ऑपेराड - Revision history

Neeraja at 11:42, 29 August 2023

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	{{Short description\|Generalization of associativity properties}}		{{Short description\|Generalization of associativity properties}}
	गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) [[ऑपरेशन (गणित)]] होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा '''''O''''' दिया गया है <math>O</math> इस समूह पर ठोस ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप [[ऑपरेशन (गणित)\|ऑपरेशन]] की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ऑपेराड '''''L''''' जैसे '''''L''''' के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में '''''L''''' संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है। ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए [[समूह (गणित)]] के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।		गणित में, '''ऑपेराड''' एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) [[ऑपरेशन (गणित)]] होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा '''''O''''' दिया गया है <math>O</math> इस समूह पर ठोस ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप [[ऑपरेशन (गणित)\|ऑपरेशन]] की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ऑपेराड '''''L''''' जैसे '''''L''''' के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में '''''L''''' संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है। ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए [[समूह (गणित)]] के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

	== इतिहास ==		== इतिहास ==

Manidh at 04:30, 14 March 2023

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	*{{nlab\|id=operad}}		*{{nlab\|id=operad}}
	*https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html		*https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html
	~~[[Category: सार बीजगणित]] [[Category: श्रेणी सिद्धांत]]~~

			[[Category:All articles to be expanded]]
			[[Category:Articles to be expanded from December 2018]]
	[[Category: ~~Machine Translated Page~~]]		[[Category:Articles using small message boxes]]
			[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
			[[Category:CS1 British English-language sources (en-gb)]]
			[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
			[[Category:CS1 maint]]
	[[Category:Created On 01/03/2023]]		[[Category:Created On 01/03/2023]]
	[[Category:Vigyan Ready]]		[[Category:Lua-based templates]]
			[[Category:Machine Translated Page]]
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			[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
			[[Category:Templates Vigyan Ready]]
			[[Category:Templates that add a tracking category]]
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			[[Category:Templates using TemplateData]]
			[[Category:श्रेणी सिद्धांत]]
			[[Category:सार बीजगणित]]

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	[[Category: Machine Translated Page]]		[[Category: Machine Translated Page]]
	[[Category:Created On 01/03/2023]]		[[Category:Created On 01/03/2023]]
			[[Category:Vigyan Ready]]

alpha>Shivanidubey: /* उदाहरण */

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उदाहरण

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alpha>Shivanidubey: /* अंतर्ज्ञान */

