आयतन रूप - Revision history

Manidh at 04:21, 15 July 2023

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alpha>Sureshchandra at 03:53, 11 July 2023

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	गणित में, '''आयतन रूप''' या शीर्ष-आयामी अवकलन मैनीफोल्ड के बराबर डिग्री का [[विभेदक रूप\|अवकलक]] ~~रूप~~ होता है। इस प्रकार मैनीफोल्ड पर <math>M</math> आयाम का <math>n</math>, आयतन रूप एक <math>n</math>-प्रपत्र के रूप में होता है। यह [[लाइन बंडल]] के [[ अनुभाग (फाइबर बंडल) \|अनुभाग (फाइबर बंडल)]] का एक तत्व होता है, इसे <math>\textstyle{\bigwedge}^n(T^*M)</math>, के रूप में निरूपित किया जाता है, <math> \Omega^n(M)</math>. मैनिफोल्ड वैनिशिंग आयतन रूप को स्वीकार करता है यदि यह केवल ओरियंटेबल रूप में होता है। तो [[ओरिएंटेबल]] मैनिफोल्ड में अनंत रूप से कई आयतन रूप होते हैं, क्योंकि आयतन रूप को एक फलन द्वारा गुणा करने पर दूसरा आयतन रूप प्राप्त होता है। गैर-ओरियंटेबल मैनिफोल्ड्स पर इसके अतिरिक्त घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित करता है।		गणित में, '''आयतन रूप''' या शीर्ष-आयामी अवकलन मैनीफोल्ड के बराबर डिग्री का [[विभेदक रूप\|अवकलक]] होता है। इस प्रकार मैनीफोल्ड पर <math>M</math> आयाम का <math>n</math>, आयतन रूप <math>n</math>-प्रपत्र के रूप में होता है। यह [[लाइन बंडल]] के [[ अनुभाग (फाइबर बंडल) \|अनुभाग (फाइबर बंडल)]] का एक तत्व होता है, इसे <math>\textstyle{\bigwedge}^n(T^*M)</math>, के रूप में निरूपित किया जाता है, <math> \Omega^n(M)</math>. मैनिफोल्ड वैनिशिंग आयतन रूप को स्वीकार करता है यदि यह केवल ओरियंटेबल रूप में होता है। तो [[ओरिएंटेबल]] मैनिफोल्ड में अनंत रूप से कई आयतन रूप होते हैं, क्योंकि आयतन रूप को एक फलन द्वारा गुणा करने पर दूसरा आयतन रूप प्राप्त होता है। गैर-ओरियंटेबल मैनिफोल्ड्स पर इसके अतिरिक्त घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित करता है।

	एक आयतन रूप एक भिन्न मैनिफोल्ड पर एक [[फ़ंक्शन (गणित)\|फलन (गणित)]] के [[अभिन्न]] अंग को परिभाषित करने का एक साधन प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, एक आयतन रूप [[माप (गणित)]] को जन्म देता है जिसके संबंध में फलनों को उपयुक्त [[लेब्सग इंटीग्रल\|लेब्सग समाकलन]] द्वारा एकीकृत किया जा सकता है। आयतन रूप का निरपेक्ष मान आयतन के रूप में होता है, जिसे विभिन्न प्रकार से ट्विस्टेड आयतन रूप या प्सयूडो आयतन रूप में भी जाना जाता है। यह माप को भी परिभाषित करता है, लेकिन किसी भी अवकलक चाहे वह ओरियंटेबल हो या नहीं हो पर इसकी विविधता पर सम्मलित होता है।		एक आयतन रूप एक भिन्न मैनिफोल्ड पर एक [[फ़ंक्शन (गणित)\|फलन (गणित)]] के [[अभिन्न]] अंग को परिभाषित करने का एक साधन प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, एक आयतन रूप [[माप (गणित)]] को जन्म देता है जिसके संबंध में फलनों को उपयुक्त [[लेब्सग इंटीग्रल\|लेब्सग समाकलन]] द्वारा एकीकृत किया जा सकता है। आयतन रूप का निरपेक्ष मान आयतन के रूप में होता है, जिसे विभिन्न प्रकार से ट्विस्टेड आयतन रूप या प्सयूडो आयतन रूप में भी जाना जाता है। यह माप को भी परिभाषित करता है, लेकिन किसी भी अवकलक चाहे वह ओरियंटेबल हो या नहीं हो पर इसकी विविधता पर सम्मलित होता है।

alpha>Sureshchandra at 03:51, 11 July 2023

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	===कोई स्थानीय संरचना नहीं===		===कोई स्थानीय संरचना नहीं===

