अवकल फलन - Revision history

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	*[http://demonstrations.wolfram.com/DifferentialOfAFunction/ Differential Of A Function] at Wolfram Demonstrations Project		*[http://demonstrations.wolfram.com/DifferentialOfAFunction/ Differential Of A Function] at Wolfram Demonstrations Project

	{{DEFAULTSORT:Differential Of A Function}}~~[[Category: अंतर कलन]] [[Category: व्युत्पन्न के सामान्यीकरण]] [[Category: पथरी में रैखिक संचालक]]~~		{{DEFAULTSORT:Differential Of A Function}}

			[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page\|Differential Of A Function]]
			[[Category:Created On 28/02/2023\|Differential Of A Function]]
	[[Category: ~~Machine Translated Page~~]]		[[Category:Lua-based templates\|Differential Of A Function]]
	[[Category:Created On 28/02/2023]]		[[Category:Machine Translated Page\|Differential Of A Function]]
	[[Category:Vigyan Ready]]		[[Category:Pages using sidebar with the child parameter\|Differential Of A Function]]
			[[Category:Pages with script errors\|Differential Of A Function]]
			[[Category:Templates Vigyan Ready\|Differential Of A Function]]
			[[Category:Templates that add a tracking category\|Differential Of A Function]]
			[[Category:Templates that generate short descriptions\|Differential Of A Function]]
			[[Category:Templates using TemplateData\|Differential Of A Function]]
			[[Category:अंतर कलन\|Differential Of A Function]]
			[[Category:पथरी में रैखिक संचालक\|Differential Of A Function]]
			[[Category:व्युत्पन्न के सामान्यीकरण\|Differential Of A Function]]

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	[[Category: Machine Translated Page]]		[[Category: Machine Translated Page]]
	[[Category:Created On 28/02/2023]]		[[Category:Created On 28/02/2023]]
			[[Category:Vigyan Ready]]

alpha>Shikhav at 09:47, 1 May 2023

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alpha>Shikhav at 09:47, 1 May 2023

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	: ए मोन एविस, रिएन डू टाउट।		: ए मोन एविस, रिएन डू टाउट।

	वह है: अंत में, समानता [...] का क्या अर्थ है, या प्रतिनिधित्व किया गया है? मेरी राय में, कुछ भी नहीं। इस संशयवाद के ~~बावजूद~~, उच्च क्रम के अवकलन विश्लेषण में महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में ~~उभरे।~~<ref>In particular to [[infinite dimensional holomorphy]] {{harv\|Hille\|Phillips\|1974}} and [[numerical analysis]] via the calculus of [[finite differences]].</ref>		वह है: अंत में, समानता [...] का क्या अर्थ है, या प्रतिनिधित्व किया गया है? मेरी राय में, कुछ भी नहीं। इस संशयवाद के अतिरिक्त, उच्च क्रम के अवकलन विश्लेषण में महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में उभरे थे।<ref>In particular to [[infinite dimensional holomorphy]] {{harv\|Hille\|Phillips\|1974}} and [[numerical analysis]] via the calculus of [[finite differences]].</ref>

