एफ वितरण - Revision history

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	*[http://www.waterlog.info/f-test.htm Free calculator for ''F''-testing]		*[http://www.waterlog.info/f-test.htm Free calculator for ''F''-testing]

	{{DEFAULTSORT:F-distribution}}~~[[Category: निरंतर वितरण]] [[Category: भिन्नता का विश्लेषण]]~~		{{DEFAULTSORT:F-distribution}}

			[[Category:Created On 21/03/2023\|F-distribution]]
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	: <math> X = \frac{S_1/d_1}{S_2/d_2} </math>		: <math> X = \frac{S_1/d_1}{S_2/d_2} </math>
	~~कहाँ~~ <math display=inline>S_1</math> और <math display=inline>S_2</math> स्वतंत्रता <math display="inline">d_1</math>और <math display="inline">d_2</math> की संबंधित डिग्री के साथ [[ची-स्क्वायर वितरण\|ची-वर्ग वितरण]] के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।		जहां <math display=inline>S_1</math> और <math display=inline>S_2</math> स्वतंत्रता <math display="inline">d_1</math>और <math display="inline">d_2</math> की संबंधित डिग्री के साथ [[ची-स्क्वायर वितरण\|ची-वर्ग वितरण]] के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।

	यह अनुसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है कि ''X'' के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है		यह अनुसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है कि ''X'' के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है
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	:<math>\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.</math>		:<math>\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.</math>
	F(''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub>) वितरण का k-वाँ क्षण उपस्थित है और केवल तभी परिमित है जब 2k <d<sub>2</sub> और यह ~~इसके~~ समान है		F(''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub>) वितरण का k-वाँ क्षण उपस्थित है और केवल तभी परिमित है जब 2k <d<sub>2</sub> और यह समान है

	:<math>\mu _X(k) =\left( \frac{d_2}{d_1}\right)^k \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}+k\right) }{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}\right)} \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_2}{2}-k\right) }{\Gamma \left( \tfrac{d_2}{2}\right) }.</math> <ref name=taboga>{{cite web \| last1 = Taboga \| first1 = Marco \| url = http://www.statlect.com/F_distribution.htm \| title = The F distribution}}</ref>		:<math>\mu _X(k) =\left( \frac{d_2}{d_1}\right)^k \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}+k\right) }{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}\right)} \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_2}{2}-k\right) }{\Gamma \left( \tfrac{d_2}{2}\right) }.</math> <ref name=taboga>{{cite web \| last1 = Taboga \| first1 = Marco \| url = http://www.statlect.com/F_distribution.htm \| title = The F distribution}}</ref>
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	== अभिलक्षण ==		== अभिलक्षण ==
	प्राचल <math>d_1</math> और <math>d_2</math> के साथ एफ-वितरण का एक [[यादृच्छिक चर]] दो उचित रूप से स्केल किए गए ची-वर्ग वितरण के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:<ref>M.H. DeGroot (1986), ''Probability and Statistics'' (2nd Ed), Addison-Wesley. {{ISBN\|0-201-11366-X}}, p. 500</ref>		प्राचल <math>d_1</math> और <math>d_2</math> के साथ एफ-वितरण का एक [[यादृच्छिक चर]] दो उचित रूप से स्केल किए गए ची-वर्ग वितरण के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:<ref>M.H. DeGroot (1986), ''Probability and Statistics'' (2nd Ed), Addison-Wesley. {{ISBN\|0-201-11366-X}}, p. 500</ref>
	:<math>X = \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}</math>		:<math>X = \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}</math>
	जहाँ		जहाँ
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	[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक स्केल किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता <math>p(s_1^2/s_2^2 \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math> देता है, स्वयं एफ-वितरण के साथ, बिना किसी स्केलिंग के, जहां <math>\sigma_1^2</math> को <math>\sigma_2^2</math> के समान लिया जा रहा है। यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे सामान्यतः पर एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच की जाती है कि क्या उनका अनुपात शून्य परिकल्पना के साथ महत्वपूर्ण रूप से असंगत है।		[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक स्केल किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता <math>p(s_1^2/s_2^2 \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math> देता है, स्वयं एफ-वितरण के साथ, बिना किसी स्केलिंग के, जहां <math>\sigma_1^2</math> को <math>\sigma_2^2</math> के समान लिया जा रहा है। यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे सामान्यतः पर एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच की जाती है कि क्या उनका अनुपात शून्य परिकल्पना के साथ महत्वपूर्ण रूप से असंगत है।

	यदि <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math> की पूर्वप्रायिकताएं के लिए एक असूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक जेफरीस पूर्व लिया जाता है, तो मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण होता है।<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक स्केल किया गया एफ-वितरण इस प्रकार पश्च प्रायिकता <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid s^2_1, s^2_2)</math> देता है, जहां देखे गए योग <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> अब ज्ञात के रूप में लिया जाता है।		यदि <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math> की पूर्वप्रायिकताएं के लिए एक असूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक जेफरीस पूर्व लिया जाता है, तो मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण होता है।<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक स्केल किया गया एफ-वितरण इस प्रकार पश्च प्रायिकता <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid s^2_1, s^2_2)</math> देता है, जहां देखे गए योग <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> को ज्ञात के रूप में लिया जाता है।

