एकरूपता - Revision history

Abhishekkshukla at 06:37, 30 October 2023

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	{{Short description\|Property of having a unique mode or maximum value}}		{{Short description\|Property of having a unique mode or maximum value}}गणित में, '''एकरूपता''' का अर्थ अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) है। सामान्यतः, एकरूपता का तात्पर्य है कि किसी गणितीय वस्तु का केवल उच्चतम मूल्य जो परिभाषित है।<ref>{{MathWorld\|urlname=Unimodal\|title=Unimodal}}</ref>
	~~{{redirect\|एकरूप\|कंपनी जो व्यक्तिगत त्वरित पारगमन को बढ़ावा देती है\|स्काईट्रान}}~~

	गणित में, एकरूपता का अर्थ अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) है। सामान्यतः, एकरूपता का तात्पर्य है कि किसी [[गणितीय वस्तु]] का केवल उच्चतम मूल्य जो परिभाषित है।<ref>{{MathWorld\|urlname=Unimodal\|title=Unimodal}}</ref>

Manidh at 04:18, 18 April 2023

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	==संदर्भ==		==संदर्भ==
	{{Reflist\|2}}		{{Reflist\|2}}
	[[Category: कार्य और मानचित्रण]] [[Category: गणितीय संबंध]] [[Category: संभाव्यता वितरण का सिद्धांत]]

			[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
			[[Category:CS1 maint]]
	[[Category: ~~Machine Translated Page~~]]		[[Category:CS1 русский-language sources (ru)]]
	[[Category:Created On 20/03/2023]]		[[Category:Created On 20/03/2023]]
	[[Category:Vigyan Ready]]		[[Category:Lua-based templates]]
			[[Category:Machine Translated Page]]
			[[Category:Missing redirects]]
			[[Category:Pages with script errors]]
			[[Category:Templates Vigyan Ready]]
			[[Category:Templates that add a tracking category]]
			[[Category:Templates that generate short descriptions]]
			[[Category:Templates using TemplateData]]
			[[Category:कार्य और मानचित्रण]]
			[[Category:गणितीय संबंध]]
			[[Category:संभाव्यता वितरण का सिद्धांत]]

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	[[Category: Machine Translated Page]]		[[Category: Machine Translated Page]]
	[[Category:Created On 20/03/2023]]		[[Category:Created On 20/03/2023]]
			[[Category:Vigyan Ready]]

alpha>Artiverma at 11:24, 4 April 2023

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	[[File:Normal distribution pdf.svg\|thumb\|चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व फलन, एकरूप वितरण का उदाहरण है।]]		[[File:Normal distribution pdf.svg\|thumb\|चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व फलन, एकरूप वितरण का उदाहरण है।]]
	[[File:Bimodal.png\|thumb\|चित्र 2. साधारण द्विपाद वितरण]]		[[File:Bimodal.png\|thumb\|चित्र 2. साधारण द्विपाद वितरण]]
	[[File:Bimodal geological.PNG\|thumb\|चित्रा 3. द्विपक्षीय वितरण है। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के जटिल अर्थों में मोड के अनुरूप होती है।]]आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता ऐसा वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) को जटिल परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य है।		[[File:Bimodal geological.PNG\|thumb\|चित्रा 3. द्विपक्षीय वितरण है। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के जटिल अर्थों में मोड के अनुरूप होती है।]]आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता ऐसा वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) को जटिल परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य होता है।

	यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है।<ref>{{MathWorld\|urlname=Mode\|title=Mode}}</ref> चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में [[कॉची वितरण]], छात्र का टी-वितरण है \| छात्र का टी-वितरण, [[ची-वर्ग वितरण]] एवं घातीय वितरण सम्मिलित हैं। असतत वितरणों के मध्य, [[द्विपद वितरण]] एवं प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान होते हैं।		यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल होता है।<ref>{{MathWorld\|urlname=Mode\|title=Mode}}</ref> चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी होता हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में [[कॉची वितरण]], छात्र का टी-वितरण होता है \| छात्र का टी-वितरण, [[ची-वर्ग वितरण]] एवं घातीय वितरण सम्मिलित होता हैं। असतत वितरणों के मध्य, [[द्विपद वितरण]] एवं प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान होते हैं।

	चित्र 2 एवं 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।		चित्र 2 एवं 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।
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	वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी सम्मिलित हैं।		वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी सम्मिलित हैं।

	निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।<ref name=Khinchin>{{cite journal\|author=A.Ya. Khinchin\|title=एकमॉडल वितरण पर\|journal=Trams. Res. Inst. Math. Mech.\|publisher=University of Tomsk\|volume=2\|issue=2\|year=1938\|pages=1–7\|language=ru}}</ref> यदि सीडीएफ x < m के लिए उत्तल फलन एवं x > m के लिए अवतल फलन है, तो वितरण असमान ~~है,~~ m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अंतर्गत समान वितरण सतत एकरूप है,<ref>{{Springer\|title=Unimodal distribution\|id=U/u095330\|first=N.G.\|last=Ushakov}}</ref>कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदहारण ट्रेपेज़ॉइडल वितरण है। सामान्यतः यह परिभाषा मोड में विच्छिन्नता की अनुमति देती है; सामान्यतः सतत वितरण में किसी मूल्य की संभावना शून्य होती है, परन्तु यह परिभाषा मोड में अन्य-शून्य संभावना, या प्रायिकता के परमाणु की अनुमति देती है।		निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।<ref name=Khinchin>{{cite journal\|author=A.Ya. Khinchin\|title=एकमॉडल वितरण पर\|journal=Trams. Res. Inst. Math. Mech.\|publisher=University of Tomsk\|volume=2\|issue=2\|year=1938\|pages=1–7\|language=ru}}</ref> यदि सीडीएफ x < m के लिए उत्तल फलन एवं x > m के लिए अवतल फलन होती है, तो वितरण असमान m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अंतर्गत समान वितरण सतत एकरूप होते है,<ref>{{Springer\|title=Unimodal distribution\|id=U/u095330\|first=N.G.\|last=Ushakov}}</ref>कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदहारण ट्रेपेज़ॉइडल वितरण है। सामान्यतः यह परिभाषा मोड में विच्छिन्नता की अनुमति देती है; सामान्यतः सतत वितरण में किसी मूल्य की संभावना शून्य होती है, परन्तु यह परिभाषा मोड में अन्य-शून्य संभावना, या प्रायिकता के परमाणु की अनुमति देती है।

	एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य संभाव्यता सिद्धांत के<ref name=Khinchin/>या इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{cite book\|title=Random summation: limit theorems and applications\|author=Vladimirovich Gnedenko and Victor Yu Korolev\|isbn=0-8493-2875-6\|publisher=CRC-Press\|year=1996}} p. 31</ref>असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का अन्य उपाय संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना है।<ref>{{cite journal\|title=असतत वितरण की एकरूपता पर\|journal=Periodica Mathematica Hungarica\|first=P. \|last=Medgyessy\|volume= 2\| issue = 1–4 \|pages=245–257\|date=March 1972\|url=http://www.akademiai.com/content/j5012306777g764n/ \|doi=10.1007/bf02018665\|s2cid=119817256 }}</ref> संभाव्यता द्रव्यमान फलन के साथ असतत वितरण, <math>\{p_n : n = \dots, -1, 0, 1, \dots\}</math> को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम <math>\dots, p_{-2} - p_{-1}, p_{-1} - p_0, p_0 - p_1, p_1 - p_2, \dots</math> उचित संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।		एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य संभाव्यता सिद्धांत के<ref name=Khinchin/>या इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{cite book\|title=Random summation: limit theorems and applications\|author=Vladimirovich Gnedenko and Victor Yu Korolev\|isbn=0-8493-2875-6\|publisher=CRC-Press\|year=1996}} p. 31</ref>असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का अन्य उपाय संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना होती है।<ref>{{cite journal\|title=असतत वितरण की एकरूपता पर\|journal=Periodica Mathematica Hungarica\|first=P. \|last=Medgyessy\|volume= 2\| issue = 1–4 \|pages=245–257\|date=March 1972\|url=http://www.akademiai.com/content/j5012306777g764n/ \|doi=10.1007/bf02018665\|s2cid=119817256 }}</ref> संभाव्यता द्रव्यमान फलन के साथ असतत वितरण, <math>\{p_n : n = \dots, -1, 0, 1, \dots\}</math> को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम <math>\dots, p_{-2} - p_{-1}, p_{-1} - p_0, p_0 - p_1, p_1 - p_2, \dots</math> उचित संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।

