गणना - Revision history

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	~~{{short description\|Finding the number of elements of a finite set}}~~		'''गणना''' वस्तुओं के परिमित समुच्चय के [[तत्व (गणित)\|तत्वों]] की [[संख्या]] निर्धारित करने की प्रक्रिया है, अर्थात, एक समुच्चय का [[आकार (गणित)\|आकार]] निर्धारित करना। गिनती के पारंपरिक उपाय में समूह के प्रत्येक तत्व के लिए एक (मानसिक या मौखिक) विरोध को लगातार से बढ़ाना, कुछ क्रम में, उन तत्वों को चिह्नित करना ,एक ही तत्व को एक से अधिक बार जाने से बचने के लिए, जब तक कोई नहीं अचिह्नित तत्व छोड़े गए हैं; यदि विरोध को पहले वस्तु के बाद एक पर सेट किया गया था, तो अंतिम वस्तु पर जाने के बाद का मान वांछित तत्वों की संख्या देता है। संबंधित शब्द ''[[गणना]]'' प्रत्येक तत्व को एक संख्या निर्दिष्ट करके विशिष्ट रूप से एक [[परिमित सेट\|परिमित संयोजक]] या अनंत संयोजक के तत्वों की पहचान करने के लिए संदर्भित करता है।
	~~{{for\|संगीत के लिए इसका अनुप्रयोग~~
	~~\|गिनती (संगीत)~~
	}}
	गणना वस्तुओं के परिमित समुच्चय के [[तत्व (गणित)\|तत्वों]] की [[संख्या]] निर्धारित करने की प्रक्रिया है, अर्थात, एक समुच्चय का [[आकार (गणित)\|आकार]] निर्धारित करना। गिनती के पारंपरिक उपाय में समूह के प्रत्येक तत्व के लिए एक (मानसिक या मौखिक) विरोध को लगातार से बढ़ाना, कुछ क्रम में, उन तत्वों को चिह्नित करना ,एक ही तत्व को एक से अधिक बार जाने से बचने के लिए, जब तक कोई नहीं अचिह्नित तत्व छोड़े गए हैं; यदि विरोध को पहले वस्तु के बाद एक पर सेट किया गया था, तो अंतिम वस्तु पर जाने के बाद का मान वांछित तत्वों की संख्या देता है। संबंधित शब्द ''[[गणना]]'' प्रत्येक तत्व को एक संख्या निर्दिष्ट करके विशिष्ट रूप से एक [[परिमित सेट\|परिमित संयोजक]] या अनंत संयोजक के तत्वों की पहचान करने के लिए संदर्भित करता है।

	गिनती में कभी-कभी एक के अतिरिक्त अन्य संख्याएँ सम्मलित होती हैं; उदाहरण के लिए, पैसे की गिनती करते समय, परिवर्तन की गिनती करते समय, "दो से गिनना" (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), या "पांच से गिनना" (5, 10, 15, 20, 25) , ...).		गिनती में कभी-कभी एक के अतिरिक्त अन्य संख्याएँ सम्मलित होती हैं; उदाहरण के लिए, पैसे की गिनती करते समय, परिवर्तन की गिनती करते समय, "दो से गिनना" (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), या "पांच से गिनना" (5, 10, 15, 20, 25) , ...).
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	== गिनती के रूप ==		== गिनती के रूप ==
	[[File:Hanakapiai Beach Warning Sign Only.jpg\|thumb\|right\|हनाकापियाई समुद्र तट पर मिलान चिह्नों का उपयोग करते हुए गिनती]]
	{{further\|प्रागैतिहासिक अंक		{{further\|प्रागैतिहासिक अंक
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संदर्भ