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अंतर्ज्ञान

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	ऑपरेशंस [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट<ref>{{Cite journal\|last1=Boardman\|first1=J. M.\|author-link=Michael Boardman\|last2=Vogt\|first2=R. M.\|date=1 November 1968\|title=होमोटॉपी-सब कुछ $H$-स्पेस\|url=https://www.ams.org/journals/bull/1968-74-06/S0002-9904-1968-12070-1/home.html\|journal=Bulletin of the American Mathematical Society\|language=en-US\|volume=74\|issue=6\|pages=1117–1123\|doi=10.1090/S0002-9904-1968-12070-1\|issn=0002-9904\|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book\|last1=Boardman\|first1=J. M.\|author-link=Michael Boardman\|last2=Vogt\|first2=R. M.\|date=1973\|title=टोपोलॉजिकल स्पेस पर होमोटॉपी इनवेरिएंट बीजगणितीय संरचनाएं\|series=Lecture Notes in Mathematics\|language=en-gb\|volume=347\|doi=10.1007/bfb0068547\|issn=0075-8434\|isbn=978-3-540-06479-4}}</ref> और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{Cite book\|last=May\|first=J. P.\|author-link=J. Peter May\|date=1972\|title=पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान की ज्यामिति\|series=Lecture Notes in Mathematics\|language=en-gb\|volume=271\|doi=10.1007/bfb0067491\|issn=0075-8434\|isbn=978-3-540-05904-2\|citeseerx=10.1.1.146.3172}}</ref> ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।<ref>{{Cite web\|url=https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf\|title=संचालन, बीजगणित और मॉड्यूल\|last=May\|first=J. Peter\|author-link=J. Peter May\|website=math.uchicago.edu\|page=2\|access-date=28 September 2018}}</ref> 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब [[मैक्सिम कोंटेसेविच]], [[विक्टर गिन्ज़बर्ग]] और [[मिखाइल कापरानोव]] की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद [[द्वैत (गणित)\|(गणित)]] घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal\|last1=Ginzburg\|first1=Victor\|author-link=Victor Ginzburg\|last2=Kapranov\|first2=Mikhail\|date=1994\|title=ओपेरा के लिए द्वंद्व शर्ट\|url=https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286744\|journal=Duke Mathematical Journal\|language=en\|volume=76\|issue=1\|pages=203–272\|doi=10.1215/S0012-7094-94-07608-4\|issn=0012-7094\|mr=1301191\|zbl=0855.18006\|s2cid=115166937\|via=[[Project Euclid]]}}</ref><ref>{{Cite web\|url=http://www.numdam.org/item/SB_1994-1995__37__47_0\|title=La renaissance des opérades\|last=Loday\|first=Jean-Louis\|author-link=Jean-Louis Loday\|year=1996\|website=www.numdam.org\|series=[[Séminaire Nicolas Bourbaki]]\|language=en\|mr=1423619\|zbl=0866.18007\|access-date=27 September 2018}}</ref> इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे [[जहर कई गुना]] के [[विरूपण परिमाणीकरण]] में, डेलिग्ने अनुमान,<ref name="Deligne">{{cite arXiv\|last1=Kontsevich\|first1=Maxim\|last2=Soibelman\|first2=Yan\|date=26 January 2000\|title=ऑपरेड्स और डेलिग्ने के अनुमान पर बीजगणित की विकृति\|eprint=math/0001151}}</ref> या मैक्सिम कोंटसेविच और [[ थॉमस विलवाकर \|थॉमस विलवाकर]] के कार्य में [[ग्राफ (असतत गणित)]] होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।		ऑपरेशंस [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट<ref>{{Cite journal\|last1=Boardman\|first1=J. M.\|author-link=Michael Boardman\|last2=Vogt\|first2=R. M.\|date=1 November 1968\|title=होमोटॉपी-सब कुछ $H$-स्पेस\|url=https://www.ams.org/journals/bull/1968-74-06/S0002-9904-1968-12070-1/home.html\|journal=Bulletin of the American Mathematical Society\|language=en-US\|volume=74\|issue=6\|pages=1117–1123\|doi=10.1090/S0002-9904-1968-12070-1\|issn=0002-9904\|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book\|last1=Boardman\|first1=J. M.\|author-link=Michael Boardman\|last2=Vogt\|first2=R. M.\|date=1973\|title=टोपोलॉजिकल स्पेस पर होमोटॉपी इनवेरिएंट बीजगणितीय संरचनाएं\|series=Lecture Notes in Mathematics\|language=en-gb\|volume=347\|doi=10.1007/bfb0068547\|issn=0075-8434\|isbn=978-3-540-06479-4}}</ref> और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{Cite book\|last=May\|first=J. P.\|author-link=J. Peter May\|date=1972\|title=पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान की ज्यामिति\|series=Lecture Notes in Mathematics\|language=en-gb\|volume=271\|doi=10.1007/bfb0067491\|issn=0075-8434\|isbn=978-3-540-05904-2\|citeseerx=10.1.1.146.3172}}</ref> ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।<ref>{{Cite web\|url=https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf\|title=संचालन, बीजगणित और मॉड्यूल\|last=May\|first=J. Peter\|author-link=J. Peter May\|website=math.uchicago.edu\|page=2\|access-date=28 September 2018}}</ref> 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब [[मैक्सिम कोंटेसेविच]], [[विक्टर गिन्ज़बर्ग]] और [[मिखाइल कापरानोव]] की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद [[द्वैत (गणित)\|(गणित)]] घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal\|last1=Ginzburg\|first1=Victor\|author-link=Victor Ginzburg\|last2=Kapranov\|first2=Mikhail\|date=1994\|title=ओपेरा के लिए द्वंद्व शर्ट\|url=https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286744\|journal=Duke Mathematical Journal\|language=en\|volume=76\|issue=1\|pages=203–272\|doi=10.1215/S0012-7094-94-07608-4\|issn=0012-7094\|mr=1301191\|zbl=0855.18006\|s2cid=115166937\|via=[[Project Euclid]]}}</ref><ref>{{Cite web\|url=http://www.numdam.org/item/SB_1994-1995__37__47_0\|title=La renaissance des opérades\|last=Loday\|first=Jean-Louis\|author-link=Jean-Louis Loday\|year=1996\|website=www.numdam.org\|series=[[Séminaire Nicolas Bourbaki]]\|language=en\|mr=1423619\|zbl=0866.18007\|access-date=27 September 2018}}</ref> इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे [[जहर कई गुना]] के [[विरूपण परिमाणीकरण]] में, डेलिग्ने अनुमान,<ref name="Deligne">{{cite arXiv\|last1=Kontsevich\|first1=Maxim\|last2=Soibelman\|first2=Yan\|date=26 January 2000\|title=ऑपरेड्स और डेलिग्ने के अनुमान पर बीजगणित की विकृति\|eprint=math/0001151}}</ref> या मैक्सिम कोंटसेविच और [[ थॉमस विलवाकर \|थॉमस विलवाकर]] के कार्य में [[ग्राफ (असतत गणित)]] होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

