alpha>Artiverma at 15:32, 12 August 2023

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	==संख्याओं का प्रतिनिधित्व==		==संख्याओं का प्रतिनिधित्व==

	[[Image:IEEE 754 Single Floating Point Format.svg\|right\|frame\|संख्या 0.15625 को ल-त्रुटिहीन आईईईई 754-1985 फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या के रूप में दर्शाया गया है। स्पष्टीकरण के लिए ~~पाठ देखें.~~]]		[[Image:IEEE 754 Single Floating Point Format.svg\|right\|frame\|संख्या 0.15625 को एकल-त्रुटिहीन आईईईई 754-1985 फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या के रूप में दर्शाया गया है। स्पष्टीकरण के लिए टेक्स्ट देखें। ]]
	[[Image:IEEE 754 Double Floating Point Format.svg\|right\|frame\|64 बिट आईईईई 754 में तीन क्षेत्र फ़्लोट होते ~~हैं~~]]आईईईई 754 प्रारूप में फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों में तीन क्षेत्र होते हैं: [[साइन बिट]], बायस्ड घातांक और अंश। निम्नलिखित उदाहरण प्रत्येक का अर्थ बताता है।		[[Image:IEEE 754 Double Floating Point Format.svg\|right\|frame\|64 बिट आईईईई 754 में तीन क्षेत्र फ़्लोट होते हैं।]]आईईईई 754 प्रारूप में फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों में तीन क्षेत्र होते हैं: [[साइन बिट]], बायस्ड घातांक और अंश। निम्नलिखित उदाहरण प्रत्येक का अर्थ बताता है।

	दशमलव संख्या 0.15625<sub>10</sub> बाइनरी में 0.00101<sub>2</sub> (अर्थात् 1/8 + 1/32) दर्शाया गया है। (अंकाक्षर संख्या [[मूलांक]] दर्शाते हैं।) [[वैज्ञानिक संकेतन]] के अनुरूप, जहां संख्याओं को दशमलव बिंदु के बाईं ओर गैर-शून्य अंक के रूप में लिखा जाता है, हम इस संख्या को पुनः लिखते हैं जिससे कि इसमें बाइनरी बिंदु के बाईं ओर एकल 1 बिट होता है। हम तीन स्थितियों द्वारा त्यागे गए बिट्स के स्थानांतरण की पूर्ति के लिए 2 की उचित शक्ति से गुणा करते हैं:		दशमलव संख्या 0.15625<sub>10</sub> बाइनरी में 0.00101<sub>2</sub> (अर्थात् 1/8 + 1/32) दर्शाया गया है। (अंकाक्षर संख्या [[मूलांक]] दर्शाते हैं।) [[वैज्ञानिक संकेतन]] के अनुरूप, जहां संख्याओं को दशमलव बिंदु के बाईं ओर गैर-शून्य अंक के रूप में लिखा जाता है, हम इस संख्या को पुनः लिखते हैं जिससे कि इसमें बाइनरी बिंदु के बाईं ओर एकल 1 बिट होता है। हम तीन स्थितियों द्वारा त्यागे गए बिट्स के स्थानांतरण की पूर्ति के लिए 2 की उचित शक्ति से गुणा करते हैं:
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	== श्रेणी और त्रुटिहीनता ==		== श्रेणी और त्रुटिहीनता ==
	[[File:IEEE 754 relative precision.svg\|thumb\|महत्वपूर्ण अंकों की निश्चित संख्या का उपयोग करके दशमलव प्रतिनिधित्व की तुलना में ल (बाइनरी 32) और डबल त्रुटिहीन (बाइनरी 64) संख्याओं की सापेक्ष ~~त्रुटिहीनता।~~ सापेक्ष त्रुटिहीनता को यहां ulp(x)/x के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां ulp(x) x के प्रतिनिधित्व में [[अंतिम स्थान पर इकाई]] है, अर्थात x और अगले प्रतिनिधित्व योग्य संख्या के ~~मध्यका अंतर।~~]]त्रुटिहीनता को दो क्रमिक मंटिसा अभ्यावेदन के मध्य न्यूनतम अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है; इस प्रकार यह केवल मंटिसा में फंक्शन है; जबकि अंतर को दो क्रमिक संख्याओं के मध्य के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref>{{citation \|title=Computer Arithmetic \|author1=Hossam A. H. Fahmy \|author2=Shlomo Waser \|author3=Michael J. Flynn \|url=http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf \|access-date=2011-01-02 \|url-status=dead \|archive-url=https://web.archive.org/web/20101008203307/http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf \|archive-date=2010-10-08}}</ref>		[[File:IEEE 754 relative precision.svg\|thumb\|महत्वपूर्ण अंकों की निश्चित संख्या का उपयोग करके दशमलव प्रतिनिधित्व की तुलना में एकल (बाइनरी 32) और डबल त्रुटिहीन (बाइनरी 64) संख्याओं की सापेक्ष त्रुटिहीनता है। सापेक्ष त्रुटिहीनता को यहां ulp(x)/x के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां ulp(x) x के प्रतिनिधित्व में [[अंतिम स्थान पर इकाई]] है, अर्थात x और अगले प्रतिनिधित्व योग्य संख्या के मध्य का अंतर है।]]त्रुटिहीनता को दो क्रमिक मंटिसा अभ्यावेदन के मध्य न्यूनतम अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है; इस प्रकार यह केवल मंटिसा में फंक्शन है; जबकि अंतर को दो क्रमिक संख्याओं के मध्य के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref>{{citation \|title=Computer Arithmetic \|author1=Hossam A. H. Fahmy \|author2=Shlomo Waser \|author3=Michael J. Flynn \|url=http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf \|access-date=2011-01-02 \|url-status=dead \|archive-url=https://web.archive.org/web/20101008203307/http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf \|archive-date=2010-10-08}}</ref>

