View source for शून्य की घात शून्य

{{Short description|Mathematical expression with disputed status}}
{{use dmy dates|date=July 2021|cs1-dates=y}}

शून्य से शून्य की घात, {{math|'''0<sup>0</sup>'''}} द्वारा निरूपित, एक [[अभिव्यक्ति (गणित)|गणितीय]] [[अभिव्यक्ति (गणित)|अभिव्यक्ति]] है  जिसे या तो 1 के रूप में परिभाषित किया गया है या संदर्भ के आधार पर [[अपरिभाषित (गणित)]] छोड़ दिया गया है। 

[[बीजगणित]] और [[साहचर्य]] में, सामान्यतः {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}को परिभाषित करता है। जबकि [[गणितीय विश्लेषण]] में, अभिव्यक्ति को कभी-कभी अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है। संगणक [[प्रोग्रामिंग भाषा|कार्यरचना भाषा]] और प्रक्रिया सामग्री में भी इस अभिव्यक्ति को संभालने की अलग-अलग विधि हैं।

== असतत घातांक ==
[[प्राकृतिक संख्या]] घातांक वाले कई व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले फ़ार्मुलों को 0<sup>0</sup> को 1 के रूप में परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, ''b''<sup>0</sup> की निम्नलिखित तीन व्याख्याएँ b = 0 के लिए उतनी ही समझ में आती हैं जितनी कि वे धनात्मक पूर्णांक b के लिए करती हैं।:
* [[खाली उत्पाद]] के रूप में {{math|''b''{{sup|0}}}} की व्याख्या  इसे मान {{math|1}} निर्दिष्ट करती है।
* {{math|''b''<sup>0</sup>}} की संयोजक व्याख्या एक {{math|''b''}}-तत्व सेट से तत्वों के 0-[[टपल|टुपल्स]] की संख्या है; ठीक एक 0-टपल है।
* {{math|''b''<sup>0</sup>}} [[खाली सेट]] सैद्धांतिक व्याख्या रिक्त समुच्चय से b-तत्व समुच्चय में कार्यों की संख्या है; ऐसा ही एक कार्य है, अर्थात् खाली कार्य।<ref name="Bourbaki" /> ये तीनों {{math|1=0{{sup|0}} = 1}}देने मे विशेषज्ञ हैं.

== [[बहुपद]] और घात श्रृंखला ==
बहुपदों का मूल्यांकन करते समय, {{math|0<sup>0</sup>}} को {{math|1}} के रूप में परिभाषित करना सुविधाजनक होता है। A (वास्तविक) बहुपद  {{math|''a''<sub>0</sub>''x''<sup>0</sup> + ⋅⋅⋅ + ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>}} के रूप का एक व्यंजक है, जहाँ  {{math|''x''}} एक अनिश्चित है, और गुणांक {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं। बहुपदों को शब्दवार जोड़ा जाता है, और [[वितरण कानून]] और घातांक के सामान्य नियमों को लागू करके गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के साथ, बहुपद एक बहुपद वलय {{math|'''R'''[''x'']}} बनाते हैं. {{math|'''R'''[''x'']}} की [[गुणक पहचान|गुणनात्मक पहचान]] {{math|''x''<sup>0</sup>}} बहुपद है; अर्थात्, किसी भी बहुपद {{math|''p''(''x'')}} का {{math|''x''<sup>0</sup>}} गुना केवल {{math|''p''(''x'')}} होता है.<ref name="Bourbaki_1970_1" />  साथ ही, बहुपदों का मूल्यांकन x को वास्तविक संख्या में विशिष्ट करके किया जा सकता है। अधिक यथार्थता से, किसी दी गई वास्तविक संख्या r के लिए, एक अद्वितीय इकाई {{math|'''R'''}}-बीजगणित समरूपता {{math|ev<sub>''r''</sub> : '''R'''[''x''] → '''R'''}} ऐसा है कि {{math|1=ev<sub>''r''</sub>(''x'') = ''r''}} है. इसलिये {{math|ev<sub>''r''</sub>}} एकात्मक है, {{math|1=ev<sub>''r''</sub>(''x''<sup>0</sup>) = 1}}. वह है, {{math|1=''r''<sup>0</sup> = 1}} प्रत्येक वास्तविक संख्या {{math|''r''}},के लिए  ''r''<sup>0</sup> = 1 जिसमे 0 भी सम्मिलित है। यही तर्क {{math|'''R'''}} किसी भी [[अंगूठी (गणित)|रिंग (गणित)]] द्वारा लागू होता है।<ref name="Bourbaki_1970_2" />

कई बहुपद सर्वसमिकाओं के लिए {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} को परिभाषित करना आवश्यक है।। उदाहरण के लिए, [[द्विपद प्रमेय]] {{math|1=(1 + ''x'')<sup>''n''</sup> = Σ{{su|b=''k''=0|p=''n''|lh=1em}} {{big|(}}{{su|p=''n''|b=''k''}}{{big|)}} ''x''<sup>''k''</sup>}} के लिए रखता है {{math|1=''x'' = 0}} के लिए मान्य है यदि {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}.<ref name="T4n3B" />