	== ~~अंतर्ज्ञान~~ ==		== अभ्यास ==
	:माना X एक समूह है और <math>n\in\N</math> को परिभाषित करता है		:माना X एक समूह है और <math>n\in\N</math> को परिभाषित करता है
	:और <math>P(n):=\{f:X^n\to X\}</math>,		:और <math>P(n):=\{f:X^n\to X\}</math>,
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	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
			असममित ऑपेराड
	~~=== गैर-सममित संक्रिया ===~~
	असममित ऑपेराड (कभी-कभी क्रमचय के बिना ऑपेराड कहा जाता है, या गैर-<math>\Sigma</math>या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:		असममित ऑपेराड (कभी-कभी क्रमचय के बिना ऑपेराड कहा जाता है, या गैर-<math>\Sigma</math>या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:
	* अनुक्रम <math>(P(n))_{n\in\mathbb{N}}</math> समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं एन-एरी ऑपरेशन ,		* अनुक्रम <math>(P(n))_{n\in\mathbb{N}}</math> समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं एन-एरी ऑपरेशन ,
	* अवयव <math>1</math> में <math>P(1)</math> पहचान कहते हैं,		* अवयव <math>1</math> में <math>P(1)</math> पहचान कहते हैं,
	* सभी धन पूर्णांक के लिए <math>n</math>, <math display="inline">k_1,\ldots,k_n</math>, संघटन फलन		* सभी धन पूर्णांक के लिए <math>n</math>, <math display="inline">k_1,\ldots,k_n</math>, संघटन फलन

	:<math>		:<math>
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	उपरोक्त अर्थ में ऑपेराड को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। समूह जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ चलता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R मोनाड को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल है \| फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित समूह को समूह एक्स भेजता है जो <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न होता है।		उपरोक्त अर्थ में ऑपेराड को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। समूह जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ चलता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R मोनाड को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल है \| फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित समूह को समूह एक्स भेजता है जो <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न होता है।

