View source for यूलेरियन संख्या

{{distinguish|यूलर संख्या|यूलर की संख्या}}

{{Short description|Polynomial sequence}}

कॉम्बिनेटरिक्स में, '''यूलेरियन संख्या''' <math display="inline">A(n,k)</math> 1 से <math display="inline">n</math> तक की संख्याओं के क्रमपरिवर्तन की संख्या है जिसमें पूर्णतः <math display="inline">k</math> अवयव पिछले अवयव से बड़े होते हैं (<math display="inline">k</math> "आरोही" के साथ क्रमपरिवर्तन)।

[[लियोनहार्ड यूलर]] ने अपनी 1755 की पुस्तक [[विभेदक कैलकुलस की संस्थाएँ|कैलकुली डिफरेंशियलिस संस्थाएँ]] में उनकी और संबंधित बहुपदों की जांच की थी।

[[Image:EulerianPolynomialsByEuler1755.png|right|303px|thumb|1755 से यूलर के कार्य में बहुपदों को वर्तमान में यूलरियन बहुपद के रूप में जाना जाता है, इंस्टीट्यूशन्स कैलकुली डिफरेंशियल, भाग 2, पृष्ठ। 485/6. इन बहुपदों के गुणांकों को यूलेरियन संख्याएँ कहा जाता है।]]<math display="inline">A(n,k)</math> के लिए अन्य संकेतन <math display="inline">E(n,k)</math> और <math>\textstyle \left\langle {n \atop k} \right\rangle</math> हैं

==परिभाषा==
यूलेरियन बहुपदों को घातीय जनरेटिंग फलन द्वारा परिभाषित किया गया है
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} A_{n}(t) \,\frac{x^n}{n!} = \frac{t-1}{t - e^{(t-1)\,x}}.</math>
यूलेरियन संख्याओं को यूलेरियन बहुपदों के गुणांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
:<math>A_{n}(t) = \sum_{k=0}^n A(n,k)\,t^k.</math>
<math display="inline">A(n,k)</math> के लिए स्पष्ट सूत्र है<ref>(L. Comtet 1974, p. 243)</ref>
:<math>A(n,k)=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i \binom{n+1}{i} (k+1-i)^n.</math>
==मूलभूत गुण==
*निश्चित <math display="inline">n</math> के लिए एक एकल क्रमचय है जिसमें 0 आरोही हैं: <math display="inline">(n, n-1, n-2, \ldots, 1)</math> वास्तव में, सभी के लिए <math>{\tbinom n 0}=1</math> के रूप में। इसमें औपचारिक रूप से संख्याओं का रिक्त संग्रह, <math display="inline">A(n, 0) = 1</math> सम्मिलित है। इसलिए <math display="inline">A_0(t)=A_1(t)=1</math>
*<math display="inline">k=1</math> के लिए स्पष्ट सूत्र का तात्पर्य <math display="inline">A(n,1)=2^n-(n+1)</math> है, <math>n</math> में एक अनुक्रम जो <math display="inline">0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, \dots</math> पढ़ता है
*<math display="inline">k</math> आरोही के साथ एक क्रमपरिवर्तन को पूरी तरह उलटने से एक और क्रमपरिवर्तन बनता है जिसमें <math display="inline">n-k-1</math> आरोही होते हैं। इसलिए <math display="inline">A(n, k) = A(n, n-k-1)</math> तो एक एकल क्रमपरिवर्तन भी है जिसमें <math display="inline">n-1</math> आरोही है, अर्थात् आरोही क्रमपरिवर्तन <math display="inline">(1, 2, \ldots, n)</math> अतः <math display="inline">A(n, n-1)</math> भी <math>1</math> के समान है
*एक लविश ऊपरी सीमा <math display="inline">A(n, k) \le (k+1)^n\cdot(n+2)^k</math> है। अभी चर्चा की गई सीमाओं के बीच, मान <math>1</math> से अधिक है
*<math display="inline">k\ge n > 0</math> के लिए, मान औपचारिक रूप से शून्य हैं, जिसका अर्थ है कि <math display="inline">k</math> के ऊपर कई रकम केवल <math display="inline">n-1</math> तक के ऊपरी सूचकांक के साथ लिखी जा सकती हैं। इसका यह भी अर्थ है कि बहुपद <math>A_{n}(t)</math> वास्तव में <math display="inline">n-1</math> के लिए डिग्री <math display="inline">n>0</math> हैं