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 ==संदर्भ==
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	कुछ सुविचारित समुच्चय के साथ एक आपत्ति स्थापित करने के अर्थ में गिनती की धारणा को उनके लिए विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि एक समुच्चय को सभी [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के समुच्चय के साथ आपत्ति में लाया जा सकता है, तो इसे [[गणनीय रूप से अनंत]] कहा जाता है। इस प्रकार की गिनती मौलिक रूप से परिमित समूहों की गिनती से भिन्न होती है, जिसमें एक समूह में नए तत्वों को जोड़ना आवश्यक रूप से इसके आकार में वृद्धि नहीं करता है, क्योंकि मूल समूह के साथ आपत्ति की संभावना को बाहर नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, सभी [[पूर्णांक\|पूर्णांकों]] के समूह को प्राकृतिक संख्याओं के समूह के साथ आक्षेप में लाया जा सकता है, और तर्कसंगत संख्याओं के सभी परिमित अनुक्रमों की तरह प्रतीत होने वाले बहुत बड़े समूह अभी भी अनगिनत रूप से अनंत हैं। फिर भी, ऐसे समुच्चय हैं, जैसे कि [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय, जो प्राकृतिक संख्याओं के साथ आपत्ति स्वीकार करने के लिए बहुत बड़ा दिखाया जा सकता है, और इन समुच्चयों को अगणनीय समुच्चय कहा जाता है। जिन समूहों के लिए उनके बीच एक आक्षेप सम्मलित है, उन्हें एक ही [[प्रमुखता]] कहा जाता है, और सबसे सामान्य अर्थों में एक समूह की गणना करने के लिए इसकी प्रमुखता का निर्धारण करने के लिए लिया जा सकता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या द्वारा दी गई प्रमुखता से परे, अनंत प्रमुखता का एक अनंत पदानुक्रम है, चूंकि साधारण गणित में बहुत कम ऐसी प्रमुखता होती है \| (अर्थात, समूह सिद्धांत के बाहर जो स्पष्ट रूप से संभव प्रमुखता का अध्ययन करता है)।		कुछ सुविचारित समुच्चय के साथ एक आपत्ति स्थापित करने के अर्थ में गिनती की धारणा को उनके लिए विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि एक समुच्चय को सभी [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के समुच्चय के साथ आपत्ति में लाया जा सकता है, तो इसे [[गणनीय रूप से अनंत]] कहा जाता है। इस प्रकार की गिनती मौलिक रूप से परिमित समूहों की गिनती से भिन्न होती है, जिसमें एक समूह में नए तत्वों को जोड़ना आवश्यक रूप से इसके आकार में वृद्धि नहीं करता है, क्योंकि मूल समूह के साथ आपत्ति की संभावना को बाहर नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, सभी [[पूर्णांक\|पूर्णांकों]] के समूह को प्राकृतिक संख्याओं के समूह के साथ आक्षेप में लाया जा सकता है, और तर्कसंगत संख्याओं के सभी परिमित अनुक्रमों की तरह प्रतीत होने वाले बहुत बड़े समूह अभी भी अनगिनत रूप से अनंत हैं। फिर भी, ऐसे समुच्चय हैं, जैसे कि [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय, जो प्राकृतिक संख्याओं के साथ आपत्ति स्वीकार करने के लिए बहुत बड़ा दिखाया जा सकता है, और इन समुच्चयों को अगणनीय समुच्चय कहा जाता है। जिन समूहों के लिए उनके बीच एक आक्षेप सम्मलित है, उन्हें एक ही [[प्रमुखता]] कहा जाता है, और सबसे सामान्य अर्थों में एक समूह की गणना करने के लिए इसकी प्रमुखता का निर्धारण करने के लिए लिया जा सकता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या द्वारा दी गई प्रमुखता से परे, अनंत प्रमुखता का एक अनंत पदानुक्रम है, चूंकि साधारण गणित में बहुत कम ऐसी प्रमुखता होती है \| (अर्थात, समूह सिद्धांत के बाहर जो स्पष्ट रूप से संभव प्रमुखता का अध्ययन करता है)।