	मैनिफ़ोल्ड पर वॉल्यूम फॉर्म की कोई स्थानीय संरचना नहीं होती है, इस अर्थ में कि छोटे ~~खुले सेटों~~ पर दिए गए वॉल्यूम फॉर्म और यूक्लिडियन स्पेस पर वॉल्यूम फॉर्म के बीच अंतर करना संभव नहीं है। ~~{{harv\|Kobayashi\|1972}}. यानी हर~~ बिंदु के लिए <math>p</math> में <math>M,</math> ~~वहाँ~~ एक ~~खुला पड़ोस~~ है <math>U</math> का <math>p</math> और एक [[भिन्नता]] <math>\varphi</math> का <math>U</math> एक ~~खुले सेट~~ पर <math>\R^n</math> इस तरह कि वॉल्यूम बनता ~~रहे~~ <math>U</math> का ~~[[ ठहराना ]] है~~ <math>dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math> साथ में <math>\varphi.</math>		मैनिफ़ोल्ड पर वॉल्यूम फॉर्म की कोई स्थानीय संरचना नहीं होती है, इस अर्थ में कि छोटे विवृत समुच्चय पर दिए गए वॉल्यूम फॉर्म और यूक्लिडियन स्पेस कोबायाशी 1972 पर वॉल्यूम फॉर्म के बीच अंतर करना संभव नहीं होता है। अर्थात प्रत्येक बिंदु के लिए <math>p</math> में <math>M,</math> एक विवृत निकटतम है <math>U</math> का <math>p</math> और एक [[भिन्नता]] <math>\varphi</math> का <math>U</math> एक विवृत समुच्चय पर <math>\R^n</math> इस तरह कि वॉल्यूम बनता है और इस प्रकार <math>U</math> का <math>dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math> साथ में <math>\varphi.</math>[[ ठहराना \| पुल बैक]] है।
	एक परिणाम के रूप में, यदि <math>M</math> और <math>N</math> दो मैनिफ़ोल्ड हैं, प्रत्येक वॉल्यूम फॉर्म के साथ <math>\omega_M, \omega_N,</math> फिर किसी भी बिंदु के लिए <math>m \in M, n \in N,</math> ~~खुले पड़ोस~~ हैं <math>U</math> का <math>m</math> और <math>V</math> का <math>n</math> और एक नक्शा <math>f : U \to V</math> इस तरह कि वॉल्यूम बनता ~~रहे~~ <math>N</math> ~~पड़ोस तक ही~~ सीमित है <math>V</math> वॉल्यूम फॉर्म पर वापस खींचता है <math>M</math> ~~पड़ोस~~ तक ही सीमित है <math>U</math>: <math>f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U.</math>
	एक आयाम में, कोई इसे इस प्रकार सिद्ध कर सकता ~~है:~~		एक परिणाम के रूप में, यदि <math>M</math> और <math>N</math> दो मैनिफ़ोल्ड हैं, प्रत्येक वॉल्यूम फॉर्म के साथ <math>\omega_M, \omega_N,</math> फिर किसी भी बिंदु के लिए <math>m \in M, n \in N,</math> विवृत निकटतम हैं <math>U</math> का <math>m</math> और <math>V</math> का <math>n</math> और एक नक्शा के रूप में है,<math>f : U \to V</math> इस तरह कि वॉल्यूम बनता हैं, <math>N</math> निकटतम रूप में सीमित है <math>V</math> वॉल्यूम फॉर्म पर वापस खींचता है <math>M</math> निकटतम तक ही सीमित है <math>U</math>: <math>f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U.</math>
	वॉल्यूम फॉर्म दिया गया है <math>\omega</math> पर <math>\R,</math> परिभाषित करना
	<math display=block>f(x) := \int_0^x \omega.</math>		एक आयाम में, कोई इसे इस प्रकार सिद्ध कर सकता है। वॉल्यूम फॉर्म दिया गया है <math>\omega</math> पर <math>\R,</math> परिभाषित करना है।
	फिर मानक लेब्सग्यू माप <math>dx</math> [[पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)\|पुलबैक (अवकलक ज्यामिति)]] को <math>\omega</math> अंतर्गत <math>f</math>: <math>\omega = f^*dx.</math> ठोस रूप से, <math>\omega = f'\,dx.</math> उच्च आयामों में, कोई भी बिंदु दिया गया <math>m \in M,</math> इसका ~~पड़ोस~~ स्थानीय रूप से होमियोमॉर्फिक है <math>\R\times\R^{n-1},</math> और कोई भी वही प्रक्रिया लागू कर सकता है।		<math display="block">f(x) := \int_0^x \omega.</math>
			फिर मानक लेब्सग्यू माप <math>dx</math> [[पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)\|पुलबैक (अवकलक ज्यामिति)]] को <math>\omega</math> अंतर्गत <math>f</math>: <math>\omega = f^*dx.</math> ठोस रूप से, <math>\omega = f'\,dx.</math> उच्च आयामों में, कोई भी बिंदु दिया गया <math>m \in M,</math> इसका निकटतम स्थानीय रूप से होमियोमॉर्फिक <math>\R\times\R^{n-1},</math> के रूप में है और कोई भी वही प्रक्रिया लागू कर सकता है।