	=== उपयोग एवं परिणाम ===		=== उपयोग एवं परिणाम ===

alpha>Artiverma at 13:19, 1 April 2023

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	यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है।<ref>{{MathWorld\|urlname=Mode\|title=Mode}}</ref> चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में [[कॉची वितरण]], छात्र का टी-वितरण है \| छात्र का टी-वितरण, [[ची-वर्ग वितरण]] एवं घातीय वितरण सम्मिलित हैं। असतत वितरणों के मध्य, [[द्विपद वितरण]] एवं प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान होते हैं।		यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है।<ref>{{MathWorld\|urlname=Mode\|title=Mode}}</ref> चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में [[कॉची वितरण]], छात्र का टी-वितरण है \| छात्र का टी-वितरण, [[ची-वर्ग वितरण]] एवं घातीय वितरण सम्मिलित हैं। असतत वितरणों के मध्य, [[द्विपद वितरण]] एवं प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान होते हैं।

	~~चित्रा~~ 2 एवं 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।		चित्र 2 एवं 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।

	===अन्य परिभाषाएं===		===अन्य परिभाषाएं===
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	==== वायसोचान्स्की-पेटुनिन असमानता ====		==== वायसोचान्स्की-पेटुनिन असमानता ====

	सेकंड वैसोचन्स्की पेटुनिन असमानता,<ref>{{cite journal \|author=D. F. Vysochanskij, Y. I. Petunin \|year=1980 \|title=Justification of the 3σ rule for unimodal distributions \|journal=Theory of Probability and Mathematical Statistics \|volume=21 \|pages=25–36}}</ref> [[चेबिशेव असमानता]] का शोधन है। चेबीशेव असमानता अस्वाशन देती है कि किसी भी संभाव्यता वितरण में, सभी मान माध्य ~~मान~~ के निकट हैं। वायसोचन्स्की-पेटुनिन असमानता इसे ~~एवं~~ भी निकट मूल्यों तक परिष्कृत करती है, इसलिए वितरण कार्य निरंतर एवं एकरूप है। आगे के परिणाम सेलके द्वारा दिखाए गए है।<ref>{{Cite journal		सेकंड वैसोचन्स्की पेटुनिन असमानता,<ref>{{cite journal \|author=D. F. Vysochanskij, Y. I. Petunin \|year=1980 \|title=Justification of the 3σ rule for unimodal distributions \|journal=Theory of Probability and Mathematical Statistics \|volume=21 \|pages=25–36}}</ref> [[चेबिशेव असमानता]] का शोधन है। चेबीशेव असमानता अस्वाशन देती है कि किसी भी संभाव्यता वितरण में, सभी मान माध्य के निकट हैं। वायसोचन्स्की-पेटुनिन असमानता इसे भी निकट मूल्यों तक परिष्कृत करती है, इसलिए वितरण कार्य निरंतर एवं एकरूप है। आगे के परिणाम सेलके द्वारा दिखाए गए है।<ref>{{Cite journal
	\| last1 = Sellke \| first1 = T.M.		\| last1 = Sellke \| first1 = T.M.
	\| last2 = Sellke \| first2 = S.H.		\| last2 = Sellke \| first2 = S.H.
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	जहाँ . .		जहाँ . .

