View source for सदिश-मूल्यवान अवकल रूप

गणित में, [[मैनिफोल्ड]] ''M'' पर '''सदिश - मूल्यवान अवकल रूप''' है जिसमे कि ऐसा [[ सदिश स्थल |सदिश समिष्ट]] है जो कि ''V'' के मूल्यवानों के साथ ''M'' पर अवकल रूप है तथा जिसमे अधिक सामूल्यवान्यतः, यह है की ''M'' के ऊपर कुछ ऐसे [[वेक्टर बंडल|सदिश]] मूल्यवान है जो कि ''E'' में मूल्यवानों के साथ [[विभेदक रूप|अवकल रूप]] है। साधारण अवकल रूपों को R-मूल्यवान के अवकल रूपों के रूप में देखा जा सकता है।

सदिश मूल्यवान अवकल रूपों का महत्वपूर्ण स्तिथि बीजगणित-मूल्यवान रूप हैं। ( [[ कनेक्शन प्रपत्र |कनेक्शन प्रपत्र]] ऐसे रूप का उदाहरण है।)

==परिभाषा==

मूल्यवान लीजिए कि ''M'' [[ चिकनी कई गुना |स्मूथ मैनिफोल्ड]] है और जिसमे ''E'' → ''M'', ''M'' के ऊपर स्मूथ सदिश मूल्यवान है। हम मूल्यवान ''E'' के [[ अनुभाग (फाइबर बंडल) |अनुभाग (फाइबर मूल्यवान)]] के स्थान को Γ(E) से निरूपित करते हैं। इस प्रकार डिग्री ''P'' का ' ''E''-मूल्यवान अवकल रूप' Λ<sup>''p''</sup>(''T'' <sup>∗</sup>''M''), के साथ ''E'' के [[टेंसर उत्पाद बंडल|टेंसर उत्पाद मूल्यवान]] का स्मूथ खंड है | जिसमे ''M'' के [[कोटैंजेंट बंडल|कोटैंजेंट मूल्यवान]] की p-th [[बाहरी शक्ति]] है तथा ऐसे रूपों का स्थान निम्न द्वारा दर्शाया गया है 
:<math>\Omega^p(M,E) = \Gamma(E\otimes\Lambda^pT^*M).</math>
क्योंकि यह Γ [[मजबूत मोनोइडल फ़ैक्टर|स्ट्रोंग मोनोइडल फ़ैक्टर]] है,<ref name=gamma_monoidal>{{cite web|title=स्मूथ मैनिफोल्ड पर वेक्टर बंडलों के टेंसर उत्पाद के वैश्विक खंड|url=https://math.stackexchange.com/q/492166 |website=math.stackexchange.com|access-date=27 October 2014|ref=monoidal}}</ref> इसका अर्थ इस प्रकार भी निकाला जा सकता है| 
:<math>\Gamma(E\otimes\Lambda^pT^*M) = \Gamma(E) \otimes_{\Omega^0(M)} \Gamma(\Lambda^pT^*M) = \Gamma(E) \otimes_{\Omega^0(M)} \Omega^p(M),</math>
जहां बाद के दो टेंसर उत्पाद है तथा रिंग के ऊपर भी मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद हैं जिसमे (गणित) ''Ω<sup>0</sup>(M) M'' पर सुचारू रूप से '''R''<nowiki/>'-मूल्यवान वाले फलन में (सातवां उदाहरण मॉड्यूल देखें (गणित) या (उदाहरण)। परंपरा के अनुसार, ''E''-मूल्यवान ''0''-रूप मूल्यवान ''E'' का केवल खंड है। अथार्त ,
:<math>\Omega^0(M,E) = \Gamma(E).\,</math>
समूल्यवान रूप से, ''E''-मूल्यवान में अवकल रूप को [[ वेक्टर बंडल आकारिकी |सदिश मूल्यवान आकारिकी]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है 
:<math>TM\otimes\cdots\otimes TM \to E</math>
जो पूरी तरह से [[तिरछा-सममित मैट्रिक्स]] है तथा तिरछा-सममित है।

