View source for स्लेटर निर्धारक

{{short description|Function that can be used to build the wave function of a multi-fermionic system}}
[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, '''स्लेटर निर्धारक''' एक अभिव्यक्ति है जो एक बहु-फर्मियोनिक प्रणाली के तरंग फलन का वर्णन करता है। यह दो इलेक्ट्रॉनों (या अन्य फ़र्मियन) के आदान-प्रदान पर संकेत को बदलकर और इसके परिणामस्वरूप [[पाउली सिद्धांत]] को बदलकर विरोधी समरूपता आवश्यकताओं को पूरा करता है।<ref name="Atkins">Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISTRY (Volume 1), P. W. Atkins, Oxford University Press, 1977, {{ISBN|0-19-855129-0}}.</ref> सभी संभव फर्मीओनिक तरंग फलनों का केवल एक छोटा सा उपसमुच्चय एकल स्लेटर निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन अपनी सरलता के कारण वे एक महत्वपूर्ण और उपयोगी उपसमूह बनाते हैं।

स्लेटर निर्धारक इलेक्ट्रॉनों के संग्रह के लिए एक तरंग फलन के विचार से उत्पन्न होता है, प्रत्येक चक्रण कक्षीय <math>\chi(\mathbf{x})</math> के रूप में जाना जाने वाला तरंग फलन होता है, जहां <math>\mathbf{x}</math> एक इलेक्ट्रॉन की स्थिति और चक्रण को दर्शाता है। एक ही चक्रण कक्षीय के साथ दो इलेक्ट्रॉनों वाला एक स्लेटर निर्धारक एक तरंग फलन के अनुरूप होगा जो हर जगह शून्य है।

स्लेटर निर्धारक का नाम जॉन सी. स्लेटर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1929 में निर्धारक को कई-इलेक्ट्रॉन तरंग कार्यों की विषमता सुनिश्चित करने के साधन के रूप में प्रस्तुत किया था,<ref>{{cite journal |last1=Slater |first1=J. |title=कॉम्प्लेक्स स्पेक्ट्रा का सिद्धांत|journal=Physical Review |volume=34 |issue=2 |pages=1293–1322 |year=1929  |doi=10.1103/PhysRev.34.1293 |bibcode = 1929PhRv...34.1293S }}</ref> हालांकि तरंग फलन को पहले निर्धारक रूप में वर्णित किया गया था, हाइजेनबर्ग <ref>{{cite journal |last1 = Heisenberg |first1 = W. |title = Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik |journal = Zeitschrift für Physik |year = 1926 |volume = 38 |issue = 6–7 |pages = 411–426 |doi= 10.1007/BF01397160 |bibcode = 1926ZPhy...38..411H |s2cid = 186238286 }}</ref> और डिराक <ref>{{cite journal |last1 = Dirac |first1 = P. A. M. |title = क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत पर|journal = Proceedings of the Royal Society A |year = 1926 |volume = 112 |issue = 762 |pages = 661–677 |doi= 10.1098/rspa.1926.0133 |bibcode = 1926RSPSA.112..661D |doi-access = free }}</ref> के लेखों में तीन साल पहले स्वतंत्र रूप से उपयोग किया गया था।

== परिभाषा ==

=== दो-कण का स्थिति ===

बहु-कण प्रणाली के तरंग फलन का अनुमान लगाने का सबसे आसान तरीका अलग-अलग कणों के उचित रूप से चुने गए [[ऑर्थोगोनलिटी (क्वांटम यांत्रिकी)|लंबकोणीय]] तरंग फलन के उत्पाद को लेना है। निर्देशांक <math>\mathbf{x}_1</math>और <math>\mathbf{x}_2</math> वाले दो-कणों वाले स्थिति के लिए, हमारे पास है

:<math>
\Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) = \chi_1(\mathbf{x}_1) \chi_2(\mathbf{x}_2).
</math>
इस अभिव्यक्ति का उपयोग हार्ट्री पद्धति में कई-कण तरंग फलन के लिए [[ansatz]] (अंसतज़) के रूप में किया जाता है और इसे [[हार्ट्री उत्पाद]] के रूप में जाना जाता है। हालांकि, यह फरमिओन्स के लिए समाधानप्रद नहीं है क्योंकि उपरोक्त तरंग फलन किसी भी दो फरमिओन्स के आदान-प्रदान के तहत प्रतिसममित नहीं है, जैसा कि पाउली अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार होना चाहिए। प्रतिसममित तरंग फलन को गणितीय रूप से इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:

:<math>
\Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) = -\Psi(\mathbf{x}_2, \mathbf{x}_1).
</math>
यह हार्ट्री उत्पाद के लिए मान्य नहीं है, जो इसलिए पाउली सिद्धांत को संतुष्ट नहीं करता है। दो हार्ट्री उत्पादों के [[रैखिक संयोजन]] से इस समस्या को दूर किया जा सकता है:

:<math>
\begin{aligned}
 \Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \{\chi_1(\mathbf{x}_1) \chi_2(\mathbf{x}_2) - \chi_1(\mathbf{x}_2) \chi_2(\mathbf{x}_1)\} \\
  &= \frac{1}{\sqrt2}\begin{vmatrix} \chi_1(\mathbf{x}_1) & \chi_2(\mathbf{x}_1) \\ \chi_1(\mathbf{x}_2) & \chi_2(\mathbf{x}_2) \end{vmatrix},
\end{aligned}
</math>
जहां गुणांक [[सामान्यीकरण कारक|सामान्यीकरण]] का [[सामान्यीकरण कारक|कारक]] है। यह तरंग फलन अब प्रतिसममित है और अब फ़र्मियन के बीच अंतर नहीं करता है (अर्थात, कोई एक विशिष्ट कण के लिए एक क्रमिक संख्या का संकेत नहीं दे सकता है, और दिए गए सूचकांक परस्पर विनिमय करने योग्य हैं)। इसके अतिरिक्त, यह भी शून्य हो जाता है यदि दो फर्मों के दो चक्रण कक्षीय समान हों। यह पाउली के बहिष्करण सिद्धांत को संतुष्ट करने के बराबर है।

=== बहु-कण स्थिति ===

व्यंजक को निर्धारक के रूप में लिखकर किसी भी संख्या में फ़र्मियन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। ''N''-इलेक्ट्रॉन प्रणाली के लिए, स्लेटर निर्धारक को इस रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref name="Atkins" /><ref name="Szabo">{{cite book
  | last1 = Szabo
  | first1 = A.
  | last2= Ostlund| first2= N. S.
  | title = Modern Quantum Chemistry
  | publisher = Dover Publishing | year = 1996 | location = Mineola, New York
  | isbn = 0-486-69186-1}}</ref>
:<math>
\begin{aligned}
 \Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_N) &=
  \frac{1}{\sqrt{N!}}
  \begin{vmatrix} \chi_1(\mathbf{x}_1) & \chi_2(\mathbf{x}_1) & \cdots & \chi_N(\mathbf{x}_1) \\
                      \chi_1(\mathbf{x}_2) & \chi_2(\mathbf{x}_2) & \cdots & \chi_N(\mathbf{x}_2) \\
                      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
                      \chi_1(\mathbf{x}_N) & \chi_2(\mathbf{x}_N) & \cdots & \chi_N(\mathbf{x}_N)
  \end{vmatrix} \\
 &\equiv | \chi _1, \chi _2, \cdots, \chi _N \rangle \\
 &\equiv | 1, 2, \dots, N \rangle,
\end{aligned}
</math>
जहां अंतिम दो अभिव्यक्तियां स्लेटर निर्धारकों के लिए एक आशुलिपि (शॉर्टहैंड) का उपयोग करती हैं: सामान्यीकरण स्थिरांक संख्या N को ध्यान में रखते हुए निहित होता है, और केवल एक-कण तरंग फलन (प्रथम आशुलिपि) या फ़र्मियन निर्देशांक (दूसरा आशुलिपि) के लिए सूचकांक नीचे लिखे जाते हैं। सभी छोड़े गए लेबल आरोही क्रम में व्यवहार करने के लिए निहित हैं। दो-कण वाले स्थिति के लिए हार्ट्री उत्पादों का रैखिक संयोजन N = 2 के लिए स्लेटर निर्धारक के समान है। स्लेटर निर्धारकों का उपयोग प्रारम्भ में असममित फलन सुनिश्चित करता है। उसी तरह, स्लेटर निर्धारकों का उपयोग पाउली सिद्धांत के अनुरूप होना सुनिश्चित करता है। दरअसल, स्लेटर निर्धारक गायब हो जाता है यदि समुच्चय <math>\{\chi_i\}</math> रेखीय रूप से निर्भर है। विशेष रूप से, यह स्थिति तब होती है जब दो (या अधिक) चक्रण कक्षीय समान होते हैं। रसायन विज्ञान में इस तथ्य को यह कहते हुए व्यक्त किया जाता है कि एक ही चक्रण के साथ कोई भी दो इलेक्ट्रॉन एक ही स्थानिक कक्षा में नहीं रह सकते हैं।

