एकल मान - Revision history

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 ==संदर्भ==
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alpha>RaviRanjan at 15:25, 30 July 2023

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	<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>, और <math>i = 1,2, \ldots, \min \{m,n\}</math> के लिए		<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>, और <math>i = 1,2, \ldots, \min \{m,n\}</math> के लिए

	एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय। ~~यहाँ~~ <math>U: \dim(U) = i</math> आयाम <math>i</math>, <math>\mathbb{C}^n</math>का उपस्थान है।		एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय। जहाँ <math>U: \dim(U) = i</math> आयाम <math>i</math>, <math>\mathbb{C}^n</math>का उपस्थान है।

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>\sigma_i(A) = \sigma_i\left(A^\textsf{T}\right) = \sigma_i\left(A^*\right).</math>		:<math>\sigma_i(A) = \sigma_i\left(A^\textsf{T}\right) = \sigma_i\left(A^*\right).</math>
	किसी एकात्मक ~~के लिए~~ <math>U \in \mathbb{C}^{m \times m}, V \in \mathbb{C}^{n \times n}.</math>		किसी एकात्मक <math>U \in \mathbb{C}^{m \times m}, V \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> के लिए,
	:<math>\sigma_i(A) = \sigma_i(UAV).</math>		:<math>\sigma_i(A) = \sigma_i(UAV).</math>
	~~स्वदेशी मूल्यों~~ से संबंध:		आइगेनवैल्यू से संबंध:

	:<math>\sigma_i^2(A) = \lambda_i\left(AA^\right) = \lambda_i\left(A^A\right).</math>		:<math>\sigma_i^2(A) = \lambda_i\left(AA^\right) = \lambda_i\left(A^A\right).</math>
Line 36:		Line 36:
	:<math>\sum_{i=1}^n \sigma_i^2=\text{tr}\ A^\ast A</math>.		:<math>\sum_{i=1}^n \sigma_i^2=\text{tr}\ A^\ast A</math>.

	~~अगर~~ <math>A^\top A</math> पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद है <math>\sqrt{\det A^\top A}</math>.		यदि <math>A^\top A</math> पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद <math>\sqrt{\det A^\top A}</math> है।

	~~अगर~~ <math>A A^\top</math> पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद है <math>\sqrt{\det A A^\top}</math>.		यदि <math>A A^\top</math> पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद <math>\sqrt{\det A A^\top}</math> है।

	~~अगर~~ <math>A</math> पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद है <math>\|\det A\|</math>.		यदि <math>A</math> पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद <math>\|\det A\|</math> है।

	== एकवचन मानों के ~~बारे~~ में असमानताएँ ==		== एकवचन मानों के विषय में असमानताएँ ==
	यह सभी देखें।<ref>[[Roger Horn\|R. A. Horn]] and [[Charles Royal Johnson\|C. R. Johnson]]. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3</ref>		यह सभी देखें।<ref>[[Roger Horn\|R. A. Horn]] and [[Charles Royal Johnson\|C. R. Johnson]]. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3</ref>


	===उप-आव्यूहों का एकवचन मान===		===उप-आव्यूहों का एकवचन मान===

	~~के लिए~~ <math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}.</math>		<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math> के लिए,
	# ~~होने देना~~ <math>B</math> ~~निरूपित~~ <math>A</math> इसकी एक पंक्ति या स्तंभ हटा दिया गया है। तब <math display="block">\sigma_{i+1}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>		# माना कि <math>B</math>, <math>A</math> को निरूपित करता है एवं इसकी एक पंक्ति या स्तंभ हटा दिया गया है। तब <math display="block">\sigma_{i+1}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>
	# ~~होने देना~~ <math>B</math> ~~निरूपित~~ <math>A</math> इसकी एक पंक्ति और स्तंभ हटा दिया गया है। तब <math display="block">\sigma_{i+2}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>		# माना कि <math>B</math>, <math>A</math> को निरूपित करता है एवं इसकी एक पंक्ति और स्तंभ हटा दिया गया है। तब <math display="block">\sigma_{i+2}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>
	# ~~होने देना~~ <math>B</math> एक को ~~निरूपित करें~~ <math>(m-k)\times(n-l)</math> ~~का सबमैट्रिक्स <math>A</math>.~~ तब <math display="block">\sigma_{i+k+l}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>		# माना कि <math>B</math> को <math>A</math> का सबमैट्रिक्स <math>(m-k)\times(n-l)</math> निरूपित करें, तब <math display="block">\sigma_{i+k+l}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>
			===A + B का एकवचन मान===