मूल्यवान लीजिए ''V'' निश्चित सदिश समष्टि है। जिसमे डिग्री ''P'' का V''-मूल्यवान अवकल रूप' है तथा [[तुच्छ बंडल|सामूल्यवान्य मूल्यवान]] ''M × V'' में मूल्यवानों के साथ डिग्री ''P'' का अवकल रूप है। ऐसे रूपों का स्थान ''Ω<sup>P</sup>(M, V)'' द्वारा दर्शाया गया है जब ''V = 'R साधारण अवकल रूप की परिभाषा को पुनः प्राप्त करता है। तो कोई यह भी दिखा सकता है कि प्राकृतिक समरूपता ''V'' परिमित-आयामी है|
:<math>\Omega^p(M) \otimes_\mathbb{R} V \to \Omega^p(M,V),</math>
समरूपता वह है, जहां पहला टेंसर उत्पाद ''R'' पर सदिश रिक्त स्थानों का उपयोग किया जाता है|, 
==सदिश -मूल्यवान रूपों पर संचालन==

===पुलबैक===

कोई सामूल्यवान्य रूपों की तरह ही स्मूथ मूल्यवानचित्रों द्वारा सदिश -मूल्यवान रूपों के [[पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)|पुलबैक (अवकल ज्यामिति)]] को परिभाषित कर सकता है तथा सहज मूल्यवानचित्र द्वारा ''N'' पर ''E''-मूल्यवान रूप का पुलबैक जो ''φ : M → N, M'' पर ''(φ*E)'' का मूल्यवान रूप है, जहां ''φ*E'' है जिसमे ''φ'' द्वारा ''E'' का [[पुलबैक बंडल|पुलबैक मूल्यवान]] दर्शाया गया है। 

सूत्र सामूल्यवान्य स्तिथि की तरह ही दिया गया है। तथा ''N'' पर किसी भी ''E''-मूल्यवान ''P''-रूप को ''ω'' के लिए पुलबैक ''φ*ω'' द्वारा दिया जाता है
:<math> (\varphi^*\omega)_x(v_1,\cdots, v_p) = \omega_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(v_1),\cdots,\mathrm d\varphi_x(v_p)).</math>

'''वेज उत्पाद'''

सामूल्यवान्य अवकल रूपों की तरह है, कोई सदिश -मूल्यवान रूपों के वेज उत्पाद को परिभाषित कर सकता है। ''E<sub>2</sub>'' -मूल्यवान ''P'' -रूप के साथ तथा ''E<sub>1</sub>'' मूल्यवान - ''Q''-रूप का वेज उत्पाद स्वाभाविक रूप से ''(E<sub>1</sub>⊗ E<sub>2</sub>)'' है | तथा मूल्यांकित ''(p+q)''-रूप में होता है |
:<math>\wedge : \Omega^p(M,E_1) \times \Omega^q(M,E_2) \to \Omega^{p+q}(M,E_1\otimes E_2).</math>
यह परिभाषा सामूल्यवान्य रूपों की तरह ही होती है, तथा इस अपवाद के साथ कि वास्तविक गुणन को [[टेंसर उत्पाद]] से बदल दिया जाता है|:
:<math>(\omega\wedge\eta)(v_1,\cdots,v_{p+q}) = \frac{1}{p! q!}\sum_{\sigma\in S_{p+q}}\sgn(\sigma)\omega(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(p)})\otimes \eta(v_{\sigma(p+1)},\cdots,v_{\sigma(p+q)}).</math>
विशेष रूप से, ''E''-मूल्यवान ''Q''-रूप के साथ साधारण (''R''-मूल्यवान) ''P''-रूप का वेज उत्पाद है जो कि स्वाभाविक रूप से ''E'' -मूल्यवान होता है तथा ('' p''+''q'')-रूप (चूंकि सामूल्यवान्य मूल्यवान ''M'' × ''R'' के साथ ''E'' का टेंसर उत्पाद स्वाभाविक रूप से ''E'' के समरूपी है)। जिसमे ''ω ∈ Ω<sup>P</sup>(M)'' और ''η ∈ Ω<sup>Q</sup>(M, E)'' के लिए इसमें सामूल्यवान्य क्रमपरिवर्तन संबंध होता है:
:<math>\omega\wedge\eta = (-1)^{pq}\eta\wedge\omega.</math>
सामूल्यवान्यतः दो ''E''-मूल्यवान रूपों का वेज उत्पाद है और E-मूल्यवान रूप नहीं है, किन्तु ''(E⊗ E)'' मूल्यवान रूप है। चूँकि, यदि ''E'' [[बीजगणित बंडल|बीजगणित मूल्यवान]] है (अर्थात केवल सदिश रिक्त स्थान के अतिरिक्त क्षेत्र पर बीजगणित का मूल्यवान) तो कोई ''E''-मूल्यवान रूप प्राप्त करने के लिए ''E'' में गुणन के साथ रचना कर सकता है। यदि ''E'' [[क्रमविनिमेय बीजगणित]], [[साहचर्य बीजगणित]] का मूल्यवान है, तो इस संशोधित पच्चर उत्पाद के साथ, सभी ''E''-मूल्यवान अवकल रूपों का समुच्चय
:<math>\Omega(M,E) = \bigoplus_{p=0}^{\dim M}\Omega^p(M,E)</math>
श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय साहचर्य बीजगणित बन जाता है। यदि ''E'' के तंतु क्रमविनिमेय नहीं हैं तो ''Ω(M,E)'' श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय नहीं होंगे।