== उदाहरण: कई इलेक्ट्रॉन समस्या में आव्यूह अवयव ==
स्लेटर निर्धारक के कई गुण एक गैर-सापेक्षवादी कई इलेक्ट्रॉन समस्या में उदाहरणों के साथ जीवित हैं।<ref name="ReferenceA">Solid State Physics - Grosso Parravicini - 2nd edition pp.140-143</ref>

* ''हैमिल्टनियन का एक कण शब्द उसी तरह से योगदान देगा जैसे कि साधारण हार्ट्री उत्पाद के लिए, अर्थात् ऊर्जा का योग है और अवस्था स्वतंत्र हैं।''
* ''हैमिल्टनियन के बहु-कण शब्द, यानी विनिमय की शर्तें, आइजेनस्टेट्स की ऊर्जा को कम करने का परिचय देंगी।''

हैमिल्टनियन से प्रारम्भ करना:<math display="block">\hat{H}_\text{tot} = \sum_i \frac{\mathbf{p}^2_i}{2 m} + \sum_I \frac{\mathbf{P}^2_I}{2 M_I} + \sum_i V_\text{nucl}(\mathbf{r_i}) + \frac{1}{2}\sum_{i \ne j} \frac{e^2}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|} + \frac{1}{2}\sum_{I \ne J} \frac{Z_I Z_J e^2}{|\mathbf{R}_I-\mathbf{R}_J|}</math>जहाँ <math>\mathbf{r}_i</math> इलेक्ट्रॉन हैं और <math>\mathbf{R}_I</math> नाभिक हैं और

: <math>V_\text{nucl}(\mathbf{r})= - \sum_I \frac{Z_I e^2}{|\mathbf{r}-\mathbf{R}_I|}</math>
सरलता के लिए हम नाभिक को संतुलन की एक अवस्था में स्थिर कर देते हैं और हमारे पास सरल हैमिल्टनियन रह जाता है
: <math>\hat{H}_e = \sum^N_i \hat{h}(\mathbf{r}_i) + \frac{1}{2}\sum^N_{i \ne j} \frac{e^2}{r_{ij}} </math>
जहाँ
: <math>\hat{h}(\mathbf{r}) = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} + V_\text{nucl}(\mathbf{r})</math>
और जहां हम हैमिल्टनियन में परिस्थितियों के पहले समुच्चय के बीच <math>\hat{G}_1</math> के रूप में अंतर करेंगे ("1" कण शब्द) और अंतिम शब्द <math>\hat{G}_2</math> जो "2" कण शब्द या विनिमय अवधि है
: <math>\hat{G}_1 =\sum^N_i \hat{h}(\mathbf{r}_i) </math>
: <math>\hat{G}_2 =\frac{1}{2} \sum^N_{i \ne j} \frac{e^2}{r_{ij}}</math>
स्लेटर नियतात्मक तरंग फलन के साथ परस्पर प्रभाव करने पर दो भाग अलग तरह से व्यवहार करेंगे। हम अपेक्षा मूल्यों की गणना करना प्रारम्भ करते हैं
: <math>\langle\Psi_0 |G_1 | \Psi_0\rangle = \frac{1}{N!}\langle \det\{\psi_1 ... \psi_N\}|G_1|\det\{\psi_1 ... \psi_N\}\rangle</math>
उपरोक्त अभिव्यक्ति में, हम बाईं ओर में निर्धारक में समान क्रमचय का चयन कर सकते हैं, क्योंकि अन्य सभी N! − 1 क्रमचय वही परिणाम देगा जो चयनित है। हम इस प्रकार N! को प्रतिच्छेद कर सकते हैं 
: <math>\langle\Psi_0 |G_1 | \Psi_0\rangle = \langle\psi_1 ... \psi_N|G_1|\det\{\psi_1 ... \psi_N\}\rangle</math>
चक्रण कक्षीय की ऑर्थोनॉर्मलिटी के कारण यह भी स्पष्ट है कि ऊपर दिए गए समान आव्यूह तत्व के दाईं ओर केवल निर्धारक ही क्रमचय से बचे रहते हैं
: <math>\langle\Psi_0 |G_1 | \Psi_0\rangle = \langle\psi_1 ... \psi_N|G_1|\psi_1 ... \psi_N\rangle</math>
इस परिणाम से पता चलता है कि उत्पाद के प्रति-समरूपता का एकल कण शब्दों के लिए कोई निहितार्थ नहीं है और सामान्य हार्ट्री उत्पाद के स्थिति में व्यवहार करता है।

