केवियन - Revision history

Abhishekkshukla at 09:29, 30 October 2023

2023-10-30T09:29:09Z

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	{{short description\|Line intersecting both a vertex and opposite edge of a triangle}}		{{short description\|Line intersecting both a vertex and opposite edge of a triangle}}

	[[ज्यामिति]] में, केवियन [[रेखा खंड]] होता है, जो त्रिभुज के शीर्ष (ज्यामिति) को त्रिभुज के विपरीत दिशा में बिंदु से जोड़ता है।<ref>{{Cite book \| last1 = Coxeter \| first1 = H. S. M. \| author1-link = Harold Scott MacDonald Coxeter \| last2 = Greitzer \| first2 = S. L. \| author2-link = Samuel L. Greitzer \| year = 1967 \| title = ज्यामिति पर दोबारा गौर किया\| url = https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe \| url-access = limited \| location = Washington, DC \| publisher = [[Mathematical Association of America]] \| isbn = 0-883-85619-0 \| page = [https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe/page/n15 4] }}</ref><ref>Some authors exclude the other two sides of the triangle, see {{harvtxt\|Eves\|1963\|loc=p.77}}</ref> [[मेडियन (ज्यामिति)]] एवं [[कोण द्विभाजक]] केवियन के विशेष विषय हैं। केवियन नाम इतालवी गणितज्ञ जियोवानी सेवा से आया है, जिन्होंने केवियन के विषय में प्रसिद्ध प्रमेय को सिद्ध किया। जिसमें उनका नाम भी है।<ref>{{Cite journal \| last = Lightner \| first = James E. \| year = 1975 \| title = त्रिकोण के 'केंद्रों' पर एक नया रूप\| journal = [[The Mathematics Teacher]] \| volume = 68 \| number = 7 \| pages = 612–615 \| jstor = 27960289 }}</ref>		[[ज्यामिति]] में, '''केवियन''' [[रेखा खंड]] होता है, जो त्रिभुज के शीर्ष (ज्यामिति) को त्रिभुज के विपरीत दिशा में बिंदु से जोड़ता है।<ref>{{Cite book \| last1 = Coxeter \| first1 = H. S. M. \| author1-link = Harold Scott MacDonald Coxeter \| last2 = Greitzer \| first2 = S. L. \| author2-link = Samuel L. Greitzer \| year = 1967 \| title = ज्यामिति पर दोबारा गौर किया\| url = https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe \| url-access = limited \| location = Washington, DC \| publisher = [[Mathematical Association of America]] \| isbn = 0-883-85619-0 \| page = [https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe/page/n15 4] }}</ref><ref>Some authors exclude the other two sides of the triangle, see {{harvtxt\|Eves\|1963\|loc=p.77}}</ref> [[मेडियन (ज्यामिति)]] एवं [[कोण द्विभाजक]] केवियन के विशेष विषय हैं। केवियन नाम इतालवी गणितज्ञ जियोवानी सेवा से आया है, जिन्होंने केवियन के विषय में प्रसिद्ध प्रमेय को सिद्ध किया। जिसमें उनका नाम भी है।<ref>{{Cite journal \| last = Lightner \| first = James E. \| year = 1975 \| title = त्रिकोण के 'केंद्रों' पर एक नया रूप\| journal = [[The Mathematics Teacher]] \| volume = 68 \| number = 7 \| pages = 612–615 \| jstor = 27960289 }}</ref>


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	& \frac{\overline{AO}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{BO}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{CO}}{\overline{CF}} = 2.		& \frac{\overline{AO}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{BO}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{CO}}{\overline{CF}} = 2.
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	प्रथम संपत्ति सेवा के प्रमेय के रूप में जानी जाती है। अंतिम दो गुण समतुल्य हैं क्योंकि दो समीकरणों को जोड़ने से [[पहचान (गणित)]] {{math\|1=1 + 1 + 1 = 3}} मिलती है।		प्रथम संपत्ति सेवा के प्रमेय के रूप में जानी जाती है। अंतिम दो गुण समतुल्य हैं क्योंकि दो समीकरणों को जोड़ने से पहचान (गणित) {{math\|1=1 + 1 + 1 = 3}} मिलती है।