			<math>A, B \in \mathbb{C}^{m \times n}</math> के लिए
	~~===ए + बी का एकवचन मान===~~

	~~के लिए~~ <math>A, B \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>
	# <math display="block">\sum_{i=1}^{k} \sigma_i(A + B) \leq \sum_{i=1}^{k} (\sigma_i(A) + \sigma_i(B)), \quad k=\min \{m,n\}</math>		# <math display="block">\sum_{i=1}^{k} \sigma_i(A + B) \leq \sum_{i=1}^{k} (\sigma_i(A) + \sigma_i(B)), \quad k=\min \{m,n\}</math>
	# <math display="block">\sigma_{i+j-1}(A + B) \leq \sigma_i(A) + \sigma_j(B). \quad i,j\in\mathbb{N},\ i + j - 1 \leq \min \{m,n\}</math>		# <math display="block">\sigma_{i+j-1}(A + B) \leq \sigma_i(A) + \sigma_j(B). \quad i,j\in\mathbb{N},\ i + j - 1 \leq \min \{m,n\}</math>


	===AB का एकवचन मान===		===AB का एकवचन मान===

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	के लिए <math>A, B \in \mathbb{C}^{m \times n}</math><ref>X. Zhan. Matrix Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28</ref>		के लिए <math>A, B \in \mathbb{C}^{m \times n}</math><ref>X. Zhan. Matrix Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28</ref>
	<math display="block">2 \sigma_i(A B^) \leq \sigma_i \left(A^ A + B^* B\right), \quad i = 1, 2, \ldots, n. </math>		<math display="block">2 \sigma_i(A B^) \leq \sigma_i \left(A^ A + B^* B\right), \quad i = 1, 2, \ldots, n. </math>
			===एकवचन मान और आइगेनवैल्यू===

			<math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. के लिए
			# देखना <ref>R. Bhatia. Matrix Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1</ref> <math display="block">\lambda_i \left(A + A^*\right) \leq 2 \sigma_i(A), \quad i = 1, 2, \ldots, n.</math>
			# मान लीजिए <math>\left\|\lambda_1(A)\right\| \geq \cdots \geq \left\|\lambda_n(A)\right\|</math> इसके पश्चात <math>k = 1, 2, \ldots, n</math> के लिए:
			## मैट्रिक्स सिद्धांत में वेइल की असमानता (वेइल का प्रमेय) <math display="block"> \prod_{i=1}^k \left\|\lambda_i(A)\right\| \leq \prod_{i=1}^{k} \sigma_i(A).</math>
			## <math>p>0</math> के लिए<math display="block"> \sum_{i=1}^k \left\|\lambda_i^p(A)\right\| \leq \sum_{i=1}^{k} \sigma_i^p(A).</math>
			== इतिहास ==
			यह अवधारणा सन1907 में [[एरहार्ड श्मिट]] द्वारा प्रस्तुत की गई थी। श्मिट ने उस समय एकवचन मूल्यों को आइगेनवैल्यू कहा था। एकवचन मान नाम को प्रथम बार सन 1937 में स्मिथीज़ द्वारा उद्धृत किया गया था। सन 1957 में अल्लाह्वरडीव ने nवें s-संख्या के निम्नलिखित लक्षण वर्णन को सिद्ध किया:<ref>[[Israel Gohberg\|I. C. Gohberg]] and [[Mark Krein\|M. G. Krein]]. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.</ref>

