कंपन - Revision history

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	चूंकि, कई स्थितियों में, कंपन अवांछनीय है, जिससे [[ऊर्जा]] बर्बाद होती है और अवांछित ध्वनि उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, [[इंजन]], [[ विद्युत मोटर \|विद्युत मोटर]], या किसी भी [[मशीन]] के संचालन में कंपन संबंधी गति सामान्यतः अवांछित होती है। इस तरह के कंपन घूर्णन भागों में असंतुलन, असमान घर्षण, या [[गियर]] दांतों की जाली के कारण हो सकते हैं। सावधानीपूर्वक डिजाइन सामान्यतः अवांछित कंपन को निम्न करते हैं।		चूंकि, कई स्थितियों में, कंपन अवांछनीय है, जिससे [[ऊर्जा]] बर्बाद होती है और अवांछित ध्वनि उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, [[इंजन]], [[ विद्युत मोटर \|विद्युत मोटर]], या किसी भी [[मशीन]] के संचालन में कंपन संबंधी गति सामान्यतः अवांछित होती है। इस तरह के कंपन घूर्णन भागों में असंतुलन, असमान घर्षण, या [[गियर]] दांतों की जाली के कारण हो सकते हैं। सावधानीपूर्वक डिजाइन सामान्यतः अवांछित कंपन को निम्न करते हैं।

	ध्वनि और कंपन का अध्ययन आपस में निकट से संबंधित है (दोनों ध्वनिकी के अंतर्गत आते हैं)।। ध्वनि, या दबाव तरंगें, कंपन संरचनाओं (जैसे स्वर रज्जु) द्वारा उत्पन्न होती हैं; ये दबाव तरंगें संरचनाओं के कंपन (जैसे [[ कान का पर्दा \|कान का पर्दा]]) को भी प्रेरित कर सकती हैं। इसलिए, रव को निम्न करने के प्रयास अधिकांशतः कंपन के मुद्दों से संबंधित होते हैं।<ref name="Tustin06" />		ध्वनि और कंपन का अध्ययन आपस में निकट से संबंधित है (दोनों ध्वनिकी के अंतर्गत आते हैं)। ध्वनि, या दबाव तरंगें, कंपन संरचनाओं (जैसे स्वर रज्जु) द्वारा उत्पन्न होती हैं; ये दबाव तरंगें संरचनाओं के कंपन (जैसे [[ कान का पर्दा \|कान का पर्दा]]) को भी प्रेरित कर सकती हैं। इसलिए, रव को निम्न करने के प्रयास अधिकांशतः कंपन के मुद्दों से संबंधित होते हैं।<ref name="Tustin06" />
	[[File:Drum vibration mode21.gif\|thumb\|एक वृत्ताकार ड्रम के कंपन के संभावित तरीकों में से एक (देखें: कॉमन्स: श्रेणी: ड्रम कंपन एनिमेशन)।]]		[[File:Drum vibration mode21.gif\|thumb\|एक वृत्ताकार ड्रम के कंपन के संभावित तरीकों में से एक (देखें: कॉमन्स: श्रेणी: ड्रम कंपन एनिमेशन)।]]
	~~[[File:suspension.jpg\|thumb\|upright\|~~कार निलंबन: डिजाइन कंपन नियंत्रण [[ध्वनिक [[ अभियांत्रिकी ]]]], [[ऑटोमोटिव इंजीनियरिंग\|स्वचालित इंजीनियरिंग]] या [[मैकेनिकल इंजीनियरिंग]] इंजीनियरिंग के भा[[Index.php?title=मशीनिंग कंपन]]ग के रूप में किया जाता है।]] [[घटिया निर्माण\|व्यवकलक निर्माण]] की प्रक्रिया में मशीनिंग कंपन आम है।		कार निलंबन: डिजाइन कंपन नियंत्रण [[ध्वनिक [[ अभियांत्रिकी ]]]], [[ऑटोमोटिव इंजीनियरिंग\|स्वचालित इंजीनियरिंग]] या [[मैकेनिकल इंजीनियरिंग]] इंजीनियरिंग के भा[[Index.php?title=मशीनिंग कंपन]]ग के रूप में किया जाता है।]] [[घटिया निर्माण\|व्यवकलक निर्माण]] की प्रक्रिया में मशीनिंग कंपन आम है।

