खुला सेट - Revision history

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	=== क्लोपेन सेट और नॉन-ओपन और/या नॉन-क्लोज्ड सेट ASHIF ===		=== क्लोपेन सेट और नॉन-ओपन और/या नॉन-क्लोज्ड सेट ASHIF ===

	एक सेट खुला, बंद, दोनों या दोनों में से कोई भी हो सकता है। विशेष रूप से, खुले और बंद सेट पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के लिए एक साथ एक ओपन सबसेट {{em\|और }} एक बंद सबसेट दोनों के लिए संभव है।। ऐसे सबसेट {{em\|क्लोपेन सेट्स }} कहलाते हैं. स्पष्ट रूप से, एक उपसमूह <math>S</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>(X, \tau)</math> कहा जाता है {{em\|क्लोपेन}} यदि दोनों <math>S</math> और इसका पूरक <math>X \setminus S</math> के खुले सबसेट हैं <math>(X, \tau)</math>; या समकक्ष, यदि <math>S \in \tau</math> तथा <math>X \setminus S \in \tau.</math> में {{em\|any}} टोपोलॉजिकल स्पेस <math>(X, \tau),</math> खाली सेट <math>\varnothing</math> और सेट <math>X</math> खुद हमेशा क्लोपेन होते हैं। ये दो सेट क्लोपेन सबसेट के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं और वे दिखाते हैं कि क्लोपेन सबसेट मौजूद हैं {{em\|~~every~~}} टोपोलॉजिकल स्पेस। देखने के लिए क्यों <math>X</math> क्लोपेन है, यह याद करके शुरू करें कि सेट <math>X</math> तथा <math>\varnothing</math> परिभाषा के अनुसार, हमेशा खुले सबसेट (of <math>X</math>). साथ ही परिभाषा के अनुसार, एक सबसेट <math>S</math> कहा जाता है {{em\|closed}} यदि (और केवल यदि) इसका पूरक है <math>X,</math> जो सेट है <math>X \setminus S,</math> एक खुला सबसेट है। क्योंकि पूरक (में <math>X</math>) पूरे सेट का <math>S := X</math> खाली सेट है (यानी <math>X \setminus S = \varnothing</math>), जो एक खुला सबसेट है, इसका मतलब है कि <math>S = X</math> का बंद सबसेट है <math>X</math> (बंद सबसेट की परिभाषा के अनुसार)। इसलिए, कोई फर्क नहीं सम्मालित़ता कि टोपोलॉजी को किस पर रखा गया है <math>X,</math> संपूर्ण स्थान <math>X</math> एक साथ एक खुला सबसेट भी है और एक बंद सबसेट भी है <math>X</math>; अलग ढंग से कहा, <math>X</math> है {{em\|always}} का एक क्लोपेन सबसेट <math>X.</math> क्योंकि खाली सेट का पूरक है <math>X \setminus \varnothing = X,</math> जो एक खुला सबसेट है, उसी तर्क का प्रयोग निष्कर्ष निकालने के लिए किया जा सकता है <math>S := \varnothing</math> का एक क्लोपेन सबसेट भी है <math>X.</math> वास्तविक रेखा पर विचार करें <math>\R</math> अपने सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] से संपन्न है, जिसके खुले सेट निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं: प्रत्येक अंतराल <math>(a, b)</math> वास्तविक संख्याओं का संबंध टोपोलॉजी से है, ऐसे अंतरालों का प्रत्येक संघ, उदा। <math>(a, b) \cup (c, d),</math> टोपोलॉजी से संबंधित है, और हमेशा की तरह, दोनों <math>\R</math> तथा <math>\varnothing</math> टोपोलॉजी से संबंधित हैं।		एक सेट खुला, बंद, दोनों या दोनों में से कोई भी हो सकता है। विशेष रूप से, खुले और बंद सेट पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के लिए एक साथ एक ओपन सबसेट {{em\|और }} एक बंद सबसेट दोनों के लिए संभव है।। ऐसे सबसेट {{em\|क्लोपेन सेट्स }} कहलाते हैं. स्पष्ट रूप से, एक उपसमूह <math>S</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>(X, \tau)</math> कहा जाता है {{em\|क्लोपेन}} यदि दोनों <math>S</math> और इसका पूरक <math>X \setminus S</math> के खुले सबसेट हैं <math>(X, \tau)</math>; या समकक्ष, यदि <math>S \in \tau</math> तथा <math>X \setminus S \in \tau.</math> में {{em\|any}} टोपोलॉजिकल स्पेस <math>(X, \tau),</math> खाली सेट <math>\varnothing</math> और सेट <math>X</math> खुद हमेशा क्लोपेन होते हैं। ये दो सेट क्लोपेन सबसेट के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं और वे दिखाते हैं कि क्लोपेन सबसेट मौजूद हैं {{em\|प्रत्येक}} टोपोलॉजिकल स्पेस। देखने के लिए क्यों <math>X</math> क्लोपेन है, यह याद करके शुरू करें कि सेट <math>X</math> तथा <math>\varnothing</math> परिभाषा के अनुसार, हमेशा खुले सबसेट (of <math>X</math>). साथ ही परिभाषा के अनुसार, एक सबसेट <math>S</math> कहा जाता है {{em\|closed}} यदि (और केवल यदि) इसका पूरक है <math>X,</math> जो सेट है <math>X \setminus S,</math> एक खुला सबसेट है। क्योंकि पूरक (में <math>X</math>) पूरे सेट का <math>S := X</math> खाली सेट है (यानी <math>X \setminus S = \varnothing</math>), जो एक खुला सबसेट है, इसका मतलब है कि <math>S = X</math> का बंद सबसेट है <math>X</math> (बंद सबसेट की परिभाषा के अनुसार)। इसलिए, कोई फर्क नहीं सम्मालित़ता कि टोपोलॉजी को किस पर रखा गया है <math>X,</math> संपूर्ण स्थान <math>X</math> एक साथ एक खुला सबसेट भी है और एक बंद सबसेट भी है <math>X</math>; अलग ढंग से कहा, <math>X</math> है {{em\|always}} का एक क्लोपेन सबसेट <math>X.</math> क्योंकि खाली सेट का पूरक है <math>X \setminus \varnothing = X,</math> जो एक खुला सबसेट है, उसी तर्क का प्रयोग निष्कर्ष निकालने के लिए किया जा सकता है <math>S := \varnothing</math> का एक क्लोपेन सबसेट भी है <math>X.</math> वास्तविक रेखा पर विचार करें <math>\R</math> अपने सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] से संपन्न है, जिसके खुले सेट निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं: प्रत्येक अंतराल <math>(a, b)</math> वास्तविक संख्याओं का संबंध टोपोलॉजी से है, ऐसे अंतरालों का प्रत्येक संघ, उदा। <math>(a, b) \cup (c, d),</math> टोपोलॉजी से संबंधित है, और हमेशा की तरह, दोनों <math>\R</math> तथा <math>\varnothing</math> टोपोलॉजी से संबंधित हैं।