	== विभाजक ==		== विभाजक ==

	त्रिभुज का [[स्प्लिटर (ज्यामिति)]] केवियन है जो परिमाप बहुभुजों को द्विभाजित करता है। त्रिभुज के [[नागल बिंदु]] पर तीन विभाजक [[समवर्ती रेखाएँ]] मिलती है।		त्रिभुज का स्प्लिटर (ज्यामिति) केवियन है जो परिमाप बहुभुजों को द्विभाजित करता है। त्रिभुज के नागल बिंदु पर तीन विभाजक [[समवर्ती रेखाएँ]] मिलती है।

	== क्षेत्र द्विभाजक ==		== क्षेत्र द्विभाजक ==

Manidh at 11:24, 3 May 2023

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	* [[Vladimir Karapetoff]] (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." ''American Mathematical Monthly'' 36: 476–479.		* [[Vladimir Karapetoff]] (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." ''American Mathematical Monthly'' 36: 476–479.
	* Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” ''Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions'', Vol '''24 (02)''', pp. 29–37.		* Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” ''Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions'', Vol '''24 (02)''', pp. 29–37.
	~~[[Category: त्रिभुज के लिए परिभाषित सीधी रेखाएँ]]~~



	~~[[Category: Machine Translated Page]]~~
	[[Category:Created On 17/04/2023]]		[[Category:Created On 17/04/2023]]
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	[[Category: Machine Translated Page]]		[[Category: Machine Translated Page]]
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alpha>Artiverma at 05:36, 25 April 2023

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	== लंबाई ==		== लंबाई ==

	[[Image:stewarts theorem.svg\|right\|thumb\|लंबाई ~~के एक केवियन के साथ एक त्रिकोण~~ {{mvar\|d}}]]		[[Image:stewarts theorem.svg\|right\|thumb\|लंबाई {{mvar\|d}} के केवियन के साथ त्रिकोण]]

	===स्टीवर्ट की प्रमेय===		===स्टीवर्ट की प्रमेय===

alpha>Artiverma at 05:34, 25 April 2023

2023-04-25T05:34:45Z

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	== अनुपात गुण ==		== अनुपात गुण ==
	[[File:Ceva's theorem 1.svg\|thumb\|right\|सामान्य बिंदु से प्रवाहित होने वाले तीन केवियन]]तीन सेवियों द्वारा बनाई गई लंबाई के अनुपात के विभिन्न गुण हैं जो सभी आंतरिक बिंदु से प्रवाहित होते हैं,<ref>[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.</ref>{{rp\|177-188}} दाईं ओर आरेख का वर्णन करते ~~हुए,~~		[[File:Ceva's theorem 1.svg\|thumb\|right\|सामान्य बिंदु से प्रवाहित होने वाले तीन केवियन]]तीन सेवियों द्वारा बनाई गई लंबाई के अनुपात के विभिन्न गुण हैं जो सभी आंतरिक बिंदु से प्रवाहित होते हैं,<ref>[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.</ref>{{rp\|177-188}} दाईं ओर आरेख का वर्णन करते है।

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Line 80:		Line 80:
	== केवियों द्वारा गठित आंतरिक त्रिभुज का क्षेत्रफल ==		== केवियों द्वारा गठित आंतरिक त्रिभुज का क्षेत्रफल ==

	राउथ की प्रमेय किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल के अनुपात को तीन सेवियों के जोड़ीदार चौराहों द्वारा गठित त्रिभुज के अनुपात को निर्धारित करता ~~है, प्रत्येक शीर्ष से एक।~~		राउथ की प्रमेय किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल के अनुपात को तीन सेवियों के जोड़ीदार चौराहों द्वारा गठित त्रिभुज के अनुपात को निर्धारित करता है।

