घन सतह - Revision history

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	== एक क्षेत्र पर घन सतहें ==		== एक क्षेत्र पर घन सतहें ==
	फ़ील्ड k पर एक चिकनी घन सतह X जो बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, k पर तर्कसंगत ~~होने की आवश्यकता~~ नहीं ~~है। एक चरम~~ स्थिति े के रूप में, परिमेय संख्या 'Q' (या p-adic संख्या~~) पर चिकनी घन सतहें होती हैं~~ <math>\mathbf{Q}_p</math>) बिना परिमेय बिंदु के, जिस स्थिति में X निश्चित रूप से ~~परिमेय~~ नहीं है।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Exercise 1.29.</ref> यदि ~~एक्स~~ (के) गैर-~~खाली~~ है, तो [[बेंजामिन सीक्रेट]] और जेनोस कोल्लार द्वारा ~~एक्स~~ कम से कम अपरिमेय है।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Theorems 1.37 and 1.38.</ref> के अनंत के लिए, ~~एकता~~ का अर्थ है कि के-तर्कसंगत बिंदुओं का समुच्चय ~~एक्स~~ में ज़रिस्की ~~घना~~ है।		फ़ील्ड k पर एक चिकनी घन सतह X जो बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, k पर तर्कसंगत नहीं होना चाहिए। अत्यंत कठिन स्थिति के रूप में परिमेय संख्या 'Q' या p-adic संख्या <math>\mathbf{Q}_p</math>पर चिकनी घन सतहें होती हैं और इस प्रकार बिना परिमेय बिंदु के जिस स्थिति में निश्चित रूप से परिमेय नहीं है जहाँ X निश्चित रूप से तर्कसंगत नहीं है।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Exercise 1.29.</ref> यदि X(k) गैर-रिक्त है, तो [[बेंजामिन सीक्रेट\|बेनिएमिनो सेग्रे]] और जेनोस कोल्लार द्वारा X कम से कम अपरिमेय से अधिक है।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Theorems 1.37 and 1.38.</ref> k अनंत के लिए, अनिरर्थकता का अर्थ है कि k-तर्कसंगत बिंदुओं का समुच्चय X में ज़रिस्की डेनस के रूप में है।

	K का निरपेक्ष गैलोज़ समूह ~~बीजगणितीय बंद होने पर X की 27 पंक्तियों की अनुमति देता है~~ <math>~~\overline{k}~~</math> ~~k का (Weyl~~ समूह के कुछ उपसमूह के माध्यम से ~~<math>E_6</math>).~~ यदि इस क्रिया की कुछ कक्षा में भिन्न -भिन्न रेखाएँ होती हैं, तो X एक बंद बिंदु पर k के ऊपर एक सरल डेल पेज़ो सतह का ब्लो-अप है। अन्यथा, X का पिकार्ड नंबर 1 है। (X का पिकार्ड समूह ज्यामितीय पिकार्ड समूह का ~~एक उपसमूह है~~ <math>\operatorname{Pic}(X_{\overline{k}})\cong \mathbf{Z}^7</math>।) बाद के स्थिति े में, सेग्रे ने दिखाया कि ~~एक्स~~ कभी भी तर्कसंगत नहीं ~~है।~~ अधिक दृढ़ता से, [[यूरी मैनिन]] ने एक द्विपक्षीय कठोरता बयान सिद्ध कर दिया: पिकार्ड नंबर 1 के साथ दो चिकनी घन सतहें एक पूर्ण क्षेत्र के ऊपर [[ द्विवार्षिक \|द्विवार्षिक]] हैं यदि और केवल यदि वे आइसोमोर्फिक हैं।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Theorems 2.1 and 2.2.</ref> उदाहरण के लिए, ये परिणाम Q के ऊपर कई घन सतह देते हैं जो अपरिमेय हैं लेकिन तर्कसंगत नहीं हैं।		K का निरपेक्ष गैलोज़ समूह<math>E_6</math> के वेइल समूह के कुछ उपसमूह के माध्यम से k के बीजगणितीय समापन k पर X की 27 पंक्तियों की अनुमति देता है। यदि इस क्रिया की कुछ कक्षा में भिन्न -भिन्न रेखाएँ होती हैं, तो X एक बंद बिंदु पर k के ऊपर एक सरल डेल पेज़ो सतह का ब्लो-अप के रूप में होता है। अन्यथा, X का पिकार्ड नंबर 1 है। X का पिकार्ड समूह ज्यामितीय पिकार्ड समूह का <math>\operatorname{Pic}(X_{\overline{k}})\cong \mathbf{Z}^7</math>एक उपसमूह है और इस प्रकार बाद के स्थिति में, सेग्रे ने दिखाया कि X कभी भी तर्कसंगत नहीं है और अधिक दृढ़ता से, [[यूरी मैनिन]] ने द्विपक्षीय कठोरता बयान सिद्ध कर दिया जो पिकार्ड नंबर 1 के साथ दो चिकनी घन सतहें एक पूर्ण क्षेत्र के ऊपर [[ द्विवार्षिक \|द्विवार्षिक]] रूप में हैं यदि और केवल यदि वे आइसोमोर्फिक हैं।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Theorems 2.1 and 2.2.</ref> उदाहरण के लिए ये परिणाम Q के ऊपर कई घन सतह देते हैं जो अपरिमेय हैं लेकिन तर्कसंगत नहीं हैं।