	== गुण और संबंधित वितरण ==		== गुण और संबंधित वितरण ==

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{{Short description|Continuous probability distribution}}
{{About|the central F-distribution|the generalized distribution|noncentral F-distribution|other uses|F-ratio (disambiguation){{!}}F-ratio}}
{{distinguish|text=[[F-statistics|''F''-statistics]] as used in [[population genetics]]}}
{{DISPLAYTITLE:''F''-distribution}}
{{Probability distribution
| name = Fisher–Snedecor
| type = density
| pdf_image = [[Image:F-distribution pdf.svg|325px]]|
| cdf_image = [[Image:F_dist_cdf.svg|325px]]|
| parameters = ''d''1, ''d''2 > 0 deg. of freedom|
| support = <math>x \in (0, +\infty)\;</math> if <math>d_1 = 1</math>, otherwise <math>x \in [0, +\infty)\;</math> |
| pdf = <math>\frac{\sqrt{\frac{(d_1 x)^{d_1} d_2^{d_2}}{(d_1 x+d_2)^{d_1+d_2}}}}{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!</math>
| cdf = <math>I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}} \left(\tfrac{d_1}{2}, \tfrac{d_2}{2} \right)</math>
| mean = <math>\frac{d_2}{d_2-2}\!</math> for ''d''2 > 2
| median =
| mode = <math>\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}</math> for ''d''1 > 2
| variance = <math>\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math> for ''d''2 > 4
| skewness = <math>\frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!</math> for ''d''2 > 6
| kurtosis = ''see text''
| entropy = <math>\ln \Gamma \left(\tfrac{d_1}{2} \right) + \ln \Gamma \left(\tfrac{d_2}{2} \right) - \ln \Gamma \left(\tfrac{d_1+d_2}{2} \right) + \!</math> <math>\left(1-\tfrac{d_1}{2} \right) \psi \left(1+\tfrac{d_1}{2} \right) - \left(1+\tfrac{d_2}{2} \right) \psi \left(1+\tfrac{d_2}{2} \right) \!</math> <math> + \left(\tfrac{d_1 + d_2}{2} \right) \psi \left(\tfrac{d_1 + d_2}{2} \right) + \ln \frac{d_1}{d_2} \!</math><ref name=lazo1978entropy>{{Cite journal|last1=Lazo |first1=A.V. |last2=Rathie |first2=P. |title=On the entropy of continuous probability distributions |journal=IEEE Transactions on Information Theory |volume=24 |number=1 |pages=120–122 |year=1978 |publisher=IEEE |doi=10.1109/tit.1978.1055832}}</ref>
| mgf = ''does not exist, raw moments defined in text and in <ref name=johnson /><ref name=abramowitz />''
| char = ''see text''
}}

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, ''एफ''-वितरण या एफ-अनुपात, जिसे स्नेडेकोर के ''एफ'' वितरण या फिशर-स्नेडेकोर वितरण ([[रोनाल्ड फिशर]] और जॉर्ज डब्ल्यू. स्नेडेकोर के बाद) के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत संभावना वितरण है। जो परीक्षण आंकड़ों के [[अशक्त वितरण]] के रूप में अक्सर उत्पन्न होता है, विशेष रूप से विचरण (ANOVA) और अन्य F-परीक्षण|''F''-परीक्षणों के विश्लेषण में।<ref name=johnson>{{cite book | last = Johnson
| first = Norman Lloyd
|author2=Samuel Kotz |author3=N. Balakrishnan
| title = Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27)
| publisher = Wiley
| year = 1995
| isbn = 0-471-58494-0}}</ref><ref name=abramowitz>{{Abramowitz_Stegun_ref|26|946}}</ref><ref>NIST (2006). [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3665.htm Engineering Statistics Handbook – F Distribution]</ref><ref>{{cite book | last = Mood
| first = Alexander
|author2=Franklin A. Graybill |author3=Duane C. Boes
| title = सांख्यिकी के सिद्धांत का परिचय|edition=Third |pages=246–249
| publisher = McGraw-Hill
| year = 1974
| isbn = 0-07-042864-6}}</ref>

== परिभाषा ==

डी के साथ एफ-वितरण1 और डी2 स्वतंत्रता की डिग्री का वितरण है

: <math> X = \frac{S_1/d_1}{S_2/d_2} </math>
कहाँ <math display=inline>S_1</math> और <math display=inline>S_2</math> स्वतंत्रता की संबंधित डिग्री के साथ [[ची-स्क्वायर वितरण]] के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं <math display=inline>d_1</math> और <math display=inline>d_2</math>.

