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	: <math>\alpha(1) = 3, \quad \alpha(2) = 1, \quad \alpha(3) = 2</math>.		: <math>\alpha(1) = 3, \quad \alpha(2) = 1, \quad \alpha(3) = 2</math>.

	सेट के सभी क्रमपरिवर्तनों का संग्रह एक [[ समूह (गणित) \|समूह (गणित)]] बनाता है जिसे सेट के [[ सममित समूह \|सममित समूह]] कहा जाता है। समूह संचालन [[संरचना]] है (~~उत्तराधिकार~~ में दो दी गई व्यवस्थाओं का प्रदर्शन), जिसके परिणामस्वरूप एक और पुनर्व्यवस्था होती है। चूंकि क्रमपरिवर्तन के गुण सेट तत्वों की प्रकृति पर निर्भर नहीं करते हैं, यह अधिकांशतः सेट के क्रमपरिवर्तन होते हैं <math>\{1, 2, \ldots, n\}</math> जिन्हें क्रमपरिवर्तन का अध्ययन करने के लिए माना जाता है।		सेट के सभी क्रमपरिवर्तनों का संग्रह एक [[ समूह (गणित) \|समूह (गणित)]] बनाता है जिसे सेट के [[ सममित समूह \|सममित समूह]] कहा जाता है। समूह संचालन [[संरचना]] है (उत्तरदायी में दो दी गई व्यवस्थाओं का प्रदर्शन), जिसके परिणामस्वरूप एक और पुनर्व्यवस्था होती है। चूंकि क्रमपरिवर्तन के गुण सेट तत्वों की प्रकृति पर निर्भर नहीं करते हैं, यह अधिकांशतः सेट के क्रमपरिवर्तन होते हैं <math>\{1, 2, \ldots, n\}</math> जिन्हें क्रमपरिवर्तन का अध्ययन करने के लिए माना जाता है।

	प्राथमिक साहचर्य में, {{math\|''k''}}-क्रमपरिवर्तन, या [[ आंशिक क्रमपरिवर्तन \|आंशिक क्रमपरिवर्तन]], एक सेट से चुने गए {{math\|''k''}} विशिष्ट तत्वों की क्रमबद्ध व्यवस्था है। जब k समुच्चय के आकार के बराबर होता है, तो ये समुच्चय के क्रमचय होते हैं।		प्राथमिक साहचर्य में, {{math\|''k''}}-क्रमपरिवर्तन, या [[ आंशिक क्रमपरिवर्तन \|आंशिक क्रमपरिवर्तन]], एक सेट से चुने गए {{math\|''k''}} विशिष्ट तत्वों की क्रमबद्ध व्यवस्था है। जब k समुच्चय के आकार के बराबर होता है, तो ये समुच्चय के क्रमचय होते हैं।
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	== इतिहास ==		== इतिहास ==
	चीन में I [[चिंग]] ([[ पिनयिन \|पिनयिन]]: यी जिंग) में 1000 ईसा पूर्व के रूप में हेक्साग्राम नामक क्रमपरिवर्तन का उपयोग किया गया था।		चीन में [[चिंग]]([[ पिनयिन \|पिनयिन]]: यी जिंग) में 1000 ईसा पूर्व के रूप में हेक्साग्राम नामक क्रमपरिवर्तन का उपयोग किया गया था।

	अरब गणितज्ञ [[ अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहिदी \| अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहिदी]] अल-खलील (717-786) और क्रिप्टोग्राफर ने क्रिप्टोग्राफ़िक संदेशों की पुस्तक लिखी। इसमें स्वरों के साथ और बिना सभी संभावित [[अरबी शब्दों]] को सूचीबद्ध करने के लिए क्रमचय और संयोजन का पहला उपयोग सम्मलित करना है।<ref name="LB">{{cite journal\|last=Broemeling\|first=Lyle D.\|title=अरब क्रिप्टोलॉजी में प्रारंभिक सांख्यिकीय अनुमान का लेखा\|journal=The American Statistician\|date=1 November 2011\|volume=65\|issue=4\|pages=255–257\|doi=10.1198/tas.2011.10191\|s2cid=123537702}}</ref>		अरब गणितज्ञ [[ अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहिदी \| अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहिदी]] अल-खलील (717-786) और क्रिप्टोग्राफर ने क्रिप्टोग्राफ़िक संदेशों की पुस्तक लिखी। इसमें स्वरों के साथ और बिना सभी संभावित [[अरबी शब्दों]] को सूचीबद्ध करने के लिए क्रमचय और संयोजन का पहला उपयोग सम्मलित करना है।<ref name="LB">{{cite journal\|last=Broemeling\|first=Lyle D.\|title=अरब क्रिप्टोलॉजी में प्रारंभिक सांख्यिकीय अनुमान का लेखा\|journal=The American Statistician\|date=1 November 2011\|volume=65\|issue=4\|pages=255–257\|doi=10.1198/tas.2011.10191\|s2cid=123537702}}</ref>
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	# अनुक्रमणिका l = 3, क्योंकि अनुक्रम में 4 ही एकमात्र मान है जो शर्त a[k] <a[l] को संतुष्ट करने के लिए 3 से अधिक है।		# अनुक्रमणिका l = 3, क्योंकि अनुक्रम में 4 ही एकमात्र मान है जो शर्त a[k] <a[l] को संतुष्ट करने के लिए 3 से अधिक है।
	#एक [2] और एक [3] के मूल्यों को नए अनुक्रम [1, 2, 4, 3] बनाने के लिए स्वैप किया जाता है।		#एक [2] और एक [3] के मूल्यों को नए अनुक्रम [1, 2, 4, 3] बनाने के लिए स्वैप किया जाता है।
	#k-इंडेक्स a [2] के बाद अंतिम तत्व के अनुक्रम को व्युत्क्रम दिया गया है। क्योंकि इस सूचकांक (3) के बाद केवल एक मान है, इस उदाहरण में क्रम अपरिवर्तित रहता है। इस प्रकार प्रारंभिक अवस्था के लेक्सिकोग्राफिक ~~उत्तराधिकारी~~ की अनुमति है: [1, 2, 4, 3]।		#k-इंडेक्स a [2] के बाद अंतिम तत्व के अनुक्रम को व्युत्क्रम दिया गया है। क्योंकि इस सूचकांक (3) के बाद केवल एक मान है, इस उदाहरण में क्रम अपरिवर्तित रहता है। इस प्रकार प्रारंभिक अवस्था के लेक्सिकोग्राफिक उत्तरदायीी की अनुमति है: [1, 2, 4, 3]।
	इस एल्गोरिथम के बाद, अगला लेक्सिकोग्राफिक क्रमचय होगा [1, 3, 2, 4], और 24वाँ क्रमचय [4, 3, 2, 1] होगा जिस बिंदु पर a[k] <a[k + 1] सम्मलित नहीं है, यह दर्शाता है कि यह अंतिम क्रमचय है।		इस एल्गोरिथम के बाद, अगला लेक्सिकोग्राफिक क्रमचय होगा [1, 3, 2, 4], और 24वाँ क्रमचय [4, 3, 2, 1] होगा जिस बिंदु पर a[k] <a[k + 1] सम्मलित नहीं है, यह दर्शाता है कि यह अंतिम क्रमचय है।