इसी प्रकार, घात श्रृंखला के रिंग को x की सभी विशेषज्ञताओं के लिए 1 के रूप में परिभाषित करने के लिए {{math|1=''x''<sup>0</sup>}} की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, पहचान जैसे  {{math|1={{sfrac|1|1−''x''}} = Σ{{su|b=''n''=0|p=∞|lh=1em}} ''x''<sup>''n''</sup>}} तथा {{math|1=''e''<sup>''x''</sup> = Σ{{su|b=''n''=0|p=∞|lh=1em}} {{sfrac|''x''<sup>''n''</sup>|''n''!}}}} के लिए पकड़े {{math|1=''x'' = 0}} केवल {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}.<ref name="8sCon" />

एक सतत फलन {{math|'''R''' → '''R'''}} को परिभाषित करने के लिए बहुपद {{math|''x''<sup>0</sup>}} के लिए, किसी को {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} को परिभाषित करना होगा।                                     

अवकलन कलन में, [[शक्ति नियम|घात नियम]] {{math|1={{sfrac|''d''|''dx''}}''x''<sup>''n''</sup> = ''nx''<sup>''n''−1</sup>}} केवल {{math|1=''x'' = 0}} पर {{math|1=''n'' = 1}} के लिये मान्य है यदि  {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}.

== निरंतर घातांक ==
बीजगणितीय संक्रियाओं से जुड़ी सीमाओं का अक्सर उप-अभिव्यक्तियों को उनकी सीमाओं द्वारा प्रतिस्थापित करके मूल्यांकन किया जा सकता है; यदि परिणामी अभिव्यक्ति मूल सीमा निर्धारित नहीं करती है, तो अभिव्यक्ति को एक [[अनिश्चित रूप]] के रूप में जाना जाता है।<ref name="TUZ95" /> व्यंजक {{math|0{{sup|0}}}} एक अनिश्चित रूप है: वास्तविक मूल्यवान फलन  {{math|''f''(''t'')}} और {{math|''g''(''t'')}} {{math|0}} की ओर बढ़ रहे हैं (चूंकि {{math|''t''}} एक वास्तविक संख्या या {{math|±∞}} तक पहुंचता है) {{math|''f''(''t'') > 0}} के साथ, {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup>}} कोई भी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या या {{math|+∞}}, हो सकता है, या यह  {{mvar|f}}  तथा {{mvar|g}}. के आधार पर विचलन कर सकता है। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई प्रत्येक सीमा में एक फलन  {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup>}}  {{math|''f''(''t''), ''g''(''t'') → 0}} जैसा {{math|''t'' → 0<sup>+</sup>}} (एकतरफा सीमा) सम्मिलित है, लेकिन उनके मान भिन्न हैं:<math display="block"> \lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1 ,</math>
<math display="block"> \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-1/t^2}\right)^t = 0, </math>
<math display="block"> \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-1/t^2}\right)^{-t} = +\infty, </math>
<math display="block"> \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-1/t}\right)^{at} = e^{-a} .</math>
इस प्रकार, दो-चर फलन  {{math|''x''{{i sup|''y''}}}}, चूंकि समुच्चय {{math|{(x, y) : x > 0<nowiki>}</nowiki>}} पर संतत है, {{math|{(x, y) : x > 0} ∪ {(0, 0)<nowiki>}</nowiki>}}, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई {{math|0<sup>0</sup>}} को कैसे परिभाषित करता है।.<ref name="Cbfum" />

वहीं दूसरी ओर यदि {{math|''f''}}  तथा {{math|''g''}} किसी संख्या {{mvar|c}} के खुले नेबरहुड पर [[विश्लेषणात्मक कार्य]] हैं, तो  {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup> → 1}} के रूप में  {{mvar|t}}  किसी भी तरफ से {{mvar|c}} तक पहुंचता है जिस पर  {{mvar|f}}  घनात्मक है।<ref name="Möbius1834" />यह और अधिक सामान्य परिणाम फलन {{math|1=ln(''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup>) = ''g''(''t'') ln ''f''(''t'')}} के सीमित व्यवहार का अध्ययन करके प्राप्त किए जा सकते हैं.<ref>{{cite journal
| last1      = Baxley
| first1     = John V.
| last2      = Hayashi
| first2     = Elmer K.
| date       = June 1978
| title      = Indeterminate Forms of Exponential Type
| url        = https://www.jstor.org/stable/2320074
| journal    = The American Mathematical Monthly
| volume     = 85
| issue      = 6
| pages      = 484–486
| doi        = 10.2307/2320074 
| jstor = 2320074
| access-date = 23 Nov 2021
}}</ref><ref>{{cite journal
| last1      = Xiao
| first1     = Jinsen
| last2      = He
| first2     = Jianxun
| date       = December 2017
| title      = On Indeterminate Forms of Exponential Type
| url        = https://www.jstor.org/stable/10.4169/math.mag.90.5.371
| journal    = Mathematics Magazine
| volume     = 90
| issue      = 5
| pages      = 371–374
| doi        = 10.4169/math.mag.90.5.371
| jstor = 10.4169/math.mag.90.5.371
| s2cid = 125602000
| access-date = 23 Nov 2021
}}</ref>


