ग्राफॉन - Revision history

Manidh at 04:32, 26 May 2023

2023-05-26T04:32:39Z

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	अब हम कहते हैं कि रेखांकन का एक क्रम <math>(G_n)</math> कट दूरी के अनुसार अभिसारी है यदि यह कट दूरी के अनुसार एक कॉची अनुक्रम है <math>\delta_\square</math>. चूंकि यह परिभाषा का सीधा परिणाम नहीं है, यदि ग्राफ का ऐसा क्रम कॉची है, तो <math>W</math> हमेशा किसी ग्राफॉन में परिवर्तित हो जाता है।		अब हम कहते हैं कि रेखांकन का एक क्रम <math>(G_n)</math> कट दूरी के अनुसार अभिसारी है यदि यह कट दूरी के अनुसार एक कॉची अनुक्रम है <math>\delta_\square</math>. चूंकि यह परिभाषा का सीधा परिणाम नहीं है, यदि ग्राफ का ऐसा क्रम कॉची है, तो <math>W</math> हमेशा किसी ग्राफॉन में परिवर्तित हो जाता है।

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	==== अभिसरण की समानता ====		==== अभिसरण की समानता ====
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	इस लेम्मा से पता चलता है कि वाम-अभिसरण का अर्थ कटी हुई दूरी के अंतर्गत अभिसरण है।		इस लेम्मा से पता चलता है कि वाम-अभिसरण का अर्थ कटी हुई दूरी के अंतर्गत अभिसरण है।

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	=== ग्राफोन का स्थान ===		=== ग्राफोन का स्थान ===
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	माना कि <math>\mathcal{G}</math> रेखांकन का सेट हो। प्रत्येक ग्राफ के लिए विचार करें <math>G \in \mathcal{G}</math> खुली गेंद <math>B_\square(G, \epsilon)</math> जिसमें सभी ग्राफोन हों <math>W</math> ऐसा है कि <math>\delta_\square(W, W_G) < \epsilon</math>. सभी ग्राफ कवर के लिए खुली गेंदों का सेट <math>\widetilde{\mathcal{W}}_0</math>, इसलिए सघन का अर्थ है कि एक परिमित उपकवर है <math>\{ B_\square(G, \epsilon) \mid G \in \mathcal{G}_0 \}</math> कुछ परिमित उपसमुच्चय के लिए <math>\mathcal{G}_0 \subset \mathcal{G}</math>. अब हम ले सकते हैं <math>N</math> रेखांकन के बीच शीर्षों की सबसे बड़ी संख्या होना <math>\mathcal{G}_0</math>.		माना कि <math>\mathcal{G}</math> रेखांकन का सेट हो। प्रत्येक ग्राफ के लिए विचार करें <math>G \in \mathcal{G}</math> खुली गेंद <math>B_\square(G, \epsilon)</math> जिसमें सभी ग्राफोन हों <math>W</math> ऐसा है कि <math>\delta_\square(W, W_G) < \epsilon</math>. सभी ग्राफ कवर के लिए खुली गेंदों का सेट <math>\widetilde{\mathcal{W}}_0</math>, इसलिए सघन का अर्थ है कि एक परिमित उपकवर है <math>\{ B_\square(G, \epsilon) \mid G \in \mathcal{G}_0 \}</math> कुछ परिमित उपसमुच्चय के लिए <math>\mathcal{G}_0 \subset \mathcal{G}</math>. अब हम ले सकते हैं <math>N</math> रेखांकन के बीच शीर्षों की सबसे बड़ी संख्या होना <math>\mathcal{G}_0</math>.