यह अनुसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है कि एक्स के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है

: <math>
\begin{align}
f(x; d_1,d_2) &= \frac{\sqrt{\frac{(d_1x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\operatorname{B}\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \\[5pt]
&=\frac{1}{\operatorname{B}\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{d_1/2} x^{d_1/2 - 1} \left(1+\frac{d_1}{d_2} \, x \right)^{-(d_1+d_2)/2}
\end{align}
</math>
[[वास्तविक संख्या]] x > 0 के लिए यहाँ <math>\mathrm{B}</math> बीटा कार्य है। कई अनुप्रयोगों में, पैरामीटर डी1 और डी2 [[सकारात्मक पूर्णांक]] हैं, लेकिन इन मापदंडों के सकारात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए वितरण अच्छी तरह से परिभाषित है।

संचयी वितरण समारोह है

:<math>F(x; d_1,d_2)=I_{d_1 x/(d_1 x + d_2)}\left (\tfrac{d_1}{2}, \tfrac{d_2}{2} \right) ,</math>
जहां I [[नियमित अधूरा बीटा फ़ंक्शन]] है।

F(d) के बारे में अपेक्षा, विचरण और अन्य विवरण1, डी2) साइडबॉक्स में दिए गए हैं; घ के लिए2> 8, अतिरिक्त ककुदता है

:<math>\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.</math>
एफ का के-वें पल (डी1, डी2) वितरण मौजूद है और केवल तभी परिमित है जब 2k <d2 और यह बराबर है

:<math>\mu _X(k) =\left( \frac{d_2}{d_1}\right)^k \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}+k\right) }{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}\right)} \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_2}{2}-k\right) }{\Gamma \left( \tfrac{d_2}{2}\right) }.</math> <ref name=taboga>{{cite web | last1 = Taboga | first1 = Marco | url = http://www.statlect.com/F_distribution.htm | title = The F distribution}}</ref>
एफ-डिस्ट्रीब्यूशन [[बीटा प्राइम वितरण]] का एक विशेष पैरामीट्रिजेशन है, जिसे दूसरी तरह का बीटा डिस्ट्रीब्यूशन भी कहा जाता है।

विशेषता फ़ंक्शन (संभाव्यता सिद्धांत) को कई मानक संदर्भों में गलत तरीके से सूचीबद्ध किया गया है (उदाहरण के लिए,<ref name=abramowitz />). सही अभिव्यक्ति <ref>Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," ''[[Biometrika]]'', 69: 261–264 {{JSTOR|2335882}}</ref> है

:<math>\varphi^F_{d_1, d_2}(s) = \frac{\Gamma\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{d_2}{2}\right)} U \! \left(\frac{d_1}{2},1-\frac{d_2}{2},-\frac{d_2}{d_1} \imath s \right)</math>
जहां U(a, b, z) दूसरी तरह का [[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह]] है।

== लक्षण वर्णन ==
मापदंडों के साथ एफ-वितरण का एक [[यादृच्छिक चर]] <math>d_1</math> और <math>d_2</math> दो उचित रूप से स्केल किए गए ची-स्क्वायर वितरण | ची-स्क्वेर्ड वेरिएट्स के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:<ref>M.H. DeGroot (1986), ''Probability and Statistics'' (2nd Ed), Addison-Wesley. {{ISBN|0-201-11366-X}}, p. 500</ref>
:<math>X = \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}</math>
कहाँ

*<math>U_1</math> और <math>U_2</math> के साथ ची-वर्ग वितरण है <math>d_1</math> और <math>d_2</math> [[स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी)]], और
*<math>U_1</math> और <math>U_2</math> [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] हैं।

ऐसे उदाहरणों में जहां एफ-वितरण का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए विचरण के विश्लेषण में, की स्वतंत्रता <math>U_1</math> और <math>U_2</math> कोचरन के प्रमेय को लागू करके प्रदर्शित किया जा सकता है।

समतुल्य रूप से, F-बंटन का यादृच्छिक चर भी लिखा जा सकता है

:<math>X = \frac{s_1^2}{\sigma_1^2} \div \frac{s_2^2}{\sigma_2^2},</math>
कहाँ <math>s_1^2 = \frac{S_1^2}{d_1}</math> और <math>s_2^2 = \frac{S_2^2}{d_2}</math>, <math>S_1^2</math> के वर्गों का योग है <math>d_1</math> सामान्य वितरण से यादृच्छिक चर <math>N(0,\sigma_1^2)</math> और <math>S_2^2</math> के वर्गों का योग है <math>d_2</math> सामान्य वितरण से यादृच्छिक चर <math>N(0,\sigma_2^2)</math>.
{{discuss|Inconsistent.2C_or_at_least_confusing.2C_representation_in_terms_of_normal_variables}}{{citation needed|date=March 2014}}