	== अद्वितीय घन सतहें ==		== अद्वितीय घन सतहें ==

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	==घन सतहों का मापांक स्थान==		==घन सतहों का मापांक स्थान==
	दो चिकनी घन सतहें बीजगणितीय ~~किस्मों~~ के रूप में ~~आइसोमोर्फिक हैं~~ यदि और केवल ~~यदि~~ वे ~~कुछ रैखिक ऑटोमोर्फिज्म के समतुल्य हैं~~ <math>\mathbf{P}^3</math>. [[ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत]] चिकनी घन सतहों के प्रत्येक आइसोमोर्फिज्म वर्ग के लिए एक बिंदु के साथ घन सतहों का एक मापांक स्थान देता है। इस [[मोडुली स्पेस]] का आयाम 4 ~~है।~~ अधिक यथार्थ रूप से, यह ~~सैल्मन~~ और क्लेबश (1860) द्वारा भारित [[भारित प्रक्षेप्य स्थान]](12345) का एक खुला उपसमुच्चय है। विशेष रूप से, यह एक तर्कसंगत 4 गुना है।<ref>Dolgachev (2012), equation (9.57).</ref>		दो चिकनी घन सतहें बीजगणितीय प्रकार के आइसोमोर्फिक रूप में होते है यदि केवल जब वे <math>\mathbf{P}^3</math>के किसी रैखिक ऑटोमोर्फिज्म के समतुल्य होते है.तो [[ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत]] चिकनी घन सतहों के प्रत्येक आइसोमोर्फिज्म वर्ग के लिए एक बिंदु के साथ घन सतहों का एक मापांक स्थान देता है। इस [[मोडुली स्पेस]] का आयाम 4 होता है और इस प्रकार अधिक यथार्थ रूप से यह सलमन और क्लेबश (1860) द्वारा भारित [[भारित प्रक्षेप्य स्थान]](12345) का एक खुला उपसमुच्चय है। विशेष रूप से, यह तर्कसंगत 4 गुना है।<ref>Dolgachev (2012), equation (9.57).</ref>