	2020 में, बर्नार्ड, काज़ी एवं वंडफेल ने सममित क्वांटाइल औसत के मध्य अधिकतम दूरी प्राप्त करके ~~पिछली~~ असमानता को सामान्यीकृत किया <math>\frac{ q_\alpha + q_{(1-\alpha)} }{ 2 } </math> एवं तात्पर्य यह है कि,<ref name="unimodalbounds">{{cite journal \| doi=10.1016/j.insmatheco.2020.05.013 \| title=आंशिक जानकारी के तहत एकरूप वितरण के लिए रेंज वैल्यू-पर-जोखिम सीमा\| year=2020 \| last1=Bernard \| first1=Carole \| last2=Kazzi \| first2=Rodrigue \| last3=Vanduffel \| first3=Steven \| journal=Insurance: Mathematics and Economics \| volume=94 \| pages=9–24 \| doi-access=free }}</ref>		2020 में, बर्नार्ड, काज़ी एवं वंडफेल ने सममित क्वांटाइल औसत के मध्य अधिकतम दूरी प्राप्त करके पूर्व असमानता को सामान्यीकृत किया <math>\frac{ q_\alpha + q_{(1-\alpha)} }{ 2 } </math> एवं तात्पर्य यह है कि,<ref name="unimodalbounds">{{cite journal \| doi=10.1016/j.insmatheco.2020.05.013 \| title=आंशिक जानकारी के तहत एकरूप वितरण के लिए रेंज वैल्यू-पर-जोखिम सीमा\| year=2020 \| last1=Bernard \| first1=Carole \| last2=Kazzi \| first2=Rodrigue \| last3=Vanduffel \| first3=Steven \| journal=Insurance: Mathematics and Economics \| volume=94 \| pages=9–24 \| doi-access=free }}</ref>
	: <math>\frac{ \left\| \frac{ q_\alpha + q_{(1-\alpha)} }{2} - \mu \right\| }{ \sigma } \le \left\{		: <math>\frac{ \left\| \frac{ q_\alpha + q_{(1-\alpha)} }{2} - \mu \right\| }{ \sigma } \le \left\{
	\begin{array}{cl}		\begin{array}{cl}
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	एकरूप कार्यों के उदाहरणों में ऋणात्मक द्विघात गुणांक वाले [[द्विघात बहुपद]] फलन, टेंट मानचित्र फलन सम्मिलित हैं।		एकरूप कार्यों के उदाहरणों में ऋणात्मक द्विघात गुणांक वाले [[द्विघात बहुपद]] फलन, टेंट मानचित्र फलन सम्मिलित हैं।

	उपरोक्त कभी-कभी शक्तिशाली एकरूपता से संबंधित होता है, इस तथ्य से कि ~~निहित~~ करूपता ''शक्तिशाली एकस्वरता'' है। फलन ''f''(''x'') शक्तिहीन यूनिमॉडल फलन है यदि कोई मान ''m'' सम्मिलित है जिसके लिए यह ''x'' ≤ ''m'' के लिए शक्तिहीन नीरस रूप से बढ़ रहा है एवं शक्तिहीन रूप से ''x'' ≥ ''m'' के लिए नीरस रूप से कम हो रहा है। उस स्थिति में, ''x'' के मानों की निरंतर श्रेणी के लिए अधिकतम मूल्य ''f''(''m'') तक पहुँचा जा सकता है। पास्कल के त्रिकोण में प्रत्येक दूसरी पंक्ति शक्तिहीन एकरूप फलन का उदाहरण है जो दृढ़ता से एकरूप नहीं है।		उपरोक्त कभी-कभी शक्तिशाली एकरूपता से संबंधित होता है, इस तथ्य से निहित है कि करूपता ''शक्तिशाली एकस्वरता'' है। फलन ''f''(''x'') शक्तिहीन यूनिमॉडल फलन है यदि कोई मान ''m'' सम्मिलित है जिसके लिए यह ''x'' ≤ ''m'' के लिए शक्तिहीन नीरस रूप से बढ़ रहा है एवं शक्तिहीन रूप से ''x'' ≥ ''m'' के लिए नीरस रूप से कम हो रहा है। उस स्थिति में, ''x'' के मानों की निरंतर श्रेणी के लिए अधिकतम मूल्य ''f''(''m'') तक पहुँचा जा सकता है। पास्कल के त्रिकोण में प्रत्येक दूसरी पंक्ति शक्तिहीन एकरूप फलन का उदाहरण है जो दृढ़ता से एकरूप नहीं है।

	संदर्भ के आधार पर, अनिमॉडल फलन उस को भी संदर्भित कर सकता है जिसमें अधिकतम के अतिरिक्त स्थानीय न्यूनतम है।<ref>{{cite web\|url=https://glossary.informs.org/indexVer1.php?page=U.html\|title=गणितीय प्रोग्रामिंग शब्दावली।\|access-date=2020-03-29}}</ref> उदाहरण के लिए, [[स्थानीय अनिमॉडल नमूनाकरण]], संख्यात्मक अनुकूलन करने की विधि, प्रायः ऐसे फलन के साथ प्रदर्शित की जाती है। यह कहा जा सकता है कि इस विस्तार के अंतर्गत अनिमॉडल कार्य एकल स्थानीय शिखर के साथ कार्य करता है।		संदर्भ के आधार पर, अनिमॉडल फलन उस को भी संदर्भित कर सकता है जिसमें अधिकतम के अतिरिक्त स्थानीय न्यूनतम है।<ref>{{cite web\|url=https://glossary.informs.org/indexVer1.php?page=U.html\|title=गणितीय प्रोग्रामिंग शब्दावली।\|access-date=2020-03-29}}</ref> उदाहरण के लिए, [[स्थानीय अनिमॉडल नमूनाकरण]], संख्यात्मक अनुकूलन करने की विधि, प्रायः ऐसे फलन के साथ प्रदर्शित की जाती है। यह कहा जा सकता है कि इस विस्तार के अंतर्गत अनिमॉडल कार्य एकल स्थानीय शिखर के साथ कार्य करता है।