[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक स्केल किया हुआ F-वितरण इसलिए प्रायिकता देता है <math>p(s_1^2/s_2^2 \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math>, एफ-वितरण के साथ, बिना किसी स्केलिंग के, जहां आवेदन करना <math>\sigma_1^2</math> के बराबर लिया जा रहा है <math>\sigma_2^2</math>. यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे आम तौर पर एफ-परीक्षण | एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच यह देखने के लिए की जाती है कि क्या उनका अनुपात इस अशक्त परिकल्पना के साथ काफी असंगत है।

मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण है, यदि पूर्व संभाव्यता के लिए एक गैर-सूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक [[जेफरीस पूर्व]] को लिया जाता है <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math>.<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक स्केल्ड एफ-वितरण इस प्रकार पश्च संभाव्यता देता है <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid s^2_1, s^2_2)</math>, जहां मनाया रकम <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> अब ज्ञात के रूप में लिया जाता है।

== {{anchor|Properties}} गुण और संबंधित वितरण ==
*अगर <math>X \sim \chi^2_{d_1}</math> और <math>Y \sim \chi^2_{d_2}</math> (ची चुकता वितरण) [[स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत)]] हैं, तो <math> \frac{X / d_1}{Y / d_2} \sim \mathrm{F}(d_1, d_2)</math>
*अगर <math>X_k \sim \Gamma(\alpha_k,\beta_k)\,</math> ([[गामा वितरण]]) तब स्वतंत्र हैं <math> \frac{\alpha_2\beta_1 X_1}{\alpha_1\beta_2 X_2} \sim \mathrm{F}(2\alpha_1, 2\alpha_2)</math>
*अगर <math>X \sim \operatorname{Beta}(d_1/2,d_2/2)</math> ([[बीटा वितरण]]) तब <math>\frac{d_2 X}{d_1(1-X)} \sim \operatorname{F}(d_1,d_2)</math>
*समान रूप से, यदि <math>X \sim F(d_1, d_2)</math>, तब <math>\frac{d_1 X/d_2}{1+d_1 X/d_2} \sim \operatorname{Beta}(d_1/2,d_2/2)</math>.
*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math>, तब <math>\frac{d_1}{d_2}X</math> एक बीटा प्राइम वितरण है: <math>\frac{d_1}{d_2}X \sim \operatorname{\beta^\prime}\left(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2}\right)</math>.
*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तब <math>Y = \lim_{d_2 \to \infty} d_1 X</math> ची-वर्ग वितरण है <math>\chi^2_{d_1}</math>
*<math>F(d_1, d_2)</math> स्केल्ड हॉटेलिंग के टी-स्क्वेर्ड वितरण के बराबर है <math>\frac{d_2}{d_1(d_1+d_2-1)} \operatorname{T}^2 (d_1, d_1 +d_2-1) </math>.
*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तब <math>X^{-1} \sim F(d_2, d_1)</math>.
*अगर <math>X\sim t_{(n)}</math> — छात्र का टी-वितरण — फिर: <math display="block">\begin{align}
X^{2} &\sim \operatorname{F}(1, n) \\
X^{-2} &\sim \operatorname{F}(n, 1)
\end{align}</math>
*एफ-वितरण टाइप 6 [[पियर्सन वितरण]] का एक विशेष मामला है
*अगर <math>X</math> और <math>Y</math> साथ स्वतंत्र हैं <math>X,Y\sim</math> लाप्लास बंटन|लाप्लास(μ, ख) तब <math display="block"> \frac{|X-\mu|}{|Y-\mu|} \sim \operatorname{F}(2,2) </math>
*अगर <math>X\sim F(n,m)</math> तब <math>\tfrac{\log{X}}{2} \sim \operatorname{FisherZ}(n,m)</math> (फिशर का जेड-वितरण)
*नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन|नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन एफ-डिस्ट्रीब्यूशन को सरल बनाता है अगर <math>\lambda=0</math>.
*डबल नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन| नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन एफ-डिस्ट्रीब्यूशन को सरल बनाता है अगर <math> \lambda_1 = \lambda_2 = 0 </math>
*अगर <math>\operatorname{Q}_X(p)</math> के लिए मात्रात्मक पी है <math>X\sim F(d_1,d_2)</math> और <math>\operatorname{Q}_Y(1-p)</math> परिमाण है <math>1-p</math> के लिए <math>Y\sim F(d_2,d_1)</math>, तब <math display="block">\operatorname{Q}_X(p)=\frac{1}{\operatorname{Q}_Y(1-p)}.</math>
* एफ-वितरण [[अनुपात वितरण]] का एक उदाहरण है