===[[बाहरी व्युत्पन्न]]===

किसी भी सदिश समष्टि ''V'' के लिए ''V''-मूल्यवान रूपों के समष्टि पर प्राकृतिक बाह्य व्युत्पन्न होता है। यह ''V'' के किसी भी [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के सापेक्ष घटक-वार सामूल्यवान्य बाहरी व्युत्पन्न अभिनय है। स्पष्ट रूप से, यदि {E<sub>α</sub>} ''V'' के लिए आधार है तो ''V''-मूल्यवान P-रूप को ''ω = ω<sup>α</sup>e<sub>α</sub>'' का अवकल द्वारा दिया गया है
:<math>d\omega = (d\omega^\alpha)e_\alpha.\,</math>
''V''-मूल्यवान रूपों पर बाहरी व्युत्पन्न की पूरी तरह से सामूल्यवान्य संबंधों द्वारा विशेषता है:
:<math>\begin{align}
&d(\omega+\eta) = d\omega + d\eta\\
&d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta\qquad(p=\deg\omega)\\
&d(d\omega) = 0.
\end{align}</math>
अधिक सामूल्यवान्यतः उपरोक्त टिप्पणियाँ ''E''-मूल्यवान रूपों पर प्रयुक्त होती हैं जहां ''E M'' पर कोई [[फ्लैट वेक्टर बंडल|फ्लैट सदिश मूल्यवान]] है (अर्थात सदिश मूल्यवान जिसका संक्रमण कार्य स्थिर है)। ''E'' के किसी भी [[स्थानीय तुच्छीकरण|स्थानीय सामूल्यवान्यीकरण]] पर बाहरी व्युत्पन्न को उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है।

यदि ''E'' समतल नहीं है तो ''E'' -मूल्यवान रूपों पर अभिनय करने वाले बाहरी व्युत्पन्न की कोई प्राकृतिक धारणा नहीं है। तथा ''E'' पर [[कनेक्शन (वेक्टर बंडल)|कनेक्शन (सदिश मूल्यवान)]] के विकल्प की आवश्यकता है। ''E'' पर कनेक्शन रैखिक अवकल ऑपरेटर है जो ''E'' के अनुभागों को ''E'' -मूल्यवान रूप में लेता है:
:<math>\nabla : \Omega^0(M,E) \to \Omega^1(M,E).</math>
यदि ''E'' कनेक्शन ∇ से सुसज्जित है तो अद्वितीय [[सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न]] है
:<math>d_\nabla: \Omega^p(M,E) \to \Omega^{p+1}(M,E)</math>
विस्तार ∇. सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न [[रैखिकता]] और समीकरण द्वारा विशेषता है
:<math>d_\nabla(\omega\wedge\eta) = d_\nabla\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta</math>
जहां ''ω E''-मूल्यवान ''P''-रुप है और η सामूल्यवान्य ''Q''-रूप है। सामूल्यवान्यतः किसी को ''d''<sub>∇</sub><sup>2</sup> = 0 होना आवश्यक नहीं है. वास्तव में, ऐसा तभी होता है जब कनेक्शन ∇ समतल हो (अर्थात लुप्त हो रही वक्रता का रूप हो)।