	== ~~स्वयंसिद्धों~~ को समझना ==		== अभिगृहित को समझना ==

	=== साहचर्य ~~स्वयंसिद्ध~~ ===		=== साहचर्य अभिगृहित ===

	साहचर्य का अर्थ है कि ऑपेराड का संयोजन साहचर्य है (कार्यक्रम <math>\circ</math> साहचर्य है), श्रेणी सिद्धांत में ~~स्वयंसिद्ध~~ के अनुरूप है <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h</math>; इसका अर्थ यह नहीं है कि ऑपेराड स्वयं ऑपेराड के रूप में साहचर्य हैं। नीचे साहचर्य ऑपेराड के साथ तुलना करें।		साहचर्य का अर्थ है कि ऑपेराड का संयोजन साहचर्य है (कार्यक्रम <math>\circ</math> साहचर्य है), श्रेणी सिद्धांत में अभिगृहित के अनुरूप है <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h</math>; इसका अर्थ यह नहीं है कि ऑपेराड स्वयं ऑपेराड के रूप में साहचर्य हैं। नीचे साहचर्य ऑपेराड के साथ तुलना करें।

	ऑपेराड सिद्धांत में सहयोगीता का अर्थ है कि व्यंजक [[अभिव्यक्ति (गणित)\|(गणित)]] को छोड़े गए रचनाओं से अस्पष्टता के बिना संचालन सम्मिलित किया जा सकता है, जैसे संचालन के लिए सहयोगीता प्रोडक्ट्स को छोड़े गए कोष्ठकों से अस्पष्टता के बिना लिखे जाने की अनुमति देती है।		ऑपेराड सिद्धांत में सहयोगीता का अर्थ है कि व्यंजक [[अभिव्यक्ति (गणित)\|(गणित)]] को छोड़े गए रचनाओं से अस्पष्टता के बिना संचालन सम्मिलित किया जा सकता है, जैसे संचालन के लिए सहयोगीता प्रोडक्ट्स को छोड़े गए कोष्ठकों से अस्पष्टता के बिना लिखे जाने की अनुमति देती है।
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	[[File:OperadTreeCompose5.svg\|रचना के बाद वृक्ष]]साहचर्य का यह है कि ये एक ही परिणाम देते हैं, और इस प्रकार यह व्यंजक <math>(((ab)c)d)</math> असंदिग्ध है।		[[File:OperadTreeCompose5.svg\|रचना के बाद वृक्ष]]साहचर्य का यह है कि ये एक ही परिणाम देते हैं, और इस प्रकार यह व्यंजक <math>(((ab)c)d)</math> असंदिग्ध है।

	=== पहचान ~~स्वयंसिद्ध~~ ===		=== पहचान अभिगृहित ===
	पहचान ~~स्वयंसिद्ध~~ (बाइनरी ऑपरेशन के लिए) एक पेड़ में कल्पना की जा सकती है:		पहचान अभिगृहित (बाइनरी ऑपरेशन के लिए) एक पेड़ में कल्पना की जा सकती है:

	[[Image:OperadIdentityAxiom.svg\|एक ओपेरा में पहचान का स्वयंसिद्ध]]जिसका अर्थ है कि प्राप्त तीन ऑपरेशन समान हैं: पहचान के साथ पूर्व या बाद की रचना से अंतर नहीं पड़ता है। श्रेणियों के लिए, <math>1 \circ 1 = 1</math> पहचान ~~स्वयंसिद्ध~~ का परिणाम है।		[[Image:OperadIdentityAxiom.svg\|एक ओपेरा में पहचान का स्वयंसिद्ध]]जिसका अर्थ है कि प्राप्त तीन ऑपरेशन समान हैं: पहचान के साथ पूर्व या बाद की रचना से अंतर नहीं पड़ता है। श्रेणियों के लिए, <math>1 \circ 1 = 1</math> पहचान अभिगृहित का परिणाम है।