[[त्रिकोणीय सरणी]] में संख्याओं के सारणीकरण को यूलर त्रिकोण या यूलर का त्रिकोण कहा जाता है। यह पास्कल के त्रिकोण के साथ कुछ सामान्य विशेषताएं साझा करता है। <math display="inline">A(n, k)</math> {{OEIS|id=A008292}} के लिए <math display="inline">0 \le n \le 9</math> हैं:

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
! {{diagonal split header|''n''&nbsp;|&nbsp;''k''}}
! width="50" | 0
! width="50" | 1
! width="50" | 2
! width="50" | 3
! width="50" | 4
! width="50" | 5
! width="50" | 6
! width="50" | 7
! width="50" | 8
|-
! 0
| 1 || || || || || || || ||
|-
! 1
| 1 || || || || || || || ||
|-
! 2
| 1 || 1 || || || || || || ||
|-
! 3
| 1 || 4 || 1 || || || || || ||
|-
! 4
| 1 || 11 || 11 || 1 || || || || ||
|-
! 5
| 1 || 26 || 66 || 26 || 1 || || || ||
|-
! 6
| 1 || 57 || 302 || 302 || 57 || 1 || || ||
|-
! 7
| 1 || 120 || 1191 || 2416 || 1191 || 120 || 1 || ||
|-
! 8
| 1 || 247 || 4293 || 15619 || 15619 || 4293 || 247 || 1 ||
|-
! 9
| 1 || 502 || 14608 || 88234 || 156190 || 88234 || 14608 || 502 || 1
|}
==गणना==
<math display="inline">n</math>, <math display="inline">A(n,k)</math> के बड़े मानों की गणना पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके भी की जा सकती है
:<math>A(n,k)=(n-k)\,A(n-1,k-1) + (k+1)\,A(n-1,k).</math>
इस सूत्र को संयोजक परिभाषा से प्रेरित किया जा सकता है और इस प्रकार यह सिद्धांत के लिए प्राकृतिक प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करता है।

<math display="inline">n</math> और <math display="inline">k</math>, के छोटे मानों के लिए, <math display="inline">A(n,k)</math> के मानों की गणना हाथ से की जा सकती है। उदाहरण के लिए

:{| class="wikitable"
|-
! ''n''
! ''k''
! क्रमपरिवर्तन
! ''A''(''n'', ''k'')
|-
| 1
| 0
| (1)
| ''A''(1,0) = 1
|-
|rowspan="2" | 2
| 0
| (2, 1)
| ''A''(2,0) = 1
|-
| 1
| (1, '''2''')
| ''A''(2,1) = 1
|-
|rowspan="3" | 3
| 0
| (3, 2, 1)
| ''A''(3,0) = 1
|-
| 1
| (1, '''3''', 2), (2, 1, '''3'''), (2, '''3''', 1) and (3, 1, '''2''')
| ''A''(3,1) = 4
|-
| 2
| (1, '''2''', '''3''')
| ''A''(3,2) = 1
|}
पुनरावृत्ति को उदाहरण पर प्रयुक्त करने पर, हम पा सकते हैं
:<math>A(4,1)=(4-1)\,A(3,0) + (1+1)\,A(3,1)=3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 11.</math>
इसी प्रकार, यूलेरियन बहुपद की गणना पुनरावृत्ति द्वारा की जा सकती है
:<math>A_{0}(t) = 1,</math>
:<math>A_{n}(t) = A_{n-1}'(t)\cdot t\,(1-t) + A_{n-1}(t)\cdot (1+(n-1)\,t),\text{ for } n > 1.</math>
दूसरे सूत्र को धनात्मक रूप में परिवर्तित किया जा सकता है,
:<math>A_{n}(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} A_{k}(t)\cdot (t-1)^{n-1-k}, \text{ for } n > 1.</math>
निम्नलिखित [[पायथन भाषा|पायथन कार्यान्वयन]] है।