	== वक्रों का शंकु ==		== वक्रों का शंकु ==
	एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक घन सतह एक्स पर लाइनों को एक्स के एम्बेडिंग के संदर्भ के बिना आंतरिक रूप से वर्णित किया जा सकता है <math>\mathbf{P}^3</math>: वे बिल्कुल (−1)-''X'' पर वक्र हैं, जिसका अर्थ है कि वक्र समरूपी हैं <math>\mathbf{P}^1</math> जिसका स्व-चौराहा -1 है। इसके अतिरिक्त , एक्स (या समतुल्य रूप से वि[[भाजक वर्ग समूह]]) के पिकार्ड जाली में लाइनों के वर्ग वास्तव में पिक (एक्स) के तत्व यू हैं जैसे कि <math>u^2=-1</math> और <math>-K_X\cdot u=1</math>. (यह उपयोग करता है कि सुसंगत शीफ का प्रतिबंध # सदिश बंडलों के उदाहरण O(1) पर <math>\mathbf{P}^3</math> X के लिए एंटीकैनोनिकल लाइन बंडल है <math>-K_X</math>, [[संयोजन सूत्र]] द्वारा।)		एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक घन सतह एक्स पर लाइनों को एक्स के एम्बेडिंग के संदर्भ के बिना आंतरिक रूप से वर्णित किया जा सकता है <math>\mathbf{P}^3</math>: वे बिल्कुल (−1)-''X'' पर वक्र हैं, जिसका अर्थ है कि वक्र समरूपी हैं <math>\mathbf{P}^1</math> जिसका स्व-चौराहा -1 है। इसके अतिरिक्त , एक्स (या समतुल्य रूप से वि[[भाजक वर्ग समूह]]) के पिकार्ड जाली में लाइनों के वर्ग वास्तव में पिक (एक्स) के तत्व यू हैं जैसे कि <math>u^2=-1</math> और <math>-K_X\cdot u=1</math>. (यह उपयोग करता है कि सुसंगत शीफ का प्रतिबंध # सदिश बंडलों के उदाहरण O(1) पर <math>\mathbf{P}^3</math> X के लिए एंटीकैनोनिकल लाइन बंडल है <math>-K_X</math>, [[संयोजन सूत्र]] द्वारा।)

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	== रियल घन सरफेस ==		== रियल घन सरफेस ==
	जटिल स्थिति े के विपरीत, वास्तविक संख्याओं पर चिकनी घन सतहों का स्थान ~~क्लासिकल~~ [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] (आर के टोपोलॉजी पर आधारित~~) में~~ [[जुड़ा हुआ स्थान]] नहीं है। इसके जुड़े घटक (दूसरे शब्दों में, समस्थानिक तक चिकनी वास्तविक घन सतहों का वर्गीकरण) लुडविग श्लाफली (1863), [[फेलिक्स क्लेन]] (1865), और हिरोनिमस जॉर्ज ज़्यूथेन \| एच द्वारा निर्धारित किया गया ~~था।~~ जी ज़्यूथेन (1875)।<ref>Degtyarev and Kharlamov (2000), section 3.5.2. The various types of real cubic surfaces, and the lines on them, are pictured in Holzer & Labs (2006).</ref> अर्थात्, चिकनी वास्तविक घन सतहों X के 5 समस्थानिक वर्ग हैं <math>\mathbf{P}^3</math>, [[तर्कसंगत बिंदु]] के स्थान की टोपोलॉजी द्वारा प्रतिष्ठित <math>X(\mathbf{R})</math>. वास्तविक बिंदुओं का स्थान या तो भिन्न है <math>W_7, W_5, W_3, W_1</math>, या का असंयुक्त संघ <math>W_1</math> और 2-गोला, जहां <math>W_r</math> वास्तविक [[वास्तविक प्रक्षेपी विमान]] r प्रतियों के जुड़े योग को दर्शाता है <math>\mathbf{RP}^2</math>. तदनुसार, X में निहित वास्तविक रेखाओं की संख्या 27, 15, 7, 3 या 3 है।		जटिल स्थिति के विपरीत, वास्तविक संख्याओं पर चिकनी घन सतहों का स्थान चिरसम्मत [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] आर के टोपोलॉजी पर आधारित [[जुड़ा हुआ स्थान]] नहीं है। इसके जुड़े घटक दूसरे शब्दों में, समस्थानिक तक चिकनी वास्तविक घन सतहों का वर्गीकरण लुडविग श्लाफली (1863), [[फेलिक्स क्लेन]] (1865) और हिरोनिमस जॉर्ज ज़्यूथेन एच द्वारा निर्धारित किया गया था और इस प्रकार जी ज़्यूथेन (1875)।<ref>Degtyarev and Kharlamov (2000), section 3.5.2. The various types of real cubic surfaces, and the lines on them, are pictured in Holzer & Labs (2006).</ref> अर्थात्, चिकनी वास्तविक घन सतहों X के 5 समस्थानिक वर्ग के रूप में हैं <math>\mathbf{P}^3</math>, [[तर्कसंगत बिंदु]] के स्थान की टोपोलॉजी द्वारा प्रतिष्ठित <math>X(\mathbf{R})</math>. वास्तविक बिंदुओं का स्थान या तो भिन्न है <math>W_7, W_5, W_3, W_1</math>, या असंयुक्त संघ <math>W_1</math> और 2-गोला, जहां <math>W_r</math> वास्तविक [[वास्तविक प्रक्षेपी विमान\|वास्तविक प्रक्षेपी तल]] r प्रतियों के जुड़े योग को दर्शाता है <math>\mathbf{RP}^2</math>.तदनुसार, X में निहित वास्तविक रेखाओं की संख्या 27, 15, 7, 3 या 3 के रूप में है।