==[[प्रमुख बंडल|प्रमुख बंडलो]] पर मूल या तन्य रूप==

मूल्यवान लीजिए कि ''E'' → ''M'', ''M'' के ऊपर रैंक k का सहज सदिश मूल्यवान है और π : ''F(E)'' → ''M'', ''E'' का ([[संबद्ध बंडल|संबद्ध मूल्यवान]]) [[ फ़्रेम बंडल |फ़्रेम मूल्यवान]] है, जो कि प्रमुख मूल्यवान GL<sub>''k''</sub>('''R''') है ''M'' पर मूल्यवान । ''E'' का ''π'' द्वारा ''[u, v] →u(v)'' के व्युत्क्रम के माध्यम से पुलबैक मूल्यवान विहित रूप से ''F''(''E'') ×<sub>ρ</sub> '''R'''<sup>''k''</sup> के समरूपी है | जहां ρ मूल्यवानक प्रतिनिधित्व है। इसलिए, M पर E-मूल्यवान रूप के π द्वारा पुलबैक ''''R'''<sup>k</sup>' को निर्धारित करता है -जहाँ ''F(E)'' पर मूल्यांकित रूप है । जबकि यह जाँचना कठिन नहीं है कि यह खींचा हुआ रूप GL<sub>''k''</sub>('''R''') F(''E'')× '''R'''<sup>k</sup> की प्राकृतिक [[समूह क्रिया (गणित)]] के संबंध में सही [[समतुल्य]] दाएँ-समतुल्य है। और [[ऊर्ध्वाधर बंडल|ऊर्ध्वाधर मूल्यवान]] (F(''E'') के स्पर्शरेखा सदिश जो dπ के कर्नेल में स्थित हैं) पर विलुप्त हो जाता है। F(''E'') पर ऐसे सदिश -मूल्यवान रूप विशेष शब्दावली की गारंटी देने के लिए काफी महत्वपूर्ण हैं: उन्हें F(E) पर मूल या टेंसोरियल रूप कहा जाता है।

मूल्यवान लीजिए π : ''P'' → ''M'' (सुचारू) प्रिंसिपल ''G''-मूल्यवान है तथा मूल्यवान लीजिए कि ''V'' निरूपण ρ : ''G'' → ''GL(V)'' के साथ निश्चित सदिश स्थान है। जहाँ ''P'' पर ρ प्रकार का मूल या तन्य रूप, ''P'' पर चूँकि ''V''-मूल्यवान रूप ω है जो इस अर्थ में समतुल्य और क्षैतिज है कि
#<math>(R_g)^*\omega = \rho(g^{-1})\omega\,</math> सभी जी ∈ जी के लिए, और
#<math>\omega(v_1, \ldots, v_p) = 0</math> जब भी कम से कम ''V<sub>i</sub>'' ऊर्ध्वाधर हैं (अर्थात्, dπ(v<sub>''i''</sub>) = 0).
यहां R<sub>''g''</sub> कुछ g ∈ ''G'' के लिए ''P'' पर ''G'' की सही क्रिया को दर्शाता है। ध्यान दें कि 0-रूपों के लिए दूसरी नियम [[शून्य रूप से सत्य]] है।

उदाहरण: यदि ρ ली बीजगणित पर G का [[संयुक्त प्रतिनिधित्व]] है, तो कनेक्शन रूप पहली नियम को संतुष्ट करता है (किन्तु दूसरी नहीं)। संबंधित वक्रता रूप Ω दोनों को संतुष्ट करता है; इसलिए Ω आसन्न प्रकार का तन्य रूप है। दो कनेक्शन रूपों का अवकल तन्य रूप है।

