घन ग्राफ - Revision history

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	इसमें केवल एक [[ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म]], पहचान ऑटोमोर्फिज्म है। <ref><ref>{{Citation \| last1=Frucht \| first1=R. \| title=Graphs of degree three with a given abstract group \| doi = 10.4153/CJM-1949-033-6 \| mr=0032987 \| year=1949 \| journal=[[Canadian Journal of Mathematics]] \| issn=0008-414X \| volume=1 \| issue=4 \| pages=365–378\| s2cid=124723321 }}.</ref>		इसमें केवल एक [[ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म]], पहचान ऑटोमोर्फिज्म है। </ref><ref>{{Citation \| last1=Frucht \| first1=R. \| title=Graphs of degree three with a given abstract group \| doi = 10.4153/CJM-1949-033-6 \| mr=0032987 \| year=1949 \| journal=[[Canadian Journal of Mathematics]] \| issn=0008-414X \| volume=1 \| issue=4 \| pages=365–378\| s2cid=124723321 }}.</ref>

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समरूपता

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	[[अर्ध-सममितीय ग्राफ]] या अर्ध-सममितीय घन ग्राफ़ में [[ग्रे ग्राफ]] (सबसे छोटा अर्ध-सममित घन ग्राफ़), [[ज़ुब्लज़ाना ग्राफ़]] और [[सभी 12-पिंजरे\|सभी 12-केज]] सम्मिलित हैं।		[[अर्ध-सममितीय ग्राफ]] या अर्ध-सममितीय घन ग्राफ़ में [[ग्रे ग्राफ]] (सबसे छोटा अर्ध-सममित घन ग्राफ़), [[ज़ुब्लज़ाना ग्राफ़]] और [[सभी 12-पिंजरे\|सभी 12-केज]] सम्मिलित हैं।

	[[फल ग्राफ]] बिना किसी समरूपता वाले पांच सबसे छोटे घन ग्राफों में से एक है:<ref><ref>{{citation\|last1=Bussemaker\|first1=F. C.\|last2=Cobeljic\|first2=S.\|last3=Cvetkovic\|first3=D. M.\|last4=Seidel\|first4=J. J.\|publisher=Dept. of Mathematics and Computing Science, Eindhoven University of Technology\|series=EUT report\|title=Computer investigation of cubic graphs\|url=https://research.tue.nl/en/publications/computer-investigation-of-cubic-graphs\|volume=76-WSK-01\|year=1976}}</ref>		[[फल ग्राफ]] बिना किसी समरूपता वाले पांच सबसे छोटे घन ग्राफों में से एक है:</ref><ref>{{citation\|last1=Bussemaker\|first1=F. C.\|last2=Cobeljic\|first2=S.\|last3=Cvetkovic\|first3=D. M.\|last4=Seidel\|first4=J. J.\|publisher=Dept. of Mathematics and Computing Science, Eindhoven University of Technology\|series=EUT report\|title=Computer investigation of cubic graphs\|url=https://research.tue.nl/en/publications/computer-investigation-of-cubic-graphs\|volume=76-WSK-01\|year=1976}}</ref>