	=~~==एकवचन मान और eigenvalues===~~		<math>s_n(T) = \inf\big\{\, \\|T-L\\| : L\text{ is an operator of finite rank }<n \,\big\}.</math>

	~~के लिए <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>.~~		इस सूत्रीकरण ने बैनाच क्षेत्र में ऑपरेटरों के लिए s-नंबरों की धारणा का विस्तार करना संभव बना दिया।
	# देखना<ref>R. Bhatia. Matrix Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1</ref> <math display="block">\lambda_i \left(A + A^*\right) \leq 2 \sigma_i(A), \quad i = 1, 2, \ldots, n.</math>
	~~# मान लीजिए <math>\left\|\lambda_1(A)\right\| \geq \cdots \geq \left\|\lambda_n(A)\right\|</math>. फिर के लिए <math>k = 1, 2, \ldots, n</math>:~~
	## वेइल की असमानता#मैट्रिक्स सिद्धांत में वेइल की असमानता\|वेइल का प्रमेय <math display="block"> \prod_{i=1}^k \left\|\lambda_i(A)\right\| \leq \prod_{i=1}^{k} \sigma_i(A).</math>
	~~## के लिए <math>p>0</math>. <math display="block"> \sum_{i=1}^k \left\|\lambda_i^p(A)\right\| \leq \sum_{i=1}^{k} \sigma_i^p(A).</math>~~


	~~== इतिहास ==~~
	यह अवधारणा 1907 में [[एरहार्ड श्मिट]] द्वारा पेश की गई थी। श्मिट ने उस समय एकवचन मूल्यों को आइगेनवैल्यू कहा था। नाम एकवचन मान को पहली बार 1937 में स्मिथीज़ द्वारा उद्धृत किया गया था। 1957 में, अल्लाह्वरडीव ने nवें s-संख्या के निम्नलिखित लक्षण वर्णन को साबित किया:<ref>[[Israel Gohberg\|I. C. Gohberg]] and [[Mark Krein\|M. G. Krein]]. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.</ref> : <math>s_n(T) = \inf\big\{\, \\|T-L\\| : L\text{ is an operator of finite rank }<n \,\big\}.</math>
	इस सूत्रीकरण ने बैनाच क्षेत्र में ऑपरेटरों के लिए एस-नंबरों की धारणा का विस्तार करना संभव बना दिया।

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==
	*~~शर्त~~ क्रमांक		*स्थिति क्रमांक
	*न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय~~#कॉची इंटरलेसिंग प्रमेय~~ या पोंकारे पृथक्करण प्रमेय		*कॉची इंटरलेसिंग प्रमेय (न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय) या पोंकारे पृथक्करण प्रमेय
	*शूर-हॉर्न प्रमेय		*शूर-हॉर्न प्रमेय
	*~~विलक्षण~~ मान अपघटन		*एकवचन मान अपघटन

	==संदर्भ==		==संदर्भ==

alpha>RaviRanjan at 17:56, 29 July 2023

2023-07-29T17:56:47Z

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	{{Short description\|Square roots of the eigenvalues of the self-adjoint operator}}		{{Short description\|Square roots of the eigenvalues of the self-adjoint operator}}
	गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में~~, एक~~ [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]] ~~के एकल मान, या ''s''-संख्याएँ~~ <math>T: X \rightarrow Y</math> [[हिल्बर्ट स्थान]]~~ों के बीच अभिनय~~ <math>X</math> और <math>Y</math>, स्व-सहायक ऑपरेटर के (आवश्यक रूप से गैर-नकारात्मक) [[eigenvalue]]s के वर्गमूल हैं <math>T^T</math> ~~(कहाँ~~ <math>T^</math> के सहायक संचालक को दर्शाता है ~~<math>T</math>~~).		गणित में विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]] <math>T: X \rightarrow Y</math> के एकल मान या ''s''-संख्याएँ [[हिल्बर्ट स्थान\|हिल्बर्ट स्थानों]] <math>X</math> और <math>Y</math> के मध्य एक्टर स्व-सहायक ऑपरेटर <math>T^T</math> के (आवश्यक रूप से गैर-नकारात्मक) [[eigenvalue]]s के वर्गमूल हैं (जहाँ <math>T^</math>, <math>T</math> के सहायक संचालक को दर्शाता है)।