== जटिल घातांक ==
[[जटिल डोमेन]] में,फलन {{math|''z''{{i sup|''w''}}}} को गैर-शून्य {{math|''z''}} के लिए {{math|log ''z''}} की एक शाखा का चयन करके और {{math|''z''{{i sup|''w''}}}} को {{math|''e''{{i sup|''w'' log ''z''}}}} के रूप में परिभाषित करके परिभाषित किया जा सकता है। यह {{math|0<sup>''w''</sup>}} को परिभाषित नहीं करता है क्योंकि {{math|1=''z'' = 0}} पर परिभाषित {{math|log ''z''}} की कोई शाखा नहीं है, अकेले {{math|0}} के निकट में रहने दें।.<ref name="04zJ8" /><ref name="W1ue5" /><ref name="rYFno" />


== इतिहास ==

=== मूल्य के रूप में ===
1752 में, विश्लेषण में इनफिनिटोरम के परिचय में [[लियोनहार्ड यूलर]] ने लिखा था कि {{math|1=''a''{{sup|0}} = 1}}<ref name="Euler" /> और स्पष्ट रूप से उल्लेख किया कि {{math|1=0{{sup|0}} = 1}}.<ref name="UzqFL" /> यूलर की पुस्तक[[अंतर कलन के संस्थान]] <ref name="Libri1833" /> के 1787 के संस्करण में [[लोरेंजो माशेरोनी]] को जिम्मेदार ठहराया गया एक व्याख्या <ref name="N3UF6" /> ने "औचित्य" प्रस्तुत की
<math display="block">0^0 = (a-a)^{n-n} = \frac{(a-a)^n}{(a-a)^n} = 1</math>
साथ ही एक और अधिक सम्मिलित औचित्य। 1830 के दशक में, [[सोमाजा से गुग्लिल्मो लिब्री कारुची]] <ref name="3QtOF" /><ref name="Libri1833" /> ने {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} दावे को सही ठहराने का प्रयास करते हुए कई और तर्क प्रकाशित किए, चूंकि ये उस समय की कठोरता के मानकों से भी बहुत दूर थे।<ref name="Knuth1992" />

'''सीमित रूप में'''

यूलर, जब {{math|1=0{{sup|0}} = 1}} सेट करते हैं, तो उल्लेख किया जाता है कि फलन, {{math|0{{sup|''x''}}}} के मान एक "बड़ी छलांग" लगाते हैं, x के लिए {{math|∞}} से {{math|''x'' < 0}}, प्रति {{math|1=''x'' = 0}} पर {{math|1}} से, {{math|''x'' > 0}} के लिये 0 से.<ref name="Euler" /> 1814 में, [[जोहान फ्रेडरिक फाफ]] ने [[निचोड़ प्रमेय|उद्धरण प्रमेय]] तर्क का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि {{math|''x''{{sup|''x''}} → 1}} जैसा {{math|''x'' → 0{{sup|+}}}} के रूप में है।.<ref name="Möbius1834" />

दूसरी ओर, 1821 में [[कॉची]] <ref name="PwNOb" /> ने समझाया कि क्यों की सीमा {{math|''x''{{sup|''y''}}}} धनात्मक संख्या {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} दृष्टिकोण {{math|0}} के रूप में संबंध से विवश होने के कारण संबंध को उचित रूप से चुनकर {{math|0}} तथा {{math|∞}} के बीच किसी भी मान को ग्रहण करने के लिए बनाया जा सकता है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि एक निर्दिष्ट बाधा के बिना पूर्ण दो-चर फलन {{math|''x''{{sup|''y''}}}} की सीमा "अनिश्चित" है। इस औचित्य के साथ, उन्होंने {{math|0<sup>0</sup>}} को भावों के साथ सूचीबद्ध किया {{math|{{sfrac|0|0}}}} अनिश्चित रूपों की एक तालिका के रूप में व्यक्त किया जा सकय है।