== यह भी देखें ==
{{Colbegin}}
* बीटा प्राइम डिस्ट्रीब्यूशन
* ची-स्क्वायर वितरण
* [[चाउ परीक्षण]]
* गामा वितरण
* होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
* विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण
* [[विशार्ट वितरण]]
* [[संशोधित आधा सामान्य वितरण]]<ref name="Sun, Kong and Pal">{{cite journal |last1=Sun |first1=Jingchao |last2=Kong |first2=Maiying |last3=Pal |first3=Subhadip |title=The Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme |journal=Communications in Statistics - Theory and Methods |date=22 June 2021 |pages=1–23 |doi=10.1080/03610926.2021.1934700 |s2cid=237919587 |url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610926.2021.1934700?journalCode=lsta20 |issn=0361-0926}}</ref> पीडीएफ के साथ <math>(0, \infty)</math> के रूप में दिया जाता है <math> f(x)= \frac{2\beta^{\frac{\alpha}{2}} x^{\alpha-1} \exp(-\beta x^2+ \gamma x )}{\Psi{\left(\frac{\alpha}{2}, \frac{ \gamma}{\sqrt{\beta}}\right)}}</math>, कहाँ <math>\Psi(\alpha,z)={}_1\Psi_1\left(\begin{matrix}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)\\(1,0)\end{matrix};z \right)</math> [[फॉक्स-राइट साई समारोह]] को दर्शाता है।
{{Colend}}

== संदर्भ ==
{{reflist}}

== बाहरी संबंध ==
*[http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3673.htm Table of critical values of the ''F''-distribution]
*[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/f/ Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on ''F''-distribution contains a brief history]
*[http://www.waterlog.info/f-test.htm Free calculator for ''F''-testing]

{{ProbDistributions|continuous-semi-infinite}}

{{DEFAULTSORT:F-distribution}}[[Category: निरंतर वितरण]] [[Category: भिन्नता का विश्लेषण]]

[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 21/03/2023]]

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	*[http://www.waterlog.info/f-test.htm Free calculator for ''F''-testing]		*[http://www.waterlog.info/f-test.htm Free calculator for ''F''-testing]

	{{DEFAULTSORT:F-distribution}}~~[[Category: निरंतर वितरण]] [[Category: भिन्नता का विश्लेषण]]~~		{{DEFAULTSORT:F-distribution}}

			[[Category:Created On 21/03/2023\|F-distribution]]
			[[Category:Lua-based templates\|F-distribution]]
	[[Category: Machine Translated Page]]		[[Category:Machine Translated Page\|F-distribution]]
	[[Category:~~Created On 21/03/2023~~]]		[[Category:Multi-column templates\|F-distribution]]
	[[Category:Vigyan Ready]]		[[Category:Pages using div col with small parameter\|F-distribution]]
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			[[Category:भिन्नता का विश्लेषण\|F-distribution]]

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	}}		}}

	~~संभाव्यता~~ सिद्धांत और सांख्यिकी में, ''एफ''-वितरण या एफ-अनुपात, जिसे स्नेडेकोर के ''एफ'' वितरण या फिशर-स्नेडेकोर वितरण ([[रोनाल्ड फिशर]] और जॉर्ज डब्ल्यू. स्नेडेकोर के बाद) के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है, जो लगातार शून्य वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। एक परीक्षण सांख्यिकी, विशेष रूप से प्रसरण (एनोवा) और अन्य एफ-परीक्षणों के विश्लेषण में है।<ref name=johnson>{{cite book \| last = Johnson		प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, ''एफ''-वितरण या एफ-अनुपात, जिसे स्नेडेकोर के ''एफ'' वितरण या फिशर-स्नेडेकोर वितरण ([[रोनाल्ड फिशर]] और जॉर्ज डब्ल्यू. स्नेडेकोर के बाद) के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है, जो लगातार शून्य वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। एक परीक्षण सांख्यिकी, विशेष रूप से प्रसरण (एनोवा) और अन्य एफ-परीक्षणों के विश्लेषण में है।<ref name=johnson>{{cite book \| last = Johnson
	\| first = Norman Lloyd		\| first = Norman Lloyd
	\|author2=Samuel Kotz \|author3=N. Balakrishnan		\|author2=Samuel Kotz \|author3=N. Balakrishnan
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	\end{align}		\end{align}
	</math>		</math>
	[[वास्तविक संख्या]] x > 0 के लिए यहाँ <math>\mathrm{B}</math> बीटा फलन है। कई अनुप्रयोगों में, ~~प्राचल (~~पैरामीटर) ''d''<sub>1</sub> और ''d''<sub>2</sub> [[सकारात्मक पूर्णांक]] हैं, लेकिन वितरण इन ~~प्राचल~~ के ~~सकारात्मक~~ वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।		[[वास्तविक संख्या]] x > 0 के लिए यहाँ <math>\mathrm{B}</math> बीटा फलन है। कई अनुप्रयोगों में, पैरामीटर ''d''<sub>1</sub> और ''d''<sub>2</sub> [[सकारात्मक पूर्णांक\|धनात्मक पूर्णांक]] हैं, लेकिन वितरण इन पैरामीटर के धनात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।