	[[एकल परिशुद्धता\|'''एकल त्रुटिहीनता''']]		[[एकल परिशुद्धता\|'''एकल त्रुटिहीनता''']]
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	इंटेल के अंदर कार्य ने अन्य विक्रेताओं को चिंतित कर दिया, जिन्होंने समान अवसर सुनिश्चित करने के लिए मानकीकरण प्रयास स्थापित किया। काहन ने नवंबर 1977 में आयोजित दूसरी आईईईई 754 मानक कार्य समूह की बैठक में भाग लिया था। अंत में उन्हें इंटेल से उनके कोप्रोसेसर के लिए उनके कार्य के आधार पर ड्राफ्ट प्रस्ताव प्रस्तुत करने की अनुमति मिली; उन्हें प्रारूप के विवरण और उसके औचित्य को समझाने की अनुमति दी गई थी, किन्तु इंटेल के कार्यान्वयन वास्तुकला से संबंधित कुछ भी नहीं। ड्राफ्ट जेरोम कूनन और हेरोल्ड स्टोन के साथ सह-लिखित था, और प्रारंभ में इसे काहन-कूनन-स्टोन प्रस्ताव या के-सी-एस प्रारूप के रूप में जाना जाता था।<ref name="Intel_2016_Case"/><ref name="Kahan_1998_Story"/><ref name="Woehr_1997_Kahan"/><ref name="Chuck_Kahan_Interview"/>		इंटेल के अंदर कार्य ने अन्य विक्रेताओं को चिंतित कर दिया, जिन्होंने समान अवसर सुनिश्चित करने के लिए मानकीकरण प्रयास स्थापित किया। काहन ने नवंबर 1977 में आयोजित दूसरी आईईईई 754 मानक कार्य समूह की बैठक में भाग लिया था। अंत में उन्हें इंटेल से उनके कोप्रोसेसर के लिए उनके कार्य के आधार पर ड्राफ्ट प्रस्ताव प्रस्तुत करने की अनुमति मिली; उन्हें प्रारूप के विवरण और उसके औचित्य को समझाने की अनुमति दी गई थी, किन्तु इंटेल के कार्यान्वयन वास्तुकला से संबंधित कुछ भी नहीं। ड्राफ्ट जेरोम कूनन और हेरोल्ड स्टोन के साथ सह-लिखित था, और प्रारंभ में इसे काहन-कूनन-स्टोन प्रस्ताव या के-सी-एस प्रारूप के रूप में जाना जाता था।<ref name="Intel_2016_Case"/><ref name="Kahan_1998_Story"/><ref name="Woehr_1997_Kahan"/><ref name="Chuck_Kahan_Interview"/>

