एपोटेम - Revision history

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	* [http://www.bymath.com/studyguide/geo/sec/geo15.htm Apothem of pyramid or truncated pyramid]		* [http://www.bymath.com/studyguide/geo/sec/geo15.htm Apothem of pyramid or truncated pyramid]
	* {{cite web \|title=Sagitta, Apothem, and Chord \|last=Pegg \|first=Ed Jr.\|author-link=Ed Pegg, Jr. \|publisher=[[The Wolfram Demonstrations Project]] \|url=http://demonstrations.wolfram.com/SagittaApothemAndChord/}}		* {{cite web \|title=Sagitta, Apothem, and Chord \|last=Pegg \|first=Ed Jr.\|author-link=Ed Pegg, Jr. \|publisher=[[The Wolfram Demonstrations Project]] \|url=http://demonstrations.wolfram.com/SagittaApothemAndChord/}}
	~~[[Category: बहुभुज]]~~

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	{{short description\|Segment from the center of a polygon to the midpoint of one of its sides}}~~''एपोफ्थेगम'' ''(सूक्ति) से भ्रमित न हों।''~~[[Image:Apothem of hexagon.svg\|thumb\|right\|[[षट्भुज]] की अंत:त्रिज्या]]		{{short description\|Segment from the center of a polygon to the midpoint of one of its sides}}[[Image:Apothem of hexagon.svg\|thumb\|right\|[[षट्भुज]] की अंत:त्रिज्या]]
	समभुजकोणीय बहुभुज का अंतःत्रिज्या (कभी-कभी '''ऐपो'''<ref>{{cite web \|last=Shaneyfelt \|first=Ted V. \|title=德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? \|publisher=[[University of Hawaii]] \|location=Hilo, Hawaii \|url=http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html \|access-date=2015-11-08 \|url-status=live \|archive-url=https://web.archive.org/web/20150919053929/http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html \|archive-date=2015-09-19}}</ref>) के रूप में संक्षिप्त रूप में) केंद्र से इसकी एक भुजा के मध्यबिंदु तक एक रेखा खंड होता है। समतुल्य रूप से, यह बहुभुज के केंद्र से खींची गई वह रेखा है जो इसकी एक भुजा पर लम्बवत् होती है। शब्द "एपोथेम" उस रेखा खंड की लंबाई को भी संदर्भित कर सकता है और प्राचीन यूनानी ἀπόθεμα ("दूर रखो, अलग रखो") से आया है, जो ἀπό ("बंद, दूर") और θέμα ("जो कि यथा निर्धारित है"), नीचे लिखी गई एक सामान्य रेखा को दर्शाता है।<ref>{{Cite web\|title=एपोटेम की परिभाषा\|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/apothem\|access-date=2022-02-17\|website=www.merriam-webster.com\|language=en}}</ref> समभुजकोणीय बहुभुज एकमात्र ऐसे बहुभुज होते हैं जिनमें अंत:त्रिज्या होते हैं। इसी कारण, बहुभुज में सभी अंतःत्रिज्याएँ [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] होंगी।		समभुजकोणीय बहुभुज का अंतःत्रिज्या (कभी-कभी '''ऐपो'''<ref>{{cite web \|last=Shaneyfelt \|first=Ted V. \|title=德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? \|publisher=[[University of Hawaii]] \|location=Hilo, Hawaii \|url=http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html \|access-date=2015-11-08 \|url-status=live \|archive-url=https://web.archive.org/web/20150919053929/http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html \|archive-date=2015-09-19}}</ref>) के रूप में संक्षिप्त रूप में) केंद्र से इसकी एक भुजा के मध्यबिंदु तक एक रेखा खंड होता है। समतुल्य रूप से, यह बहुभुज के केंद्र से खींची गई वह रेखा है जो इसकी एक भुजा पर लम्बवत् होती है। शब्द "एपोथेम" उस रेखा खंड की लंबाई को भी संदर्भित कर सकता है और प्राचीन यूनानी ἀπόθεμα ("दूर रखो, अलग रखो") से आया है, जो ἀπό ("बंद, दूर") और θέμα ("जो कि यथा निर्धारित है"), नीचे लिखी गई एक सामान्य रेखा को दर्शाता है।<ref>{{Cite web\|title=एपोटेम की परिभाषा\|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/apothem\|access-date=2022-02-17\|website=www.merriam-webster.com\|language=en}}</ref> समभुजकोणीय बहुभुज एकमात्र ऐसे बहुभुज होते हैं जिनमें अंत:त्रिज्या होते हैं। इसी कारण, बहुभुज में सभी अंतःत्रिज्याएँ [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] होंगी।

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	==बाहरी संबंध==		==बाहरी संबंध==
	~~{{wiktionary}}~~
	* [https://web.archive.org/web/20170303195003/http://mathopenref.com/polygonapothem.html Apothem of a regular polygon] With interactive animation		* [https://web.archive.org/web/20170303195003/http://mathopenref.com/polygonapothem.html Apothem of a regular polygon] With interactive animation
	* [http://www.bymath.com/studyguide/geo/sec/geo15.htm Apothem of pyramid or truncated pyramid]		* [http://www.bymath.com/studyguide/geo/sec/geo15.htm Apothem of pyramid or truncated pyramid]