	===वैश्विक संरचना: आयतन===		===वैश्विक संरचना: आयतन===

alpha>Sureshchandra at 18:42, 9 July 2023

2023-07-09T18:42:05Z

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	यद्यपि ग्रीक अक्षर <math>\omega</math> वॉल्यूम फॉर्म को दर्शाने के लिए अधिकांशतः उपयोग किया जाता है, यह नोटेशन यूनिवर्सल नहीं है और इस प्रकार प्रतीक <math>\omega</math> [[विभेदक ज्यामिति\|अवकलक ज्यामिति]] में जैसे कि सहानुभूतिपूर्ण रूप में कई अन्य अर्थ होते हैं।		यद्यपि ग्रीक अक्षर <math>\omega</math> वॉल्यूम फॉर्म को दर्शाने के लिए अधिकांशतः उपयोग किया जाता है, यह नोटेशन यूनिवर्सल नहीं है और इस प्रकार प्रतीक <math>\omega</math> [[विभेदक ज्यामिति\|अवकलक ज्यामिति]] में जैसे कि सहानुभूतिपूर्ण रूप में कई अन्य अर्थ होते हैं।

	==आयतन फॉर्म के ~~अपरिवर्तनीय~~==		==आयतन फॉर्म के इन्वेरीअन्ट==

	वॉल्यूम फॉर्म अद्वितीय नहीं हैं; वे निम्नानुसार मैनिफोल्ड पर ~~गैर-लुप्त~~ होने वाले फलनों पर एक [[ मरोड़ ]] बनाते हैं। ~~एक गैर-लुप्त~~ होने वाला ~~कार्य~~ दिया गया <math>f</math> पर <math>M,</math> और एक वॉल्यूम फॉर्म <math>\omega,</math> <math>f\omega</math> पर एक वॉल्यूम फॉर्म है <math>M.</math> इसके विपरीत, दो खंड रूप दिए गए हैं <math>\omega, \omega',</math> उनका अनुपात एक ~~गैर-लुप्त~~ होने वाला ~~कार्य~~ है (यदि वे समान ओरिएंटेशन को परिभाषित करते हैं तो ~~सकारात्मक~~, यदि वे विपरीत ओरिएंटेशन को परिभाषित करते हैं तो ऋणात्मक )।		वॉल्यूम फॉर्म अद्वितीय नहीं हैं; वे निम्नानुसार मैनिफोल्ड पर नॉन वैनिशिंग होने वाले फलनों पर एक [[ मरोड़ \|टॉर्सर]] बनाते हैं। जबकि नॉन वैनिशिंग होने वाला फलन दिया गया <math>f</math> पर <math>M,</math> और एक वॉल्यूम फॉर्म <math>\omega,</math> <math>f\omega</math> पर एक वॉल्यूम फॉर्म है <math>M.</math> इसके विपरीत, दो खंड रूप दिए गए हैं <math>\omega, \omega',</math> उनका अनुपात एक नॉन वैनिशिंग होने वाला फलन है, यदि वे समान ओरिएंटेशन को परिभाषित करते हैं, तो धनात्मक रूप में होते है, यदि वे विपरीत ओरिएंटेशन को परिभाषित करते हैं तो ऋणात्मक रूप में होते है।