उपरोक्त P और ρ को देखते हुए कोई संबंधित सदिश मूल्यवान ''E'' = ''P'' ×ρ ''V'' का निर्माण कर सकता है | ''P'' पर टेन्सोरिअल q-रूप , ''M'' पर ''E''-मूल्य वाले q-रूप के साथ प्राकृतिक -से- पत्राचार में हैं। जैसा कि ऊपर प्रमुख मूल्यवान F(''E'') के स्तिथि में है, जिसे q-रूप दिया गया है <math>\overline{\phi}</math> ''E'' में मूल्यवानों के साथ ''M'' पर, ''P'' पर φ को फ़ाइबरवाइज द्वारा परिभाषित करें, मूल्यवान लीजिए u पर ,
:<math>\phi = u^{-1}\pi^*\overline{\phi}</math>
जहां ''U'' को रैखिक समरूपता के रूप में देखा जाता है <math>V \overset{\simeq}\to E_{\pi(u)} = (\pi^*E)_u, v \mapsto [u, v]</math>. φ तो प्रकार ρ का तन्य रूप है। इसके विपरीत, प्रकार ρ का तन्य रूप φ दिया गया है, वही सूत्र ''E'' -मूल्यवान रूप को परिभाषित करता है <math>\overline{\phi}</math> ''M'' पर (सीएफ. चेर्न-वेइल होमोमोर्फिज्म।) विशेष रूप से, सदिश रिक्त स्थान का प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म है 
:<math>\Gamma(M, E) \simeq \{ f: P \to V | f(ug) = \rho(g)^{-1}f(u) \}, \, \overline{f} \leftrightarrow f</math>.

उदाहरण: मूल्यवान लीजिए ''E'', ''M'' का स्पर्शरेखा मूल्यवान है। फिर पहचान मूल्यवान मूल्यवानचित्र id<sub>''E''</sub>: ''E'' →''E'', M पर ''E''-मूल्यवान वन रूप है। [[टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म|टॉटोलॉजिकल वन-रूप]] ''E'' के फ्रेम मूल्यवान पर अद्वितीय वन-रूप है जो id<sub>''E''</sub> से मेल खाता है. θ द्वारा निरूपित, यह मूल्यवानक प्रकार का तन्य रूप है।

अब, मूल्यवान लीजिए कि ''P'' पर कनेक्शन है ताकि ''P'' पर (विभिन्न) सदिश -मूल्यवान रूपों पर बाहरी सहसंयोजक भेदभाव ''D'' हो। उपरोक्त पत्राचार के माध्यम से, ''D'' ''E'' -मूल्यवान रूपों पर भी कार्य करता है: ∇ द्वारा परिभाषित करें |
:<math>\nabla \overline{\phi} = \overline{D \phi}.</math>
विशेष रूप से शून्य-रूपों के लिए,
:<math>\nabla: \Gamma(M, E) \to \Gamma(M, T^*M \otimes E)</math>.

यह बिल्कुल कनेक्शन (सदिश मूल्यवान) के लिए [[सहसंयोजक व्युत्पन्न]] है।<ref>Proof: <math>D (f\phi) = Df \otimes \phi + f D\phi</math> for any scalar-valued tensorial zero-form ''f'' and any tensorial zero-form φ of type ρ, and ''Df'' = ''df'' since ''f'' descends to a function on ''M''; cf. this [[Chern–Weil homomorphism#Definition of the homomorphism|Lemma 2]].</ref>
==उदाहरण==
[[ सील मॉड्यूलर रूप | सील मॉड्यूलर रूप]] [[सीगल मॉड्यूलर किस्म|सीगल मॉड्यूलर विविधता]] पर सदिश -मूल्यवान अवकल रूपों के रूप में उत्पन्न होते हैं।<ref>{{cite journal|title=सीगल मॉड्यूलर किस्मों की ज्यामिति|last1=Hulek |first1=Klaus |last2=Sankaran |first2=G. K. |journal=Advanced Studies in Pure Mathematics |volume=35 |year=2002 |pages=89–156}}</ref>
==टिप्पणियाँ==
{{reflist}}
==संदर्भ==
* [[Shoshichi Kobayashi]] and [[Katsumi Nomizu]] (1963) [[Foundations of Differential Geometry]], Vol. 1, [[Wiley Interscience]].
[[Category: विभेदक रूप]] [[Category: वेक्टर बंडल]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 03/07/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]