	इन संदर्भों में, वृद्धि Δx पर प्रायुक्त फलन f के nवें क्रम के अवकलन को इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है		इन संदर्भों में, वृद्धि Δx पर प्रायुक्त फलन f के nवें क्रम के अवकलन को इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है
	:<math>d^nf(x,\Delta x) = \left.\frac{d^n}{dt^n} f(x+t\Delta x)\right\|_{t=0}</math>		:<math>d^nf(x,\Delta x) = \left.\frac{d^n}{dt^n} f(x+t\Delta x)\right\|_{t=0}</math>
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	== सामान्य सूत्रीकरण ==		== सामान्य सूत्रीकरण ==
	{{See also\|~~Fréchet derivative~~\|~~Gateaux derivative~~}}		{{See also\|फ्रेचेट व्युत्पन्न\|गेटॉक्स व्युत्पन्न}}
	फलन ~~के लिए अवकलन की सुसंगत धारणा विकसित की जा सकती है~~ {{nowrap\|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} दो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष\|यूक्लिडियन अवकलनिक्ष]] स्थान के ~~बीच।~~ माना x,Δx ∈ R<sup>n</sup> यूक्लिडियन सदिशों का युग्म हो। फलन f में वृद्धि है
			फलन {{nowrap\|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} दो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष\|यूक्लिडियन अवकलनिक्ष]] स्थान के बीच के लिए अवकलन की सुसंगत धारणा विकसित की जा सकती है। माना x,Δx ∈ R<sup>n</sup> यूक्लिडियन सदिशों का युग्म हो। फलन f में वृद्धि है
	:<math>\Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}).</math>		:<math>\Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}).</math>
	यदि कोई m × n [[मैट्रिक्स (गणित)]] A ~~मौजूद~~ है, जैसे कि		यदि कोई m × n [[मैट्रिक्स (गणित)]] A उपस्थित है, जैसे कि
	:<math>\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \\|\Delta\mathbf{x}\\|\boldsymbol{\varepsilon}</math>		:<math>\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \\|\Delta\mathbf{x}\\|\boldsymbol{\varepsilon}</math>
	जिसमें वेक्टर ''ε'' → 0 के रूप में Δx → 0, फिर ''f'' परिभाषा के अनुसार बिंदु x पर अवकलनीय है। मैट्रिक्स ''ए'' को कभी-कभी [[ जैकबियन मैट्रिक्स ]] के रूप में जाना जाता है, और [[रैखिक परिवर्तन]] जो वेतन वृद्धि Δx ∈ R ~~से जुड़ा होता है~~<sup>n</sup> सदिश AΔ'x' ∈ 'R'<sup>m</sup>, इस सामान्य सेटिंग में, बिंदु x पर f के अवकल df(x) के रूप में जाना जाता है। यह बिल्कुल फ्रेचेट डेरिवेटिव है, और किसी भी बनच रिक्त स्थान के बीच फलन के लिए काम करने के लिए ही निर्माण किया जा सकता है।		जिसमें वेक्टर ''ε'' → 0 के रूप में Δx → 0, फिर ''f'' परिभाषा के अनुसार बिंदु x पर अवकलनीय है। मैट्रिक्स ''A'' को कभी-कभी [[ जैकबियन मैट्रिक्स ]] के रूप में जाना जाता है, और [[रैखिक परिवर्तन]] जो वेतन वृद्धि Δx ∈ R<sup>n</sup> से जुड़ा होता है सदिश AΔ'x' ∈ 'R'<sup>m</sup>, इस सामान्य सेटिंग में, बिंदु x पर f के अवकल df(x) के रूप में जाना जाता है। यह बिल्कुल फ्रेचेट डेरिवेटिव है, और किसी भी बनच रिक्त स्थान के बीच फलन के लिए काम करने के लिए ही निर्माण किया जा सकता है।

	और उपयोगी दृष्टिकोण अवकलन को सीधे प्रकार के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित करना है:		और उपयोगी दृष्टिकोण अवकलन को सीधे प्रकार के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित करना है:
Line 205:		Line 207:

	== अन्य दृष्टिकोण ==		== अन्य दृष्टिकोण ==
	{{Main\|~~Differential~~ (~~infinitesimal~~)}}		{{Main\|विभेदक (अनंत)}}
	यद्यपि अतिसूक्ष्म वेतन वृद्धि dx होने की धारणा आधुनिक गणितीय विश्लेषण में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, अवकलन (अनंत) को परिभाषित करने के लिए कई तरह की तकनीकें ~~मौजूद~~ हैं जिससे किसी फलन के अवकलन को इस तरह से नियंत्रित किया जा सके जो इसके साथ संघर्ष न करे। लीबनिज संकेतन। इसमे सम्मिलित है:
			यद्यपि अतिसूक्ष्म वेतन वृद्धि dx होने की धारणा आधुनिक गणितीय विश्लेषण में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, अवकलन (अनंत) को परिभाषित करने के लिए कई तरह की तकनीकें उपस्थित हैं जिससे किसी फलन के अवकलन को इस तरह से नियंत्रित किया जा सके जो इसके साथ संघर्ष न करे। लीबनिज संकेतन। इसमे सम्मिलित है:

	* अवकलन को प्रकार के अवकलन फॉर्म के रूप में परिभाषित करना, विशेष रूप से किसी फलन का बाहरी डेरिवेटिव। फिर बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में वैक्टर के साथ अनंत वेतन वृद्धि की पहचान की जाती है। यह दृष्टिकोण अवकलन ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में लोकप्रिय है, क्योंकि यह अलग-अलग कई गुनाओं के बीच मैपिंग को आसानी से सामान्यीकृत करता है।		* अवकलन को प्रकार के अवकलन फॉर्म के रूप में परिभाषित करना, विशेष रूप से किसी फलन का बाहरी डेरिवेटिव। फिर बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में वैक्टर के साथ अनंत वेतन वृद्धि की पहचान की जाती है। यह दृष्टिकोण अवकलन ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में लोकप्रिय है, क्योंकि यह अलग-अलग कई गुनाओं के बीच मैपिंग को आसानी से सामान्यीकृत करता है।
	* क्रमविनिमेय वलयों के [[ nilpotent ]] तत्वों के रूप में अवकलन। यह दृष्टिकोण [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में लोकप्रिय है।<ref>{{Harvnb\|Eisenbud\|Harris\|1998}}.</ref>		* क्रमविनिमेय वलयों के [[ nilpotent \| निलपोटेंट]] तत्वों के रूप में अवकलन। यह दृष्टिकोण [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में लोकप्रिय है।<ref>{{Harvnb\|Eisenbud\|Harris\|1998}}.</ref>
	* सेट थ्योरी के स्मूथ मॉडल में अवकलन्स। इस दृष्टिकोण को [[ सिंथेटिक अंतर ज्यामिति \| सिंथेटिक अवकलन ज्यामिति]] या [[चिकना अत्यल्प विश्लेषण]] के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, सिवाय इसके कि [[ टोपोस सिद्धांत ]] के विचारों का उपयोग उस तंत्र को छिपाने के लिए किया जाता है जिसके द्वारा निलपोटेंट इनफिनिटिमल प्रस्तुत किए जाते हैं।<ref>See {{Harvnb\|Kock\|2006}} and {{Harvnb\|Moerdijk\|Reyes\|1991}}.</ref>		* सेट थ्योरी के स्मूथ मॉडल में अवकलन्स। इस दृष्टिकोण को [[ सिंथेटिक अंतर ज्यामिति \| सिंथेटिक अवकलन ज्यामिति]] या [[चिकना अत्यल्प विश्लेषण]] के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, सिवाय इसके कि [[ टोपोस सिद्धांत ]] के विचारों का उपयोग उस तंत्र को छिपाने के लिए किया जाता है जिसके द्वारा निलपोटेंट इनफिनिटिमल प्रस्तुत किए जाते हैं।<ref>See {{Harvnb\|Kock\|2006}} and {{Harvnb\|Moerdijk\|Reyes\|1991}}.</ref>
	* [[अति वास्तविक संख्या]] सिस्टम में इनफिनिटिमल्स के रूप में अवकलन, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार होते हैं जिनमें इन्वर्टिबल इनफिनिटिमल्स और अनंत रूप से बड़ी संख्याएँ होती हैं। यह [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।<ref name="nonstd">See {{Harvnb\|Robinson\|1996}} and {{Harvnb\|Keisler\|1986}}.</ref>		* [[अति वास्तविक संख्या]] सिस्टम में इनफिनिटिमल्स के रूप में अवकलन, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार होते हैं जिनमें इन्वर्टिबल इनफिनिटिमल्स और अनंत रूप से बड़ी संख्याएँ होती हैं। यह [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।<ref name="nonstd">See {{Harvnb\|Robinson\|1996}} and {{Harvnb\|Keisler\|1986}}.</ref>
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	== उदाहरण और अनुप्रयोग ==		== उदाहरण और अनुप्रयोग ==
	गणना में प्रयोगात्मक त्रुटियों के प्रसार का अध्ययन करने के लिए [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में विभेदकों का प्रभावी ढंग से उपयोग किया जा सकता है, और इस प्रकार किसी समस्या की समग्र [[संख्यात्मक स्थिरता]] {{harv\|~~Courant~~\|1937a}}. मान लीजिए कि वेरिएबल्स x प्रयोग के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है और y x पर प्रायुक्त संख्यात्मक गणना का परिणाम है। प्रश्न यह है कि किस हद तक x के मापन में त्रुटियाँ y की गणना के परिणाम को प्रभावित करती हैं। यदि x अपने वास्तविक मान के Δx के ~~भीतर~~ जाना जाता है, तो टेलर का प्रमेय y की गणना में त्रुटि Δy पर निम्नलिखित अनुमान देता है:		गणना में प्रयोगात्मक त्रुटियों के प्रसार का अध्ययन करने के लिए [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में विभेदकों का प्रभावी ढंग से उपयोग किया जा सकता है, और इस प्रकार किसी समस्या की समग्र [[संख्यात्मक स्थिरता]] {{harv\|कुरंट\|1937a}}. मान लीजिए कि वेरिएबल्स x प्रयोग के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है और y x पर प्रायुक्त संख्यात्मक गणना का परिणाम है। प्रश्न यह है कि किस सीमा तक x के मापन में त्रुटियाँ y की गणना के परिणाम को प्रभावित करती हैं। यदि x अपने वास्तविक मान के Δx के अन्दर जाना जाता है, तो टेलर का प्रमेय y की गणना में त्रुटि Δy पर निम्नलिखित अनुमान देता है:
	:<math>\Delta y = f'(x)\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{2}f''(\xi)</math>		:<math>\Delta y = f'(x)\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{2}f''(\xi)</math>
	जहाँ {{nowrap\|1=''ξ'' = ''x'' + ''θ''Δ''x''}} कुछ के लिए {{nowrap\|0 < ''θ'' < 1}}. यदि Δx छोटा है, तो दूसरा ऑर्डर शब्द नगण्य है, जिससे Δy, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अच्छी तरह से ~~अनुमानित हो~~ {{nowrap\|1=''dy'' = ''f'''(''x'')Δ''x''}}.		जहाँ {{nowrap\|1=''ξ'' = ''x'' + ''θ''Δ''x''}} कुछ के लिए {{nowrap\|0 < ''θ'' < 1}}. यदि Δx छोटा है, तो दूसरा ऑर्डर शब्द नगण्य है, जिससे Δy, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अच्छी तरह से {{nowrap\|1=''dy'' = ''f'''(''x'')Δ''x''}} अनुमानित हो।