	निर्देशांक में, वे दोनों केवल एक गैर-शून्य फलन समय [[लेब्सेग माप]] ~~हैं,~~ और उनका अनुपात फलन का अनुपात है, जो निर्देशांक ~~की पसंद~~ से स्वतंत्र है। आंतरिक रूप से, यह ~~रेडॉन-निकोडिम प्रमेय#रेडॉन.E2.80.93निकोडिम अवकलज है\|~~रेडॉन-निकोडिम अवकलज <math>\omega'</math> इसके संबंध में <math>\omega.</math> एक ओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर, किन्हीं दो वॉल्यूम रूपों की आनुपातिकता को रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के ज्यामितीय ~~रूप के~~ रूप में ~~माना जा सकता~~ है।		निर्देशांक में, वे दोनों केवल एक गैर-शून्य फलन समय [[लेब्सेग माप]] के रूप में होते है और उनका अनुपात फलन का अनुपात होता है, जो निर्देशांक के विकल्प के रूप में x से स्वतंत्र है। आंतरिक रूप से, यह रेडॉन-निकोडिम अवकलज <math>\omega'</math> इसके संबंध में <math>\omega.</math> एक ओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर किन्हीं दो वॉल्यूम रूपों की आनुपातिकता को रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के ज्यामितीय रूप में जाना जाता है।

	===कोई स्थानीय संरचना नहीं===		===कोई स्थानीय संरचना नहीं===

alpha>Sureshchandra at 18:24, 9 July 2023

2023-07-09T18:24:31Z

← Older revision		Revision as of 23:54, 9 July 2023
Line 56:		Line 56:
	आयतन फॉर्म को विभिन्न प्रकार से निरूपित किया जाता है		आयतन फॉर्म को विभिन्न प्रकार से निरूपित किया जाता है
	<math display=block>\omega = \mathrm{vol}_n = \varepsilon = {\star}(1).</math>		<math display=block>\omega = \mathrm{vol}_n = \varepsilon = {\star}(1).</math>
	यहां ही <math>{\star}</math> हॉज तारा है, इस प्रकार अंतिम रूप ~~है,~~ <math>{\star} (1),</math> जोर देता है कि वॉल्यूम फॉर्म मैनिफोल्ड पर स्थिर मानचित्र का हॉज डुअल है, जो ~~लेवी-सिविटा टेंसर के बराबर है\|~~लेवी-सिविटा टेंसर <math>\varepsilon.</math>		यहां ही <math>{\star}</math> हॉज तारा है, इस प्रकार अंतिम रूप <math>{\star} (1),</math> इस बात पर जोर देता है कि वॉल्यूम फॉर्म मैनिफोल्ड पर स्थिर मानचित्र का हॉज डुअल है, जो लेवी-सिविटा टेंसर <math>\varepsilon.</math>के बराबर होता है।
	यद्यपि ~~यूनानी~~ अक्षर <math>\omega</math> वॉल्यूम फॉर्म को दर्शाने के लिए ~~अक्सर~~ उपयोग किया जाता है, यह नोटेशन ~~सार्वभौमिक~~ नहीं है; प्रतीक <math>\omega</math> [[विभेदक ज्यामिति\|अवकलक ज्यामिति]] में ~~अक्सर~~ कई अन्य अर्थ होते ~~हैं (जैसे कि एक सहानुभूतिपूर्ण रूप)।~~
			यद्यपि ग्रीक अक्षर <math>\omega</math> वॉल्यूम फॉर्म को दर्शाने के लिए अधिकांशतः उपयोग किया जाता है, यह नोटेशन यूनिवर्सल नहीं है और इस प्रकार प्रतीक <math>\omega</math> [[विभेदक ज्यामिति\|अवकलक ज्यामिति]] में जैसे कि सहानुभूतिपूर्ण रूप में कई अन्य अर्थ होते हैं।