	एकवचन मान गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं, जिन्हें ~~आमतौर पर~~ घटते क्रम (σ~~) में सूचीबद्ध किया जाता है~~<sub>1</sub>(टी), पी<sub>2</sub>(टी), …)। सबसे बड़ा एकवचन मान σ<sub>1</sub>(टी) टी के [[ऑपरेटर मानदंड]] के बराबर है (~~एकवचन मानों के लिए~~ न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय~~#न्यूनतम-अधिकतम सिद्धांत~~ देखें~~\|न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय~~)।		एकवचन मान गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या\|वास्तविक संख्याएँ]] हैं जिन्हें सामान्य रूप से घटते क्रम (σ<sub>1</sub>(T), σ<sub>2</sub>(T), …) में सूचीबद्ध किया जाता है। सबसे बड़ा एकवचन मान σ<sub>1</sub>(T), T के [[ऑपरेटर मानदंड]] के बराबर है (न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय देखें)।

	[[File:Singular value decomposition.gif\|thumb\|right\|280px\|2-आयामी, वास्तविक :en:शीयर मैपिंग एम के एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) का विज़ुअलाइज़ेशन। सबसे पहले, हम दो [[मानक आधार]]ों के साथ [[यूनिट डिस्क]] को नीले रंग में देखते हैं। फिर हम एम की क्रिया देखते हैं, जो डिस्क को एक दीर्घवृत्त में विकृत कर देती है। एसवीडी एम को तीन सरल परिवर्तनों में विघटित करता है: एक [[रोटेशन मैट्रिक्स]] वी{{sup\|*}}, घुमाए गए समन्वय अक्षों के साथ एक [[स्केलिंग (ज्यामिति)]] Σ और दूसरा घूर्णन यू। Σ एक (वर्ग, इस उदाहरण में) [[विकर्ण मैट्रिक्स]] है जिसमें इसके विकर्ण में एम के एकवचन मान शामिल हैं, जो लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं σ<sub>1</sub> और पी<sub>2</sub> दीर्घवृत्त के#दीर्घवृत्त के तत्व\|दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष।]]यदि T यूक्लिडियन समष्टि ~~पर कार्य करता है~~ <math>\Reals ^n</math>, एकवचन मानों के लिए एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है: ~~छवि पर विचार करें~~ <math>T</math> ~~[[एन-क्षेत्र]] का~~; यह एक दीर्घवृत्ताकार है, और इसके अर्ध-अक्षों की लंबाई ~~एकवचन मान हैं~~ <math>T</math> (आंकड़ा ~~एक उदाहरण प्रदान करता है~~ <math>\Reals^2</math>).		[[File:Singular value decomposition.gif\|thumb\|right\|280px\|2-आयामी, वास्तविक :en:शीयर मैपिंग एम के एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) का विज़ुअलाइज़ेशन। सबसे पहले, हम दो [[मानक आधार]]ों के साथ [[यूनिट डिस्क]] को नीले रंग में देखते हैं। फिर हम एम की क्रिया देखते हैं, जो डिस्क को एक दीर्घवृत्त में विकृत कर देती है। एसवीडी एम को तीन सरल परिवर्तनों में विघटित करता है: एक [[रोटेशन मैट्रिक्स]] वी{{sup\|*}}, घुमाए गए समन्वय अक्षों के साथ एक [[स्केलिंग (ज्यामिति)]] Σ और दूसरा घूर्णन यू। Σ एक (वर्ग, इस उदाहरण में) [[विकर्ण मैट्रिक्स]] है जिसमें इसके विकर्ण में एम के एकवचन मान शामिल हैं, जो लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं σ<sub>1</sub> और पी<sub>2</sub> दीर्घवृत्त के#दीर्घवृत्त के तत्व\|दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष।]]यदि T यूक्लिडियन समष्टि <math>\Reals ^n</math> पर कार्य करता है एवं एकवचन मानों के लिए सरल ज्यामितीय व्याख्या है: इकाई वृत्त की <math>T</math> द्वारा छवि पर विचार करें; यह एक दीर्घवृत्ताकार है और इसके अर्ध-अक्षों की लंबाई, <math>T</math> का एकवचन मान हैं (आंकड़ा <math>\Reals^2</math> में एक उदाहरण प्रदान करता है)।