और अंत में हम एकल कण हैमिल्टनियन पर प्रतिपादक के साथ रह गए हैं
: <math>\langle\Psi_0 |G_1 | \Psi_0\rangle = \sum_i \langle\psi_i|h|\psi_i\rangle</math>
जो हमें बताता है कि एक कण की सीमा तक इलेक्ट्रॉनों की तरंग क्रियाएं एक दूसरे से स्वतंत्र होती हैं और ऊर्जा एकल कणों की ऊर्जाओं के योग से दी जाती है।

बदले में विनिमय भाग
: <math>\langle\Psi_0 |G_2 | \Psi_0\rangle = \frac{1}{N!}\langle\det\{\psi_1 ... \psi_N\}|G_2|\det\{\psi_1 ... \psi_N\}\rangle = \langle\psi_1 ... \psi_N|G_2|\det\{\psi_1 ... \psi_N\}\rangle</math>
यदि हम किसी विनिमय शब्द की क्रिया को देखते हैं तो यह केवल तरंग फलन का आदान-प्रदान करेगा
: <math> \langle\psi_1(r_1,\sigma_1) ... \psi_N(r_N, \sigma_N) |\frac{e^2}{r_{12}}|\mathrm{det}\{\psi_1(r_1,\sigma_1) ... \psi_N(r_N,\sigma_N)\}\rangle= \langle\psi_1\psi_2|\frac{e^2}{r_{12}}|\psi_1\psi_2\rangle - \langle\psi_1\psi_2|\frac{e^2}{r_{12}}|\psi_2\psi_1\rangle</math>
और अंत में<math display="block">\langle\Psi_0 |G_2 | \Psi_0\rangle = \frac{1}{2}\sum_{ij}\left[ \langle\psi_i \psi_j | \frac{e^2}{r_{ij}} |
\psi_i \psi_j \rangle - \langle\psi_i \psi_j | \frac{e^2}{r_{ij}} |
\psi_j \psi_i \rangle \right] </math>जो इसके बजाय एक मिश्रण शब्द है, पहले योगदान को "कूलम्ब" शब्द कहा जाता है और दूसरा "विनिमय" शब्द है जिसे <math display="inline">\sum_{ij}</math> या <math display="inline">\sum_{i\ne j}</math> का उपयोग करके लिखा जा सकता है, चूंकि कूलम्ब और विनिमय योगदान एक दूसरे को <math>i = j</math> के लिए बिल्कुल रद्द करते हैं।



यह स्पष्ट रूप से ध्यान करना महत्वपूर्ण है कि इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण ऊर्जा <math>\langle\Psi_0 |G_2 |\Psi_0\rangle</math> चक्रण कक्षीय के असममित उत्पाद पर समान चक्रण कक्षीय के साधारण हार्ट्री उत्पाद पर इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकारक ऊर्जा से हमेशा कम होता है .