	गिनती, ~~ज्यादातर~~ परिमित समुच्चय, के गणित में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। एक महत्वपूर्ण सिद्धांत यह है कि यदि दो समुच्चय X और Y में तत्वों की समान परिमित संख्या और एक फलन हो {{nowrap\|''f'': ''X'' → ''Y''}} [[इंजेक्शन]] के रूप में जाना जाता है, तो यह [[विशेषण]] भी है, और इसके विपरीत। एक संबंधित तथ्य को कबूतर सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो बताता है कि यदि दो ~~सेट~~ X और Y में ~~n और m तत्वों की परिमित संख्या है~~ {{nowrap\|''n'' > ''m''}}, फिर कोई नक्शा {{nowrap\|''f'': ''X'' → ''Y''}} ~~इंजेक्शन~~ नहीं है (इसलिए एक्स के दो ~~अलग~~-~~अलग~~ तत्व ~~मौजूद~~ हैं जो ~~एफ वाई~~ के समान तत्व को भेजता है); यह पूर्व सिद्धांत से अनुसरण करता है, क्योंकि यदि ~~एफ इंजेक्शन~~ थे, तो ~~इसका कार्य (गणित) #~~ एम तत्वों के साथ ~~एक्स~~ के एक ~~सख्त~~ उपसमुच्चय एस के लिए प्रतिबंध और विस्तार होगा, जो प्रतिबंध तब विशेषण होगा, इस तथ्य का खंडन करता है कि ~~एक्स में~~ S के बाहर X, f(x) प्रतिबंध की छवि में नहीं हो सकता। समान गिनती के तर्क स्पष्ट रूप से उदाहरण प्रदान किए बिना कुछ वस्तुओं के अस्तित्व को ~~साबित~~ कर सकते हैं। अपरिमित समुच्चयों के ~~मामले~~ में यह उन स्थितियों में भी लागू हो सकता है जहां उदाहरण देना असंभव है।{{Citation needed\|date=June 2016}}		गिनती,अधिकतम परिमित समुच्चय, के गणित में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। एक महत्वपूर्ण सिद्धांत यह है कि यदि दो समुच्चय X और Y में तत्वों की समान परिमित संख्या और एक फलन हो {{nowrap\|''f'': ''X'' → ''Y''}} को [[इंजेक्शन\|अंतःक्षेपी]] के रूप में जाना जाता है, तो यह [[विशेषण]] भी है, और इसके विपरीत। एक संबंधित तथ्य को कबूतर सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो बताता है कि यदि दो समुच्चय X और Y में {{nowrap\|''n'' > ''m''}} के साथ तत्वों की परिमित संख्या n और m है , फिर कोई नक्शा {{nowrap\|''f'': ''X'' → ''Y''}} अंतःक्षेपी नहीं है (इसलिए एक्स के दो भिन्न -भिन्न तत्व सम्मलित हैं जो ''f Y'' के समान तत्व को भेजता है); यह पूर्व सिद्धांत से अनुसरण करता है, क्योंकि यदि ''f'' अंतःक्षेपी थे, तो एम तत्वों के साथ ''X'' के एक कठोर उपसमुच्चय ''S'' के लिए प्रतिबंध और विस्तार होगा, जो प्रतिबंध तब विशेषण होगा, इस तथ्य का खंडन करता है कि Xमें S के बाहर X, f(x) प्रतिबंध की छवि में नहीं हो सकता। समान गिनती के तर्क स्पष्ट रूप से उदाहरण प्रदान किए बिना कुछ वस्तुओं के अस्तित्व को सिद्ध कर सकते हैं। अपरिमित समुच्चयों के स्थिति में यह उन स्थितियों में भी लागू हो सकता है जहां उदाहरण देना असंभव है।{{Citation needed\|date=June 2016}}
	[[गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स]] का डोमेन परिमित ~~सेट~~ के तत्वों की संख्या की गणना करने से संबंधित है, वास्तव में उन्हें गिनने के बिना; उत्तरार्द्ध ~~आमतौर~~ पर असंभव होता है क्योंकि परिमित ~~सेट~~ के अनंत परिवारों को एक ही बार में माना जाता है, जैसे किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए {1, 2, ..., n} के क्रम[[परिवर्तन]] का ~~सेट।~~		[[गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स\|गणनात्मक साहचर्य]] का डोमेन परिमित समुच्चय के तत्वों की संख्या की गणना करने से संबंधित है, वास्तव में उन्हें गिनने के बिना; उत्तरार्द्ध प्रायः पर असंभव होता है क्योंकि परिमित समुच्चय के अनंत परिवारों को एक ही बार में माना जाता है, जैसे किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए {1, 2, ..., n} के क्रम [[परिवर्तन]] का समुच्चय ।