स्पष्ट रूप से कॉची के काम से अनभिज्ञ, अगस्त फर्डिनेंड मोबियस <ref name="Möbius1834" />1834 में, फाफ के तर्क पर निर्माण करते हुए, गलत तरीके से दावा किया कि  {{math|''f''(''x'')<sup>''g''(''x'')</sup> → 1}} जब भी {{math|''f''(''x''),''g''(''x'') → 0}} जैसा {{mvar|x}} एक संख्या {{mvar|c}} तक पहुँचता है  (संभवतः {{mvar|f}} से धनात्मक माना जाता है {{mvar|c}}). मोबियस स्थिति में {{math|1=''c'' = 0}} कम हो गया, लेकिन फिर यह मानने की गलती की कि {{mvar|f}}  तथा {{mvar|g}} में से प्रत्येक को  {{math|''Px''{{sup|''n''}}}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, कुछ निरंतर फलन {{mvar|P}} के लिये जो {{math|0}} पर गायब नहीं होता है और कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक {{mvar|n}}, जो विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए सही है। , लेकिन सामान्य तौर पर नहीं। एक अनाम टिप्पणीकार ने अनुचित चरण की ओर इशारा किया;<ref name="S" />  फिर एक अन्य टिप्पणीकार जिसने अपने नाम पर S के रूप में हस्ताक्षर किए, स्पष्ट प्रति उदाहरण {{math|(''e''<sup>−1/''x''</sup>)<sup>''x''</sup> → ''e''{{sup|−1}}}} तथा {{math|(''e''<sup>−1/''x''</sup>)<sup>2''x''</sup> → ''e''{{sup|−2}}}} प्रदान किया जैसा {{math|''x'' → 0{{sup|+}}}} के रूप में और यह लिखकर स्थिति व्यक्त की कि {{math|0{{sup|0}}}} के कई अलग-अलग मान हो सकते हैं।<ref name="S" />


===वर्तमान स्थिति===
* कुछ लेखक {{math|0<sup>0</sup>}} को {{math|1}} के रूप में परिभाषित करते हैं क्योंकि यह कई प्रमेय कथनों को सरल करता है। बेंसन (1999) के अनुसार, {{math|0<sup>0</sup>}} को  परिभाषित करने का विकल्प सुविधा पर आधारित है, शुद्धता पर नहीं। यदि हम {{math|0<sup>0</sup>}}, को परिभाषित करने से बचते हैं, तो कुछ अभिकथन अनावश्यक रूप से विचित्र हो जाते हैं। ... सर्वसम्मत परिभाषा {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}, का उपयोग करना है।  चूंकि ऐसी पाठ्यपुस्तकें हैं जो {{nowrap begin}}{{math|0<sup>0</sup>}}.<ref name="Benson" />{{nowrap end}} को परिभाषित करने से परहेज करती हैं। [[डोनाल्ड नुथ]] (1992) इसका अधिक मजबूती से तर्क देता है कि; {{math|0<sup>0</sup>}} "1 होना चाहिए";  वह मूल्य {{math|0<sup>0</sup>}} के बीच एक अन्तर बनता है, जो {{math|1}} के बराबर होना चाहिए, और सीमित रूप {{math|0<sup>0</sup>}}  {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup>}} की सीमा के लिए एक संक्षिप्त नाम जहां {{math|''f''(''t''), ''g''(''t'') → 0}} जो एक अनिश्चित रूप है: "कॉची और लिब्री दोनों सही थे, लेकिन लिब्री और उनके रक्षकों को यह समझ में नहीं आया कि सच्चाई उनके पक्ष में क्यों थी<ref name="Knuth1992" />
*अन्य लेखक {{math|0<sup>0</sup>}} को अपरिभाषित छोड़ देते हैं क्योंकि {{math|0<sup>0</sup>}} एक अनिश्चित रूप है:: {{math|''f''(''t''), ''g''(''t'') → 0}} का अर्थ {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup> → 1}} नहीं है।<ref name="vtShl" /><ref name="mfcsT" />

ऐसा प्रतीत नहीं होता है कि कोई लेखक {{math|0<sup>0</sup>}} को 1 के अतिरिक्त कोई विशिष्ट मान निर्दिष्ट कर रहा है।<ref name="Benson" />


==संगणक पर वाद-विवाद ==

=== आईईईई चल-बिंदु मानक ===
[[IEEE 754-2008]] चल-बिंदु मानक का उपयोग अधिकांश चल-बिंदु पुस्तकालयों के अभिकल्पना में किया जाता है। यह घात की गणना के लिए कई परिचालनों की सिफारिश करता है:<ref name="Muller_2010" /> 
*<code>पीओडब्लूएन</code> (जिसका घातांक एक पूर्णांक है) {{math|0<sup>0</sup>}} को {{math|1}} के रूप में व्यवहार करता है; देखे {{section link||§ असतत घातांक}}.
*<code>पीओडब्लू</code> (जिसका अभिप्राय गैर-NaN परिणाम वापस करना है जब घातांक एक पूर्णांक है, जैसे <code>पीओडब्लूएन</code>) {{math|0<sup>0</sup>}} को {{math|1}} के रूप में व्यवहार करता है.
*<code>पीओडब्लूआर</code> अनिश्चित रूप के कारण {{math|0<sup>0</sup>}} को NaN (नॉट-ए-नंबर) के रूप में व्यवहार करता है; देखें {{section link||§ सतत घातांक}}.  
*मुख्य रूप से संगतता के लिए<code>पीओडब्लू</code> संस्करण [[C99]] के<code>पीओडब्लू</code> फलन से प्रेरित है।<ref name="AFaJ2" /> यह अधिकतर एकल घातांक फलन वाली भाषाओं के लिए उपयोगी है।
*घातांक फलन के परस्पर विरोधी उपयोग और विभिन्न दृष्टिकोणों (जैसा कि ऊपर कहा गया है) के कारण <code>पीओडब्लूएन</code> और <code>पीओडब्लूआर</code> संस्करण प्रस्तुत किए गए हैं।<ref name="hVrIi" />