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==

alpha>Artiverma at 05:33, 25 April 2023

2023-04-25T05:33:00Z

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	== अनुपात गुण ==		== अनुपात गुण ==
	[[File:Ceva's theorem 1.svg\|thumb\|right\|एक सामान्य बिंदु से ~~गुजरने~~ वाले तीन केवियन]]तीन सेवियों द्वारा बनाई गई लंबाई के अनुपात के विभिन्न गुण हैं जो सभी आंतरिक बिंदु से प्रवाहित होते हैं,<ref>[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.</ref>{{rp\|177-188}} दाईं ओर आरेख का वर्णन करते हुए,		[[File:Ceva's theorem 1.svg\|thumb\|right\|सामान्य बिंदु से प्रवाहित होने वाले तीन केवियन]]तीन सेवियों द्वारा बनाई गई लंबाई के अनुपात के विभिन्न गुण हैं जो सभी आंतरिक बिंदु से प्रवाहित होते हैं,<ref>[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.</ref>{{rp\|177-188}} दाईं ओर आरेख का वर्णन करते हुए,

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Line 72:		Line 72:
	== क्षेत्र द्विभाजक ==		== क्षेत्र द्विभाजक ==

	किसी त्रिभुज के समद्विभाजन क्षेत्रीय समद्विभाजक एवं परिमाप समद्विभाजक में से तीन इसकी माध्यिकाएँ हैं, जो शीर्षों को विपरीत भुजा के मध्य बिंदुओं से जोड़ती हैं। इस प्रकार समान-घनत्व वाला त्रिभुज सैद्धांतिक रूप से किसी भी माध्यिका को ~~सहारा~~ देने वाले ~~उस्तरा~~ पर संतुलित ~~होगा।~~		किसी त्रिभुज के समद्विभाजन क्षेत्रीय समद्विभाजक एवं परिमाप समद्विभाजक में से तीन इसकी माध्यिकाएँ हैं, जो शीर्षों को विपरीत भुजा के मध्य बिंदुओं से जोड़ती हैं। इस प्रकार समान-घनत्व वाला त्रिभुज सैद्धांतिक रूप से किसी भी माध्यिका को समर्थन देने वाले रेजर पर संतुलित होता है।

	== कोण त्रिभाजक ==		== कोण त्रिभाजक ==

	यदि किसी त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से दो केवियाँ खींची जाती हैं ~~ताकि~~ कोण को तीन ~~बराबर~~ कोणों में विभाजित किया जा सके, तो छह केवियन जोड़ियों में प्रतिच्छेद करके एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं, जिसे मॉर्ले त्रिभुज कहा जाता है।		यदि किसी त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से दो केवियाँ खींची जाती हैं, जिससे कोण को तीन समान कोणों में विभाजित किया जा सके, तो छह केवियन जोड़ियों में प्रतिच्छेद करके समबाहु त्रिभुज बनाते हैं, जिसे मॉर्ले त्रिभुज कहा जाता है।

	== केवियों द्वारा गठित आंतरिक त्रिभुज का क्षेत्रफल ==		== केवियों द्वारा गठित आंतरिक त्रिभुज का क्षेत्रफल ==

alpha>Artiverma at 05:29, 25 April 2023

2023-04-25T05:29:24Z

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Line 64:		Line 64:
	& \frac{\overline{AO}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{BO}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{CO}}{\overline{CF}} = 2.		& \frac{\overline{AO}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{BO}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{CO}}{\overline{CF}} = 2.
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	प्रथम संपत्ति सेवा के प्रमेय के रूप में जानी जाती है। अंतिम दो गुण समतुल्य हैं क्योंकि दो समीकरणों को जोड़ने से [[पहचान (गणित)]] ~~मिलती है~~ {{math\|1=1 + 1 + 1 = 3}}.		प्रथम संपत्ति सेवा के प्रमेय के रूप में जानी जाती है। अंतिम दो गुण समतुल्य हैं क्योंकि दो समीकरणों को जोड़ने से [[पहचान (गणित)]] {{math\|1=1 + 1 + 1 = 3}} मिलती है।

	== विभाजक ==		== विभाजक ==

	त्रिभुज का एक [[स्प्लिटर (ज्यामिति)]] एक केवियन है जो परिमाप#बहुभुजों को द्विभाजित करता है। त्रिभुज के [[नागल बिंदु]] पर तीन विभाजक [[समवर्ती रेखाएँ]]।		त्रिभुज का [[स्प्लिटर (ज्यामिति)]] केवियन है जो परिमाप बहुभुजों को द्विभाजित करता है। त्रिभुज के [[नागल बिंदु]] पर तीन विभाजक [[समवर्ती रेखाएँ]] मिलती है।