	एकवचन मान एक [[सामान्य मैट्रिक्स]] ए के [[eigenvalues]] के पूर्ण मान हैं, क्योंकि [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] को एकात्मक विकर्ण प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है <math>A</math> जैसा <math>A = U\Lambda U^</math>~~. इसलिए, {{nowrap\|<math display="inline">\sqrt{A^ A} = \sqrt{U \Lambda^* \Lambda U^} = U \left\| \Lambda \right\| U^</math>.}}~~		एकवचन मान [[सामान्य मैट्रिक्स]] A के [[eigenvalues]] के पूर्ण मान हैं क्योंकि [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] को एकात्मक विकर्ण प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है <math>A</math> जैसा <math>A = U\Lambda U^*</math>

	हिल्बर्ट अंतरिक्ष ऑपरेटरों पर अध्ययन किए गए अधिकांश मानक रैखिक स्थान को एस-संख्याओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, Ky फैन-k-मानदंड पहले k एकवचन मानों का योग है, ट्रेस मानदंड सभी एकवचन मानों का योग है, और स्कैटन मानदंड एकवचन मानों की pth शक्तियों के योग का pth मूल है। ध्यान दें कि प्रत्येक मानदंड केवल ऑपरेटरों के एक विशेष वर्ग पर परिभाषित किया गया है, इसलिए एस-नंबर विभिन्न ऑपरेटरों को वर्गीकृत करने में उपयोगी होते हैं।		इसलिए, {{nowrap\|<math display="inline">\sqrt{A^* A} = \sqrt{U \Lambda^* \Lambda U^} = U \left\| \Lambda \right\| U^</math>.}}

	परिमित-आयामी ~~मामले~~ में~~, एक~~ [[मैट्रिक्स (गणित)]] को हमेशा ~~रूप में विघटित किया जा सकता है~~ <math>\mathbf{U\Sigma V^}</math>~~, कहाँ~~ <math>\mathbf{U}</math> और <math>\mathbf{V^}</math> [[एकात्मक मैट्रिक्स]] हैं और <math>\mathbf{\Sigma}</math> एक [[आयताकार विकर्ण मैट्रिक्स]] है जिसके विकर्ण पर एकवचन मान स्थित हैं। यह ~~विलक्षण~~ मूल्य अपघटन ~~है.~~		हिल्बर्ट स्पेस ऑपरेटरों पर अध्ययन किए गए अधिकांश मानक रैखिक स्थान को s-संख्याओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, Ky फैन-k-मानदंड पहले k एकवचन मानों का योग है, ट्रेस मानदंड सभी एकवचन मानों का योग है और स्कैटन मानदंड एकवचन मानों की pth शक्तियों के योग का pth मूल है। ध्यान दें कि प्रत्येक मानदंड केवल ऑपरेटरों के विशेष वर्ग पर परिभाषित किया गया है इसलिए s-नंबर विभिन्न ऑपरेटरों को वर्गीकृत करने में उपयोगी होते हैं।

			परिमित-आयामी स्थितियों में [[मैट्रिक्स (गणित)]] को हमेशा <math>\mathbf{U\Sigma V^}</math> रूप में विघटित किया जा सकता है जहाँ <math>\mathbf{U}</math> और <math>\mathbf{V^}</math> [[एकात्मक मैट्रिक्स]] हैं और <math>\mathbf{\Sigma}</math> [[आयताकार विकर्ण मैट्रिक्स]] है जिसके विकर्ण पर एकवचन मान स्थित हैं। यह एकवचन मूल्य अपघटन है।