	* अंतराल <math>I = (0, 1)</math> में खुला है <math>\R</math> क्योंकि यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है। यदि <math>I</math> एक खुला पूरक होना था, परिभाषा के अनुसार इसका अर्थ होगा कि <math>I</math> हमने बंद कर दिया। परंतु <math>I</math> एक खुला पूरक नहीं है; इसका पूरक है <math>\R \setminus I = (-\infty, 0] \cup [1, \infty),</math> जो करता है {{em\|not}} यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित हैं क्योंकि यह अंतराल (गणित) का एक संघ नहीं है # फॉर्म के अंत बिंदुओं को सम्मालित करना या बाहर करना <math>(a, b).</math> अत, <math>I</math> एक ऐसे समुच्चय का उदाहरण है जो खुला है लेकिन बंद नहीं है।		* अंतराल <math>I = (0, 1)</math> में खुला है <math>\R</math> क्योंकि यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है। यदि <math>I</math> एक खुला पूरक होना था, परिभाषा के अनुसार इसका अर्थ होगा कि <math>I</math> हमने बंद कर दिया। परंतु <math>I</math> एक खुला पूरक नहीं है; इसका पूरक है <math>\R \setminus I = (-\infty, 0] \cup [1, \infty),</math> जो करता है {{em\|not}} यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित हैं क्योंकि यह अंतराल (गणित) का एक संघ नहीं है # फॉर्म के अंत बिंदुओं को सम्मालित करना या बाहर करना <math>(a, b).</math> अत, <math>I</math> एक ऐसे समुच्चय का उदाहरण है जो खुला है लेकिन बंद नहीं है।