alpha>Artiverma at 20:26, 31 March 2023

2023-03-31T20:26:58Z

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	{{redirect\|एकरूप\|कंपनी जो व्यक्तिगत त्वरित पारगमन को बढ़ावा देती है\|स्काईट्रान}}		{{redirect\|एकरूप\|कंपनी जो व्यक्तिगत त्वरित पारगमन को बढ़ावा देती है\|स्काईट्रान}}

	गणित में, एकरूपता का अर्थ अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) ~~रखना~~ है। सामान्यतः, एकरूपता का तात्पर्य है कि किसी [[गणितीय वस्तु]] का केवल उच्चतम मूल्य जो परिभाषित है।<ref>{{MathWorld\|urlname=Unimodal\|title=Unimodal}}</ref>		गणित में, एकरूपता का अर्थ अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) है। सामान्यतः, एकरूपता का तात्पर्य है कि किसी [[गणितीय वस्तु]] का केवल उच्चतम मूल्य जो परिभाषित है।<ref>{{MathWorld\|urlname=Unimodal\|title=Unimodal}}</ref>

alpha>Artiverma at 05:08, 30 March 2023

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	रोहतगी एवं ज़ेकेली ने आशय किया है कि असमान वितरण का विषमता एवं कुर्तोसिस असमानता से संबंधित हैं:<ref name=Rohatgi1989>{{cite journal \| doi=10.1016/0167-7152(89)90035-7 \| title=तिरछापन और कर्टोसिस के बीच तीव्र असमानताएँ\| year=1989 \| last1=Rohatgi \| first1=Vijay K. \| last2=Székely \| first2=Gábor J. \| journal=Statistics & Probability Letters \| volume=8 \| issue=4 \| pages=297–299 }}</ref>		रोहतगी एवं ज़ेकेली ने आशय किया है कि असमान वितरण का विषमता एवं कुर्तोसिस असमानता से संबंधित हैं:<ref name=Rohatgi1989>{{cite journal \| doi=10.1016/0167-7152(89)90035-7 \| title=तिरछापन और कर्टोसिस के बीच तीव्र असमानताएँ\| year=1989 \| last1=Rohatgi \| first1=Vijay K. \| last2=Székely \| first2=Gábor J. \| journal=Statistics & Probability Letters \| volume=8 \| issue=4 \| pages=297–299 }}</ref>
	: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 6 }{ 5 } = 1.2 </math>		: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 6 }{ 5 } = 1.2 </math>
	जहां κ ~~ककुदता~~ है एवं γ ~~तिरछापन~~ है। क्लासेन, मोकवेल्ड एवं वैन ईएस ने प्रदर्शित किया कि यह केवल कुछ अस्त में प्रस्तावित होता है, जैसे कि एकरूप वितरण का समूह जहां मोड एवं माध्य मेल खाते हैं।<ref name=Klaassen2000>{{cite journal \| doi=10.1016/S0167-7152(00)00090-0 \| title=Squared skewness minus kurtosis bounded by 186/125 for unimodal distributions \| year=2000 \| last1=Klaassen \| first1=Chris A.J. \| last2=Mokveld \| first2=Philip J. \| last3=Van Es \| first3=Bert \| journal=Statistics & Probability Letters \| volume=50 \| issue=2 \| pages=131–135 }}</ref>उन्होंने शक्तिहीन असमानता प्राप्त की जो सभी असमान वितरणों पर प्रस्तावित होती है:<ref name=Klaassen2000 />		जहां κ कुरतोसिस है एवं γ स्केवनेस है। क्लासेन, मोकवेल्ड एवं वैन ईएस ने प्रदर्शित किया कि यह केवल कुछ अस्त में प्रस्तावित होता है, जैसे कि एकरूप वितरण का समूह जहां मोड एवं माध्य मेल खाते हैं।<ref name=Klaassen2000>{{cite journal \| doi=10.1016/S0167-7152(00)00090-0 \| title=Squared skewness minus kurtosis bounded by 186/125 for unimodal distributions \| year=2000 \| last1=Klaassen \| first1=Chris A.J. \| last2=Mokveld \| first2=Philip J. \| last3=Van Es \| first3=Bert \| journal=Statistics & Probability Letters \| volume=50 \| issue=2 \| pages=131–135 }}</ref>उन्होंने शक्तिहीन असमानता प्राप्त की जो सभी असमान वितरणों पर प्रस्तावित होती है:<ref name=Klaassen2000 />