	== प्रकार ==		== प्रकार ==

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	'''<big>स्वतंत्रता प्रणाली और मोड आकार की एकाधिक कोटि</big>'''		'''<big>स्वतंत्रता प्रणाली और मोड आकार की एकाधिक कोटि</big>'''
	[[File:2dof model.gif\|thumb\|स्वतंत्रता मॉडल की दो कोटि\|186x186px]]सरल मास-स्प्रिंग-डैम्पर मॉडल कंपन विश्लेषण की नींव है, लेकिन अधिक जटिल प्रणालियों के बारे में क्या? ऊपर वर्णित मास-स्प्रिंग-डैम्पर मॉडल को सिंगल स्वातंत्र्य कोटि (इंजीनियरिंग) (एसडीओएफ) मॉडल कहा जाता है क्योंकि द्रव्यमान को केवल ऊपर और नीचे जाने के लिए माना जाता है। अधिक जटिल प्रणालियों में, प्रणाली को अधिक लोगों में विभाजित किया जाना चाहिए जो एक से अधिक दिशाओं में चलते हैं, [[स्वतंत्रता की डिग्री (इंजीनियरिंग)\|~~स्वतंत्रता की~~ कोटि (इंजीनियरिंग)]] हैं। ~~आजादी की कई~~ कोटि (एमडीओएफ) की प्रमुख अवधारणाओं को केवल 2 कोटि स्वतंत्रता मॉडल को देखकर समझा जा सकता है जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है।		[[File:2dof model.gif\|thumb\|स्वतंत्रता मॉडल की दो कोटि\|186x186px]]सरल मास-स्प्रिंग-डैम्पर मॉडल कंपन विश्लेषण की नींव है, लेकिन अधिक जटिल प्रणालियों के बारे में क्या? ऊपर वर्णित मास-स्प्रिंग-डैम्पर मॉडल को सिंगल स्वातंत्र्य कोटि (इंजीनियरिंग) (एसडीओएफ) मॉडल कहा जाता है क्योंकि द्रव्यमान को केवल ऊपर और नीचे जाने के लिए माना जाता है। अधिक जटिल प्रणालियों में, प्रणाली को अधिक लोगों में विभाजित किया जाना चाहिए जो एक से अधिक दिशाओं में चलते हैं, [[स्वतंत्रता की डिग्री (इंजीनियरिंग)\|स्वातंत्र्य कोटि (इंजीनियरिंग)]] हैं। एकाधिक स्वातंत्र्य कोटि (एमडीओएफ) की प्रमुख अवधारणाओं को केवल 2 कोटि स्वतंत्रता मॉडल को देखकर समझा जा सकता है जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है।

	~~2DOF~~ प्रणाली की गति के समीकरण इस प्रकार पाए जाते हैं:		2 डीओएफ प्रणाली की गति के समीकरण इस प्रकार पाए जाते हैं:

	:<math>		:<math>
Line 210:		Line 210:
	\begin{bmatrix}m_1 & 0\\ 0 & m_2\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\ddot{x_1}\\ \ddot{x_2} \end{Bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1+c_2 & -c_2\\ -c_2 & c_2+c_3\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\dot{x_1}\\ \dot{x_2}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}k_1+k_2 & -k_2\\ -k_2 & k_2+k_3\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x_1\\ x_2\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} f_1\\ f_2\end{Bmatrix}.		\begin{bmatrix}m_1 & 0\\ 0 & m_2\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\ddot{x_1}\\ \ddot{x_2} \end{Bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1+c_2 & -c_2\\ -c_2 & c_2+c_3\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\dot{x_1}\\ \dot{x_2}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}k_1+k_2 & -k_2\\ -k_2 & k_2+k_3\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x_1\\ x_2\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} f_1\\ f_2\end{Bmatrix}.
	</math>		</math>
	इस आव्यूह समीकरण का एक अधिक ~~कॉम्पैक्ट~~ रूप इस प्रकार लिखा जा सकता है:		इस आव्यूह समीकरण का एक अधिक सघन रूप इस प्रकार लिखा जा सकता है:

	:<math>		:<math>
	\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\ddot{x}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\dot{x}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} f \end{Bmatrix}		\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\ddot{x}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\dot{x}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} f \end{Bmatrix}
	</math>		</math>
	~~कहाँ~~ <math>\begin{bmatrix}M\end{bmatrix},</math> <math>\begin{bmatrix}C\end{bmatrix},</math> और <math>\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}</math> सममित ~~मेट्रिसेस~~ हैं जिन्हें क्रमशः द्रव्यमान, अवमंदन और कठोरता आव्यूह के रूप में संदर्भित किया जाता है। आव्यूह ~~एनएक्सएन~~ वर्ग आव्यूह हैं जहां एन प्रणाली की ~~स्वतंत्रता की~~ कोटि की संख्या है।		जहाँ <math>\begin{bmatrix}M\end{bmatrix},</math> <math>\begin{bmatrix}C\end{bmatrix},</math> और <math>\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}</math> सममित आव्यूह हैं जिन्हें क्रमशः द्रव्यमान, अवमंदन और कठोरता आव्यूह के रूप में संदर्भित किया जाता है। आव्यूह NxN वर्ग आव्यूह हैं जहां N प्रणाली की एकाधिक स्वातंत्र्य कोटि की संख्या है।

	निम्नलिखित विश्लेषण में वह ~~मामला~~ शामिल है जहां कोई अवमंदन नहीं है और कोई लागू बल नहीं है (अर्थात मुक्त कंपन)। ~~चिपचिपी~~ अवमन्दित प्रणाली का समाधान कुछ अधिक जटिल है।<ref name="MaiaSilva97">Maia, Silva. ''Theoretical And Experimental Modal Analysis'', Research Studies Press Ltd., 1997, {{ISBN\|0-471-97067-0}}</ref>		निम्नलिखित विश्लेषण में वह स्थिति शामिल है जहां कोई अवमंदन नहीं है और कोई लागू बल नहीं है (अर्थात मुक्त कंपन)। श्यान अवमन्दित प्रणाली का समाधान कुछ अधिक जटिल है।<ref name="MaiaSilva97">Maia, Silva. ''Theoretical And Experimental Modal Analysis'', Research Studies Press Ltd., 1997, {{ISBN\|0-471-97067-0}}</ref>
	:<math>\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\ddot{x}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x\end{Bmatrix}=0.</math>		:<math>\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\ddot{x}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x\end{Bmatrix}=0.</math>
	निम्न प्रकार के हल मानकर इस अवकल समीकरण को हल किया जा सकता है:		निम्न प्रकार के हल मानकर इस अवकल समीकरण को हल किया जा सकता है:
Line 224:		Line 224:
	\begin{Bmatrix} x\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} X\end{Bmatrix}e^{i\omega t}.		\begin{Bmatrix} x\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} X\end{Bmatrix}e^{i\omega t}.
	</math>		</math>
	नोट: ~~के घातीय समाधान का उपयोग करना~~ <math> \begin{Bmatrix} X\end{Bmatrix}e^{i\omega t}</math> रैखिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए प्रयुक्त एक गणितीय युक्ति है। यूलर के सूत्र का उपयोग करना और समाधान का केवल वास्तविक भाग लेना यह 1 डीओएफ प्रणाली के लिए समान कोसाइन समाधान है। घातीय समाधान का उपयोग केवल इसलिए किया जाता है क्योंकि गणितीय रूप से हेरफेर करना आसान होता है।		नोट: <math> \begin{Bmatrix} X\end{Bmatrix}e^{i\omega t}</math> रैखिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए प्रयुक्त एक गणितीय युक्ति है। यूलर के सूत्र का उपयोग करना और समाधान का केवल वास्तविक भाग लेना यह 1 डीओएफ प्रणाली के लिए समान कोसाइन समाधान है। घातीय समाधान का उपयोग केवल इसलिए किया जाता है क्योंकि गणितीय रूप से हेरफेर करना आसान होता है।