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	== अनुप्रयोग ==		== अनुप्रयोग ==
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	मजबूत नियमितता प्रमेयिका का प्रमाण ऊपर दिए गए परिणाम 1 की अवधारणा के समान है। यह पता चला है कि हर ग्राफॉन <math>W</math> एक स्टेपफंक्शन के साथ अनुमान लगाया जा सकता है <math>U</math> एलपी_स्पेस#एलपी_स्पेस_एंड_लेब्सग्यू_इंटीग्रल्स में <math>L_1</math> मानदंड, दिखा रहा है कि गेंदों का सेट <math>B_1(U, \epsilon_0)</math> ढकना <math>\widetilde{\mathcal{W}}_0</math>. ये सेट में नहीं खुले हैं <math>\delta_\square</math> मीट्रिक, लेकिन खुले रहने के लिए उन्हें थोड़ा बड़ा किया जा सकता है। अब, हम एक परिमित उपकवर ले सकते हैं, और कोई यह दिखा सकता है कि वांछित स्थिति इस प्रकार है।		मजबूत नियमितता प्रमेयिका का प्रमाण ऊपर दिए गए परिणाम 1 की अवधारणा के समान है। यह पता चला है कि हर ग्राफॉन <math>W</math> एक स्टेपफंक्शन के साथ अनुमान लगाया जा सकता है <math>U</math> एलपी_स्पेस#एलपी_स्पेस_एंड_लेब्सग्यू_इंटीग्रल्स में <math>L_1</math> मानदंड, दिखा रहा है कि गेंदों का सेट <math>B_1(U, \epsilon_0)</math> ढकना <math>\widetilde{\mathcal{W}}_0</math>. ये सेट में नहीं खुले हैं <math>\delta_\square</math> मीट्रिक, लेकिन खुले रहने के लिए उन्हें थोड़ा बड़ा किया जा सकता है। अब, हम एक परिमित उपकवर ले सकते हैं, और कोई यह दिखा सकता है कि वांछित स्थिति इस प्रकार है।

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	~~[[Category:ग्राफ सिद्धांत]]~~
	~~[[Category:सिद्धांत संभावना]]~~

	=== सिदोरेंको का अनुमान ===		=== सिदोरेंको का अनुमान ===
Line 381:		Line 381:
	<ref name=Orbanz:Roy:2015>{{Cite journal\| volume = 37\| issue = 2\| pages = 437–461\| last1 = Orbanz\| first1 = P.\| last2 = Roy\| first2 = D.M.\| title = Bayesian Models of Graphs, Arrays and Other Exchangeable Random Structures\| journal = IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence\| doi=10.1109/tpami.2014.2334607\| pmid = 26353253\| arxiv = 1312.7857\| year = 2015\| s2cid = 566759}}</ref>		<ref name=Orbanz:Roy:2015>{{Cite journal\| volume = 37\| issue = 2\| pages = 437–461\| last1 = Orbanz\| first1 = P.\| last2 = Roy\| first2 = D.M.\| title = Bayesian Models of Graphs, Arrays and Other Exchangeable Random Structures\| journal = IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence\| doi=10.1109/tpami.2014.2334607\| pmid = 26353253\| arxiv = 1312.7857\| year = 2015\| s2cid = 566759}}</ref>
	</references>		</references>
	~~[[Category: ग्राफ सिद्धांत]] [[Category: सिद्धांत संभावना]]~~

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alpha>Gyanendraprakash at 08:42, 20 May 2023

2023-05-20T08:42:10Z

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Line 30:		Line 30:

	# इकाई वर्ग को विभाजित करना <math>k\times k</math> ब्लॉक, और		# इकाई वर्ग को विभाजित करना <math>k\times k</math> ब्लॉक, और
	# सेटिंग <math>W</math> ~~के बराबर~~ <math>p_{lm}</math> पर <math>(l,m)^{\text{th}}</math> ~~अवरोध पैदा करना है।~~		# सेटिंग <math>W</math> <math>p_{lm}</math>के बराबर है <math>(l,m)^{\text{th}}</math> ब्लाक पर

	परिणामी विनिमेय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल <math>k</math> सामुदायिक[[ स्टोकेस्टिक ब्लॉक मॉडल \| स्टोकेस्टिक ब्लॉक मॉडल,]] एर्डोस-रेनी मॉडल का एक सामान्यीकरण है।		परिणामी विनिमेय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल <math>k</math> सामुदायिक[[ स्टोकेस्टिक ब्लॉक मॉडल \| स्टोकेस्टिक ब्लॉक मॉडल,]] एर्डोस-रेनी मॉडल का एक सामान्यीकरण है।
Line 66:		Line 66:
	<math>(i,j)^{\text{th}}</math>		<math>(i,j)^{\text{th}}</math>
	का प्रवेश <math>A_G</math>.		का प्रवेश <math>A_G</math>.
	यह ~~समारोह~~ <math>W_G</math> ग्राफ का संबद्ध ग्राफॉन <math>G</math> से है।		यह फलन <math>W_G</math> ग्राफ का संबद्ध ग्राफॉन <math>G</math> से है।