<syntaxhighlight lang="abl" line="1">
import math  # python 3.8                                                                                           
                                                                                                                      
def Ank(n, k) -> int:                                                                                             
    """
    Compute A(n, k) using the explicit formula.                                                                             
    """                                                                                                               
    def summand(i):                                                                                                          
        return (-1) ** i * math.comb(n + 1, i) * (k + 1 - i) ** n                                                        
    return sum(map(summand, range(k + 1)))                                                                           

def Anks(n) -> list:                                                                                                    
    """
    Coefficient list for the n'th polynomial A_n(t).                                                                      
    """                                                                                                                   
    return [1] if n == 0 else [Ank(n, k) for k in range(n)]                                                                  

def eval_polynomial(coeffs, t):                                                                                             
    """                                                                                                             
    Polynomial evaluation function.                                                                                   
    """                                                                                                             
    return sum(c * t ** k for k, c in enumerate(coeffs))                                                                      
                                                                                                                      
def An(n, t: float) -> float:                                                                                            
    """
    Polynomial A_n(t).                                                                                                       
    """                                                                                                                       
    return eval_polynomial(Anks(n), t)                                                                                

# Print the first few polynomials                                                                                         
sup = lambda n: str(n).translate(str.maketrans("0123456789", "⁰¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹"))                                                 
sub = lambda n: str(n).translate(str.maketrans("0123456789", "₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉"))                                                  

NUM = 8                                                                                                              
for n in range(NUM):                                                                                                   
    print(f"A{sub(n)}(t) = " + " + ".join(f"{ank} t{sup(k)}" for k, ank in enumerate(Anks(n))))                             
    # E.g. A₇(t) = 1 t⁰ + 120 t¹ + 1191 t² + 2416 t³ + 1191 t⁴ + 120 t⁵ + 1 t⁶                                            

    # Sanity checks                                                                                                            
    assert Ank(n, 1) == 2 ** n - (n + 1)                                                                                
    assert n == 0 or An(n, 1) == math.factorial(n)  # Cardinality check                                                     
    alternating_sum: float = sum((-1)**k * Ank(n, k) / math.comb(n - 1, k) for k in range(n))                             
    assert n < 2 or abs(alternating_sum) < 1e-13                                                                                       
</syntaxhighlight>

==पहचान==
किसी परिमित समुच्चय को सीमित रूप से कई छोटे समुच्चयों में विभाजित करने वाली किसी भी गुण के लिए, छोटे समुच्चयों की कार्डिनैलिटी का योग बड़े समुच्चय की कार्डिनैलिटी के समान होता है। यूलेरियन संख्याएँ क्रमपरिवर्तन <math>n</math> अवयव को विभाजित करती हैं , इसलिए उनका योग भाज्य <math>n!</math> के समान होता है . अर्थात।
:<math>\sum_{k=0}^{n-1} A(n,k) = n!, \text{ for }n > 0.</math>
साथ ही <math>A(0,0)=0!</math>. रिक्त योग परिपाटी के साथ कोलिसन से बचने के लिए, केवल प्रमेयों <math>n>0</math> को बताना सुविधाजनक है केवल।

