अनुपात - Revision history

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 {{short description|Relationship between two numbers of the same kind}}
 {{for|गैर-आयामहीन अनुपात|दर (गणित) {{!}} दरें}}
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 {{Fractions and ratios}}
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	यदि अनुपात में केवल दो मान होते हैं, तो इसे एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, विशेष रूप से दशमलव अंश के रूप में। उदाहरण के लिए, पुराने चित्रपटल का पक्षानुपात 4:3 होता है, जिसका अर्थ है कि चौड़ाई ऊंचाई की 4/3 है (इसे 1.33:1 के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है या केवल 1.33 को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांक किया जा सकता है)। हाल ही के वाइडस्क्रीन चित्रपटल में 16:9 का पक्षानुपात है, या 1.78 को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांक किया गया है। लोकप्रिय वाइडस्क्रीन चलचित्र प्रारूपों में से एक 2.35:1 या केवल 2.35 है। अनुपातों को दशमलव भिन्न के रूप में प्रदर्शित करने से उनकी तुलना सरल हो जाती है। 1.33, 1.78 और 2.35 की तुलना करते समय, यह स्पष्ट है कि कौन सा प्रारूप व्यापक छवि प्रदान करता है। इस तरह की तुलना केवल तभी काम करती है जब तुलना की जा रही महत्त्वता सुसंगत होती है, जैसे ऊंचाई के संबंध में हमेशा चौड़ाई व्यक्त करना होता है।		यदि अनुपात में केवल दो मान होते हैं, तो इसे एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, विशेष रूप से दशमलव अंश के रूप में। उदाहरण के लिए, पुराने चित्रपटल का पक्षानुपात 4:3 होता है, जिसका अर्थ है कि चौड़ाई ऊंचाई की 4/3 है (इसे 1.33:1 के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है या केवल 1.33 को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांक किया जा सकता है)। हाल ही के वाइडस्क्रीन चित्रपटल में 16:9 का पक्षानुपात है, या 1.78 को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांक किया गया है। लोकप्रिय वाइडस्क्रीन चलचित्र प्रारूपों में से एक 2.35:1 या केवल 2.35 है। अनुपातों को दशमलव भिन्न के रूप में प्रदर्शित करने से उनकी तुलना सरल हो जाती है। 1.33, 1.78 और 2.35 की तुलना करते समय, यह स्पष्ट है कि कौन सा प्रारूप व्यापक छवि प्रदान करता है। इस तरह की तुलना केवल तभी काम करती है जब तुलना की जा रही महत्त्वता सुसंगत होती है, जैसे ऊंचाई के संबंध में हमेशा चौड़ाई व्यक्त करना होता है।

	== ~~लघूकरण~~ ==		== लघुकरण ==
	सभी मात्राओं के सामान्य कारकों द्वारा प्रत्येक मात्रा को विभाजित करके अनुपात न्यूनीकरण (गणित) (अंशों के रूप में) हो सकते हैं। अंशों के लिए, सबसे सरल रूप माना जाता है जिसमें अनुपात में संख्याएँ सबसे छोटी संभव पूर्णांक होती हैं।		सभी मात्राओं के सामान्य कारकों द्वारा प्रत्येक मात्रा को विभाजित करके अनुपात न्यूनीकरण (गणित) (अंशों के रूप में) हो सकते हैं। अंशों के लिए, सबसे सरल रूप माना जाता है जिसमें अनुपात में संख्याएँ सबसे छोटी संभव पूर्णांक होती हैं।

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	== इतिहास और व्युत्पत्ति ==		== इतिहास और व्युत्पत्ति ==
	अनुपात शब्द की उत्पत्ति [[प्राचीन यूनानी]] {{lang\|grc\|λόγος}} ([[लोगो\|लोगस]]) में खोजी जा सकती है। शुरुआती अनुवादकों ने इसे [[लैटिन]] में इसे अनुपात (कारण; तर्कसंगत शब्द के रूप में) के रूप में प्रस्तुत ~~किया ।~~ एक और आधुनिक व्याख्या यूक्लिड का अर्थ अभिकलन या गणना के अधिक समान है।<ref>Penny Cyclopædia, p. 307</ref> मध्यकालीन लेखकों ने इस शब्द का प्रयोग किया था~~{{lang\|la\|proportio}}~~(अनुपात) अनुपात को इंगित करने के लिए और~~{{lang\|la\|proportionalitas}}~~(आनुपातिकता) अनुपात की समानता के लिए।<ref>Smith, p. 478</ref>		अनुपात शब्द की उत्पत्ति [[प्राचीन यूनानी]] {{lang\|grc\|λόγος}} ([[लोगो\|लोगस]]) में खोजी जा सकती है। शुरुआती अनुवादकों ने इसे [[लैटिन]] में इसे अनुपात (कारण; तर्कसंगत शब्द के रूप में) के रूप में प्रस्तुत किया। एक और आधुनिक व्याख्या यूक्लिड का अर्थ अभिकलन या गणना के अधिक समान है।<ref>Penny Cyclopædia, p. 307</ref> मध्यकालीन लेखकों ने इस शब्द का प्रयोग किया था, प्रोपोरटीओ (अनुपात) अनुपात को इंगित करने के लिए और प्रोपोरशनलीटस (आनुपातिकता) अनुपात की समानता के लिए।<ref>Smith, p. 478</ref>