	सामान्य तौर पर, यदि हमारे पास रेखांकन का एक क्रम है <math>(G_n)</math> जहां शीर्षों की संख्या <math>G_{n}</math> अनंत तक जाता है, हम इसका विश्लेषण कर सकते हैं		सामान्य तौर पर, यदि हमारे पास रेखांकन का एक क्रम है <math>(G_n)</math> जहां शीर्षों की संख्या <math>G_{n}</math> अनंत तक जाता है, हम इसका विश्लेषण कर सकते हैं
Line 124:		Line 124:
	यह है क्योंकि <math>W</math> है <math>\{0,1\}</math>-मूल्यवान, और प्रत्येक किनारा <math>(i, j)</math>		यह है क्योंकि <math>W</math> है <math>\{0,1\}</math>-मूल्यवान, और प्रत्येक किनारा <math>(i, j)</math>
	में <math>G</math> एक क्षेत्र से मेल खाता है <math>I_i \times I_j</math>		में <math>G</math> एक क्षेत्र से मेल खाता है <math>I_i \times I_j</math>
	क्षेत्र के <math>1/n^2</math> जहाँ <math>W</math> के बराबर होती है <math>1</math>.		क्षेत्र के <math>1/n^2</math> जहाँ <math>W</math> बराबर होती है <math>1</math> के।

	इसी तरह के तर्क से पता चलता है कि त्रिभुजों की संख्या में <math>G</math> के बराबर है।		इसी तरह के तर्क से पता चलता है कि त्रिभुजों की संख्या में <math>G</math> के बराबर है।
Line 232:		Line 232:
	सभी रेखांकन के लिए <math>F</math> संतुष्टि देने वाला <math>v(F) \le k</math>,		सभी रेखांकन के लिए <math>F</math> संतुष्टि देने वाला <math>v(F) \le k</math>,
	हमारे पास यह होना चाहिए <math>\delta_\square(U, W) < \epsilon</math>.		हमारे पास यह होना चाहिए <math>\delta_\square(U, W) < \epsilon</math>.
	~~</ब्लॉककोट>~~

	इस लेम्मा से पता चलता है कि वाम-अभिसरण का अर्थ कटी हुई दूरी के अंतर्गत अभिसरण है।		इस लेम्मा से पता चलता है कि वाम-अभिसरण का अर्थ कटी हुई दूरी के अंतर्गत अभिसरण है।
Line 252:		Line 251:

	अनुप्रमेय 1. प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\epsilon > 0</math>, एक पूर्णांक है <math>N</math> ऐसा है कि हर ग्राफॉन के लिए <math>W</math>, एक ग्राफ है <math>G</math> अधिक से अधिक के साथ <math>N</math> ऐसा शिखर <math>\delta_\square(W, W_G) < \epsilon</math>.		अनुप्रमेय 1. प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\epsilon > 0</math>, एक पूर्णांक है <math>N</math> ऐसा है कि हर ग्राफॉन के लिए <math>W</math>, एक ग्राफ है <math>G</math> अधिक से अधिक के साथ <math>N</math> ऐसा शिखर <math>\delta_\square(W, W_G) < \epsilon</math>.
	~~</ब्लॉककोट>~~