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समरूपता

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	==समरूपता ==		==समरूपता ==
	1932 में आर. एम. फोस्टर या रोनाल्ड एम. [[पालक जनगणना\|फोस्टर जनगणना]] घन [[सममित ग्राफ]] के उदाहरण एकत्र करना प्रारंभ किया जिससे फोस्टर जनगणना की प्रारंभ हुई।<ref name="Ref_Foster">{{Citation\|first1=R. M.\|last1=Foster\|title=Geometrical Circuits of Electrical Networks\|journal=[[Transactions of the American Institute of Electrical Engineers]]\|volume=51\|pages=309–317\|year=1932\|doi=10.1109/T-AIEE.1932.5056068\|issue=2\|s2cid=51638449}}.</ref> कई प्रसिद्ध व्यक्तिगत ग्राफ घन और सममित हैं जिनमें जल गैस और बिजली, पीटरसन ग्राफ, [[हेवुड ग्राफ]], मोबियस-कांटोर ग्राफ, [[पप्पस ग्राफ]], [[Desargues ग्राफ\|देसरगेस ग्राफ]], नाउरू सम्मिलित हैं। ग्राफ़, [[कॉक्सेटर ग्राफ]], टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ़, [[डाइक ग्राफ]], [[पालक ग्राफ\|फोस्टर ग्राफ]] और बिग्स-स्मिथ ग्राफ़ डब्ल्यू. टी. टुटे ने सममित घन ग्राफ़ को सबसे छोटे पूर्णांक संख्या s द्वारा वर्गीकृत किया है, जिससे लंबाई s के प्रत्येक दो उन्मुख पथों को ग्राफ़ की बिल्कुल एक समरूपता द्वारा एक दूसरे से मैप किया जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि s अधिकतम 5 है, और 1 से 5 तक s के प्रत्येक संभावित मान वाले ग्राफ़ के उदाहरण प्रदान किए जाते है। <ref><ref>{{Citation		1932 में आर. एम. फोस्टर या रोनाल्ड एम. [[पालक जनगणना\|फोस्टर जनगणना]] घन [[सममित ग्राफ]] के उदाहरण एकत्र करना प्रारंभ किया जिससे फोस्टर जनगणना की प्रारंभ हुई।<ref name="Ref_Foster">{{Citation\|first1=R. M.\|last1=Foster\|title=Geometrical Circuits of Electrical Networks\|journal=[[Transactions of the American Institute of Electrical Engineers]]\|volume=51\|pages=309–317\|year=1932\|doi=10.1109/T-AIEE.1932.5056068\|issue=2\|s2cid=51638449}}.</ref> कई प्रसिद्ध व्यक्तिगत ग्राफ घन और सममित हैं जिनमें जल गैस और बिजली, पीटरसन ग्राफ, [[हेवुड ग्राफ]], मोबियस-कांटोर ग्राफ, [[पप्पस ग्राफ]], [[Desargues ग्राफ\|देसरगेस ग्राफ]], नाउरू सम्मिलित हैं। ग्राफ़, [[कॉक्सेटर ग्राफ]], टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ़, [[डाइक ग्राफ]], [[पालक ग्राफ\|फोस्टर ग्राफ]] और बिग्स-स्मिथ ग्राफ़ डब्ल्यू. टी. टुटे ने सममित घन ग्राफ़ को सबसे छोटे पूर्णांक संख्या s द्वारा वर्गीकृत किया है, जिससे लंबाई s के प्रत्येक दो उन्मुख पथों को ग्राफ़ की बिल्कुल एक समरूपता द्वारा एक दूसरे से मैप किया जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि s अधिकतम 5 है, और 1 से 5 तक s के प्रत्येक संभावित मान वाले ग्राफ़ के उदाहरण प्रदान किए जाते है। </ref><ref>{{Citation
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	[[अर्ध-सममितीय ग्राफ]] या अर्ध-सममितीय घन ग्राफ़ में [[ग्रे ग्राफ]] (सबसे छोटा अर्ध-सममित घन ग्राफ़), [[ज़ुब्लज़ाना ग्राफ़]] और [[सभी 12-पिंजरे\|सभी 12-केज]] सम्मिलित हैं।		[[अर्ध-सममितीय ग्राफ]] या अर्ध-सममितीय घन ग्राफ़ में [[ग्रे ग्राफ]] (सबसे छोटा अर्ध-सममित घन ग्राफ़), [[ज़ुब्लज़ाना ग्राफ़]] और [[सभी 12-पिंजरे\|सभी 12-केज]] सम्मिलित हैं।

	[[फल ग्राफ]] बिना किसी समरूपता वाले पांच सबसे छोटे घन ग्राफों में से एक है:<ref><ref>{{citation\|last1=Bussemaker\|first1=F. C.\|last2=Cobeljic\|first2=S.\|last3=Cvetkovic\|first3=D. M.\|last4=Seidel\|first4=J. J.\|publisher=Dept. of Mathematics and Computing Science, Eindhoven University of Technology\|series=EUT report\|title=Computer investigation of cubic graphs\|url=https://research.tue.nl/en/publications/computer-investigation-of-cubic-graphs\|volume=76-WSK-01\|year=1976}}~~<nowiki>~~</ref>		[[फल ग्राफ]] बिना किसी समरूपता वाले पांच सबसे छोटे घन ग्राफों में से एक है:<ref><ref>{{citation\|last1=Bussemaker\|first1=F. C.\|last2=Cobeljic\|first2=S.\|last3=Cvetkovic\|first3=D. M.\|last4=Seidel\|first4=J. J.\|publisher=Dept. of Mathematics and Computing Science, Eindhoven University of Technology\|series=EUT report\|title=Computer investigation of cubic graphs\|url=https://research.tue.nl/en/publications/computer-investigation-of-cubic-graphs\|volume=76-WSK-01\|year=1976}}</ref>