बहुत अधिक सामान्यतः, एक निश्चित फलन के लिए <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> अंतराल पर पूर्णांक <math>(0, n)</math><ref>Exercise 6.65 in ''Concrete Mathematics'' by Graham, Knuth and Patashnik.</ref>
:<math>\sum_{k=0}^{n-1} A(n, k)\, f(k) = n!\int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\left\lfloor x_1 + \cdots + x_n\right\rfloor\right) {\mathrm d}x_1 \cdots {\mathrm d}x_n </math>
वर्पिट्ज़की की पहचान <ref>{{cite journal |last1=Worpitzky |first1=J. |title=Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |date=1883 |volume=94 |pages=203–232 |url=https://eudml.org/doc/148532}}</ref> <math display="inline">x^n</math> को [[द्विपद गुणांक]] के साथ यूलेरियन संख्याओं के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में व्यक्त करती है:
:<math>\sum_{k=0}^{n-1}A(n,k)\binom{x+k}{n}=x^n.</math>
इससे यह निष्कर्ष निकलता है
:<math>\sum_{k=1}^{m}k^n=\sum_{k=0}^{n-1} A(n,k) \binom{m+k+1}{n+1}.</math>
===प्रत्यावर्ती योगों वाले सूत्र===
<math display="inline">n</math> के एक निश्चित मान के लिए यूलेरियन संख्याओं का वैकल्पिक योग [[बर्नौली संख्या]] <math display="inline">B_{n+1}</math> से संबंधित है
:<math>\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k A(n,k) = 2^{n+1}(2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \text{  for  }n > 0.</math>
आगे,
:<math>\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \frac{A(n,k)}{\binom{n-1}{k}}=0, \text{  for  }n > 1</math>
और
:<math>\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \frac{A(n,k)}{\binom{n}{k}}=(n+1)B_{n}, \text{  for  } n > 1</math>
===बहुपदों से जुड़े सूत्र===
समरूपता गुण का तात्पर्य है:
:<math>A_n(t) = t^{n-1} A_n(t^{-1}) </math>
यूलेरियन संख्याएँ n के अनुक्रम के लिए [[जनरेटिंग फ़ंक्शन|जनरेटिंग फलन]] में सम्मिलित हैं
:<math>\sum_{i=1}^\infty i^n x^i = \frac{1}{(1-x)^{n+1}}\sum_{k=0}^n A(n,k)\,x^{k+1} = \frac{x}{(1-x)^{n+1}}A_n(x)</math>
यह भी मानता है कि,
:<math>\frac{e}{1-e\,x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!(1-x)^{n+1}}A_n(x).</math>
==दूसरे क्रम की यूलेरियन संख्याएँ==
[[मल्टीसेट]] का क्रमपरिवर्तन <math display="inline">\{1, 1, 2, 2, \ldots, n, n\}</math> है जिसमें यह गुण है कि प्रत्येक k के लिए, क्रमपरिवर्तन में k की दो घटनाओं के बीच दिखाई देने वाली सभी संख्याएँ k से अधिक होती हैं, जिन्हें दोहरे भाज्य संख्या <math display="inline">(2n-1)!!</math> द्वारा गिना जाता है .

दूसरे क्रम की यूलेरियन संख्या, निरूपित <math> \scriptstyle \left\langle \! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \! \right\rangle </math>, ऐसे सभी क्रमपरिवर्तनों की संख्या की गणना करता है जिनका पूर्णतः m आरोही है। उदाहरण के लिए, n = 3 के लिए 15 ऐसे क्रमपरिवर्तन हैं, 1 बिना आरोही के, 8 एकल आरोही के साथ, और 6 दो आरोही के साथ है:

: 332211,
: 221133, 221331, 223311, 233211, 113322, 133221, 331122, 331221,
: 112233, 122133, 112332, 123321, 133122, 122331।

