	अधिकांश अन्य चार-वैक्टरों के विपरीत, चार-वेग में केवल 3 स्वतंत्र घटक होते हैं <math>u_x, u_y, u_z</math> 4 के बजाय। <math>\gamma</math> h> कारक त्रि-आयामी वेग का एक कार्य है <math>\vec{u}</math>.		अधिकांश अन्य चार-वैक्टरों के विपरीत, चार-वेग में केवल 3 स्वतंत्र घटक होते हैं <math>u_x, u_y, u_z</math> 4 के बजाय। <math>\gamma</math> h> कारक त्रि-आयामी वेग का एक कार्य है <math>\vec{u}</math>.
Line 101:		Line 101:

	:<math>\\|\mathbf{U}\\|^2 = g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = g_{\mu\nu}\frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX^\nu}{d\tau} = c^2 \,,</math>		:<math>\\|\mathbf{U}\\|^2 = g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = g_{\mu\nu}\frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX^\nu}{d\tau} = c^2 \,,</math>
	संक्षेप में, किसी भी वस्तु के लिए चार-वेग का परिमाण ~~हमेशा~~ एक निश्चित स्थिरांक होता है:		संक्षेप में, किसी भी वस्तु के लिए चार-वेग का परिमाण सदैव एक निश्चित स्थिरांक होता है:

	:<math>\\|\mathbf{U}\\|^2 = c^2 \,</math>		:<math>\\|\mathbf{U}\\|^2 = c^2 \,</math>