	इसमें केवल एक [[ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म]], पहचान ऑटोमोर्फिज्म है। <ref><ref>{{Citation \| last1=Frucht \| first1=R. \| title=Graphs of degree three with a given abstract group \| doi = 10.4153/CJM-1949-033-6 \| mr=0032987 \| year=1949 \| journal=[[Canadian Journal of Mathematics]] \| issn=0008-414X \| volume=1 \| issue=4 \| pages=365–378\| s2cid=124723321 }}.~~<nowiki>~~</ref>		इसमें केवल एक [[ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म]], पहचान ऑटोमोर्फिज्म है। <ref><ref>{{Citation \| last1=Frucht \| first1=R. \| title=Graphs of degree three with a given abstract group \| doi = 10.4153/CJM-1949-033-6 \| mr=0032987 \| year=1949 \| journal=[[Canadian Journal of Mathematics]] \| issn=0008-414X \| volume=1 \| issue=4 \| pages=365–378\| s2cid=124723321 }}.</ref>

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समरूपता

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	==समरूपता ==		==समरूपता ==
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	==रंग और स्वतंत्र सेट ==		==रंग और स्वतंत्र सेट ==

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	~~'''<br />फ़ के किनारों को तीन पूर्ण मिलानों में विभाजित करता है। कोनिग के'''~~
	==[[टोपोलॉजी]] और ज्यामिति ==		==[[टोपोलॉजी]] और ज्यामिति ==
	क्यूबिक ग्राफ़ टोपोलॉजी में कई तरह से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए यदि कोई ग्राफ़ (असतत गणित) को 1-आयामी [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स]] मानता है, तो क्यूबिक ग्राफ़ [[सामान्य संपत्ति]] है, जिसमें अधिकांश 1-सेल संलग्न मानचित्र ग्राफ़ के 0-स्केलेटन से अलग होते हैं। क्यूबिक ग्राफ़ भी तीन आयामों में [[ बहुतल \|बहुतल]] के ग्राफ़ के रूप में बनाए जाते हैं, पॉलीहेड्रा जैसे कि नियमित डोडेकेहेड्रॉन की गुण के साथ कि प्रत्येक शीर्ष पर तीन चेहरे मिलते हैं।		क्यूबिक ग्राफ़ टोपोलॉजी में कई तरह से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए यदि कोई ग्राफ़ (असतत गणित) को 1-आयामी [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स]] मानता है, तो क्यूबिक ग्राफ़ [[सामान्य संपत्ति]] है, जिसमें अधिकांश 1-सेल संलग्न मानचित्र ग्राफ़ के 0-स्केलेटन से अलग होते हैं। क्यूबिक ग्राफ़ भी तीन आयामों में [[ बहुतल \|बहुतल]] के ग्राफ़ के रूप में बनाए जाते हैं, पॉलीहेड्रा जैसे कि नियमित डोडेकेहेड्रॉन की गुण के साथ कि प्रत्येक शीर्ष पर तीन चेहरे मिलते हैं।

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	बाइक्यूबिक ग्राफ़ एक क्यूबिक [[द्विदलीय ग्राफ]] है।		बाइक्यूबिक ग्राफ़ एक क्यूबिक [[द्विदलीय ग्राफ]] है।