	एक चिकनी वास्तविक घन सतह ~~'आर'~~ पर तर्कसंगत है यदि और केवल ~~यदि~~ इसके वास्तविक बिंदुओं ~~का स्थान~~ जुड़ा ~~हुआ~~ है, इसलिए पिछले पांच स्थितियों में से पहले चार ~~में।~~<ref>Silhol (1989), section VI.5.</ref>		एक चिकनी वास्तविक घन सतह R पर तर्कसंगत है यदि और केवल इसके वास्तविक बिंदुओं की जगह से जुड़ा है, इसलिए पिछले पांच स्थितियों में से पहले चार की जगह से जुड़ा है।<ref>Silhol (1989), section VI.5.</ref>
	X पर वास्तविक रेखाओं की औसत संख्या है <math>6 \sqrt{2}-3</math><ref>{{Cite journal\|last1=Basu\|first1=S.\|last2=Lerario\|first2=A.\|last3=Lundberg\|first3=E.\|last4=Peterson\|first4=C.\|date=2019\|title=यादृच्छिक क्षेत्र और वास्तविक और जटिल हाइपरसर्फ्स पर लाइनों की गणनात्मक ज्यामिति\|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-019-01837-0\|journal=Mathematische Annalen\|volume=374\|issue=3–4 \|pages=1773–1810\|doi=10.1007/s00208-019-01837-0\|arxiv=1610.01205\|s2cid=253717173 }}</ref> जब ~~एक्स~~ के लिए परिभाषित बहुपद ~~बॉम्बिएरी_नॉर्म~~ द्वारा प्रेरित ~~गॉसियन पहनावा~~ से यादृच्छिक रूप से नमूना लिया जाता है।
			X वास्तविक रेखाओं की औसत संख्या है <math>6 \sqrt{2}-3</math><ref>{{Cite journal\|last1=Basu\|first1=S.\|last2=Lerario\|first2=A.\|last3=Lundberg\|first3=E.\|last4=Peterson\|first4=C.\|date=2019\|title=यादृच्छिक क्षेत्र और वास्तविक और जटिल हाइपरसर्फ्स पर लाइनों की गणनात्मक ज्यामिति\|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-019-01837-0\|journal=Mathematische Annalen\|volume=374\|issue=3–4 \|pages=1773–1810\|doi=10.1007/s00208-019-01837-0\|arxiv=1610.01205\|s2cid=253717173 }}</ref> जब X के लिए परिभाषित बहुपद बेम्बरी के आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित गासिया कलाकारों के समूह से यादृच्छिक रूप में नमूना लिया जाता है।