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इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

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	उपसमुच्चय <math>S</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> ए कहा जाता है{{em\|[[regular open set]]}}यदि <math>\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S</math> या समकक्ष, अगर <math>\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S,</math> कहाँ पे <math>\operatorname{Bd} S</math> (प्रति. <math>\operatorname{Int} S,</math> <math>\overline{S}</math>) की सीमा (टोपोलॉजी) (प्रतिक्रिया आंतरिक (टोपोलॉजी), [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]]) को दर्शाता है <math>S</math> में <math>X.</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसके लिए एक बेस (टोपोलॉजी) मौजूद होता है जिसमें रेगुलर ओपन सेट होते हैं a{{em\|[[semiregular space]]}}.		उपसमुच्चय <math>S</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> ए कहा जाता है{{em\|[[regular open set]]}}यदि <math>\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S</math> या समकक्ष, अगर <math>\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S,</math> कहाँ पे <math>\operatorname{Bd} S</math> (प्रति. <math>\operatorname{Int} S,</math> <math>\overline{S}</math>) की सीमा (टोपोलॉजी) (प्रतिक्रिया आंतरिक (टोपोलॉजी), [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]]) को दर्शाता है <math>S</math> में <math>X.</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसके लिए एक बेस (टोपोलॉजी) मौजूद होता है जिसमें रेगुलर ओपन सेट होते हैं a{{em\|[[semiregular space]]}}.
	का एक उपसमुच्चय <math>X</math> एक नियमित खुला सेट है अगर और केवल अगर इसका पूरक है <math>X</math> एक नियमित बंद सेट है, जहां परिभाषा के अनुसार एक सबसेट है <math>S</math> का <math>X</math> ए कहा जाता है{{em\|[[regular closed set]]}}यदि <math>\overline{\operatorname{Int} S} = S</math> या समकक्ष, अगर <math>\operatorname{Bd} \left( \operatorname{Int} S \right) = \operatorname{Bd} S.</math> प्रत्येक नियमित खुला सेट (प्रति. नियमित बंद सेट) एक खुला उपसमुच्चय है (प्रति. एक बंद उपसमुच्चय है) हालांकि सामान्य तौर पर,<ref group=note>One exception if the if <math>X</math> is endowed with the [[discrete topology]], in which case every subset of <math>X</math> is both a regular open subset and a regular closed subset of <math>X.</math></ref> बातचीत कर रहे हैं {{em\|not}} सच।		का एक उपसमुच्चय <math>X</math> एक नियमित खुला सेट है अगर और केवल अगर इसका पूरक है <math>X</math> एक नियमित बंद सेट है, जहां परिभाषा के अनुसार एक सबसेट है <math>S</math> का <math>X</math> ए कहा जाता है{{em\|[[regular closed set]]}}यदि <math>\overline{\operatorname{Int} S} = S</math> या समकक्ष, अगर <math>\operatorname{Bd} \left( \operatorname{Int} S \right) = \operatorname{Bd} S.</math> प्रत्येक नियमित खुला सेट (प्रति. नियमित बंद सेट) एक खुला उपसमुच्चय है (प्रति. एक बंद उपसमुच्चय है) हालांकि सामान्य तौर पर,<ref group="note">One exception if the if <math>X</math> is endowed with the [[discrete topology]], in which case every subset of <math>X</math> is both a regular open subset and a regular closed subset of <math>X.</math></ref> बातचीत कर रहे हैं {{em\|not}} सच।

	== गुण ==		== गुण ==
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	~~==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==~~

	*घेरा
	*सामान्यकरण
	*अंक शास्त्र
	*खुला अंतराल
	*चौराहा (सेट सिद्धांत)
	*वहां मौजूद
	*इंटीरियर (टोपोलॉजी)
	*आधार (टोपोलॉजी)
	*एकसमान रिक्त स्थान
	*अंकन का दुरुपयोग
	*अल्प सेट
	== बाहरी संबंध ==		== बाहरी संबंध ==
	* {{Springer \|title=Open set \|id=p/o068310}}		* {{Springer \|title=Open set \|id=p/o068310}}

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2022-11-25T08:44:45Z

Created page with "{{short description|Basic subset of a topological space}} {{refimprove|date=April 2012}} File:red blue circle.svg|right|thumb|उदाहरण: नीला वृत्..."

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