	माना कि <math>\mathcal{G}</math> रेखांकन का सेट हो। प्रत्येक ग्राफ के लिए विचार करें <math>G \in \mathcal{G}</math> खुली गेंद <math>B_\square(G, \epsilon)</math> जिसमें सभी ग्राफोन हों <math>W</math> ऐसा है कि <math>\delta_\square(W, W_G) < \epsilon</math>. सभी ग्राफ कवर के लिए खुली गेंदों का सेट <math>\widetilde{\mathcal{W}}_0</math>, इसलिए सघन का अर्थ है कि एक परिमित उपकवर है <math>\{ B_\square(G, \epsilon) \mid G \in \mathcal{G}_0 \}</math> कुछ परिमित उपसमुच्चय के लिए <math>\mathcal{G}_0 \subset \mathcal{G}</math>. अब हम ले सकते हैं <math>N</math> रेखांकन के बीच शीर्षों की सबसे बड़ी संख्या होना <math>\mathcal{G}_0</math>.		माना कि <math>\mathcal{G}</math> रेखांकन का सेट हो। प्रत्येक ग्राफ के लिए विचार करें <math>G \in \mathcal{G}</math> खुली गेंद <math>B_\square(G, \epsilon)</math> जिसमें सभी ग्राफोन हों <math>W</math> ऐसा है कि <math>\delta_\square(W, W_G) < \epsilon</math>. सभी ग्राफ कवर के लिए खुली गेंदों का सेट <math>\widetilde{\mathcal{W}}_0</math>, इसलिए सघन का अर्थ है कि एक परिमित उपकवर है <math>\{ B_\square(G, \epsilon) \mid G \in \mathcal{G}_0 \}</math> कुछ परिमित उपसमुच्चय के लिए <math>\mathcal{G}_0 \subset \mathcal{G}</math>. अब हम ले सकते हैं <math>N</math> रेखांकन के बीच शीर्षों की सबसे बड़ी संख्या होना <math>\mathcal{G}_0</math>.
Line 273:		Line 271:

	ग्राफन के लिए कमजोर नियमितता प्रमेयिका। हर ग्राफन के लिए <math>W</math> और <math>\epsilon > 0</math>, एक स्टेपफंक्शन है <math>W'</math> अधिक से अधिक के साथ <math>\lceil 4^{1/\epsilon^2} \rceil</math> ऐसे कदम <math> \lVert W - W' \rVert_\square \le \epsilon</math>.		ग्राफन के लिए कमजोर नियमितता प्रमेयिका। हर ग्राफन के लिए <math>W</math> और <math>\epsilon > 0</math>, एक स्टेपफंक्शन है <math>W'</math> अधिक से अधिक के साथ <math>\lceil 4^{1/\epsilon^2} \rceil</math> ऐसे कदम <math> \lVert W - W' \rVert_\square \le \epsilon</math>.
	~~</ब्लॉककोट>~~

	लेकिन इसका उपयोग मजबूत नियमितता परिणाम सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि ज़ेमेरीडी नियमितता लेम्मा#मजबूत नियमितता लेम्मा है।		लेकिन इसका उपयोग मजबूत नियमितता परिणाम सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि ज़ेमेरीडी नियमितता लेम्मा#मजबूत नियमितता लेम्मा है।

	ग्राफों के लिए मजबूत नियमितता लेम्मा। हर क्रम के लिए <math>\mathbf{\epsilon} = (\epsilon_0, \epsilon_1, \dots)</math> धनात्मक वास्तविक संख्याओं का, एक धनात्मक पूर्णांक होता है <math>S</math> ऐसा है कि हर ग्राफॉन के लिए <math>W</math>, एक ग्राफन है <math>W'</math> और एक स्टेपफंक्शन <math>U</math> साथ <math>k < S</math> ऐसे कदम <math> \lVert W - W' \rVert_1 \le \epsilon_0 </math> और <math> \lVert W' - U \rVert_\square \le \epsilon_k.</math>		ग्राफों के लिए मजबूत नियमितता लेम्मा। हर क्रम के लिए <math>\mathbf{\epsilon} = (\epsilon_0, \epsilon_1, \dots)</math> धनात्मक वास्तविक संख्याओं का, एक धनात्मक पूर्णांक होता है <math>S</math> ऐसा है कि हर ग्राफॉन के लिए <math>W</math>, एक ग्राफन है <math>W'</math> और एक स्टेपफंक्शन <math>U</math> साथ <math>k < S</math> ऐसे कदम <math> \lVert W - W' \rVert_1 \le \epsilon_0 </math> और <math> \lVert W' - U \rVert_\square \le \epsilon_k.</math>
	~~</ब्लॉककोट>~~