	[[अंतर समीकरण\|अवकलन समीकरण]] को फिर से लिखने के लिए अवकलन अक्सर उपयोगी होता है		[[अंतर समीकरण\|अवकलन समीकरण]] को फिर से लिखने के लिए अवकलन अक्सर उपयोगी होता है

alpha>Shikhav at 09:40, 1 May 2023

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	*[http://demonstrations.wolfram.com/DifferentialOfAFunction/ Differential Of A Function] at Wolfram Demonstrations Project		*[http://demonstrations.wolfram.com/DifferentialOfAFunction/ Differential Of A Function] at Wolfram Demonstrations Project

	{{DEFAULTSORT:Differential Of A Function}}~~[[Category: अंतर कलन]] [[Category: व्युत्पन्न के सामान्यीकरण]] [[Category: पथरी में रैखिक संचालक]]~~		{{DEFAULTSORT:Differential Of A Function}}

			[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page\|Differential Of A Function]]
			[[Category:Created On 28/02/2023\|Differential Of A Function]]
	[[Category: ~~Machine Translated Page~~]]		[[Category:Lua-based templates\|Differential Of A Function]]
	[[Category:Created On 28/02/2023]]		[[Category:Machine Translated Page\|Differential Of A Function]]
	[[Category:Vigyan Ready]]		[[Category:Pages using sidebar with the child parameter\|Differential Of A Function]]
			[[Category:Pages with script errors\|Differential Of A Function]]
			[[Category:Templates Vigyan Ready\|Differential Of A Function]]
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			[[Category:Templates using TemplateData\|Differential Of A Function]]
			[[Category:अंतर कलन\|Differential Of A Function]]
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