	== क्षेत्र द्विभाजक ==		== क्षेत्र द्विभाजक ==

	किसी त्रिभुज के समद्विभाजन#क्षेत्रीय समद्विभाजक एवं परिमाप समद्विभाजक में से तीन इसकी माध्यिकाएँ हैं, जो शीर्षों को विपरीत भुजा के ~~मध्यबिंदुओं~~ से जोड़ती हैं। इस प्रकार एक समान-घनत्व वाला त्रिभुज सैद्धांतिक रूप से किसी भी माध्यिका को सहारा देने वाले उस्तरा पर संतुलित होगा।		किसी त्रिभुज के समद्विभाजन क्षेत्रीय समद्विभाजक एवं परिमाप समद्विभाजक में से तीन इसकी माध्यिकाएँ हैं, जो शीर्षों को विपरीत भुजा के मध्य बिंदुओं से जोड़ती हैं। इस प्रकार समान-घनत्व वाला त्रिभुज सैद्धांतिक रूप से किसी भी माध्यिका को सहारा देने वाले उस्तरा पर संतुलित होगा।

	== कोण त्रिभाजक ==		== कोण त्रिभाजक ==

alpha>Artiverma at 05:26, 25 April 2023

2023-04-25T05:26:21Z

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Line 53:		Line 53:

	== अनुपात गुण ==		== अनुपात गुण ==
	[[File:Ceva's theorem 1.svg\|thumb\|right\|एक सामान्य बिंदु से गुजरने वाले तीन केवियन]]~~एक ही मनमाना आंतरिक बिंदु से गुजरने वाले~~ तीन सेवियों द्वारा बनाई गई लंबाई के अनुपात के विभिन्न गुण हैं:<ref>[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.</ref>{{rp\|177-188}} दाईं ओर आरेख का ~~जिक्र~~ करते हुए,		[[File:Ceva's theorem 1.svg\|thumb\|right\|एक सामान्य बिंदु से गुजरने वाले तीन केवियन]]तीन सेवियों द्वारा बनाई गई लंबाई के अनुपात के विभिन्न गुण हैं जो सभी आंतरिक बिंदु से प्रवाहित होते हैं,<ref>[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.</ref>{{rp\|177-188}} दाईं ओर आरेख का वर्णन करते हुए,

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Line 64:		Line 64:
	& \frac{\overline{AO}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{BO}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{CO}}{\overline{CF}} = 2.		& \frac{\overline{AO}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{BO}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{CO}}{\overline{CF}} = 2.
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	~~पहली~~ संपत्ति सेवा के प्रमेय के रूप में जानी जाती है। अंतिम दो गुण समतुल्य हैं क्योंकि दो समीकरणों को जोड़ने से [[पहचान (गणित)]] मिलती है {{math\|1=1 + 1 + 1 = 3}}.		प्रथम संपत्ति सेवा के प्रमेय के रूप में जानी जाती है। अंतिम दो गुण समतुल्य हैं क्योंकि दो समीकरणों को जोड़ने से [[पहचान (गणित)]] मिलती है {{math\|1=1 + 1 + 1 = 3}}.

	== विभाजक ==		== विभाजक ==

alpha>Artiverma at 05:23, 25 April 2023

2023-04-25T05:23:48Z

← Older revision		Revision as of 10:53, 25 April 2023
Line 1:		Line 1:
	{{short description\|Line intersecting both a vertex and opposite edge of a triangle}}		{{short description\|Line intersecting both a vertex and opposite edge of a triangle}}