	मजबूत नियमितता प्रमेयिका का प्रमाण ऊपर दिए गए परिणाम 1 की अवधारणा के समान है। यह पता चला है कि हर ग्राफॉन <math>W</math> एक स्टेपफंक्शन के साथ अनुमान लगाया जा सकता है <math>U</math> एलपी_स्पेस#एलपी_स्पेस_एंड_लेब्सग्यू_इंटीग्रल्स में <math>L_1</math> मानदंड, दिखा रहा है कि गेंदों का सेट <math>B_1(U, \epsilon_0)</math> ढकना <math>\widetilde{\mathcal{W}}_0</math>. ये सेट में नहीं खुले हैं <math>\delta_\square</math> मीट्रिक, लेकिन खुले रहने के लिए उन्हें थोड़ा बड़ा किया जा सकता है। अब, हम एक परिमित उपकवर ले सकते हैं, और कोई यह दिखा सकता है कि वांछित स्थिति इस प्रकार है।		मजबूत नियमितता प्रमेयिका का प्रमाण ऊपर दिए गए परिणाम 1 की अवधारणा के समान है। यह पता चला है कि हर ग्राफॉन <math>W</math> एक स्टेपफंक्शन के साथ अनुमान लगाया जा सकता है <math>U</math> एलपी_स्पेस#एलपी_स्पेस_एंड_लेब्सग्यू_इंटीग्रल्स में <math>L_1</math> मानदंड, दिखा रहा है कि गेंदों का सेट <math>B_1(U, \epsilon_0)</math> ढकना <math>\widetilde{\mathcal{W}}_0</math>. ये सेट में नहीं खुले हैं <math>\delta_\square</math> मीट्रिक, लेकिन खुले रहने के लिए उन्हें थोड़ा बड़ा किया जा सकता है। अब, हम एक परिमित उपकवर ले सकते हैं, और कोई यह दिखा सकता है कि वांछित स्थिति इस प्रकार है।

alpha>Gyanendraprakash at 10:07, 18 May 2023

2023-05-18T10:07:25Z

← Older revision		Revision as of 15:37, 18 May 2023
Line 168:		Line 168:

	<math display=block> t(F, W) = \int \prod_{(i,j)\in E(F)} W(x_i, x_j) \; \left\{\mathrm{d}x_i\right\}_{i\in V(F)}</math>		<math display=block> t(F, W) = \int \prod_{(i,j)\in E(F)} W(x_i, x_j) \; \left\{\mathrm{d}x_i\right\}_{i\in V(F)}</math>
	किसी भी ग्राफ के लिए <math>F</math>.		किसी भी ग्राफ के लिए <math>F</math> है।

	इस सेटअप को देखते हुए, हम रेखांकन का एक क्रम कहते हैं <math>(G_n)</math> यदि प्रत्येक नियत ग्राफ के लिए <math>F</math> वाम-अभिसरण है, समरूपता घनत्व का क्रम <math>\left(t(F, G_n)\right)</math> अभिसरण।		इस सेटअप को देखते हुए, हम रेखांकन का एक क्रम कहते हैं <math>(G_n)</math> यदि प्रत्येक नियत ग्राफ के लिए <math>F</math> वाम-अभिसरण है, समरूपता घनत्व का क्रम <math>\left(t(F, G_n)\right)</math> अभिसरण।
Line 223:		Line 223:
	<ब्लॉककोट>काउंटिंग लेम्मा। ग्राफॉन की किसी भी जोड़ी के लिए <math>U</math> और <math>W</math>, अपने पास है:		<ब्लॉककोट>काउंटिंग लेम्मा। ग्राफॉन की किसी भी जोड़ी के लिए <math>U</math> और <math>W</math>, अपने पास है:
	<math display=block> \|t(F, U) - t(F, W)\| \le e(F) \delta_\square(U, W) </math>		<math display=block> \|t(F, U) - t(F, W)\| \le e(F) \delta_\square(U, W) </math>
	सभी रेखांकन के लिए <math>F</math>.		सभी रेखांकन के लिए <math>F</math> है।
	</ब्लॉककोट>		</ब्लॉककोट>

alpha>Gyanendraprakash at 10:05, 18 May 2023

2023-05-18T10:05:30Z

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alpha>Gyanendraprakash at 09:59, 18 May 2023

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alpha>Gyanendraprakash at 09:52, 18 May 2023

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alpha>Gyanendraprakash at 09:17, 18 May 2023

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alpha>Gyanendraprakash at 08:48, 18 May 2023