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==

alpha>Shivanidubey at 19:56, 8 March 2023

2023-03-08T19:56:43Z

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	(\thetat)\circ(\theta_{t(1)},\ldots,\theta_{t(n)}) = (\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))t'		(\thetat)\circ(\theta_{t(1)},\ldots,\theta_{t(n)}) = (\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))t'
	</math>		</math>
	::(जहाँ <math>t'</math> दाहिने पक्ष की ओर के अवयव को संदर्भित करता है <math>S_{k_1+\dots+k_n}</math>जो समूह पर कार्य करता है <math>\{1, 2, \dots , k_1+\dots +k_n\}</math> इसे तोड़कर एन ब्लॉक, आकार का पहला <math>k_1</math>, आकार का दूसरा <math>k_2</math>, के माध्यम से एनवें आकार का ब्लॉक <math>k_n</math>, और फिर इन्हें परमिट करता है एन द्वारा ब्लॉक करता है टी , प्रत्येक ब्लॉक को जोड़े रखते) \|		::(जहाँ <math>t'</math> दाहिने पक्ष की ओर के अवयव को संदर्भित करता है <math>S_{k_1+\dots+k_n}</math>जो समूह पर कार्य करता है <math>\{1, 2, \dots , k_1+\dots +k_n\}</math> इसे तोड़कर एन ब्लॉक, आकार का पहला <math>k_1</math>, आकार का दूसरा <math>k_2</math>, के माध्यम से एनवें आकार का ब्लॉक <math>k_n</math>, और फिर इन्हें परमिट करता है एन द्वारा ब्लॉक करता है टी , प्रत्येक ब्लॉक को जोड़े रखते) हैं \|
	: और दिया एन क्रमचय <math>s_i \in S_{k_i}</math>,		: और दिया एन क्रमचय <math>s_i \in S_{k_i}</math>,
	::<math>		::<math>
Line 122:		Line 122:
	पहचान स्वयंसिद्ध (बाइनरी ऑपरेशन के लिए) एक पेड़ में कल्पना की जा सकती है:		पहचान स्वयंसिद्ध (बाइनरी ऑपरेशन के लिए) एक पेड़ में कल्पना की जा सकती है:

	[[Image:OperadIdentityAxiom.svg\|एक ओपेरा में पहचान का स्वयंसिद्ध]]जिसका अर्थ है कि प्राप्त तीन ऑपरेशन समान हैं: पहचान के साथ पूर्व या बाद की रचना से ~~कोई फर्क~~ नहीं ~~पड़ता।~~ श्रेणियों के लिए, <math>1 \circ 1 = 1</math> पहचान स्वयंसिद्ध का एक परिणाम है।		[[Image:OperadIdentityAxiom.svg\|एक ओपेरा में पहचान का स्वयंसिद्ध]]जिसका अर्थ है कि प्राप्त तीन ऑपरेशन समान हैं: पहचान के साथ पूर्व या बाद की रचना से अंतर नहीं पड़ता है। श्रेणियों के लिए, <math>1 \circ 1 = 1</math> पहचान स्वयंसिद्ध का परिणाम है।

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==

alpha>Shivanidubey: /* होमोटॉपी थ्योरी में ऑपरेशंस */

2023-03-08T05:57:15Z

होमोटॉपी थ्योरी में ऑपरेशंस

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	{{expand section\|date=December 2018}}		{{expand section\|date=December 2018}}
	स्टैशेफ़ (2004) में, स्टैशेफ़ लिखते हैं:		स्टैशेफ़ (2004) में, स्टैशेफ़ लिखते हैं:
	:ऑपेराड होमोटॉपी की सही धारणा वाली श्रेणियों में विशेष ~~रूप~~ से महत्वपूर्ण और उपयोगी होते हैं, जहां वे उच्च समरूपता के पदानुक्रम को व्यवस्थित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।		:ऑपेराड होमोटॉपी की सही धारणा वाली श्रेणियों में विशेष प्रकार से महत्वपूर्ण और उपयोगी होते हैं, जहां वे उच्च समरूपता के पदानुक्रम को व्यवस्थित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==

alpha>Shivanidubey: /* थोड़ा कुछ ओपेरा */

2023-03-08T05:49:55Z

थोड़ा कुछ ओपेरा

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alpha>Shivanidubey: /* आकारिकी */

2023-03-08T05:40:03Z

आकारिकी

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