=== प्रोग्रामिंग की भाषाएँ ===
C और C++ मानक {{math|0<sup>0</sup>}} के परिणाम निर्दिष्ट नहीं करते हैं (एक डोमेन त्रुटि हो सकती है)। लेकिन C के लिए, C99 के रूप में, यदि मानक अनुलग्नक F समर्थित है, तो वास्तविक चल-बिंदु प्रकारों के लिए परिणाम {{math|1}} होना आवश्यक है  क्योंकि ऐसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं जिनके लिए यह मान  NaN से अधिक उपयोगी है<ref name="JJg1b" /> (उदाहरण के लिए, असतत घातांक के साथ); सूचनात्मक अनुलग्नक G समर्थित होने पर भी जटिल प्रकारों पर परिणाम निर्दिष्ट नहीं है। [[जावा (प्रोग्रामिंग भाषा)]] मानक,<ref name="vH81X" />.  [[विधि (कंप्यूटर विज्ञान)|नेट फ्रेमवर्क विधि (संगणक विज्ञान)]] <code>व्यवस्था.गणित.पीओडब्लू</code>,<ref name="DaiDu" />[[जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा)]], और [[पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)]]<ref name="AGCLB" /><ref name="mbxdz" /> भी {{math|0<sup>0</sup>}} को {{math|1}} के रूप में व्यवहार करता है। कुछ भाषाएँ दस्तावेज करती हैं कि उनकी घातांक संक्रिया [[सी गणितीय कार्य|C]] [[सी गणितीय कार्य|गणितीय]] पुस्तकालय से<code>पीओडब्लू</code> [[सी गणितीय कार्य|कार्य]] के अनुरूप है;  यह [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]]<ref name="regQj" /> और [[पर्ल]] <code>**</code> संचालक <ref name="m5ocl" /> के स्थिति में है(जहां यह स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है कि का परिणाम <code>0**0</code> प्लेटफ़ॉर्म-निर्भर है)।

=== गणितीय और वैज्ञानिक सॉफ्टवेयर ===
[[एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा)]],{{citation needed|date=May 2020}} [[आर (प्रोग्रामिंग भाषा)]],<ref name="ijVs7" /> [[था|स्टाटा,]] सेजमैथ,<ref name="DIJz1" /> [[मतलब|मैटलैब]], [[मैग्मा (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली)|मैग्मा (संगणक बीजगणित प्रणाली)]], GAP (संगणक बीजगणित प्रणाली), [[एकवचन (सॉफ्टवेयर)|सिंगुलर (सॉफ्टवेयर)]], पीएआरआई/जीपी,<ref name="pari-commit-c2fac9a15" /> और [[जीएनयू ऑक्टेव]] {{math|{{var|x}}{{sup|0}}}} से {{math|1}} का मूल्यांकन करते हैं। [[मेथेमेटिका]]<ref name="Wolfram" /> और [[मैकसिमा]] {{math|{{var|x}}{{sup|0}}}} से {{math|1}} भले ही सरल करें, यदि {{math|{{var|x}}}} पर कोई प्रतिबंध न लगाया गया हो; चूंकि यदि {{math|0{{sup|0}}}} सीधे दर्ज किया जाता है तो इसे एक त्रुटि या अनिश्चित माना जाता है, सेजमैथ {{math|0{{sup|{{var|x}}}}}} को सरल नहीं करता है . [[मेपल (सॉफ्टवेयर)]], गणित<ref name="Wolfram" /> और पारी/जीपी<ref name="pari-commit-c2fac9a15" /><ref name="5slbi" /> आगे पूर्णांक और चल-बिन्दु मानों के बीच अंतर करते हैं: यदि घातांक पूर्णांक शून्य प्रकार का है, तो वे आधार के प्रकार का 1 लौटाते हैं; मान शून्य के चल - बिन्दु  घातांक के साथ घातांक को अपरिभाषित, अनिश्चित या त्रुटि के रूप में माना जाता है।