2023-05-18T08:48:13Z

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Line 152:		Line 152:
	यानी प्रत्येक ग्राफ के लिए हम <math>F</math> की प्रतियों की संख्या की तुलना कर सकते हैं <math>F</math> में <math>G</math> और <math>F</math> में <math>H</math>।		यानी प्रत्येक ग्राफ के लिए हम <math>F</math> की प्रतियों की संख्या की तुलना कर सकते हैं <math>F</math> में <math>G</math> और <math>F</math> में <math>H</math>।
	यदि ये संख्याएं हर ग्राफ के करीब हैं <math>F</math>, तब सहज ज्ञान से <math>G</math> और <math>H</math> समान दिखने वाले ग्राफ हैं।		यदि ये संख्याएं हर ग्राफ के करीब हैं <math>F</math>, तब सहज ज्ञान से <math>G</math> और <math>H</math> समान दिखने वाले ग्राफ हैं।
	सबग्राफ से सीधे ~~डीलिंगके~~ बजाय, यह ग्राफ समरूपता के साथ काम करने के लिए आसान हो जाता है।		सबग्राफ से सीधे डीलिंग के बजाय, यह ग्राफ समरूपता के साथ काम करने के लिए आसान हो जाता है।
	इस परिदृश्य में बृहत्,सघन ग्राफ से ~~डीलिंगके~~ दौरान यह ठीक है		इस परिदृश्य में बृहत्,सघन ग्राफ से डीलिंग के दौरान यह ठीक है
	सबग्राफ की संख्या और एक निश्चित ग्राफ से ग्राफ ~~होमोमोर्फिम्स~~ की संख्या असम्बद्ध रूप से बराबर होती है।		सबग्राफ की संख्या और एक निश्चित ग्राफ से ग्राफ समरूपता की संख्या असम्बद्ध रूप से बराबर होती है।

	दो रेखांकन दिए गए हैं <math>F</math> और <math>G</math>, द		दो रेखांकन दिए गए हैं <math>F</math> और <math>G</math>, [[समरूपता घनत्व]] <math>t(F, G)</math> का <math>F</math> में <math>G</math> से ग्राफ़ समरूपता की संख्या के रूप <math>F</math> को <math>G</math> में परिभाषित किया गया है।
	[[समरूपता घनत्व]] <math>t(F, G)</math> का <math>F</math> में <math>G</math> से ग्राफ़ समरूपता की संख्या के रूप ~~में परिभाषित किया गया है~~ <math>F</math> को <math>G</math>.
	दूसरे शब्दों में, <math>t(F,G)</math> के शीर्ष से यादृच्छिक रूप से चुने गए मानचित्र की प्रायिकता है <math>F</math> के शिखर तक <math>G</math> सन्निकट शीर्षों को अंदर भेजता है <math>F</math> सन्निकट शीर्षों में <math>G</math>.		दूसरे शब्दों में, <math>t(F,G)</math> के शीर्ष से यादृच्छिक रूप से चुने गए मानचित्र की प्रायिकता है <math>F</math> के शिखर तक <math>G</math> सन्निकट शीर्षों को अंदर भेजता है <math>F</math> सन्निकट शीर्षों में <math>G</math>.

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Line 153:		Line 153:
	यदि ये संख्याएं हर ग्राफ के करीब हैं <math>F</math>, तब सहज ज्ञान से <math>G</math> और <math>H</math> समान दिखने वाले ग्राफ हैं।		यदि ये संख्याएं हर ग्राफ के करीब हैं <math>F</math>, तब सहज ज्ञान से <math>G</math> और <math>H</math> समान दिखने वाले ग्राफ हैं।
	सबग्राफ से सीधे डीलिंग के बजाय, यह ग्राफ समरूपता के साथ काम करने के लिए आसान हो जाता है।		सबग्राफ से सीधे डीलिंग के बजाय, यह ग्राफ समरूपता के साथ काम करने के लिए आसान हो जाता है।
	इस परिदृश्य में बृहत्,सघन ग्राफ से डीलिंग के दौरान यह ठीक है		इस परिदृश्य में बृहत्,सघन ग्राफ से डीलिंग के दौरान यह ठीक है,
	सबग्राफ की संख्या और एक निश्चित ग्राफ से ग्राफ समरूपता की संख्या असम्बद्ध रूप से बराबर होती है।		सबग्राफ की संख्या और एक निश्चित ग्राफ से ग्राफ समरूपता की संख्या असम्बद्ध रूप से बराबर होती है।