	== मूल गुण ==		== मूल गुण ==

	~~के लिए~~ <math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>, और <math>i = 1,2, \ldots, \min \{m,n\}</math>.		<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>, और <math>i = 1,2, \ldots, \min \{m,n\}</math> के लिए

	~~न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय#एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम सिद्धांत\|~~एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय। यहाँ <math>U: \dim(U) = i</math> ~~का एक उपस्थान है~~ <math>\mathbb{C}^n</math> ~~आयाम~~ का ~~<math>i</math>.~~		एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय। यहाँ <math>U: \dim(U) = i</math> आयाम <math>i</math>, <math>\mathbb{C}^n</math>का उपस्थान है।

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

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{{Short description|Square roots of the eigenvalues of the self-adjoint operator}}
गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, एक [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]] के एकल मान, या ''s''-संख्याएँ <math>T: X \rightarrow Y</math> [[हिल्बर्ट स्थान]]ों के बीच अभिनय <math>X</math> और <math>Y</math>, स्व-सहायक ऑपरेटर के (आवश्यक रूप से गैर-नकारात्मक) [[eigenvalue]]s के वर्गमूल हैं <math>T^*T</math> (कहाँ <math>T^*</math> के सहायक संचालक को दर्शाता है <math>T</math>).

एकवचन मान गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं, जिन्हें आमतौर पर घटते क्रम (σ) में सूचीबद्ध किया जाता है1(टी), पी2(टी), …)। सबसे बड़ा एकवचन मान σ1(टी) टी के [[ऑपरेटर मानदंड]] के बराबर है (एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय#न्यूनतम-अधिकतम सिद्धांत देखें|न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय)।

[[File:Singular value decomposition.gif|thumb|right|280px|2-आयामी, वास्तविक :en:शीयर मैपिंग एम के एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) का विज़ुअलाइज़ेशन। सबसे पहले, हम दो [[मानक आधार]]ों के साथ [[यूनिट डिस्क]] को नीले रंग में देखते हैं। फिर हम एम की क्रिया देखते हैं, जो डिस्क को एक दीर्घवृत्त में विकृत कर देती है। एसवीडी एम को तीन सरल परिवर्तनों में विघटित करता है: एक [[रोटेशन मैट्रिक्स]] वी{{sup|*}}, घुमाए गए समन्वय अक्षों के साथ एक [[स्केलिंग (ज्यामिति)]] Σ और दूसरा घूर्णन यू। Σ एक (वर्ग, इस उदाहरण में) [[विकर्ण मैट्रिक्स]] है जिसमें इसके विकर्ण में एम के एकवचन मान शामिल हैं, जो लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं σ1 और पी2 दीर्घवृत्त के#दीर्घवृत्त के तत्व|दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष।]]यदि T यूक्लिडियन समष्टि पर कार्य करता है <math>\Reals ^n</math>, एकवचन मानों के लिए एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है: छवि पर विचार करें <math>T</math> [[एन-क्षेत्र]] का; यह एक दीर्घवृत्ताकार है, और इसके अर्ध-अक्षों की लंबाई एकवचन मान हैं <math>T</math> (आंकड़ा एक उदाहरण प्रदान करता है <math>\Reals^2</math>).