	चूंकि 8-बिट घातांक दोहरे-त्रुटिहीनता संख्याओं के लिए वांछित कुछ परिचालनों के लिए पर्याप्त चौड़ा नहीं था, उदाहरण के लिए दो 32-बिट संख्याओं के उत्पाद को संग्रहीत करने के लिए,<ref name="Microsoft_2006_KB35826"/> काहन के प्रस्ताव और डीईसी के प्रति-प्रस्ताव दोनों में 11 बिट्स का उपयोग किया गया, जैसे कि 1965 से [[सीडीसी 6600]] के समय-परीक्षणित 60-बिट फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप था।<ref name="Kahan_1998_Story"/><ref name="Chuck_Kahan_Interview"/><ref name="Thornton_1970_CDC6600"/> काहन के प्रस्ताव में अनन्तताओं का भी प्रावधान किया गया है, जो विभाजन-दर-शून्य स्थितियों के निवारण में उपयोगी होते हैं; नॉट-ए-नंबर मान, जो अमान्य संचालन के निवारण में उपयोगी होते हैं; [[असामान्य संख्या]]~~एँ,~~ जो अंडरफ्लो के कारण होने वाली समस्याओं को कम करने में सहायता करती हैं;<ref name="Chuck_Kahan_Interview"/><ref name="Kahan_Why"/><ref name="Kahan_Java"/> और उत्तम संतुलित घातांक पूर्वाग्रह, जो किसी संख्या का व्युत्क्रम लेते समय अतिप्रवाह और अल्पप्रवाह से बचने में सहायता कर सकता है।<ref name="Turner_2013"/><ref name="Kahan_Names"/>		चूंकि 8-बिट घातांक दोहरे-त्रुटिहीनता संख्याओं के लिए वांछित कुछ परिचालनों के लिए पर्याप्त चौड़ा नहीं था, उदाहरण के लिए दो 32-बिट संख्याओं के उत्पाद को संग्रहीत करने के लिए,<ref name="Microsoft_2006_KB35826"/> काहन के प्रस्ताव और डीईसी के प्रति-प्रस्ताव दोनों में 11 बिट्स का उपयोग किया गया, जैसे कि 1965 से [[सीडीसी 6600]] के समय-परीक्षणित 60-बिट फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप था।<ref name="Kahan_1998_Story"/><ref name="Chuck_Kahan_Interview"/><ref name="Thornton_1970_CDC6600"/> काहन के प्रस्ताव में अनन्तताओं का भी प्रावधान किया गया है, जो विभाजन-दर-शून्य स्थितियों के निवारण में उपयोगी होते हैं; नॉट-ए-नंबर मान, जो अमान्य संचालन के निवारण में उपयोगी होते हैं; [[असामान्य संख्या\|असामान्य संख्याएँ,]] जो अंडरफ्लो के कारण होने वाली समस्याओं को कम करने में सहायता करती हैं;<ref name="Chuck_Kahan_Interview"/><ref name="Kahan_Why"/><ref name="Kahan_Java"/> और उत्तम संतुलित घातांक पूर्वाग्रह, जो किसी संख्या का व्युत्क्रम लेते समय अतिप्रवाह और अल्पप्रवाह से बचने में सहायता कर सकता है।<ref name="Turner_2013"/><ref name="Kahan_Names"/>