	समीकरण तब बन जाता है:		समीकरण तब बन जाता है:
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	और अगर: <math>\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}</math> और <math>\lambda=\omega^2 \,</math>		और अगर: <math>\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}</math> और <math>\lambda=\omega^2 \,</math>
	:<math>\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}=0.</math>		:<math>\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}=0.</math>
	समस्या का समाधान N '''अभिलक्षणिक मान''' में होता है (अर्थात <math>\omega_1^2,\omega_2^2,\cdots\omega_N^2</math>), जहां N ~~स्वतंत्रता की~~ कोटि की संख्या से मेल खाती है। अभिलक्षणिक मान प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्तियों प्रदान करते हैं। जब इन अभिलक्षणिक मान को वापस समीकरणों के मूल सेट में प्रतिस्थापित किया जाता है, <math>\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}</math> के मान जो प्रत्येक अभिलक्षणिक मान के अनुरूप होते हैं उन्हें '''अभिलक्षणिक सदिश''' कहा जाता है। ये अभिलक्षणिक सदिश प्रणाली के [[मोड आकार]] का प्रतिनिधित्व करते हैं। अभिलक्षणिक मान समस्या का समाधान काफी बोझिल हो सकता है (विशेष रूप से स्वतंत्रता की कई कोटि वाली समस्याओं के लिए), लेकिन सौभाग्य से अधिकांश गणित विश्लेषण कार्यक्रमों में अभिलक्षणिक मान सामान्य होते हैं।		समस्या का समाधान N '''अभिलक्षणिक मान''' में होता है (अर्थात <math>\omega_1^2,\omega_2^2,\cdots\omega_N^2</math>), जहां N एकाधिक स्वातंत्र्य कोटि की संख्या से मेल खाती है। अभिलक्षणिक मान प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्तियों प्रदान करते हैं। जब इन अभिलक्षणिक मान को वापस समीकरणों के मूल सेट में प्रतिस्थापित किया जाता है, <math>\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}</math> के मान जो प्रत्येक अभिलक्षणिक मान के अनुरूप होते हैं उन्हें '''अभिलक्षणिक सदिश''' कहा जाता है। ये अभिलक्षणिक सदिश प्रणाली के [[मोड आकार]] का प्रतिनिधित्व करते हैं। अभिलक्षणिक मान समस्या का समाधान काफी बोझिल हो सकता है (विशेष रूप से स्वतंत्रता की कई कोटि वाली समस्याओं के लिए), लेकिन सौभाग्य से अधिकांश गणित विश्लेषण कार्यक्रमों में अभिलक्षणिक मान सामान्य होते हैं।

	अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश अक्सर निम्नलिखित आव्यूह प्रारूप में लिखे जाते हैं और प्रणाली के मोडल मॉडल का वर्णन करते हैं:		अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश अक्सर निम्नलिखित आव्यूह प्रारूप में लिखे जाते हैं और प्रणाली के मोडल मॉडल का वर्णन करते हैं:
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	:<math>\begin{bmatrix} \Psi \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \begin{Bmatrix} \psi_1 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \psi_2 \end{Bmatrix} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \begin{Bmatrix} -0.707 \\ -0.707 \end{Bmatrix}_1 \begin{Bmatrix} 0.707 \\ -0.707 \end{Bmatrix}_2 \end{bmatrix}. </math>		:<math>\begin{bmatrix} \Psi \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \begin{Bmatrix} \psi_1 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \psi_2 \end{Bmatrix} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \begin{Bmatrix} -0.707 \\ -0.707 \end{Bmatrix}_1 \begin{Bmatrix} 0.707 \\ -0.707 \end{Bmatrix}_2 \end{bmatrix}. </math>
	चूंकि प्रणाली 2 डीओएफ प्रणाली है, उनके संबंधित प्राकृतिक आवृत्तियों और आकार के साथ दो मोड हैं। मोड आकार सदिश पूर्ण गति नहीं हैं, लेकिन केवल ~~स्वतंत्रता की~~ कोटि के सापेक्ष गति का वर्णन करते हैं। हमारे स्थिति में पहला मोड आकार सदिश कह रहा है कि द्रव्यमान चरण में एक साथ चल रही है क्योंकि उनके पास समान मान और चिह्न हैं। दूसरे मोड आकार सदिश के स्थिति में, प्रत्येक द्रव्यमान समान दर से विपरीत दिशा में आगे बढ़ रहा है।		चूंकि प्रणाली 2 डीओएफ प्रणाली है, उनके संबंधित प्राकृतिक आवृत्तियों और आकार के साथ दो मोड हैं। मोड आकार सदिश पूर्ण गति नहीं हैं, लेकिन केवल एकाधिक स्वातंत्र्य कोटि के सापेक्ष गति का वर्णन करते हैं। हमारे स्थिति में पहला मोड आकार सदिश कह रहा है कि द्रव्यमान चरण में एक साथ चल रही है क्योंकि उनके पास समान मान और चिह्न हैं। दूसरे मोड आकार सदिश के स्थिति में, प्रत्येक द्रव्यमान समान दर से विपरीत दिशा में आगे बढ़ रहा है।