	: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 186 }{ 125 } = 1.488 </math>		: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 186 }{ 125 } = 1.488 </math>

alpha>Artiverma at 05:06, 30 March 2023

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alpha>Artiverma at 06:29, 29 March 2023

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	रोहतगी एवं ज़ेकेली ने दावा किया कि असमान वितरण का विषमता एवं कुर्तोसिस असमानता से संबंधित हैं:<ref name=Rohatgi1989>{{cite journal \| doi=10.1016/0167-7152(89)90035-7 \| title=तिरछापन और कर्टोसिस के बीच तीव्र असमानताएँ\| year=1989 \| last1=Rohatgi \| first1=Vijay K. \| last2=Székely \| first2=Gábor J. \| journal=Statistics & Probability Letters \| volume=8 \| issue=4 \| pages=297–299 }}</ref>		रोहतगी एवं ज़ेकेली ने दावा किया कि असमान वितरण का विषमता एवं कुर्तोसिस असमानता से संबंधित हैं:<ref name=Rohatgi1989>{{cite journal \| doi=10.1016/0167-7152(89)90035-7 \| title=तिरछापन और कर्टोसिस के बीच तीव्र असमानताएँ\| year=1989 \| last1=Rohatgi \| first1=Vijay K. \| last2=Székely \| first2=Gábor J. \| journal=Statistics & Probability Letters \| volume=8 \| issue=4 \| pages=297–299 }}</ref>
	: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 6 }{ 5 } = 1.2 </math>		: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 6 }{ 5 } = 1.2 </math>
	जहां κ ककुदता है एवं γ तिरछापन है। क्लासेन, मोकवेल्ड एवं वैन ईएस ने प्रदर्शित किया कि यह केवल कुछ अस्त में प्रस्तावित होता है, जैसे कि एकरूप वितरण का समूह जहां मोड एवं माध्य मेल खाते हैं।<ref name=Klaassen2000>{{cite journal \| doi=10.1016/S0167-7152(00)00090-0 \| title=Squared skewness minus kurtosis bounded by 186/125 for unimodal distributions \| year=2000 \| last1=Klaassen \| first1=Chris A.J. \| last2=Mokveld \| first2=Philip J. \| last3=Van Es \| first3=Bert \| journal=Statistics & Probability Letters \| volume=50 \| issue=2 \| pages=131–135 }}</ref>		जहां κ ककुदता है एवं γ तिरछापन है। क्लासेन, मोकवेल्ड एवं वैन ईएस ने प्रदर्शित किया कि यह केवल कुछ अस्त में प्रस्तावित होता है, जैसे कि एकरूप वितरण का समूह जहां मोड एवं माध्य मेल खाते हैं।<ref name=Klaassen2000>{{cite journal \| doi=10.1016/S0167-7152(00)00090-0 \| title=Squared skewness minus kurtosis bounded by 186/125 for unimodal distributions \| year=2000 \| last1=Klaassen \| first1=Chris A.J. \| last2=Mokveld \| first2=Philip J. \| last3=Van Es \| first3=Bert \| journal=Statistics & Probability Letters \| volume=50 \| issue=2 \| pages=131–135 }}</ref>उन्होंने शक्तिहीन असमानता प्राप्त की जो सभी असमान वितरणों पर प्रस्तावित होती है:<ref name=Klaassen2000 />
	उन्होंने शक्तिहीन असमानता प्राप्त की जो सभी असमान वितरणों पर प्रस्तावित होती है:<ref name=Klaassen2000 />

	: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 186 }{ 125 } = 1.488 </math>		: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 186 }{ 125 } = 1.488 </math>