	अनुमोदित होने से पूर्व ही, ड्राफ्ट मानक को कई निर्माताओं द्वारा ~~लागू~~ किया गया था।<ref>{{cite web\|url=http://www.eecs.berkeley.edu/~wkahan/ieee754status/754story.html\|title=फ़्लोटिंग-प्वाइंट के बूढ़े आदमी के साथ एक साक्षात्कार\| author=Charles Severance \|author-link=Charles Severance (computer scientist) \|date=20 February 1998}}</ref><ref>{{cite web\|publisher=Connexions \|url=http://cnx.org/content/m32770/latest/ \|title=आईईईई फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप का इतिहास\|author=Charles Severance \|author-link=Charles Severance (computer scientist) \|archive-url=https://web.archive.org/web/20091120095507/http://cnx.org/content/m32770/latest/ \|archive-date=2009-11-20 \|url-status=dead}}</ref> इंटेल 8087, जिसे 1980 में घोषित किया गया था, ड्राफ्ट मानक को ~~लागू~~ करने वाली ~~पहली~~ चिप थी।		अनुमोदित होने से पूर्व ही, ड्राफ्ट मानक को कई निर्माताओं द्वारा प्रस्तावित किया गया था।<ref>{{cite web\|url=http://www.eecs.berkeley.edu/~wkahan/ieee754status/754story.html\|title=फ़्लोटिंग-प्वाइंट के बूढ़े आदमी के साथ एक साक्षात्कार\| author=Charles Severance \|author-link=Charles Severance (computer scientist) \|date=20 February 1998}}</ref><ref>{{cite web\|publisher=Connexions \|url=http://cnx.org/content/m32770/latest/ \|title=आईईईई फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप का इतिहास\|author=Charles Severance \|author-link=Charles Severance (computer scientist) \|archive-url=https://web.archive.org/web/20091120095507/http://cnx.org/content/m32770/latest/ \|archive-date=2009-11-20 \|url-status=dead}}</ref> इंटेल 8087, जिसे 1980 में घोषित किया गया था, जो ड्राफ्ट मानक को प्रस्तावित करने वाली प्रथम चिप थी।

	[[File:Intel C8087.jpg\|thumb\|left\|इंटेल 8087 फ्लोटिंग-पॉइंट कोप्रोसेसर]]1980 में, ~~Intel~~ 8087 चिप पहले ही ~~रिलीज़~~ हो चुकी थी,<ref name="Olympus_MIC-D"/> किन्तु प्रदर्शन संबंधी चिंताओं के कारण डीईसी विशेष रूप से असामान्य संख्याओं का विरोध करता रहा और चूंकि इससे डीईसी को डीईसी के प्रारूप पर मानकीकरण करने के लिए प्रतिस्पर्धात्मक लाभ मिलेगा।		[[File:Intel C8087.jpg\|thumb\|left\|इंटेल 8087 फ्लोटिंग-पॉइंट कोप्रोसेसर]]1980 में, इंटेल 8087 चिप पहले ही प्रस्तावित हो चुकी थी,<ref name="Olympus_MIC-D"/> किन्तु प्रदर्शन संबंधी चिंताओं के कारण डीईसी विशेष रूप से असामान्य संख्याओं का विरोध करता रहा और चूंकि इससे डीईसी को डीईसी के प्रारूप पर मानकीकरण करने के लिए प्रतिस्पर्धात्मक लाभ मिलेगा।

	~~धीरे-धीरे~~ क्रमिक अंडरफ़्लो पर ~~बहस~~ 1981 तक ~~चली~~ जब ~~डिजिटल उपकरण निगम द्वारा~~ इसका आकलन करने के लिए नियुक्त विशेषज्ञ ने असंतुष्टों का पक्ष लिया। डीईसी ने यह प्रदर्शित करने के लिए अध्ययन करवाया था कि क्रमिक अंडरफ़्लो बुरा विचार था, किन्तु अध्ययन का निष्कर्ष विपरीत था, और डीईसी ने हार मान ~~ली।~~ 1985 में, मानक की पुष्टि की गई थी, किन्तु यह ~~साल पहले~~ ही वास्तविक मानक बन गया था, कई निर्माताओं द्वारा कार्यान्वित किया ~~गया।~~<ref name="Kahan_1998_Story"/><ref name="Chuck_Kahan_Interview"/><ref name="Kahan"/>		क्रमिक अंडरफ़्लो पर विचार 1981 तक चला जब इसका आकलन करने के लिए डीईसी द्वारा नियुक्त एक विशेषज्ञ ने असंतुष्टों का पक्ष लिया। डीईसी ने यह प्रदर्शित करने के लिए अध्ययन करवाया था कि क्रमिक अंडरफ़्लो बुरा विचार था, किन्तु अध्ययन का निष्कर्ष विपरीत था, और डीईसी ने हार मान ली थी। 1985 में, मानक की पुष्टि की गई थी, किन्तु यह एक वर्ष पूर्व ही वास्तविक मानक बन गया था, जिसे कई निर्माताओं द्वारा कार्यान्वित किया गया था।<ref name="Kahan_1998_Story"/><ref name="Chuck_Kahan_Interview"/><ref name="Kahan"/>
	==यह भी देखें==		==यह भी देखें==
	*[[आईईईई 754]]		*[[आईईईई 754]]

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