	[[ज्यामिति]] में, केवियन [[रेखा खंड]] होता है, जो त्रिभुज के शीर्ष (ज्यामिति) को त्रिभुज के विपरीत दिशा में बिंदु से जोड़ता है।<ref>{{Cite book \| last1 = Coxeter \| first1 = H. S. M. \| author1-link = Harold Scott MacDonald Coxeter \| last2 = Greitzer \| first2 = S. L. \| author2-link = Samuel L. Greitzer \| year = 1967 \| title = ज्यामिति पर दोबारा गौर किया\| url = https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe \| url-access = limited \| location = Washington, DC \| publisher = [[Mathematical Association of America]] \| isbn = 0-883-85619-0 \| page = [https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe/page/n15 4] }}</ref><ref>Some authors exclude the other two sides of the triangle, see {{harvtxt\|Eves\|1963\|loc=p.77}}</ref> [[मेडियन (ज्यामिति)]] एवं [[कोण द्विभाजक]] केवियन के विशेष विषय हैं। केवियन नाम इतालवी गणितज्ञ ~~गियोवन्नी~~ सेवा से आया है, जिन्होंने केवियन के विषय में प्रसिद्ध प्रमेय को सिद्ध किया। जिसमें उनका नाम भी है।<ref>{{Cite journal \| last = Lightner \| first = James E. \| year = 1975 \| title = त्रिकोण के 'केंद्रों' पर एक नया रूप\| journal = [[The Mathematics Teacher]] \| volume = 68 \| number = 7 \| pages = 612–615 \| jstor = 27960289 }}</ref>		[[ज्यामिति]] में, केवियन [[रेखा खंड]] होता है, जो त्रिभुज के शीर्ष (ज्यामिति) को त्रिभुज के विपरीत दिशा में बिंदु से जोड़ता है।<ref>{{Cite book \| last1 = Coxeter \| first1 = H. S. M. \| author1-link = Harold Scott MacDonald Coxeter \| last2 = Greitzer \| first2 = S. L. \| author2-link = Samuel L. Greitzer \| year = 1967 \| title = ज्यामिति पर दोबारा गौर किया\| url = https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe \| url-access = limited \| location = Washington, DC \| publisher = [[Mathematical Association of America]] \| isbn = 0-883-85619-0 \| page = [https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe/page/n15 4] }}</ref><ref>Some authors exclude the other two sides of the triangle, see {{harvtxt\|Eves\|1963\|loc=p.77}}</ref> [[मेडियन (ज्यामिति)]] एवं [[कोण द्विभाजक]] केवियन के विशेष विषय हैं। केवियन नाम इतालवी गणितज्ञ जियोवानी सेवा से आया है, जिन्होंने केवियन के विषय में प्रसिद्ध प्रमेय को सिद्ध किया। जिसमें उनका नाम भी है।<ref>{{Cite journal \| last = Lightner \| first = James E. \| year = 1975 \| title = त्रिकोण के 'केंद्रों' पर एक नया रूप\| journal = [[The Mathematics Teacher]] \| volume = 68 \| number = 7 \| pages = 612–615 \| jstor = 27960289 }}</ref>


Line 9:		Line 9:

	===स्टीवर्ट की प्रमेय===		===स्टीवर्ट की प्रमेय===
	एक केवियन की लंबाई स्टीवर्ट के प्रमेय द्वारा निर्धारित की जा सकती है: आरेख में, केवियन की लंबाई {{mvar\|d}} सूत्र द्वारा ~~दिया गया है~~		केवियन की लंबाई स्टीवर्ट के प्रमेय द्वारा निर्धारित की जा सकती है: आरेख में, केवियन की लंबाई {{mvar\|d}} सूत्र द्वारा दी गई है।

	:<math>\,b^2m + c^2n = a(d^2 + mn).</math>		:<math>\,b^2m + c^2n = a(d^2 + mn).</math>
	~~कम आम तौर पर,~~ यह निम्नलिखित स्मरक द्वारा भी दर्शाया गया है (कुछ पुनर्व्यवस्था के साथ):		सामान्यतः यह निम्नलिखित स्मरक द्वारा भी दर्शाया गया है (कुछ पुनर्व्यवस्था के साथ)।
	:<math>\underset{\text{A }man\text{ and his }dad}{man\ +\ dad} = \!\!\!\!\!\! \underset{\text{put a }bomb\text{ in the }sink.}{bmb\ +\ cnc}</math><ref>{{Cite web\|url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Stewart's_Theorem\|title=समस्या समाधान की कला\|website=artofproblemsolving.com\|access-date=2018-10-22}}</ref>		:<math>\underset{\text{A }man\text{ and his }dad}{man\ +\ dad} = \!\!\!\!\!\! \underset{\text{put a }bomb\text{ in the }sink.}{bmb\ +\ cnc}</math><ref>{{Cite web\|url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Stewart's_Theorem\|title=समस्या समाधान की कला\|website=artofproblemsolving.com\|access-date=2018-10-22}}</ref>