	संचयी वितरण फलन है		संचयी वितरण फलन है
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	:<math>\varphi^F_{d_1, d_2}(s) = \frac{\Gamma\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{d_2}{2}\right)} U \! \left(\frac{d_1}{2},1-\frac{d_2}{2},-\frac{d_2}{d_1} \imath s \right)</math>		:<math>\varphi^F_{d_1, d_2}(s) = \frac{\Gamma\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{d_2}{2}\right)} U \! \left(\frac{d_1}{2},1-\frac{d_2}{2},-\frac{d_2}{d_1} \imath s \right)</math>
	जहां U(a, b, z) दूसरी तरह का [[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह\|~~संगमी~~ हाइपरज्यामितीय फलन]] है।		जहां U(a, b, z) दूसरी तरह का [[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह\|कोन्फ़्लुएंट हाइपरज्यामितीय फलन]] है।

	== अभिलक्षण ==		== अभिलक्षण ==
	~~प्राचल~~ <math>d_1</math> और <math>d_2</math> के साथ एफ-वितरण का एक [[यादृच्छिक चर]] दो उचित रूप से ~~स्केल~~ किए गए ची-वर्ग वितरण के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:<ref>M.H. DeGroot (1986), ''Probability and Statistics'' (2nd Ed), Addison-Wesley. {{ISBN\|0-201-11366-X}}, p. 500</ref>		पैरामीटर <math>d_1</math> और <math>d_2</math> के साथ एफ-वितरण का एक [[यादृच्छिक चर]] दो उचित रूप से मापक किए गए ची-वर्ग वितरण के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:<ref>M.H. DeGroot (1986), ''Probability and Statistics'' (2nd Ed), Addison-Wesley. {{ISBN\|0-201-11366-X}}, p. 500</ref>
	:<math>X = \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}</math>		:<math>X = \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}</math>
	जहाँ		जहाँ
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	जहाँ <math>s_1^2 = \frac{S_1^2}{d_1}</math> और <math>s_2^2 = \frac{S_2^2}{d_2}</math>, <math>S_1^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_1^2)</math> से <math>d_1</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है और <math>S_2^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_2^2)</math> से <math>d_2</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है।		जहाँ <math>s_1^2 = \frac{S_1^2}{d_1}</math> और <math>s_2^2 = \frac{S_2^2}{d_2}</math>, <math>S_1^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_1^2)</math> से <math>d_1</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है और <math>S_2^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_2^2)</math> से <math>d_2</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है।

	[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक ~~स्केल~~ किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता <math>p(s_1^2/s_2^2 \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math> देता है, स्वयं एफ-वितरण के साथ, बिना किसी ~~स्केलिंग~~ के, जहां <math>\sigma_1^2</math> को <math>\sigma_2^2</math> के समान लिया जा रहा है। यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे सामान्यतः पर एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच की जाती है कि क्या उनका अनुपात शून्य परिकल्पना के साथ महत्वपूर्ण रूप से असंगत है।		[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक मापक किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता <math>p(s_1^2/s_2^2 \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math> देता है, स्वयं एफ-वितरण के साथ, बिना किसी मापक के, जहां <math>\sigma_1^2</math> को <math>\sigma_2^2</math> के समान लिया जा रहा है। यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे सामान्यतः पर एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच की जाती है कि क्या उनका अनुपात शून्य परिकल्पना के साथ महत्वपूर्ण रूप से असंगत है।

	यदि <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math> की पूर्वप्रायिकताएं के लिए एक असूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक जेफरीस पूर्व लिया जाता है, तो मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण होता है।<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक ~~स्केल~~ किया गया एफ-वितरण इस प्रकार पश्च प्रायिकता <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid s^2_1, s^2_2)</math> देता है, जहां देखे गए योग <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> को ज्ञात के रूप में लिया जाता है।		यदि <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math> की पूर्वप्रायिकताएं के लिए एक असूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक जेफरीस पूर्व लिया जाता है, तो मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण होता है।<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक मापक किया गया एफ-वितरण इस प्रकार पश्च प्रायिकता <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid s^2_1, s^2_2)</math> देता है, जहां देखे गए योग <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> को ज्ञात के रूप में लिया जाता है।