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{{short description|Segment from the center of a polygon to the midpoint of one of its sides}}
{{confused|Apophthegm}}
[[Image:Apothem of hexagon.svg|thumb|right|एक [[षट्भुज]] का एपोटेम]]
{{regular_polygon_side_count_graph.svg}}
अंतःत्रिज्या (कभी-कभी एपो के रूप में संक्षिप्त रूप में<ref>{{cite web |last=Shaneyfelt |first=Ted V. |title=德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? |publisher=[[University of Hawaii]] |location=Hilo, Hawaii |url=http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html |access-date=2015-11-08 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20150919053929/http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html |archive-date=2015-09-19}}</ref>) एक [[नियमित [[बहुभुज]]]] का केंद्र से उसके एक पक्ष के मध्य बिंदु तक एक रेखा खंड है। समतुल्य रूप से, यह बहुभुज के केंद्र से खींची गई रेखा है जो इसकी एक भुजा पर लंबवत है। अपोथेम शब्द उस रेखा खंड की लंबाई को भी संदर्भित कर सकता है और [[प्राचीन यूनान]]ी ἀπόθεμα (दूर रखो, एक तरफ रख दो), ἀπό (बंद, दूर) और θέμα (जो नीचे रखा गया है) से बना है, जो एक सामान्य रेखा का संकेत देता है। लिखा हुआ।<ref>{{Cite web|title=एपोटेम की परिभाषा|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/apothem|access-date=2022-02-17|website=www.merriam-webster.com|language=en}}</ref> नियमित बहुभुज एकमात्र ऐसे बहुभुज होते हैं जिनमें अपोथेम्स होते हैं। इस वजह से, एक बहुभुज में सभी अंतःत्रिज्याएँ [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] होंगी।

एक नियमित [[पिरामिड (ज्यामिति)]] के लिए, जो एक पिरामिड है जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, अंतःत्रिज्या एक पार्श्व चेहरे की [[तिरछी ऊंचाई]] है; अर्थात्, किसी दिए गए चेहरे पर शीर्ष से आधार तक की सबसे छोटी दूरी। एक छोटे नियमित पिरामिड के लिए (आधार के समानांतर एक समतल (ज्यामिति) द्वारा हटाई गई चोटी के साथ एक नियमित पिरामिड), अंतःत्रिज्या एक [[चतुर्भुज]] पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है।

एक समबाहु त्रिभुज के लिए, अंतःत्रिज्या एक भुजा के मध्य बिंदु से त्रिभुज के केंद्र तक रेखा खंड के बराबर है।{{NoteTag|Equilateral triangles have only one triangle center, which is what makes this definition of the apothem of an equilateral triangle {{nowrap|well-defined}}. For {{nowrap|non-equilateral}} triangles however, there are many {{nowrap|non-coinciding}} notions of triangle center; see [[Triangle center]] for details.}}

== अपोथेम्स के गुण ==
अंतःत्रिज्या a का उपयोग निम्न सूत्र के अनुसार पार्श्व लंबाई s के किसी भी नियमित n-भुजा वाले बहुभुज का [[क्षेत्र]]फल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें यह भी कहा गया है कि क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या के बराबर है जो परिधि के आधे भाग से गुणा किया जाता है क्योंकि ns = p।
:<math>A = \frac{nsa}{2} = \frac{pa}{2}. </math>
यह सूत्र n-पक्षीय बहुभुज को n सर्वांगसमता (ज्यामिति) त्रिभुज#प्रकार के त्रिभुज में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है, और फिर यह ध्यान में रखते हुए कि अंतःत्रिज्या प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई है, और यह कि त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के आधे गुणन के बराबर होता है। ऊंचाई। निम्नलिखित फॉर्मूलेशन सभी समकक्ष हैं:
:<math>A = \tfrac{1}{2}nsa = \tfrac{1}{2}pa = \tfrac{1}{4}ns^2\cot\frac{\pi}{n} = na^2\tan\frac{\pi}{n}</math>
एक नियमित बहुभुज का अंतःत्रिज्या हमेशा खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या होगी। यह बहुभुज के किसी भी भुजा और उसके केंद्र के बीच की न्यूनतम दूरी भी है।

इस संपत्ति का उपयोग किसी वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र को आसानी से प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है, क्योंकि जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल त्रिज्या r = a के उत्कीर्ण वृत्त के क्षेत्र तक पहुँच जाता है।

:<math>A = \frac{pa}{2} = \frac{(2\pi r)r}{2} = \pi r^2</math>

==अंतःकरण का पता लगाना==
एक नियमित बहुभुज के अंतःत्रिज्या को कई तरीकों से पाया जा सकता है।

पार्श्व लंबाई s, या परित्रिज्या R के साथ एक नियमित n-पक्षीय बहुभुज का अंतःत्रिज्या निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

:<math>a = \frac{s}{2\tan\frac{\pi}{n}} = R\cos\frac{\pi}{n}.</math>
एपोटेम भी द्वारा पाया जा सकता है

:<math>a = \frac{s}{2}\tan\frac{\pi(n - 2)}{2n}.</math>
इन सूत्रों का अभी भी उपयोग किया जा सकता है, भले ही केवल परिमाप p और भुजाओं की संख्या n ज्ञात हो क्योंकि s ={{sfrac|''p''|''n''}}.

==टिप्पणियाँ==
{{reflist|group=note}}

== यह भी देखें ==
* नियमित बहुभुज#परित्रिज्या
* सगिट्टा (ज्यामिति)
* तार (त्रिकोणमिति)
* तिरछी ऊंचाई

==संदर्भ==
<references />

==बाहरी संबंध==
{{wiktionary}}
* [https://web.archive.org/web/20170303195003/http://mathopenref.com/polygonapothem.html Apothem of a regular polygon] With interactive animation
* [http://www.bymath.com/studyguide/geo/sec/geo15.htm Apothem of pyramid or truncated pyramid]
* {{cite web |title=Sagitta, Apothem, and Chord |last=Pegg |first=Ed Jr.|author-link=Ed Pegg, Jr. |publisher=[[The Wolfram Demonstrations Project]] |url=http://demonstrations.wolfram.com/SagittaApothemAndChord/}}
[[Category: बहुभुज]]

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