	=== मध्य ===		=== मध्य ===
	यदि ~~सीवियन एक~~ [[माध्यिका (त्रिकोण)]] होता है (इस प्रकार ~~एक बहुभुज की भुजाओं का द्विभाजन#द्विभाजक~~), तो इसकी लंबाई सूत्र से निर्धारित की जा सकती है		यदि केवियन [[माध्यिका (त्रिकोण)]] होता है (इस प्रकार भुजा को समद्विभाजित करता है), तो इसकी लंबाई सूत्र से निर्धारित की जा सकती है।

	:<math>\,m(b^2 + c^2) = a(d^2 + m^2)</math>		:<math>\,m(b^2 + c^2) = a(d^2 + m^2)</math>
Line 26:		Line 26:

	:<math>\,a = 2m.</math>		:<math>\,a = 2m.</math>
	इसलिए इस ~~मामले~~ में		इसलिए इस स्थिति में

	:<math>d= \frac\sqrt{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}2 .</math>		:<math>d= \frac\sqrt{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}2 .</math>
Line 32:		Line 32:

	=== कोण द्विभाजक ===		=== कोण द्विभाजक ===
	यदि ~~सीवियन एक~~ समद्विभाजक #कोण द्विभाजक होता है, तो इसकी लंबाई सूत्रों का पालन करती है		यदि केवियन समद्विभाजक कोण द्विभाजक होता है, तो इसकी लंबाई सूत्रों का पालन करती है।

	:<math>\,(b + c)^2 = a^2 \left( \frac{d^2}{mn} + 1 \right),</math>		:<math>\,(b + c)^2 = a^2 \left( \frac{d^2}{mn} + 1 \right),</math>
Line 40:		Line 40:

	:<math>d= \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}</math>		:<math>d= \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}</math>
	जहां [[अर्द्धपरिधि]] <math>s = \tfrac{a+b+c}{2}.</math>		जहां [[अर्द्धपरिधि]] <math>s = \tfrac{a+b+c}{2}.</math>लम्बाई {{math\|''a''}} की भुजा को {{math\|''b'' : ''c''}} के अनुपात में बांटा गया है।
	लम्बाई ~~का किनारा~~ {{math\|''a''}} ~~के अनुपात में बांटा गया है~~ {{math\|''b'' : ''c''}}.

	=== ऊँचाई ===		=== ऊँचाई ===
	यदि केवियन एक [[ऊंचाई (त्रिकोण)]] होता है एवं इस प्रकार एक तरफ लंबवत होता है, तो इसकी लंबाई सूत्रों का पालन करती है		यदि केवियन [[ऊंचाई (त्रिकोण)]] होता है एवं इस प्रकार इस तरफ लंबवत होता है, तो इसकी लंबाई सूत्रों का पालन करती है।

	:<math>\,d^2 = b^2 - n^2 = c^2 - m^2</math>		:<math>\,d^2 = b^2 - n^2 = c^2 - m^2</math>
Line 54:		Line 53:

	== अनुपात गुण ==		== अनुपात गुण ==
	[[File:Ceva's theorem 1.svg\|thumb\|right\|एक सामान्य बिंदु से गुजरने वाले तीन ~~सीवियन~~]]एक ही मनमाना आंतरिक बिंदु से गुजरने वाले तीन सेवियों द्वारा बनाई गई लंबाई के अनुपात के विभिन्न गुण हैं:<ref>[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.</ref>{{rp\|177-188}} दाईं ओर आरेख का जिक्र करते हुए,		[[File:Ceva's theorem 1.svg\|thumb\|right\|एक सामान्य बिंदु से गुजरने वाले तीन केवियन]]एक ही मनमाना आंतरिक बिंदु से गुजरने वाले तीन सेवियों द्वारा बनाई गई लंबाई के अनुपात के विभिन्न गुण हैं:<ref>[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.</ref>{{rp\|177-188}} दाईं ओर आरेख का जिक्र करते हुए,

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}