अंतर को स्व-बातचीत शर्तों के बिना दाएं हाथ की ओर दूसरे पद <math>i = j</math> द्वारा दर्शाया गया है। चूंकि विनिमय बायइलेक्ट्रॉनिक अविभाज्य धनात्मक मात्राएं हैं, केवल समानांतर चक्रण वाले चक्रण कक्षीय के लिए शून्य से अलग, हम ऊर्जा में कमी को भौतिक तथ्य से जोड़ते हैं कि समानांतर चक्रण वाले इलेक्ट्रॉनों को स्लेटर निर्धारक अवस्थाओं में वास्तविक स्थान से अलग रखा जाता है।

== एक अनुमान के रूप में ==

अधिकांश फ़र्मोनिक तरंगों को स्लेटर निर्धारक के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है। किसी दिए गए फ़र्मोनिक तरंग फलन के लिए सबसे अच्छा स्लेटर सन्निकटन को एक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो स्लेटर निर्धारक और लक्ष्य तरंग फलन के बीच अतिव्यापन को अधिकतम करता है।<ref>{{ cite journal|doi=10.1103/PhysRevA.89.012504 | title=एक ''N''-फर्मियन वेव फंक्शन का ऑप्टिमल मल्टीकॉन्फ़िगरेशन सन्निकटन|first1=J. M. |last1=Zhang | first2 = Marcus | last2 = Kollar |page=012504 | volume=89 |year=2014 |journal= Physical Review A | issue=1 |arxiv = 1309.1848 |bibcode = 2014PhRvA..89a2504Z| s2cid=17241999 }}</ref> अधिक से अधिक अतिव्याप्ति फरमिओन्स के बीच उलझाव का ज्यामितीय माप है।

हार्ट्री-फॉक सिद्धांत में इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन के सन्निकटन के रूप में एकल स्लेटर निर्धारक का उपयोग किया जाता है। अधिक सटीक सिद्धांतों (जैसे [[कॉन्फ़िगरेशन इंटरैक्शन|विन्यास अन्योन्यक्रिया]] और [[एमसीएससीएफ]]) में, स्लेटर निर्धारकों का रैखिक संयोजन आवश्यक है।

== चर्चा ==

शब्द "'''डेटर'''" का प्रस्ताव एसएफ बॉयज़ द्वारा ऑर्थोनॉर्मल कक्षीय के स्लेटर निर्धारक के संदर्भ में दिया गया था,<ref>{{ cite journal| title=इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्य I. किसी भी आणविक प्रणाली की स्थिर अवस्थाओं के लिए गणना की एक सामान्य विधि|author-link=S. Francis Boys|first=S. F. |last=Boys|page=542| volume=A200 |year=1950|journal= Proceedings of the Royal Society|issue=1063|doi=10.1098/rspa.1950.0036|bibcode=1950RSPSA.200..542B|s2cid=122709395|url=http://elib.bsu.by/handle/123456789/154387}}</ref> लेकिन इस शब्द का प्रयोग शायद ही कभी किया जाता है।

पाउली बहिष्करण सिद्धांत के अधीन होने वाले फ़र्मियन के विपरीत, दो या दो से अधिक बोसोन एक ही कण-कण क्वांटम अवस्था को अधिकृत कर सकते हैं। समान बोसोन की प्रणालियों का वर्णन करने वाले तरंग फलन कणों के आदान-प्रदान के तहत सममित होते हैं और [[स्थायी (गणित)|स्थायी]] के रूप में विस्तारित किए जा सकते हैं।

== यह भी देखें ==
* [[प्रतिभार]]
* [[परमाणु कक्षीय]]
* [[फॉक स्पेस]]
* [[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स]]
* क्वांटम यांत्रिकी
* [[भौतिक रसायन]]
* हुंड का नियम
* हार्ट्री-फॉक विधि

==संदर्भ==
{{reflist|2}}


==बाहरी संबंध==
* [http://www.cond-mat.de/events/correl13/manuscripts/koch.pdf Many-Electron States] in E.  Pavarini, E. Koch, and U. Schollwöck: Emergent Phenomena in Correlated Matter, Jülich 2013, {{ISBN|978-3-89336-884-6}}

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[[Category:कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान]]
[[Category:क्वांटम यांत्रिकी]]
[[Category:क्वांटम रसायन]]
[[Category:निर्धारकों]]
[[Category:पाउली अपवर्जन सिद्धांत]]
[[Category:सैद्धांतिक रसायन शास्त्र]]