दूसरे क्रम की यूलेरियन संख्याएँ पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती हैं, जो उपरोक्त परिभाषा से सीधे अनुसरण करती है:
:<math> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-k-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop k-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (k+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle, </math>
n = 0 के लिए प्रारंभिक नियम के साथ, [[इवरसन ब्रैकेट]] नोटेशन में व्यक्त किया गया है:
:<math> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle = [k=0].</math>
इसलिए , दूसरे क्रम का यूलेरियन बहुपद, यहाँ P<sub>''n''</sub> को दर्शाता है (उनके लिए कोई मानक संकेतन उपस्थित नहीं है) हैं
:<math>P_n(x) := \sum_{k=0}^n  \left\langle \!\! \left\langle {n \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle x^k </math>
और उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंधों को अनुक्रम p<sub>''n''</sub>(x) के लिए पुनरावृत्ति संबंध में अनुवादित किया गया है:
:<math> P_{n+1}(x) = (2nx+1) P_n(x) - x(x-1) P_n^\prime(x) </math>
प्रारंभिक नियम के साथ <math> P_0(x) = 1. </math>. बाद की पुनरावृत्ति को एकीकृत कारक के माध्यम से कुछ सीमा तक अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है:
:<math> (x-1)^{-2n-2} P_{n+1}(x) = \left( x\,(1-x)^{-2n-1} P_n(x) \right)^\prime </math>
जिससे तर्कसंगत कार्य हो सकता है
:<math> u_n(x) := (x-1)^{-2n} P_{n}(x) </math>
एक साधारण स्वायत्त पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है:
:<math> u_{n+1} = \left( \frac{x}{1-x} u_n \right)^\prime, \quad u_0=1</math>
जहां से कोई दूसरे क्रम के यूलेरियन बहुपद को <math display="inline">P_n(x) = (1-x)^{2n} u_n(x)</math> के रूप में प्राप्त करता है, और दूसरे क्रम के यूलेरियन संख्या को उनके गुणांक के रूप में प्राप्त करता है।

निम्न तालिका पहले कुछ दूसरे क्रम के यूलेरियन संख्याओं को प्रदर्शित करती है:

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
! {{diagonal split header|''n''&nbsp;|&nbsp;''k''}}
! width="50" | 0
! width="50" | 1
! width="50" | 2
! width="50" | 3
! width="50" | 4
! width="50" | 5
! width="50" | 6
! width="50" | 7
! width="50" | 8
|-
!0
|1
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
! 1
| 1 || || || || || || || ||
|-
! 2
| 1 || 2 || || || || || || ||
|-
! 3
| 1 || 8 || 6 || || || || || ||
|-
! 4
| 1 || 22 || 58 || 24 || || || || ||
|-
! 5
| 1 || 52 || 328 || 444 || 120 || || || ||
|-
! 6
| 1 || 114 || 1452 || 4400 || 3708 || 720 || || ||
|-
! 7
| 1 || 240 || 5610 || 32120 || 58140 || 33984 || 5040 || ||
|-
! 8
| 1 || 494 || 19950 || 195800 || 644020 || 785304 || 341136 || 40320 ||
|-
! 9
| 1 || 1004 || 67260 || 1062500 || 5765500 || 12440064 || 11026296 || 3733920 || 362880
|}

n-वीं पंक्ति का योग, जो कि मान <math display="inline">P_n(1)</math> भी है, <math display="inline">(2n-1)!!</math> है

दूसरे क्रम के यूलेरियन संख्याओं का अनुक्रमण तीन फ्लावर में आता है:
* {{OEIS|A008517}} रिओर्डन और कॉमटेट का अनुसरण करते हुए,
* {{OEIS|A201637}} ग्राहम, नुथ और पाटश्निक का अनुसरण करते हुए,
* {{OEIS|A340556}}, गेसल और स्टेनली की परिभाषा का विस्तार।