	==घन सतहों का मापांक स्थान==		==घन सतहों का मापांक स्थान==

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	== अद्वितीय घन सतहें ==		== अद्वितीय घन सतहें ==
	[[चिकनाई]] घन सतहों के विपरीत जिसमें 27 रेखाएँ होती हैं, [[विलक्षणता (गणित)]] घन सतहों में कम रेखाएँ होती हैं। <ref name=":1">{{Cite journal\|last1=Bruce\|first1=J. W.\|last2=Wall\|first2=C. T. C.\|date=1979\|title=घन सतहों के वर्गीकरण पर\|url=https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s2-19.2.245\|journal=Journal of the London Mathematical Society\|language=en\|volume=s2-19\|issue=2\|pages=245–256\|doi=10.1112/jlms/s2-19.2.245\|issn=1469-7750}}</ref> इसके अतिरिक्त , उन्हें विलक्षणता के प्रकार से वर्गीकृत किया जा सकता है जो उनके सामान्य रूप में उत्पन्न होती है। इन विलक्षणताओं को [[डायनकिन आरेख]] का उपयोग करके वर्गीकृत किया गया है।		[[चिकनाई]] घन सतहों के विपरीत जिसमें 27 रेखाएँ होती हैं, [[विलक्षणता (गणित)]] घन सतहों में कम रेखाएँ होती हैं। <ref name=":1">{{Cite journal\|last1=Bruce\|first1=J. W.\|last2=Wall\|first2=C. T. C.\|date=1979\|title=घन सतहों के वर्गीकरण पर\|url=https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s2-19.2.245\|journal=Journal of the London Mathematical Society\|language=en\|volume=s2-19\|issue=2\|pages=245–256\|doi=10.1112/jlms/s2-19.2.245\|issn=1469-7750}}</ref> इसके अतिरिक्त उन्हें विलक्षणता के प्रकार से वर्गीकृत किया जा सकता है जो उनके सामान्य रूप में उत्पन्न होती है। इन विलक्षणताओं को [[डायनकिन आरेख]] का उपयोग करके वर्गीकृत किया गया है।

	=== वर्गीकरण ===		=== वर्गीकरण ===
	एक सामान्य विलक्षण घन सतह <math>X</math> में <math>\textbf{P}_{\mathbb{C}}^3</math> ~~स्थानीय निर्देशांक के साथ <math>[x_0:x_1:x_2:x_3]</math> यदि इसके द्वारा दिया जाता है तो~~ सामान्य रूप में कहा जाता है <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math>. विलक्षणता के प्रकार पर निर्भर करता है <math>X</math> सम्‍मिलित है, यह प्रक्षेपी सतह में समरूपता है <math>\textbf{P}^3</math> ~~द्वारा~~ दिए गए <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math> ~~कहाँ~~ <math>f_2, f_3</math> नीचे दी गई तालिका के अनुसार हैं। इसका अर्थ है कि हम सभी अद्वितीय घनीय सतहों का वर्गीकरण प्राप्त कर सकते हैं। निम्न तालिका के पैरामीटर इस प्रकार हैं: <math>a,b,c</math> के तीन भिन्न तत्व हैं <math>\mathbb{C} \setminus\{0,1\}</math>, पैरामीटर <math>d,e</math> में हैं <math>\mathbb{C} \setminus \{0,-1\}</math> और <math>u</math> का एक तत्व है <math>\mathbb{C}\setminus \{ 0\}</math>. ध्यान दें कि विलक्षणता के साथ दो भिन्न -भिन्न अद्वितीय घन सतहें ~~हैं~~ <math>D_4</math>. <ref name=":0">{{Cite journal\|last=SAKAMAKI\|first=YOSHIYUKI\|title=बिना किसी पैरामीटर के सामान्य एकवचन घन सतहों पर ऑटोमोर्फिज्म समूह\|date=2010\|journal=Transactions of the American Mathematical Society\|volume=362\|issue=5\|pages=2641–2666\|doi=10.1090/S0002-9947-09-05023-5\|jstor=25677798\|issn=0002-9947\|doi-access=free}}</ref>		यदि स्थानीय निर्देशांक <math>[x_0:x_1:x_2:x_3]</math> के साथ एक सामान्य विलक्षण घन सतह <math>X</math> में <math>\textbf{P}_{\mathbb{C}}^3</math> को सामान्य रूप में कहा जाता है यदि यह <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math>. द्वारा दिया गया हो यह विलक्षणता के प्रकार पर निर्भर करता है और <math>X</math> के रूप में सम्‍मिलित है, यह प्रक्षेपी सतह में समरूपता <math>\textbf{P}^3</math> है और इस प्रकार दिए गए <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math> जहाँ <math>f_2, f_3</math> नीचे दी गई तालिका के अनुसार हैं। इसका अर्थ है कि हम सभी अद्वितीय घनीय सतहों का वर्गीकरण प्राप्त कर सकते हैं। निम्न तालिका के पैरामीटर इस प्रकार हैं <math>a,b,c</math> के तीन भिन्न तत्व हैं <math>\mathbb{C} \setminus\{0,1\}</math> पैरामीटर <math>d,e</math> में हैं <math>\mathbb{C} \setminus \{0,-1\}</math> और <math>u</math> का एक तत्व है <math>\mathbb{C}\setminus \{ 0\}</math>. ध्यान दें कि विलक्षणता के साथ दो भिन्न -भिन्न अद्वितीय घन सतहें <math>D_4</math> के रूप में है <ref name=":0">{{Cite journal\|last=SAKAMAKI\|first=YOSHIYUKI\|title=बिना किसी पैरामीटर के सामान्य एकवचन घन सतहों पर ऑटोमोर्फिज्म समूह\|date=2010\|journal=Transactions of the American Mathematical Society\|volume=362\|issue=5\|pages=2641–2666\|doi=10.1090/S0002-9947-09-05023-5\|jstor=25677798\|issn=0002-9947\|doi-access=free}}</ref>