Line 160:		Line 160:

	ग्राफोन समरूपता घनत्व की गणना करने का एक सरल तरीका प्रदान करते हैं।		ग्राफोन समरूपता घनत्व की गणना करने का एक सरल तरीका प्रदान करते हैं।
	दरअसल, एक ग्राफ ~~दिया~~ <math>G</math> संबद्ध ग्राफॉन के साथ <math>W_G</math> और दुसरी <math>F</math>, अपने पास		दरअसल, एक ग्राफ <math>G</math> संबद्ध ग्राफॉन के साथ <math>W_G</math> और दुसरी <math>F</math>, अपने पास है:

	<math display=block> t(F, G) = \int \prod_{(i,j)\in E(F)} W_G(x_i, x_j) \; \left\{\mathrm{d}x_i\right\}_{i\in V(F)}</math>		<math display=block> t(F, G) = \int \prod_{(i,j)\in E(F)} W_G(x_i, x_j) \; \left\{\mathrm{d}x_i\right\}_{i\in V(F)}</math>
	जहां ~~इंटीग्रल~~ बहुआयामी है, यूनिट ~~हाइपरक्यूब~~ पर लिया गया है <math>[0,1]^{V(F)}</math>.		जहां अविभाज्य बहुआयामी है, यूनिट अतिविम पर लिया गया है <math>[0,1]^{V(F)}</math>.
	यह संबंधित ग्राफॉन की परिभाषा से अनुसरण करता है, जब उपरोक्त ~~इंटीग्रैंड~~ के बराबर होता है <math>1</math>.		यह संबंधित ग्राफॉन की परिभाषा से अनुसरण करता है, जब उपरोक्त एकीकृत के बराबर होता है <math>1</math>.
	फिर हम ~~होमोमोर्फिज्म~~ घनत्व की परिभाषा को ~~मनमाना~~ ग्राफॉन ~~तक बढ़ा सकते हैं~~ <math>W</math>, एक ही अभिन्न और परिभाषित करने का उपयोग ~~करके~~		फिर हम समरूपता घनत्व की परिभाषा को यादृच्छिक ग्राफॉन <math>W</math> तक बढ़ा सकते हैं, एक ही अभिन्न और परिभाषित करने का उपयोग करके।

	<math display=block> t(F, W) = \int \prod_{(i,j)\in E(F)} W(x_i, x_j) \; \left\{\mathrm{d}x_i\right\}_{i\in V(F)}</math>		<math display=block> t(F, W) = \int \prod_{(i,j)\in E(F)} W(x_i, x_j) \; \left\{\mathrm{d}x_i\right\}_{i\in V(F)}</math>
	किसी भी ग्राफ के लिए <math>F</math>.		किसी भी ग्राफ के लिए <math>F</math>.