	==समरूपता==		==समरूपता ==
	1932 में आर. एम. फोस्टर या रोनाल्ड एम. [[पालक जनगणना\|फोस्टर जनगणना]] घन [[सममित ग्राफ]] के उदाहरण एकत्र करना प्रारंभ किया जिससे फोस्टर जनगणना की प्रारंभ हुई।<ref name="Ref_Foster">{{Citation\|first1=R. M.\|last1=Foster\|title=Geometrical Circuits of Electrical Networks\|journal=[[Transactions of the American Institute of Electrical Engineers]]\|volume=51\|pages=309–317\|year=1932\|doi=10.1109/T-AIEE.1932.5056068\|issue=2\|s2cid=51638449}}.</ref> कई प्रसिद्ध व्यक्तिगत ग्राफ घन और सममित हैं जिनमें जल गैस और बिजली, पीटरसन ग्राफ, [[हेवुड ग्राफ]], मोबियस-कांटोर ग्राफ, [[पप्पस ग्राफ]], [[Desargues ग्राफ\|देसरगेस ग्राफ]], नाउरू सम्मिलित हैं। ग्राफ़, [[कॉक्सेटर ग्राफ]], टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ़, [[डाइक ग्राफ]], [[पालक ग्राफ\|फोस्टर ग्राफ]] और बिग्स-स्मिथ ग्राफ़ डब्ल्यू. टी. टुटे ने सममित घन ग्राफ़ को सबसे छोटे पूर्णांक संख्या s द्वारा वर्गीकृत किया है, जिससे लंबाई s के प्रत्येक दो उन्मुख पथों को ग्राफ़ की बिल्कुल एक समरूपता द्वारा एक दूसरे से मैप किया जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि s अधिकतम 5 है, और 1 से 5 तक s के प्रत्येक संभावित मान वाले ग्राफ़ के उदाहरण प्रदान किए जाते है। <ref>रेफरी>{{Citation		1932 में आर. एम. फोस्टर या रोनाल्ड एम. [[पालक जनगणना\|फोस्टर जनगणना]] घन [[सममित ग्राफ]] के उदाहरण एकत्र करना प्रारंभ किया जिससे फोस्टर जनगणना की प्रारंभ हुई।<ref name="Ref_Foster">{{Citation\|first1=R. M.\|last1=Foster\|title=Geometrical Circuits of Electrical Networks\|journal=[[Transactions of the American Institute of Electrical Engineers]]\|volume=51\|pages=309–317\|year=1932\|doi=10.1109/T-AIEE.1932.5056068\|issue=2\|s2cid=51638449}}.</ref> कई प्रसिद्ध व्यक्तिगत ग्राफ घन और सममित हैं जिनमें जल गैस और बिजली, पीटरसन ग्राफ, [[हेवुड ग्राफ]], मोबियस-कांटोर ग्राफ, [[पप्पस ग्राफ]], [[Desargues ग्राफ\|देसरगेस ग्राफ]], नाउरू सम्मिलित हैं। ग्राफ़, [[कॉक्सेटर ग्राफ]], टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ़, [[डाइक ग्राफ]], [[पालक ग्राफ\|फोस्टर ग्राफ]] और बिग्स-स्मिथ ग्राफ़ डब्ल्यू. टी. टुटे ने सममित घन ग्राफ़ को सबसे छोटे पूर्णांक संख्या s द्वारा वर्गीकृत किया है, जिससे लंबाई s के प्रत्येक दो उन्मुख पथों को ग्राफ़ की बिल्कुल एक समरूपता द्वारा एक दूसरे से मैप किया जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि s अधिकतम 5 है, और 1 से 5 तक s के प्रत्येक संभावित मान वाले ग्राफ़ के उदाहरण प्रदान किए जाते है। <ref>रेफरी>{{Citation
	\| doi = 10.4153/CJM-1959-057-2		\| doi = 10.4153/CJM-1959-057-2
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	इसमें केवल एक [[ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म]], पहचान ऑटोमोर्फिज्म है। <ref>रेफरी>{{Citation \| last1=Frucht \| first1=R. \| title=Graphs of degree three with a given abstract group \| doi = 10.4153/CJM-1949-033-6 \| mr=0032987 \| year=1949 \| journal=[[Canadian Journal of Mathematics]] \| issn=0008-414X \| volume=1 \| issue=4 \| pages=365–378\| s2cid=124723321 }}.<nowiki></ref>		इसमें केवल एक [[ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म]], पहचान ऑटोमोर्फिज्म है। <ref>रेफरी>{{Citation \| last1=Frucht \| first1=R. \| title=Graphs of degree three with a given abstract group \| doi = 10.4153/CJM-1949-033-6 \| mr=0032987 \| year=1949 \| journal=[[Canadian Journal of Mathematics]] \| issn=0008-414X \| volume=1 \| issue=4 \| pages=365–378\| s2cid=124723321 }}.<nowiki></ref>