	== गुण और संबंधित वितरण ==		== गुण और संबंधित वितरण ==
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	*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math>, तो <math>\frac{d_1}{d_2}X</math> एक बीटा मुख्य वितरण है: <math>\frac{d_1}{d_2}X \sim \operatorname{\beta^\prime}\left(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2}\right)</math>		*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math>, तो <math>\frac{d_1}{d_2}X</math> एक बीटा मुख्य वितरण है: <math>\frac{d_1}{d_2}X \sim \operatorname{\beta^\prime}\left(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2}\right)</math>
	*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तो <math>Y = \lim_{d_2 \to \infty} d_1 X</math> ची-वर्ग वितरण <math>\chi^2_{d_1}</math> है।		*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तो <math>Y = \lim_{d_2 \to \infty} d_1 X</math> ची-वर्ग वितरण <math>\chi^2_{d_1}</math> है।
	*<math>F(d_1, d_2)</math> ~~स्केल~~ किए गए हॉटेलिंग के टी-वर्ग वितरण <math>\frac{d_2}{d_1(d_1+d_2-1)} \operatorname{T}^2 (d_1, d_1 +d_2-1) </math> के समतुल्य है।		*<math>F(d_1, d_2)</math> मापक किए गए हॉटेलिंग के टी-वर्ग वितरण <math>\frac{d_2}{d_1(d_1+d_2-1)} \operatorname{T}^2 (d_1, d_1 +d_2-1) </math> के समतुल्य है।
	*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तो <math>X^{-1} \sim F(d_2, d_1)</math>		*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तो <math>X^{-1} \sim F(d_2, d_1)</math>
	*अगर <math>X\sim t_{(n)}</math> — छात्र का टी-वितरण — तब: <math display="block">\begin{align}		*अगर <math>X\sim t_{(n)}</math> — छात्र का टी-वितरण — तब: <math display="block">\begin{align}
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	*अगर <math>X</math> और <math>Y</math> स्वतंत्र हैं, तो <math>X,Y\sim</math> [[Laplace(μ, b)]] के साथ <math display="block"> \frac{\|X-\mu\|}{\|Y-\mu\|} \sim \operatorname{F}(2,2) </math>		*अगर <math>X</math> और <math>Y</math> स्वतंत्र हैं, तो <math>X,Y\sim</math> [[Laplace(μ, b)]] के साथ <math display="block"> \frac{\|X-\mu\|}{\|Y-\mu\|} \sim \operatorname{F}(2,2) </math>
	*अगर <math>X\sim F(n,m)</math> तो <math>\tfrac{\log{X}}{2} \sim \operatorname{FisherZ}(n,m)</math> (फिशर का जेड-वितरण)		*अगर <math>X\sim F(n,m)</math> तो <math>\tfrac{\log{X}}{2} \sim \operatorname{FisherZ}(n,m)</math> (फिशर का जेड-वितरण)
	*~~अकेंद्रीय~~ एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math>\lambda=0</math>		*गैर केंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math>\lambda=0</math>
	*दोगुना ~~अकेंद्रीय~~ एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math> \lambda_1 = \lambda_2 = 0 </math>		*दोगुना गैर केंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math> \lambda_1 = \lambda_2 = 0 </math>
	*अगर <math>\operatorname{Q}_X(p)</math> <math>X\sim F(d_1,d_2)</math> के लिए विभाजक ''p'' है और <math>\operatorname{Q}_Y(1-p)</math> <math>Y\sim F(d_2,d_1)</math> के लिए विभाजक <math>1-p</math> है, तो <math display="block">\operatorname{Q}_X(p)=\frac{1}{\operatorname{Q}_Y(1-p)}</math>		*अगर <math>\operatorname{Q}_X(p)</math> <math>X\sim F(d_1,d_2)</math> के लिए विभाजक ''p'' है और <math>\operatorname{Q}_Y(1-p)</math> <math>Y\sim F(d_2,d_1)</math> के लिए विभाजक <math>1-p</math> है, तो <math display="block">\operatorname{Q}_X(p)=\frac{1}{\operatorname{Q}_Y(1-p)}</math>
	* एफ-वितरण [[अनुपात वितरण]] का एक उदाहरण है		* एफ-वितरण [[अनुपात वितरण]] का एक उदाहरण है

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	{{Short description\|Continuous probability distribution}}		{{Short description\|Continuous probability distribution}}
	{{About\|केंद्रीय एफ-वितरण\|सामान्यीकृत वितरण\|अकेंद्रीय एफ-वितरण\|अन्य उपयोग\|एफ-अनुपात (disambiguation){{!}}F-ratio}}
	~~{{distinguish\|text=[[एफ-सांख्यिकी\|''एफ''-सांख्यिकी]] as used in [[जनसंख्या आनुवंशिकी]]}}~~
	{{DISPLAYTITLE:''F''-distribution}}		{{DISPLAYTITLE:''F''-distribution}}
	{{Probability distribution		{{Probability distribution
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	F(''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub>) वितरण का k-वाँ क्षण उपस्थित है और केवल तभी परिमित है जब 2k <d<sub>2</sub> और यह समान है		F(''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub>) वितरण का k-वाँ क्षण उपस्थित है और केवल तभी परिमित है जब 2k <d<sub>2</sub> और यह समान है