==संदर्भ==
{{reflist|refs=
<ref name="Bourbaki">{{cite book |author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki |author-link=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Theory of Sets |publisher=[[Springer-Verlag]] |date=2004 |chapter=III.§3.5}}</ref>
<ref name="Bourbaki_1970_1">{{cite book |author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki |title=Algèbre |publisher=[[Springer (publisher)|Springer]] |date=1970 |author-link=Nicolas Bourbaki |chapter=§III.2 No. 9 |quote=L'unique monôme de degré {{math|0}} est l'élément unité de {{math|''A''[(''X''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub>]}}; on l'identifie souvent à l'élément unité {{math|1}} de {{math|''A''}}}}</ref>
<ref name="Bourbaki_1970_2">{{cite book |author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki |title=Algèbre |publisher=[[Springer (publisher)|Springer]] |date=1970 |author-link=Nicolas Bourbaki |chapter=§IV.1 No. 3}}</ref>
<ref name="Möbius1834">{{cite journal |author-first=A. F. |author-last=Möbius |title=Beweis der Gleichung {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}, nach J. F. Pfaff |trans-title=Proof of the equation {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}, according to J. F. Pfaff |language=de |url=http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015036988163;view=1up;seq=142 |journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |issue=12 |date=1834 |pages=134–136 |doi=10.1515/crll.1834.12.134 |volume=1834 |s2cid=199547186}}</ref>
<ref name="Euler">{{cite book |date=1988 |title=Introduction to analysis of the infinite, Book 1 |author-first=Leonhard |author-last=Euler |author-link=Leonhard Euler |translator-first=J. D. |translator-last=Blanton |publisher=Springer |isbn=978-0-387-96824-7 |url=https://books.google.com/books?id=H58dmcLEnk4C |chapter=Chapter&nbsp;6, §97 |page=75}}</ref>
<ref name="Libri1833">{{cite journal |author-last=Libri |author-first=Guillaume |author-link=Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja |title=Mémoire sur les fonctions discontinues. |language=fr |journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |date=1833 |volume=1833 |issue=10 |pages=303–316 |doi=10.1515/crll.1833.10.303 |s2cid=121610886 |url=http://www.numdam.org/item/ASENS_1875_2_4__57_0/}}</ref>
<ref name="Knuth1992">{{cite journal |author-last=Knuth |author-first=Donald E. |author-link=Donald E. Knuth |title=Two Notes on Notation |journal=[[The American Mathematical Monthly]] |date=1992 |volume=99 |issue=5 |pages=403–422 |doi=10.1080/00029890.1992.11995869 |arxiv=math/9205211 |bibcode=1992math......5211K}}</ref>
<ref name="S">{{cite journal |author=Anonymous |title=Bemerkungen zu dem Aufsatze überschrieben "Beweis der Gleichung {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}, nach J. F. Pfaff" |trans-title=Remarks on the essay "Proof of the equation {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}, according to J. F. Pfaff" |language=de |url=http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015036988163;view=1up;seq=300 |journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |issue=12 |date=1834 |pages=292–294 |doi=10.1515/crll.1834.12.292 |volume=1834}}</ref>
<ref name="Benson">{{cite book |author-first=Donald C. |author-last=Benson |title=The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies |location=New York, USA |publisher=[[Oxford University Press]] |publication-place=Oxford, UK |date=1999 |page=29 |isbn=978-0-19-511721-9}}</ref>
<ref name="Muller_2010">{{cite book |author-last1=Muller |author-first1=Jean-Michel |author-last2=Brisebarre |author-first2=Nicolas |author-last3=de Dinechin |author-first3=Florent |author-last4=Jeannerod |author-first4=Claude-Pierre |author-last5=Lefèvre |author-first5=Vincent |author-last6=Melquiond |author-first6=Guillaume |author-last7=Revol |author-first7=Nathalie |author-link7=Nathalie Revol |author-last8=Stehlé |author-first8=Damien |author-last9=Torres |author-first9=Serge |title=Handbook of Floating-Point Arithmetic |date=2010 |publisher=[[Birkhäuser]] |edition=1 |doi=10.1007/978-0-8176-4705-6 |lccn=2009939668|page=216 |isbn=978-0-8176-4704-9 |url=http://cds.cern.ch/record/1315760}} {{isbn|978-0-8176-4705-6}} (online), {{isbn|0-8176-4704-X}} (print)</ref>
<ref name="Wolfram">{{cite web |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/Power.html |title=Wolfram Language & System Documentation: Power |publisher=Wolfram | access-date=2018-08-02}}</ref>