	==रंग और स्वतंत्र सेट==		==रंग और स्वतंत्र सेट ==
	ब्रूक्स प्रमेय के अनुसार पूर्ण ग्राफ ''K''<sub>4</sub> के अतिरिक्त प्रत्येक जुड़ा हुआ घन ग्राफ अधिकतम तीन रंगों के साथ एक [[शीर्ष रंग]] है। इसलिए ''K''<sub>4</sub> के अतिरिक्त प्रत्येक जुड़ा हुआ घन ग्राफ़ इसमें कम से कम n/3 शीर्षों का एक स्वतंत्र सेट (ग्राफ सिद्धांत) है, जहां n ग्राफ़ में शीर्षों की संख्या है: उदाहरण के लिए 3-रंग में सबसे बड़े रंग वर्ग में कम से कम इतने शीर्ष होते हैं।		ब्रूक्स प्रमेय के अनुसार पूर्ण ग्राफ ''K''<sub>4</sub> के अतिरिक्त प्रत्येक जुड़ा हुआ घन ग्राफ अधिकतम तीन रंगों के साथ एक [[शीर्ष रंग]] है। इसलिए ''K''<sub>4</sub> के अतिरिक्त प्रत्येक जुड़ा हुआ घन ग्राफ़ इसमें कम से कम n/3 शीर्षों का एक स्वतंत्र सेट (ग्राफ सिद्धांत) है, जहां n ग्राफ़ में शीर्षों की संख्या है: उदाहरण के लिए 3-रंग में सबसे बड़े रंग वर्ग में कम से कम इतने शीर्ष होते हैं।

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	[[अर्ध-सममितीय ग्राफ]] या अर्ध-सममितीय घन ग्राफ़ में [[ग्रे ग्राफ]] (सबसे छोटा अर्ध-सममित घन ग्राफ़), [[ज़ुब्लज़ाना ग्राफ़]] और [[सभी 12-पिंजरे\|सभी 12-केज]] सम्मिलित हैं।		[[अर्ध-सममितीय ग्राफ]] या अर्ध-सममितीय घन ग्राफ़ में [[ग्रे ग्राफ]] (सबसे छोटा अर्ध-सममित घन ग्राफ़), [[ज़ुब्लज़ाना ग्राफ़]] और [[सभी 12-पिंजरे\|सभी 12-केज]] सम्मिलित हैं।

	[[फल ग्राफ]] बिना किसी समरूपता वाले पांच सबसे छोटे घन ग्राफों में से एक है:<ref><ref>{{citation\|last1=Bussemaker\|first1=F. C.\|last2=Cobeljic\|first2=S.\|last3=Cvetkovic\|first3=D. M.\|last4=Seidel\|first4=J. J.\|publisher=Dept. of Mathematics and Computing Science, Eindhoven University of Technology\|series=EUT report\|title=Computer investigation of cubic graphs\|url=https://research.tue.nl/en/publications/computer-investigation-of-cubic-graphs\|volume=76-WSK-01\|year=1976}}</ref>		[[फल ग्राफ]] बिना किसी समरूपता वाले पांच सबसे छोटे घन ग्राफों में से एक है:</ref><ref>{{citation\|last1=Bussemaker\|first1=F. C.\|last2=Cobeljic\|first2=S.\|last3=Cvetkovic\|first3=D. M.\|last4=Seidel\|first4=J. J.\|publisher=Dept. of Mathematics and Computing Science, Eindhoven University of Technology\|series=EUT report\|title=Computer investigation of cubic graphs\|url=https://research.tue.nl/en/publications/computer-investigation-of-cubic-graphs\|volume=76-WSK-01\|year=1976}}</ref>

	इसमें केवल एक [[ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म]], पहचान ऑटोमोर्फिज्म है। <ref><ref>{{Citation \| last1=Frucht \| first1=R. \| title=Graphs of degree three with a given abstract group \| doi = 10.4153/CJM-1949-033-6 \| mr=0032987 \| year=1949 \| journal=[[Canadian Journal of Mathematics]] \| issn=0008-414X \| volume=1 \| issue=4 \| pages=365–378\| s2cid=124723321 }}.</ref>		इसमें केवल एक [[ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म]], पहचान ऑटोमोर्फिज्म है। <ref><ref>{{Citation \| last1=Frucht \| first1=R. \| title=Graphs of degree three with a given abstract group \| doi = 10.4153/CJM-1949-033-6 \| mr=0032987 \| year=1949 \| journal=[[Canadian Journal of Mathematics]] \| issn=0008-414X \| volume=1 \| issue=4 \| pages=365–378\| s2cid=124723321 }}.</ref>