	{\| class="wikitable mw-collapsible"		{\| class="wikitable mw-collapsible"
	\|+~~Classification of singular cubic surfaces by singularity type~~ <ref name=":0" />		\|+विलक्षणता प्रकार द्वारा अद्वितीय घन सतहों का वर्गीकरण <ref name=":0" />
	![[Singular point of an algebraic variety\|~~Singularity~~]]		![[Singular point of an algebraic variety\|विलक्षणता]]
	!<math>f_2(x_0, x_1, x_2)</math>		!<math>f_2(x_0, x_1, x_2)</math>
	!<math>f_3(x_0, x_1, x_2)</math>		!<math>f_3(x_0, x_1, x_2)</math>
Line 156:		Line 157:
	\|<math>x_1^2x_2-x_0(x_0-x_2)(x_0-ax_2)</math>		\|<math>x_1^2x_2-x_0(x_0-x_2)(x_0-ax_2)</math>
	\|}		\|}
	सामान्य रूप में, जब भी एक घन सतह <math>X</math> कम से कम ~~एक सम्मलित है~~ <math>A_1</math> विलक्षणता, ~~यह एक होगा~~ <math>A_1</math> विलक्षणता पर <math>[0:0:0:1]</math>. <ref name=":1" />		सामान्य रूप में, जब भी कोई घन सतह <math>X</math> में कम से कम <math>A_1</math> विलक्षणता हो, इसमें <math>A_1</math> विलक्षणता पर <math>[0:0:0:1]</math>के रूप में होगा<ref name=":1" />


	=== अद्वितीय घनीय सतहों पर रेखाएँ ===		=== अद्वितीय घनीय सतहों पर रेखाएँ ===
	अद्वितीय घनीय सतहों के वर्गीकरण के अनुसार, निम्न तालिका प्रत्येक सतह में प्रक्षेपी रेखाओं की संख्या दर्शाती है।		अद्वितीय घनीय सतहों के वर्गीकरण के अनुसार, निम्न तालिका प्रत्येक सतह में प्रक्षेपी रेखाओं की संख्या को दर्शाती है।
	{\| class="wikitable mw-collapsible"		{\| class="wikitable mw-collapsible"
	\|+Lines on singular cubic surfaces <ref name=":0" />		\|+Lines on singular cubic surfaces <ref name=":0" />