==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                   ==
* Eulerus, Leonardus [Leonhard Euler] (1755). ''Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum [Foundations of differential calculus, with applications to finite analysis and series]''. Academia imperialis scientiarum Petropolitana; Berolini: Officina Michaelis.
* {{cite journal|first1=L. |last1=Carlitz|title=Eulerian Numbers and polynomials | year=1959|journal=Math. Mag.|volume=32 | number=5 | pages=247–260|doi=10.2307/3029225|jstor=3029225}}
* {{cite journal|first1=H. W. |last1=Gould|title=Evaluation of sums of convolved powers using Stirling and Eulerian Numbers|year=1978|journal=Fib. Quart.|volume =16 |pages=488–497|number=6|url=https://www.fq.math.ca/16-6.html}}
* {{cite journal|first1=Jacques | last1=Desarmenien | first2=Dominique | last2=Foata | title=The signed Eulerian numbers| journal=Discrete Math.
|year=1992|volume=99 | number=1–3| pages=49–58|doi=10.1016/0012-365X(92)90364-L| doi-access=free}}
* {{cite journal|year=1992|journal=Europ. J. Combinat. | volume=13 | pages=379–399|number=5|title= On the Eulerian Numbers M=max (A(n,k))|first=Leonce |last1=Lesieur | first2=Jean-Louis | last2=Nicolas|doi=10.1016/S0195-6698(05)80018-6|doi-access=free}}
* {{cite journal
|first1=P. L. |last1=Butzer | first2=M. |last2=Hauss
|title=Eulerian numbers with fractional order parameters
|journal=[[Aequationes Mathematicae]] | year=1993 | volume=46|issue=1–2 |pages=119–142
|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002610515 | doi=10.1007/bf01834003
|s2cid=121868847 }}
* {{cite journal|first1=M.V. |last1=Koutras|title=Eulerian numbers associated with sequences of polynomials|journal=Fib. Quart.|year=1994|pages=44|volume=32|number=1|url=https://www.fq.math.ca/32-1.html}}
* {{cite book|last1=Graham|
last2=Knuth|last3=Patashnik|year=1994|title=[[Concrete Mathematics]]: A Foundation for Computer Science|edition=2nd|publisher=Addison-Wesley|pages=267–272}}
<!--See also http://www.combinatorics.org/Volume_4/PDF/v4i2r18.pdf -->
*{{cite journal|first1=Leetsch C. |last1=Hsu |author1-link=Leetsch C. Hsu | first2=Peter | last2=Jau-Shyong Shiue| title=On certain summation problems and generalizations of Eulerian polynomials and numbers|journal=Discrete Math. | volume=204 | year=1999 |issue=1–3 | doi=10.1016/S0012-365X(98)00379-3|pages=237–247|doi-access=free }}
* {{cite arXiv|eprint=0710.1124 |title=Apostol-Bernoulli functions, derivative polynomials and Eulerian polynomials|year=2007|first1=Khristo N. |last1=Boyadzhiev|class=math.CA}}
* {{cite book|first1=T. Kyle|last1= Petersen|year=2015|title = Eulerian Numbers|series= Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher|publisher=Birkhäuser|doi=10.1007/978-1-4939-3091-3_1|pages=3–18|isbn= 978-1-4939-3090-6}}
== उद्धरण                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          ==
<references />
==बाहरी संबंध==
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_polynomials Eulerian Polynomials] at [[OEIS]] Wiki. 
*{{MathPages|id=home/kmath012/kmath012|title=Eulerian Numbers}} 
*{{MathWorld|title=Eulerian Number|urlname=EulerianNumber}}
*{{MathWorld|title=Euler's Number Triangle|urlname=EulersNumberTriangle}}
*{{MathWorld|title=Worpitzky's Identity|urlname=WorpitzkysIdentity}}
*{{MathWorld|title=Second-Order Eulerian Triangle|urlname=Second-OrderEulerianTriangle}}
*[http://go.helms-net.de/math/binomial_new/01_12_Eulermatrix.pdf Euler-matrix] (generalized rowindexes, divergent summation)

[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
[[Category:Created On 09/07/2023]]
[[Category:Lua-based templates]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates that add a tracking category]]
[[Category:Templates that generate short descriptions]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:गणनात्मक संयोजक]]
[[Category:पूर्णांक क्रम]]
[[Category:भाज्य और द्विपद विषय]]
[[Category:संख्याओं के त्रिकोण]]