एकवचन मान एक [[सामान्य मैट्रिक्स]] ए के [[eigenvalues]] के पूर्ण मान हैं, क्योंकि [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] को एकात्मक विकर्ण प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है <math>A</math> जैसा <math>A = U\Lambda U^*</math>. इसलिए, {{nowrap|<math display="inline">\sqrt{A^* A} = \sqrt{U \Lambda^* \Lambda U^*} = U \left| \Lambda \right| U^*</math>.}}

हिल्बर्ट अंतरिक्ष ऑपरेटरों पर अध्ययन किए गए अधिकांश मानक रैखिक स्थान को एस-संख्याओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, Ky फैन-k-मानदंड पहले k एकवचन मानों का योग है, ट्रेस मानदंड सभी एकवचन मानों का योग है, और स्कैटन मानदंड एकवचन मानों की pth शक्तियों के योग का pth मूल है। ध्यान दें कि प्रत्येक मानदंड केवल ऑपरेटरों के एक विशेष वर्ग पर परिभाषित किया गया है, इसलिए एस-नंबर विभिन्न ऑपरेटरों को वर्गीकृत करने में उपयोगी होते हैं।

परिमित-आयामी मामले में, एक [[मैट्रिक्स (गणित)]] को हमेशा रूप में विघटित किया जा सकता है <math>\mathbf{U\Sigma V^*}</math>, कहाँ <math>\mathbf{U}</math> और <math>\mathbf{V^*}</math> [[एकात्मक मैट्रिक्स]] हैं और <math>\mathbf{\Sigma}</math> एक [[आयताकार विकर्ण मैट्रिक्स]] है जिसके विकर्ण पर एकवचन मान स्थित हैं। यह विलक्षण मूल्य अपघटन है.

== मूल गुण ==

के लिए <math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>, और <math>i = 1,2, \ldots, \min \{m,n\}</math>.

न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय#एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम सिद्धांत|एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय। यहाँ <math>U: \dim(U) = i</math> का एक उपस्थान है <math>\mathbb{C}^n</math> आयाम का <math>i</math>.

:<math>\begin{align}
\sigma_i(A) &= \min_{\dim(U)=n-i+1} \max_{\underset{\| x \|_2 = 1}{x \in U}} \left\| Ax \right\|_2. \\
\sigma_i(A) &= \max_{\dim(U)=i} \min_{\underset{\| x \|_2 = 1}{x \in U}} \left\| Ax \right\|_2.
\end{align}</math>
मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ और कंजुगेट एकवचन मानों में परिवर्तन नहीं करते हैं।

:<math>\sigma_i(A) = \sigma_i\left(A^\textsf{T}\right) = \sigma_i\left(A^*\right).</math>
किसी एकात्मक के लिए <math>U \in \mathbb{C}^{m \times m}, V \in \mathbb{C}^{n \times n}.</math>
:<math>\sigma_i(A) = \sigma_i(UAV).</math>
स्वदेशी मूल्यों से संबंध:

:<math>\sigma_i^2(A) = \lambda_i\left(AA^*\right) = \lambda_i\left(A^*A\right).</math>
ट्रेस से संबंध (रैखिक बीजगणित):

:<math>\sum_{i=1}^n \sigma_i^2=\text{tr}\ A^\ast A</math>.

अगर <math>A^\top A</math> पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद है <math>\sqrt{\det A^\top A}</math>.

अगर <math>A A^\top</math> पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद है <math>\sqrt{\det A A^\top}</math>.

अगर <math>A</math> पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद है <math>|\det A|</math>.

== एकवचन मानों के बारे में असमानताएँ ==
यह सभी देखें।<ref>[[Roger Horn|R. A. Horn]] and [[Charles Royal Johnson|C. R. Johnson]]. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3</ref>

===उप-आव्यूहों का एकवचन मान===

के लिए <math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}.</math>
# होने देना <math>B</math> निरूपित <math>A</math> इसकी एक पंक्ति या स्तंभ हटा दिया गया है। तब <math display="block">\sigma_{i+1}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>
# होने देना <math>B</math> निरूपित <math>A</math> इसकी एक पंक्ति और स्तंभ हटा दिया गया है। तब <math display="block">\sigma_{i+2}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>
# होने देना <math>B</math> एक को निरूपित करें <math>(m-k)\times(n-l)</math> का सबमैट्रिक्स <math>A</math>. तब <math display="block">\sigma_{i+k+l}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>