	इस सेटअप को देखते हुए, हम रेखांकन का एक क्रम कहते हैं <math>(G_n)</math> यदि प्रत्येक नियत ग्राफ के लिए ~~वाम-अभिसरण है~~ <math>F</math>, समरूपता घनत्व का क्रम <math>\left(t(F, G_n)\right)</math> अभिसरण।		इस सेटअप को देखते हुए, हम रेखांकन का एक क्रम कहते हैं <math>(G_n)</math> यदि प्रत्येक नियत ग्राफ के लिए <math>F</math> वाम-अभिसरण है, समरूपता घनत्व का क्रम <math>\left(t(F, G_n)\right)</math> अभिसरण।
	हालांकि अकेले परिभाषा से स्पष्ट नहीं है, अगर <math>(G_n)</math> इस अर्थ में अभिसरण करता है, तो हमेशा एक ग्राफॉन मौजूद होता है <math>W</math> ऐसा है कि हर ग्राफ के लिए <math>F</math>, अपने पास		हालांकि अकेले परिभाषा से स्पष्ट नहीं है, अगर <math>(G_n)</math> इस अर्थ में अभिसरण करता है, तो हमेशा एक ग्राफॉन मौजूद होता है <math>W</math> ऐसा है कि हर ग्राफ के लिए <math>F</math>, अपने पास है:
	<math display = "block"> \lim_{n\to\infty} t(F, G_n) = t(F, W) </math>		<math display = "block"> \lim_{n\to\infty} t(F, G_n) = t(F, W) </math>
	इसके साथ ही।		इसके साथ ही।
Line 178:		Line 178:
	दो ग्राफ लीजिए <math>G</math> और <math>H</math> उसी शीर्ष सेट पर।		दो ग्राफ लीजिए <math>G</math> और <math>H</math> उसी शीर्ष सेट पर।
	क्योंकि ये रेखांकन समान शीर्षों को साझा करते हैं,		क्योंकि ये रेखांकन समान शीर्षों को साझा करते हैं,
	उनकी दूरी को मापने का एक तरीका ~~सबसेट तक सीमित करना है~~ <math>X, Y</math> वर्टेक्स सेट की, और ऐसे प्रत्येक जोड़ी सबसेट के लिए अश्रि की संख्या की तुलना करें <math>e_G(X,Y)</math> से <math>X</math> को <math>Y</math> में <math>G</math> अश्रि की संख्या के लिए <math>e_H(X,Y)</math> बीच में <math>X</math> और <math>Y</math> में <math>H</math>.		उनकी दूरी को मापने का एक तरीका <math>X, Y</math> सबसेट तक सीमित करना है वर्टेक्स सेट की, और ऐसे प्रत्येक जोड़ी सबसेट के लिए अश्रि की संख्या की तुलना करें <math>e_G(X,Y)</math> से <math>X</math> को <math>Y</math> में <math>G</math> अश्रि की संख्या के लिए <math>e_H(X,Y)</math> बीच में <math>X</math> और <math>Y</math> में <math>H</math>.
	यदि ये संख्याएँ उपसमुच्चयों की प्रत्येक जोड़ी के लिए समान हैं (वर्टेक्स की कुल संख्या के सापेक्ष), तो यह सुझाव देता है <math>G</math> और <math>H</math> समान रेखांकन हैं।		यदि ये संख्याएँ उपसमुच्चयों की प्रत्येक जोड़ी के लिए समान हैं (वर्टेक्स की कुल संख्या के सापेक्ष), तो यह सुझाव देता है <math>G</math> और <math>H</math> समान रेखांकन हैं।

Line 227:		Line 227:
	</ब्लॉककोट>		</ब्लॉककोट>

	गिनती लेम्मा नाम उस सीमा से आता है जो यह लेम्मा ~~होमोमोर्फिज्म~~ घनत्व पर देती है <math>t(F, W)</math>, जो ग्राफ़ के सबग्राफ काउंट के अनुरूप हैं। यह लेम्मा Szemerédi_regularity_lemma#Graph_counting_lemma का एक सामान्यीकरण है जो Szemerédi_regularity_lemma के क्षेत्र में दिखाई देता है, और यह तुरंत दिखाता है कि कट दूरी के तहत अभिसरण का अर्थ बाएं-अभिसरण है।		गिनती लेम्मा नाम उस सीमा से आता है जो यह लेम्मा समरूपता घनत्व पर देती है <math>t(F, W)</math>, जो ग्राफ़ के सबग्राफ काउंट के अनुरूप हैं। यह लेम्मा Szemerédi_regularity_lemma#Graph_counting_lemma का एक सामान्यीकरण है जो Szemerédi_regularity_lemma के क्षेत्र में दिखाई देता है, और यह तुरंत दिखाता है कि कट दूरी के तहत अभिसरण का अर्थ बाएं-अभिसरण है।

	उलटा काउंटिंग लेम्मा। प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\epsilon > 0</math>, एक वास्तविक संख्या मौजूद है <math>\eta > 0</math> और एक सकारात्मक पूर्णांक <math>k</math> ऐसा कि किसी भी जोड़ी ग्राफोन के लिए <math>U</math> और <math>W</math> साथ		उलटा काउंटिंग लेम्मा। प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\epsilon > 0</math>, एक वास्तविक संख्या मौजूद है <math>\eta > 0</math> और एक सकारात्मक पूर्णांक <math>k</math> ऐसा कि किसी भी जोड़ी ग्राफोन के लिए <math>U</math> और <math>W</math> साथ