	यूक्लिड ने तत्वों में दिखाई देने वाले परिणामों को पहले के स्रोतों से एकत्रित किया। [[पाइथागोरसवाद]] ने संख्याओं पर लागू होने वाले अनुपात और समानुपात के सिद्धांत को विकसित किया।<ref>Heath, p. 112</ref> पाइथागोरस की संख्या की अवधारणा में केवल वह सम्मिलित था जिसे आज परिमेय संख्या कहा जाता है, ज्यामिति में सिद्धांत की वैधता पर संदेह पैदा करता है, जहां पाइथागोरस ने भी खोज की, अतुलनीय अनुपात ([[अपरिमेय संख्या]] के अनुरूप) मौजूद हैं। अनुपात के एक सिद्धांत की खोज जो अनुरूपता नहीं मानती है, शायद कनिडस के यूडोक्सस के कारण है। द एलिमेंट्स की पुस्तक VII में प्रकट होने वाले अनुपात के सिद्धांत की व्याख्या आनुपातिकता के अनुपात के पहले के सिद्धांत को दर्शाती है।<ref>Heath, p. 113</ref>		यूक्लिड ने तत्वों में दिखाई देने वाले परिणामों को पहले के स्रोतों से एकत्रित किया। [[पाइथागोरसवाद]] ने संख्याओं पर लागू होने वाले अनुपात और समानुपात के सिद्धांत को विकसित किया।<ref>Heath, p. 112</ref> पाइथागोरस की संख्या की अवधारणा में केवल वह सम्मिलित था जिसे आज परिमेय संख्या कहा जाता है, ज्यामिति में सिद्धांत की वैधता पर संदेह पैदा करता है, जहां पाइथागोरस ने भी खोज की, अतुलनीय अनुपात ([[अपरिमेय संख्या]] के अनुरूप) मौजूद हैं। अनुपात के एक सिद्धांत की खोज जो अनुरूपता नहीं मानती है, शायद कनिडस के यूडोक्सस के कारण है। द एलिमेंट्स की पुस्तक VII में प्रकट होने वाले अनुपात के सिद्धांत की व्याख्या आनुपातिकता के अनुपात के पहले के सिद्धांत को दर्शाती है।<ref>Heath, p. 113</ref>
	कई सिद्धांतों का अस्तित्व अनावश्यक रूप से जटिल लगता है क्योंकि अनुपात, काफी हद तक, भागफल और उनके संभावित मूल्यों के साथ पहचाने जाते हैं। हालांकि, यह एक अपेक्षाकृत हालिया विकास है, जैसा कि इस तथ्य से देखा जा सकता है कि आधुनिक ज्यामिति पाठ्यपुस्तकें अभी भी अनुपात और भागफल के लिए विशिष्ट शब्दावली और संकेतन का उपयोग करती हैं। इसके दो कारण हैं: पहला, अपरिमेय संख्याओं को सही संख्या के रूप में स्वीकार करने के लिए पहले उल्लेखित अनिच्छा थी, और दूसरा, अनुपातों की पहले से स्थापित शब्दावली को बदलने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले प्रतीकवाद की कमी ने विकल्प के रूप में भिन्नों की पूर्ण स्वीकृति में देरी की। 16 वीं शताब्दी।<ref>Smith, p. 480</ref>		कई सिद्धांतों का अस्तित्व अनावश्यक रूप से जटिल लगता है क्योंकि अनुपात, काफी हद तक, भागफल और उनके संभावित मूल्यों के साथ पहचाने जाते हैं। हालांकि, यह एक अपेक्षाकृत हालिया विकास है, जैसा कि इस तथ्य से देखा जा सकता है कि आधुनिक ज्यामिति पाठ्यपुस्तकें अभी भी अनुपात और भागफल के लिए विशिष्ट शब्दावली और संकेतन का उपयोग करती हैं। इसके दो कारण हैं: पहला, अपरिमेय संख्याओं को सही संख्या के रूप में स्वीकार करने के लिए पहले उल्लेखित अनिच्छा थी, और दूसरा, अनुपातों की पहले से स्थापित शब्दावली को बदलने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले प्रतीकवाद की कमी ने विकल्प के रूप में भिन्नों की पूर्ण स्वीकृति में देरी की। 16 वीं शताब्दी।<ref>Smith, p. 480</ref>

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