	=== विविध डीओएफ समस्या का चित्रण ===		=== विविध डीओएफ समस्या का चित्रण ===

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	चूंकि, कई स्थितियों में, कंपन अवांछनीय है, जिससे [[ऊर्जा]] बर्बाद होती है और अवांछित ध्वनि उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, [[इंजन]], [[ विद्युत मोटर \|विद्युत मोटर]], या किसी भी [[मशीन]] के संचालन में कंपन संबंधी गति सामान्यतः अवांछित होती है। इस तरह के कंपन घूर्णन भागों में असंतुलन, असमान घर्षण, या [[गियर]] दांतों की जाली के कारण हो सकते हैं। सावधानीपूर्वक डिजाइन सामान्यतः अवांछित कंपन को निम्न करते हैं।		चूंकि, कई स्थितियों में, कंपन अवांछनीय है, जिससे [[ऊर्जा]] बर्बाद होती है और अवांछित ध्वनि उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, [[इंजन]], [[ विद्युत मोटर \|विद्युत मोटर]], या किसी भी [[मशीन]] के संचालन में कंपन संबंधी गति सामान्यतः अवांछित होती है। इस तरह के कंपन घूर्णन भागों में असंतुलन, असमान घर्षण, या [[गियर]] दांतों की जाली के कारण हो सकते हैं। सावधानीपूर्वक डिजाइन सामान्यतः अवांछित कंपन को निम्न करते हैं।

	ध्वनि और कंपन का अध्ययन आपस में निकट से संबंधित है (दोनों ध्वनिकी के अंतर्गत आते हैं)।। ध्वनि, या दबाव तरंगें, कंपन संरचनाओं (जैसे स्वर रज्जु) द्वारा उत्पन्न होती हैं; ये दबाव तरंगें संरचनाओं के कंपन (जैसे [[ कान का पर्दा \|कान का पर्दा]]) को भी प्रेरित कर सकती हैं। इसलिए, रव को निम्न करने के प्रयास अधिकांशतः कंपन के मुद्दों से संबंधित होते हैं।<ref name="Tustin06" />		ध्वनि और कंपन का अध्ययन आपस में निकट से संबंधित है (दोनों ध्वनिकी के अंतर्गत आते हैं)। ध्वनि, या दबाव तरंगें, कंपन संरचनाओं (जैसे स्वर रज्जु) द्वारा उत्पन्न होती हैं; ये दबाव तरंगें संरचनाओं के कंपन (जैसे [[ कान का पर्दा \|कान का पर्दा]]) को भी प्रेरित कर सकती हैं। इसलिए, रव को निम्न करने के प्रयास अधिकांशतः कंपन के मुद्दों से संबंधित होते हैं।<ref name="Tustin06" />
	[[File:Drum vibration mode21.gif\|thumb\|एक वृत्ताकार ड्रम के कंपन के संभावित तरीकों में से एक (देखें: कॉमन्स: श्रेणी: ड्रम कंपन एनिमेशन)।]]		[[File:Drum vibration mode21.gif\|thumb\|एक वृत्ताकार ड्रम के कंपन के संभावित तरीकों में से एक (देखें: कॉमन्स: श्रेणी: ड्रम कंपन एनिमेशन)।]]
	~~[[File:suspension.jpg\|thumb\|upright\|~~कार निलंबन: डिजाइन कंपन नियंत्रण [[ध्वनिक [[ अभियांत्रिकी ]]]], [[ऑटोमोटिव इंजीनियरिंग\|स्वचालित इंजीनियरिंग]] या [[मैकेनिकल इंजीनियरिंग]] इंजीनियरिंग के भा[[Index.php?title=मशीनिंग कंपन]]ग के रूप में किया जाता है।]] [[घटिया निर्माण\|व्यवकलक निर्माण]] की प्रक्रिया में मशीनिंग कंपन आम है।		कार निलंबन: डिजाइन कंपन नियंत्रण [[ध्वनिक [[ अभियांत्रिकी ]]]], [[ऑटोमोटिव इंजीनियरिंग\|स्वचालित इंजीनियरिंग]] या [[मैकेनिकल इंजीनियरिंग]] इंजीनियरिंग के भा[[Index.php?title=मशीनिंग कंपन]]ग के रूप में किया जाता है।]] [[घटिया निर्माण\|व्यवकलक निर्माण]] की प्रक्रिया में मशीनिंग कंपन आम है।

	== प्रकार ==		== प्रकार ==