	==आयतन फॉर्म के अपरिवर्तनीय==		==आयतन फॉर्म के अपरिवर्तनीय==

alpha>Sureshchandra at 17:06, 9 July 2023

2023-07-09T17:06:54Z

← Older revision		Revision as of 22:36, 9 July 2023
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	=== सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड्स ===		=== सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड्स ===

	किसी भी सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड (या वास्तव में किसी भी [[लगभग सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड]]) का एक प्राकृतिक आयतन फॉर्म होता है। यदि ~~<math>~~M~~</math> एक है <math>2 n</math>~~[[सरलीकृत रूप]] ~~के साथ आयामी कई गुना~~ <math>\omega,</math> तब <math>\omega^n</math> सहानुभूतिपूर्ण रूप की गैर-अपघटन के परिणामस्वरूप कहीं भी शून्य नहीं ~~है।~~ परिणाम के रूप में, कोई भी सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड ओरियंटेबल ~~(वास्तव~~ में~~, उन्मुख)~~ होता है। यदि मैनिफोल्ड सिम्प्लेक्टिक और रीमैनियन दोनों है, तो यदि मैनिफोल्ड ~~काहलर मैनिफोल्ड\|~~काहलर है, तो दो वॉल्यूम ~~रूप~~ सहमत हैं।		किसी भी सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड या वास्तव में किसी भी [[लगभग सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड]] का एक प्राकृतिक आयतन फॉर्म होता है। यदि M, [[सरलीकृत रूप]] <math>\omega,</math> के साथ एक 2n आयामी मैनिफोल्ड है, तब <math>\omega^n</math> सहानुभूतिपूर्ण रूप की गैर-अपघटन के परिणामस्वरूप कहीं भी शून्य नहीं होता है और इस प्रकार परिणाम के रूप में कोई भी सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड ओरियंटेबल के रूप में होता है। यदि मैनिफोल्ड सिम्प्लेक्टिक और रीमैनियन दोनों रूप में होता है, यदि मैनिफोल्ड काहलर है तो दो वॉल्यूम फॉर्म सहमत हैं।

	=== रीमैनियन वॉल्यूम फॉर्म ===		=== रीमैनियन वॉल्यूम फॉर्म ===

	किसी भी ओरिएंटेशन ~~(गणित)~~ स्यूडो~~-[[रीमैनियन [[ कई गुना ]]]]\|स्यूडो-रीमैनियन (~~रीमैनियन ~~मैनिफोल्ड सहित)~~ मैनिफोल्ड का एक प्राकृतिक आयतन फॉर्म होता ~~है।~~ [[स्थानीय निर्देशांक]] में, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है		किसी भी ओरिएंटेशन स्यूडो रीमैनियन मैनिफोल्ड का एक प्राकृतिक आयतन फॉर्म होता है और इस प्रकार [[स्थानीय निर्देशांक]] में, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है,
	<math display=block>\omega = \sqrt{\|g\|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n</math>		<math display=block>\omega = \sqrt{\|g\|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n</math>
	जहां <math>dx^i</math> [[1-रूप]] ~~हैं~~ जो मैनिफोल्ड के [[कोटैंजेंट बंडल]] के लिए धनात्मक रूप से ओरियंटेबल आधार बनाते हैं। ~~यहाँ,~~ <math>\|g\|</math> मैनिफोल्ड पर [[मीट्रिक टेंसर]] के ~~मैट्रिक्स~~ प्रतिनिधित्व के डीटरमीनेट का पूर्ण मूल्य है।		जहां <math>dx^i</math> [[1-रूप\|1-फॉर्म]] के रूप में होते है, जो मैनिफोल्ड के [[कोटैंजेंट बंडल]] के लिए धनात्मक रूप से ओरियंटेबल आधार बनाते हैं। जहाँ <math>\|g\|</math> मैनिफोल्ड पर [[मीट्रिक टेंसर]] के आव्यूह प्रतिनिधित्व के डीटरमीनेट का पूर्ण मूल्य को संदर्भित करता है।

	आयतन फॉर्म को विभिन्न प्रकार से निरूपित किया जाता है		आयतन फॉर्म को विभिन्न प्रकार से निरूपित किया जाता है