<ref name="pari-commit-c2fac9a15">{{cite web |url=http://pari.math.u-bordeaux.fr/cgi-bin/gitweb.cgi?p=pari.git;a=commitdiff;h=c2fac9a15 |title=pari.git / commitdiff – 10- x ^ t_FRAC: return an exact result if possible; e.g. 4^(1/2) is now 2 |access-date=2018-09-10}}</ref>
<ref name="T4n3B">{{cite book |title=Concrete Mathematics |edition=1st |publisher=[[Addison-Wesley Longman Publishing Co.]] |date=1989-01-05 |isbn=0-201-14236-8 |author-first=Ronald |author-last=Graham |author-link=Ronald Graham |author-first2=Donald |author-last2=Knuth |author-link2=Donald Knuth |author-first3=Oren |author-last3=Patashnik |author-link3=Oren Patashnik |page=162 |chapter=Binomial coefficients |title-link=Concrete Mathematics |quote=Some textbooks leave the quantity {{math|0<sup>0</sup>}} undefined, because the functions {{math|''x''<sup>0</sup>}} and {{math|0<sup>''x''</sup>}} have different limiting values when {{math|''x''}} decreases to 0. But this is a mistake. We must define {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}}, for all {{math|''x''}}, if the binomial theorem is to be valid when {{math|1=''x'' = 0}}, {{math|1=''y'' = 0}}, and/or {{math|1=''x'' = −''y''}}. The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function {{math|0<sup>''x''</sup>}} is quite unimportant.}}</ref>
<ref name="8sCon">{{cite journal |author-last1=Vaughn |author-first1=Herbert E. |date=1970 |title=The expression {{math|0{{sup|0}}}} |journal=[[The Mathematics Teacher]] |volume=63 |issue= |pages=111–112}}</ref>
<ref name="TUZ95">{{cite book |author-first1=S. C. |author-last1=Malik |author-first2=Savita |author-last2=Arora |date=1992 |title=Mathematical Analysis |publisher=Wiley |location=New York, USA |page=223 |isbn=978-81-224-0323-7 |quote=In general the limit of {{math|''φ''(''x'')/''ψ''(''x'')}} when {{math|1=''x'' = ''a''}} in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division ({{math|0/0}}) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are {{math|∞/∞}}, {{math|0 × ∞}}, {{math|∞ − ∞}}, {{math|0<sup>0</sup>}}, {{math|1<sup>∞</sup>}} and {{math|∞<sup>0</sup>}}.}}</ref>
<ref name="Cbfum">{{cite journal |author-first=L. J. |author-last=Paige |title=A note on indeterminate forms |jstor=2307224 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=61 |issue=3 |date=March 1954 |pages=189–190 |doi=10.2307/2307224}}</ref>
<ref name="04zJ8">{{cite book |author-first1=George F. |author-last1=Carrier |author-first2=Max |author-last2=Krook |author-first3=Carl E. |author-last3=Pearson |title=Functions of a Complex Variable: Theory and Technique |date=2005 |page=15 |isbn=0-89871-595-4 |quote=Since {{math|log(0)}} does not exist, {{math|0<sup>''z''</sup>}} is undefined. For {{math|Re(''z'') > 0}}, we define it arbitrarily as {{math|0}}.}}</ref>
<ref name="W1ue5">{{cite book |author-first=Mario |author-last=Gonzalez |title=Classical Complex Analysis |publisher=[[Chapman & Hall]] |date=1991 |page=56 |isbn=0-8247-8415-4 |quote=For {{math|1=''z'' = 0}}, {{math|''w'' ≠ 0}}, we define {{math|1=0<sup>''w''</sup> = 0}}, while {{math|0<sup>0</sup>}} is not defined.}}</ref>
<ref name="rYFno">{{cite magazine |author-first=Mark D. |author-last=Meyerson |title=The {{math|''x''<sup>''x''</sup>}} Spindle |magazine=Mathematics Magazine |volume=69 |number=3 |date=June 1996 |pages=198–206 |doi=10.1080/0025570X.1996.11996428 |quote=... Let's start at {{math|1=''x'' = 0}}. Here {{math|''x''<sup>''x''</sup>}} is undefined.}}</ref>
<ref name="UzqFL">{{cite book |date=1988 |title=Introduction to analysis of the infinite, Book 1 |author-first=Leonhard |author-last=Euler |author-link=Leonhard Euler |translator-first=J. D. |translator-last=Blanton |publisher=Springer |isbn=978-0-387-96824-7 |url=https://books.google.com/books?id=H58dmcLEnk4C |chapter=Chapter&nbsp;6, §99 |page=76}}</ref>
<ref name="N3UF6">{{cite book |date=1787 |title=Institutiones calculi differentialis, Vol. 2 |author-first=Leonhard |author-last=Euler |author-link=Leonhard Euler |publisher=Ticini |isbn=978-0-387-96824-7 |url=https://books.google.com/books?id=H58dmcLEnk4C}}</ref>
<ref name="3QtOF">{{cite journal |author-last=Libri |author-first=Guillaume |author-link=Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja |title=Note sur les valeurs de la fonction {{math|0<sup>0<sup>''x''</sup></sup>}} |language=fr |journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |date=1830 |volume=1830 |issue=6 |pages=67–72 |doi=10.1515/crll.1830.6.67|s2cid=121706970}}</ref>
<ref name="PwNOb">{{citation |author-first=Augustin-Louis |author-last=Cauchy |author-link=Augustin-Louis Cauchy |title=Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique |language=fr |date=1821 |pages=65–69 |series=Oeuvres Complètes: 2 |volume=3}}</ref>
