View source for भाज्य क्षण

{{Short description|Expectation or average of the falling factorial of a random variable}}
संभाव्यता सिद्धांत में, '''भाज्य क्षण''' गणितीय मात्रा है जिसे यादृच्छिक चर के गिरते भाज्य के [[अपेक्षित मूल्य]] या औसत के रूप में परिभाषित किया गया है। गैर-नकारात्मक [[पूर्णांक]]-मूल्यवान यादृच्छिक चर का अध्ययन करने के [[गिरता हुआ भाज्य|भाज्य]] क्षण उपयोगी होते हैं,<ref name="daleyPPI2003">D. J. Daley and D. Vere-Jones. ''An introduction to the theory of point processes. Vol. I''. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2003</ref> और असतत यादृच्छिक चर के क्षणों को प्राप्त करने के लिए संभाव्यता-उत्पादक कार्यों के उपयोग में उत्पन्न होते हैं।

भाज्य क्षण कॉम्बिनेटरिक्स के गणितीय क्षेत्र में विश्लेषणात्मक उपकरण के रूप में कार्य करते हैं, जो असतत गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है।<ref>{{cite book|last=Riordan|first=John|authorlink=John Riordan (mathematician)|title=संयुक्त विश्लेषण का परिचय|year=1958|publisher=Dover}}</ref>
==परिभाषा                                                                                                                                                                                                     ==
एक प्राकृतिक संख्या के लिए {{math|''r''}}, -वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर संभाव्यता वितरण का {{math|''r''}}-वाँ तथ्यात्मक क्षण, या, दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर {{math|''X''}} उस संभाव्यता वितरण के साथ है <ref>{{cite book|last=Riordan|first=John|authorlink=John Riordan (mathematician)|title=संयुक्त विश्लेषण का परिचय|year=1958|publisher=Dover|pages=30}}</ref>
:<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \operatorname{E}\bigl[ X(X-1)(X-2)\cdots(X-r+1)\bigr],</math>
जहां {{math|E}} अपेक्षित संचालक है और

:<math>(x)_r := \underbrace{x(x-1)(x-2)\cdots(x-r+1)}_{r \text{ factors}} \equiv \frac{x!}{(x-r)!}</math>
स्खलन भाज्य है, जो नाम को जन्म देता है, यद्यपि संकेतन {{math|(''x'')<sub>''r''</sub>}} गणितीय क्षेत्र के आधार पर भिन्न होता है। {{efn| The [[Pochhammer symbol]] {{math|(''x'')<sub>''r''</sub>}} is used especially in the theory of [[special function]]s, to denote the [[falling factorial]] {{math|''x''(''x'' - 1)(''x'' - 2) ... (''x'' - ''r'' + 1)}};.<ref name="NIST:DLMF">{{cite book| title=NIST Digital Library of Mathematical Functions| url=http://dlmf.nist.gov/| accessdate=9 November 2013}}</ref> whereas the present notation is used more often in [[combinatorics]].}} परिभाषा के लिए आवश्यक है कि अपेक्षा सार्थक हो, जो कि {{math|(''X'')<sub>''r''</sub> ≥ 0}} या {{math|E<nowiki>[|</nowiki>(''X'')<sub>''r''</sub><nowiki>|]</nowiki> < ∞}} स्थिति है .

यदि {{math|X}}, {{math|n}} परीक्षणों में सफलताओं की संख्या है और {{math|p<sub>r</sub>}} संभावना है कि {{math|n}} परीक्षणों में से कोई भी {{math|r}} सभी सफल हैं, <ref>P.V.Krishna Iyer. "A Theorem on Factorial Moments and its Applications". Annals of Mathematical Statistics Vol. 29 (1958). Pages 254-261.</ref>
:<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)p_r</math>

==उदाहरण                                                                                                                                                                                                                                          ==

===पॉइसन वितरण===
यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} में मापदंड λ के साथ पॉइसन वितरण है, फिर के भाज्य क्षण {{math|''X''}} हैं

:<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] =\lambda^r,</math>
जो पॉइसन वितरण उच्च क्षणों की तुलना में सरल रूप में हैं, जिसमें दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएं सम्मिलित हैं।

===द्विपद बंटन===
यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} सफलता की संभावना के साथ [[द्विपद वितरण]] है {{math|''p'' ∈ }}{{closed-closed|0,1}} और परीक्षणों की संख्या {{math|''n''}}, फिर के तथ्यात्मक क्षण {{math|''X''}} हैं<ref name="potts1953note">{{cite journal| author=Potts, RB| title=मानक वितरण के तथ्यात्मक क्षणों पर ध्यान दें| journal=Australian Journal of Physics| year=1953| volume=6| number=4| pages=498–499| publisher=CSIRO| doi=10.1071/ph530498| bibcode=1953AuJPh...6..498P| doi-access=free}}<!--| accessdate=13 November 2013--></ref>
:<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \binom{n}{r} p^r r! = (n)_r p^r,</math>
जहां सम्मेलन द्वारा, <math>\textstyle{\binom{n}{r}} </math> और <math>(n)_r</math> यदि r > n हो तो शून्य समझा जाता है।

===हाइपरज्यामितीय वितरण===
यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} में जनसंख्या आकार के साथ [[हाइपरज्यामितीय वितरण]] {{math|''N''}} है , सफलता की स्थिति की संख्या {{math|''K'' ∈ {0,...,''N''}}} जनसंख्या में, और खींचता {{math|''n'' ∈ {0,...,''N''}} है , फिर के तथ्यात्मक क्षण {{math|''X''}} हैं <ref name="potts1953note"/>

:<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \frac{\binom{K}{r}\binom{n}{r}r!}{\binom{N}{r}} = \frac{(K)_r (n)_r}{(N)_r}. </math>
===बीटा-द्विपद बंटन===
यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} में मापदंडों के साथ [[बीटा-द्विपद वितरण]] {{math|''α'' > 0}}, {{math|''β'' > 0}} है, और परीक्षणों की संख्या {{math|''n''}}, फिर के तथ्यात्मक क्षण {{math|''X''}} हैं

:<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \binom{n}{r}\frac{B(\alpha+r,\beta)r!}{B(\alpha,\beta)} =
(n)_r \frac{B(\alpha+r,\beta)}{B(\alpha,\beta)} </math>
==क्षणों की गणना==
एक यादृच्छिक चर X का वां कच्चा क्षण सूत्र द्वारा इसके भाज्य क्षणों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

:<math>\operatorname{E}[X^r] = \sum_{j=0}^r \left\{ {r \atop j} \right\} \operatorname{E}[(X)_j], </math>
जहां तरंगित ब्रेसिज़ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं को दर्शाते हैं।

==यह भी देखें==
* [[भाज्य क्षण माप]]
* [[क्षण (गणित)]]
* संचयक
* [[फैक्टोरियल मोमेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन|भाज्य मोमेंट जनरेटिंग फलन]]

==टिप्पणियाँ                                                                                                                                                                                       ==
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==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                           ==
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