गणनांक - Revision history

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	:उदाहरण के लिए, सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय '''N''' का गणनांक उसके घात समुच्चय ''P''('''N''') से पूर्णतः कम है, क्योंकि ''g''(''n'') = { ''n'' } '''N''' से ''P''('''N''') तक एक अंतःक्षेपक फलन है, और यह दिखाया जा सकता है कि '''N''' से ''P''('''N''') तक कोई भी फलन विशेषण नहीं हो सकता है (चित्र देखें)। इसी तर्क के अनुसार, '''N''' का गणनांक सभी[[ वास्तविक संख्या \| वास्तविक संख्याओं]] के समुच्चय '''R''' का गणनांक से पूर्णतः कम है। प्रमाण के लिए, कैंटर का विकर्ण तर्क या कैंटर का पहला अगणनीय प्रमाण देखें।		:उदाहरण के लिए, सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय '''N''' का गणनांक उसके घात समुच्चय ''P''('''N''') से पूर्णतः कम है, क्योंकि ''g''(''n'') = { ''n'' } '''N''' से ''P''('''N''') तक एक अंतःक्षेपक फलन है, और यह दिखाया जा सकता है कि '''N''' से ''P''('''N''') तक कोई भी फलन विशेषण नहीं हो सकता है (चित्र देखें)। इसी तर्क के अनुसार, '''N''' का गणनांक सभी[[ वास्तविक संख्या \| वास्तविक संख्याओं]] के समुच्चय '''R''' का गणनांक से पूर्णतः कम है। प्रमाण के लिए, कैंटर का विकर्ण तर्क या कैंटर का पहला अगणनीय प्रमाण देखें।

	यदि {{abs\|''A''}} ≤ {{abs\|''B''}} तथा {{abs\|''B''}} ≤ {{abs\|''A''}}, फिर {{abs\|''A''}} = {{abs\|''B''}} (एक तथ्य जिसे श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय के नाम से जाना जाता है)। चयन का स्वयंसिद्ध इस कथन के समतुल्य है कि प्रत्येक ''A'', ''B'' के लिए {{abs\|''A''}} ≤ {{abs\|''B''}} या {{abs\|''B''}} ≤ {{abs\|''A''}} है।<ref>{{citation \| author=Friedrich M. Hartogs \| author-link=Friedrich M. Hartogs \| editor=Felix Klein \| editor-link=Felix Klein \|editor2=Walther von Dyck \|editor2-link=Walther von Dyck \|editor3=David Hilbert \|editor3-link=David Hilbert \|editor4=Otto Blumenthal \|editor4-link=Otto Blumenthal \| title=Über das Problem der Wohlordnung \| journal=[[Mathematische Annalen]] \| volume=76 \| number=4 \| publisher=B. G. Teubner \| location=Leipzig \| year=1915 \| pages=438–443 \| issn=0025-5831 \|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0076&DMDID=DMDLOG_0037&L=1 \| doi=10.1007/bf01458215\| s2cid=121598654 }}</ref><ref>{{citation \| author=Felix Hausdorff \| author-link=Felix Hausdorff \| editor=Egbert Brieskorn \| editor-link=Egbert Brieskorn \|editor2=Srishti D. Chatterji\| title=Grundzüge der Mengenlehre \| edition=1. \| publisher=Springer \| location=Berlin/Heidelberg \| year=2002 \| pages=587 \| isbn=3-540-42224-2\| url=https://books.google.com/books?id=3nth_p-6DpcC\|display-editors=etal}} - [https://jscholarship.library.jhu.edu/handle/1774.2/34091 Original edition (1914)]</ref>		यदि {{abs\|''A''}} ≤ {{abs\|''B''}} तथा {{abs\|''B''}} ≤ {{abs\|''A''}}, फिर {{abs\|''A''}} = {{abs\|''B''}} (एक तथ्य जिसे श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय के नाम से जाना जाता है)। चयन का स्वयंसिद्ध इस कथन के समतुल्य है कि प्रत्येक ''A'', ''B'' के लिए {{abs\|''A''}} ≤ {{abs\|''B''}} या {{abs\|''B''}} ≤ {{abs\|''A''}} है। <ref>{{citation \| author=Friedrich M. Hartogs \| author-link=Friedrich M. Hartogs \| editor=Felix Klein \| editor-link=Felix Klein \|editor2=Walther von Dyck \|editor2-link=Walther von Dyck \|editor3=David Hilbert \|editor3-link=David Hilbert \|editor4=Otto Blumenthal \|editor4-link=Otto Blumenthal \| title=Über das Problem der Wohlordnung \| journal=[[Mathematische Annalen]] \| volume=76 \| number=4 \| publisher=B. G. Teubner \| location=Leipzig \| year=1915 \| pages=438–443 \| issn=0025-5831 \|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0076&DMDID=DMDLOG_0037&L=1 \| doi=10.1007/bf01458215\| s2cid=121598654 }}</ref><ref>{{citation \| author=Felix Hausdorff \| author-link=Felix Hausdorff \| editor=Egbert Brieskorn \| editor-link=Egbert Brieskorn \|editor2=Srishti D. Chatterji\| title=Grundzüge der Mengenlehre \| edition=1. \| publisher=Springer \| location=Berlin/Heidelberg \| year=2002 \| pages=587 \| isbn=3-540-42224-2\| url=https://books.google.com/books?id=3nth_p-6DpcC\|display-editors=etal}} - [https://jscholarship.library.jhu.edu/handle/1774.2/34091 Original edition (1914)]</ref>
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 *साधारणता
 *कबूतर सिद्धांत
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