<ref name="vtShl">{{cite book |author-last1=Edwards |author-last2=Penney |date=1994 |title=Calculus |edition=4th |publisher=[[Prentice-Hall]] |page=466}}</ref>
<ref name="mfcsT">{{cite book |author-last1=Keedy |author-last2=Bittinger |author-last3=Smith |date=1982 |title=Algebra Two |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=32}}</ref>
<ref name="AFaJ2">{{cite web |url=http://grouper.ieee.org/groups/754/email/msg03270.html |title=More transcendental questions |website=grouper.ieee.org |archive-url=https://web.archive.org/web/20171114040441/http://grouper.ieee.org/groups/754/email/msg03270.html |archive-date=2017-11-14 |access-date=2019-05-27}} (NB. Beginning of the discussion about the power functions for the revision of the IEEE 754 standard, May 2007.)</ref>
<ref name="hVrIi">{{cite web |url=http://grouper.ieee.org/groups/754/email/msg03292.html |title=Re: A vague specification |website=grouper.ieee.org |archive-url=https://web.archive.org/web/20171114040300/http://grouper.ieee.org/groups/754/email/msg03292.html |archive-date=2017-11-14 |access-date=2019-05-27}} (NB. Suggestion of variants in the discussion about the power functions for the revision of the IEEE 754 standard, May 2007.)</ref>
<ref name="JJg1b">{{cite report |title=Rationale for International Standard—Programming Languages—C |version=Revision 5.10 |date=April 2003 |url=https://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf |page=182}}</ref>
<ref name="vH81X">{{cite web |url=https://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/java/lang/Math.html#pow-double-double- |title=Math (Java Platform SE 8) pow |publisher=Oracle}}</ref>
<ref name="DaiDu">{{cite web |url=https://docs.microsoft.com/en-us/dotnet/api/system.math.pow |title=.NET Framework Class Library Math.Pow Method |publisher=Microsoft}}</ref>
<ref name="AGCLB">{{cite web |url=https://docs.python.org/3/library/stdtypes.html |title=Built-in Types — Python 3.8.1 documentation |access-date=2020-01-25 |quote=Python defines {{mono|1=pow(0, 0)}} and {{mono|1=0 ** 0}} to be {{math|1}}, as is common for programming languages.}}</ref>
<ref name="mbxdz">{{cite web |url=https://docs.python.org/3/library/math.html |title=math — Mathematical functions — Python 3.8.1 documentation |access-date=2020-01-25 |quote=Exceptional cases follow Annex 'F' of the C99 standard as far as possible. In particular, {{mono|1=pow(1.0, x)}} and {{mono|1=pow(x, 0.0)}} always return 1.0, even when {{mono|1=x}} is a zero or a {{mono|1=NaN}}.}}</ref>
<ref name="regQj">{{cite web |url=https://www.lua.org/manual/5.3/manual.html |title=Lua 5.3 Reference Manual |access-date=2019-05-27}}</ref>
<ref name="m5ocl">{{cite web |url=https://perldoc.perl.org/perlop.html#Exponentiation |title=perlop – Exponentiation |access-date=2019-05-27}}</ref>
<ref name="ijVs7">{{cite web |url=https://cran.r-project.org/doc/manuals/r-release/fullrefman.pdf |title=R: A Language and Environment for Statistical Computing – Reference Index |author=The R Core Team |date=2019-07-05 |version=Version 3.6.1 |page=23 |quote=<code>1 ^ y</code> and <code>y ^ 0</code> are 1, always. |access-date=2019-11-22}}</ref>
<ref name="DIJz1">{{cite web |url=https://doc.sagemath.org/html/en/reference/rings_standard/sage/rings/integer.html |title=Sage 9.2 Reference Manual: Standard Commutative Rings. Elements of the ring '''Z''' of integers. |last=The Sage Development Team |date=2020 |access-date=2021-01-21 |quote=For consistency with Python and MPFR, 0^0 is defined to be 1 in Sage.}}</ref>
<ref name="5slbi">{{cite web |url=https://pari.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/manuals/2.11.0/users.pdf |title=Users' Guide to PARI/GP (version 2.11.0) |author=The PARI Group |pages=10,122 |date=2018 |quote=There is also the exponentiation operator ^, when the exponent is of type integer; otherwise, it is considered as a transcendental function. ... If the exponent {{math|{{var|n}}}} is an integer, then exact operations are performed using binary (left-shift) powering techniques. ... If the exponent {{math|{{var|n}}}} is not an integer, powering is treated as the transcendental function {{math|exp({{var|n}} log {{var|x}})}}. |access-date=2018-09-04}}</ref>
}}
















==बाहरी संबंध==
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* [http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ sci.math FAQ: What is {{math|0<sup>0</sup>}}?]
* [http://www.askamathematician.com/?p=4524 What does {{math|0<sup>0</sup>}} (zero to the zeroth power) equal?] on AskAMathematician.com

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