===ए + बी का एकवचन मान===

के लिए <math>A, B \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>
# <math display="block">\sum_{i=1}^{k} \sigma_i(A + B) \leq \sum_{i=1}^{k} (\sigma_i(A) + \sigma_i(B)), \quad k=\min \{m,n\}</math>
# <math display="block">\sigma_{i+j-1}(A + B) \leq \sigma_i(A) + \sigma_j(B). \quad i,j\in\mathbb{N},\ i + j - 1 \leq \min \{m,n\}</math>

===AB का एकवचन मान===

के लिए <math>A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>
# <math display="block">\begin{align}
\prod_{i=n}^{i=n-k+1} \sigma_i(A) \sigma_i(B) &\leq \prod_{i=n}^{i=n-k+1} \sigma_i(AB) \\
\prod_{i=1}^k \sigma_i(AB) &\leq \prod_{i=1}^k \sigma_i(A) \sigma_i(B), \\
\sum_{i=1}^k \sigma_i^p(AB) &\leq \sum_{i=1}^k \sigma_i^p(A) \sigma_i^p(B),
\end{align}</math>
# <math display="block">\sigma_n(A) \sigma_i(B) \leq \sigma_i (AB) \leq \sigma_1(A) \sigma_i(B) \quad i = 1, 2, \ldots, n. </math>
के लिए <math>A, B \in \mathbb{C}^{m \times n}</math><ref>X. Zhan. Matrix Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28</ref>
<math display="block">2 \sigma_i(A B^*) \leq \sigma_i \left(A^* A + B^* B\right), \quad i = 1, 2, \ldots, n. </math>

===एकवचन मान और eigenvalues===

के लिए <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>.
# देखना<ref>R. Bhatia. Matrix Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1</ref> <math display="block">\lambda_i \left(A + A^*\right) \leq 2 \sigma_i(A), \quad i = 1, 2, \ldots, n.</math>
# मान लीजिए <math>\left|\lambda_1(A)\right| \geq \cdots \geq \left|\lambda_n(A)\right|</math>. फिर के लिए <math>k = 1, 2, \ldots, n</math>:
## वेइल की असमानता#मैट्रिक्स सिद्धांत में वेइल की असमानता|वेइल का प्रमेय <math display="block"> \prod_{i=1}^k \left|\lambda_i(A)\right| \leq \prod_{i=1}^{k} \sigma_i(A).</math>
## के लिए <math>p>0</math>. <math display="block"> \sum_{i=1}^k \left|\lambda_i^p(A)\right| \leq \sum_{i=1}^{k} \sigma_i^p(A).</math>

== इतिहास ==
यह अवधारणा 1907 में [[एरहार्ड श्मिट]] द्वारा पेश की गई थी। श्मिट ने उस समय एकवचन मूल्यों को आइगेनवैल्यू कहा था। नाम एकवचन मान को पहली बार 1937 में स्मिथीज़ द्वारा उद्धृत किया गया था। 1957 में, अल्लाह्वरडीव ने nवें s-संख्या के निम्नलिखित लक्षण वर्णन को साबित किया:<ref>[[Israel Gohberg|I. C. Gohberg]] and [[Mark Krein|M. G. Krein]]. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.</ref> : <math>s_n(T) = \inf\big\{\, \|T-L\| : L\text{ is an operator of finite rank }<n \,\big\}.</math>
इस सूत्रीकरण ने बैनाच क्षेत्र में ऑपरेटरों के लिए एस-नंबरों की धारणा का विस्तार करना संभव बना दिया।

== यह भी देखें ==
*शर्त क्रमांक
*न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय#कॉची इंटरलेसिंग प्रमेय या पोंकारे पृथक्करण प्रमेय
*शूर-हॉर्न प्रमेय
*विलक्षण मान अपघटन

==संदर्भ==
{{Reflist}}
[[Category: संचालिका सिद्धांत]] [[Category: विलक्षण मान अपघटन]]

[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 24/07/2023]]