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==

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	गणना वस्तुओं के परिमित समुच्चय के [[तत्व (गणित)\|तत्वों]] की [[संख्या]] निर्धारित करने की प्रक्रिया है, अर्थात, एक समुच्चय का [[आकार (गणित)\|आकार]] निर्धारित करना। गिनती के पारंपरिक उपाय में समूह के प्रत्येक तत्व के लिए एक (मानसिक या मौखिक) विरोध को लगातार से बढ़ाना, कुछ क्रम में, उन तत्वों को चिह्नित करना ,एक ही तत्व को एक से अधिक बार जाने से बचने के लिए, जब तक कोई नहीं अचिह्नित तत्व छोड़े गए हैं; यदि विरोध को पहले वस्तु के बाद एक पर सेट किया गया था, तो अंतिम वस्तु पर जाने के बाद का मान वांछित तत्वों की संख्या देता है। संबंधित शब्द ''[[गणना]]'' प्रत्येक तत्व को एक संख्या निर्दिष्ट करके विशिष्ट रूप से एक [[परिमित सेट\|परिमित संयोजक]] ~~[[सेट (गणित)\|(गणित)]]~~ या अनंत संयोजक के तत्वों की पहचान करने के लिए संदर्भित करता है।		गणना वस्तुओं के परिमित समुच्चय के [[तत्व (गणित)\|तत्वों]] की [[संख्या]] निर्धारित करने की प्रक्रिया है, अर्थात, एक समुच्चय का [[आकार (गणित)\|आकार]] निर्धारित करना। गिनती के पारंपरिक उपाय में समूह के प्रत्येक तत्व के लिए एक (मानसिक या मौखिक) विरोध को लगातार से बढ़ाना, कुछ क्रम में, उन तत्वों को चिह्नित करना ,एक ही तत्व को एक से अधिक बार जाने से बचने के लिए, जब तक कोई नहीं अचिह्नित तत्व छोड़े गए हैं; यदि विरोध को पहले वस्तु के बाद एक पर सेट किया गया था, तो अंतिम वस्तु पर जाने के बाद का मान वांछित तत्वों की संख्या देता है। संबंधित शब्द ''[[गणना]]'' प्रत्येक तत्व को एक संख्या निर्दिष्ट करके विशिष्ट रूप से एक [[परिमित सेट\|परिमित संयोजक]] या अनंत संयोजक के तत्वों की पहचान करने के लिए संदर्भित करता है।

	गिनती में कभी-कभी एक के अतिरिक्त अन्य संख्याएँ सम्मलित होती हैं; उदाहरण के लिए, पैसे की गिनती करते समय, परिवर्तन की गिनती करते समय, "दो से गिनना" (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), या "पांच से गिनना" (5, 10, 15, 20, 25) , ...).		गिनती में कभी-कभी एक के अतिरिक्त अन्य संख्याएँ सम्मलित होती हैं; उदाहरण के लिए, पैसे की गिनती करते समय, परिवर्तन की गिनती करते समय, "दो से गिनना" (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), या "पांच से गिनना" (5, 10, 15, 20, 25) , ...).

	पुरातात्विक साक्ष्य हैं जो बताते हैं कि मनुष्य कम से कम 50,000 वर्षों से गिन रहे हैं।<ref>''An Introduction to the History of Mathematics'' (6th Edition) by [[Howard Eves]] (1990) p.9</ref> गिनती का उपयोग प्राचीन संस्कृतियों द्वारा मुख्य रूप से सामाजिक और आर्थिक जानकारी जैसे कि समूह के सदस्यों की संख्या, शिकार जानवरों, संपत्ति, या ऋण (~~अर्थात्,~~ [[लेखाकर्म]]) का ट्रैक रखने के लिए किया जाता था। दक्षिण अफ्रीका की सीमावर्ती गुफाओं में भी नुकीली हड्डियाँ पाई गई हैं जो यह सुझाव दे सकती हैं कि गिनती की अवधारणा मनुष्यों को 44,000 ईसा पूर्व से ही ज्ञात थी।<ref>{{Cite web\|url=https://mathtimeline.weebly.com/early-human-counting-tools.html\|title=प्रारंभिक मानव गणना उपकरण\|website=Math Timeline\|access-date=2018-04-26}}</ref> गिनती के विकास से [[गणितीय अंकन]], [[अंक प्रणाली]] और लेखन का विकास हुआ।		पुरातात्विक साक्ष्य हैं जो बताते हैं कि मनुष्य कम से कम 50,000 वर्षों से गिन रहे हैं।<ref>''An Introduction to the History of Mathematics'' (6th Edition) by [[Howard Eves]] (1990) p.9</ref> गिनती का उपयोग प्राचीन संस्कृतियों द्वारा मुख्य रूप से सामाजिक और आर्थिक जानकारी जैसे कि समूह के सदस्यों की संख्या, शिकार जानवरों, संपत्ति, या ऋण ([[लेखाकर्म]]) का ट्रैक रखने के लिए किया जाता था। दक्षिण अफ्रीका की सीमावर्ती गुफाओं में भी नुकीली हड्डियाँ पाई गई हैं जो यह सुझाव दे सकती हैं कि गिनती की अवधारणा मनुष्यों को 44,000 ईसा पूर्व से ही ज्ञात थी।<ref>{{Cite web\|url=https://mathtimeline.weebly.com/early-human-counting-tools.html\|title=प्रारंभिक मानव गणना उपकरण\|website=Math Timeline\|access-date=2018-04-26}}</ref> गिनती के विकास से [[गणितीय अंकन]], [[अंक प्रणाली]] और लेखन का विकास हुआ।

	== गिनती के रूप ==		== गिनती के रूप ==