	:<math>\mu _X(k) =\left( \frac{d_2}{d_1}\right)^k \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}+k\right) }{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}\right)} \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_2}{2}-k\right) }{\Gamma \left( \tfrac{d_2}{2}\right) }.</math> <ref name=taboga>{{cite web \| last1 = Taboga \| first1 = Marco \| url = http://www.statlect.com/F_distribution.htm \| title = The F distribution}}</ref>		:<math>\mu _X(k) =\left( \frac{d_2}{d_1}\right)^k \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}+k\right) }{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}\right)} \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_2}{2}-k\right) }{\Gamma \left( \tfrac{d_2}{2}\right) }.</math> <ref name=taboga>{{cite web \| last1 = Taboga \| first1 = Marco \| url = http://www.statlect.com/F_distribution.htm \| title = The F distribution}}</ref>
	एफ-वितरण [[बीटा प्राइम वितरण\|बीटा प्रमुख वितरण]] का एक विशेष प्राचलीकरण है, जिसे दूसरी तरह का बीटा वितरण भी कहा जाता है।		एफ-वितरण [[बीटा प्राइम वितरण\|बीटा प्रमुख वितरण]] का एक विशेष प्राचलीकरण है, जिसे दूसरी तरह का बीटा वितरण भी कहा जाता है।

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	जहाँ <math>s_1^2 = \frac{S_1^2}{d_1}</math> और <math>s_2^2 = \frac{S_2^2}{d_2}</math>, <math>S_1^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_1^2)</math> से <math>d_1</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है और <math>S_2^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_2^2)</math> से <math>d_2</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है।		जहाँ <math>s_1^2 = \frac{S_1^2}{d_1}</math> और <math>s_2^2 = \frac{S_2^2}{d_2}</math>, <math>S_1^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_1^2)</math> से <math>d_1</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है और <math>S_2^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_2^2)</math> से <math>d_2</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है।

	[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक स्केल किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता <math>p(s_1^2/s_2^2 \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math> देता है, स्वयं एफ-वितरण के साथ, बिना किसी स्केलिंग के, जहां <math>\sigma_1^2</math> को <math>\sigma_2^2</math> के समान लिया जा रहा है। यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे सामान्यतः पर एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच की जाती है कि क्या उनका अनुपात शून्य परिकल्पना के साथ महत्वपूर्ण रूप से असंगत है।		[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक स्केल किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता <math>p(s_1^2/s_2^2 \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math> देता है, स्वयं एफ-वितरण के साथ, बिना किसी स्केलिंग के, जहां <math>\sigma_1^2</math> को <math>\sigma_2^2</math> के समान लिया जा रहा है। यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे सामान्यतः पर एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच की जाती है कि क्या उनका अनुपात शून्य परिकल्पना के साथ महत्वपूर्ण रूप से असंगत है।

	यदि <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math> की पूर्वप्रायिकताएं के लिए एक असूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक जेफरीस पूर्व लिया जाता है, तो मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण होता है।<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक स्केल किया गया एफ-वितरण इस प्रकार पश्च प्रायिकता <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid s^2_1, s^2_2)</math> देता है, जहां देखे गए योग <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> को ज्ञात के रूप में लिया जाता है।		यदि <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math> की पूर्वप्रायिकताएं के लिए एक असूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक जेफरीस पूर्व लिया जाता है, तो मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण होता है।<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक स्केल किया गया एफ-वितरण इस प्रकार पश्च प्रायिकता <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid s^2_1, s^2_2)</math> देता है, जहां देखे गए योग <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> को ज्ञात के रूप में लिया जाता है।
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	*अकेंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math>\lambda=0</math>		*अकेंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math>\lambda=0</math>
	*दोगुना अकेंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math> \lambda_1 = \lambda_2 = 0 </math>		*दोगुना अकेंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math> \lambda_1 = \lambda_2 = 0 </math>
	*अगर <math>\operatorname{Q}_X(p)</math> <math>X\sim F(d_1,d_2)</math> के लिए विभाजक ''p'' है और <math>\operatorname{Q}_Y(1-p)</math> <math>Y\sim F(d_2,d_1)</math> के लिए विभाजक <math>1-p</math> है, तो <math display="block">\operatorname{Q}_X(p)=\frac{1}{\operatorname{Q}_Y(1-p)}</math>		*अगर <math>\operatorname{Q}_X(p)</math> <math>X\sim F(d_1,d_2)</math> के लिए विभाजक ''p'' है और <math>\operatorname{Q}_Y(1-p)</math> <math>Y\sim F(d_2,d_1)</math> के लिए विभाजक <math>1-p</math> है, तो <math display="block">\operatorname{Q}_X(p)=\frac{1}{\operatorname{Q}_Y(1-p)}</math>
	* एफ-वितरण [[अनुपात वितरण]] का एक उदाहरण है		* एफ-वितरण [[अनुपात वितरण]] का एक उदाहरण है

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	*[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/f/ Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on ''F''-distribution contains a brief history]		*[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/f/ Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on ''F''-distribution contains a brief history]
	*[http://www.waterlog.info/f-test.htm Free calculator for ''F''-testing]		*[http://www.waterlog.info/f-test.htm Free calculator for ''F''-testing]

	~~{{ProbDistributions\|continuous-semi-infinite}}~~

	{{DEFAULTSORT:F-distribution}}[[Category: निरंतर वितरण]] [[Category: भिन्नता का विश्लेषण]]		{{DEFAULTSORT:F-distribution}}[[Category: निरंतर वितरण]] [[Category: भिन्नता का विश्लेषण]]