View source for प्राथमिक पायथागॉरियन ट्रिपल्स ट्री

[[file:Berggrens's tree with reordered path keys.svg|500px|thumb|अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण्स का बर्गग्रेन्स का ट्री।]]गणित में, '''अभाज्य [[पायथागॉरियन ट्रिपल|पायथागॉरियन त्रिगुण]] का ट्री''' एक [[पेड़ (डेटा संरचना)|डेटा संरचना]] है, जिसमें प्रत्येक नोड शाखाओं को तीन के पश्चात नोड्स के साथ सभी नोड्स के अनंत समुच्चय के साथ सभी अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण को दोहराव के अतिरिक्त देता है।

पायथागॉरियन त्रिगुण में तीन धनात्मक [[पूर्णांक]] ए'', बी,'' और ''सी''  का एक समुच्चय है, जिसमें यह गुण होता है, कि वे क्रमशः एक समकोण त्रिभुज के दो पैर और [[कर्ण]] हो सकते हैं, इस प्रकार समीकरण को संतुष्ट करते हैं <math>a^2+b^2=c^2</math>; त्रिगुण को अभाज्य कहा जाता है [[अगर और केवल अगर]] 'ए, बी,' और 'सी' का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक है। अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण ''ए, बी,'' और ''सी'' भी जोड़ीदार [[सह अभाज्य]] हैं। सभी अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण के समुच्चय में प्राकृतिक विधि से एक मूल [[ वृक्ष की संरचना |ट्री की संरचना]] ,विशेष रूप से एक [[ त्रिगुट वृक्ष |त्रिगुट ट्री]] की संरचना होती है। यह पहली बार 1934 में बी. बर्गग्रेन द्वारा खोजा गया था।<ref>B. Berggren, "Pytagoreiska trianglar" (in Swedish), ''Elementa: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi'' 17 (1934), 129–139. See page 6 for the rooted tree.</ref>

एफ. जे. एम. बार्निंग ने दिखाया<ref>Barning, F. J. M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (in Dutch), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151  
</ref> कि जब तीन [[मैट्रिक्स (गणित)|मैट्रिक्स]] में से कोई भी हों तो-
: <math>
\begin{array}{lcr}
A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \end{bmatrix} &
B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} &
C = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{bmatrix}
\end{array}
</math>
[[कॉलम वेक्टर]] द्वारा दाईं ओर [[मैट्रिक्स गुणन]] है, जिसके घटक एक पायथागॉरियन त्रिगुण बनाते हैं, तथा उसके परिणाम स्वरुप और कॉलम वेक्टर होता है, जिसके घटक एक भिन्न पायथागॉरियन त्रिगुण होते हैं। यदि प्रारंभिक त्रिगुण अभाज्य है, तो वह भी वही है जो परिणाम देता है। इस प्रकार प्रत्येक अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण के तीन बच्चे हैं। सभी अभाज्य पाइथागोरस त्रिगुण, (3, 4, 5) से इस प्रकार से त्रिगुण उतरे हैं, और कोई भी अभाज्य त्रिगुण एक से अधिक बार प्रकट नहीं होता है। परिणाम को मूल नोड पर (3, 4, 5) के साथ अनंत टर्नरी ट्री के रूप में ग्राफ़िक रूप से दर्शाया जा सकता है। यह ट्री 1970 में ए. हॉल के पेपर्स में भी छपा था<ref>A. Hall, "Genealogy of Pythagorean Triads", ''[[The Mathematical Gazette]]'', volume 54, number 390, December, 1970, pages 377–9.</ref> और 1990 में ए.आर. कांगा।<ref>Kanga, A. R., "The family tree of Pythagorean triples," ''Bulletin of the [[Institute of Mathematics and its Applications]]'' 26, January/February 1990, 15–17.</ref> 2008 में वी.ई. फर्स्टोव ने सामान्यतः दिखाया कि केवल तीन ऐसे ट्राइकोटॉमी ट्री उपस्थित हैं, और स्पष्ट रूप से बर्गग्रेन के समान एक ट्री देते हैं, लेकिन प्रारंभिक नोड (4, 3, 5) से प्रारम्भ होता है।<ref>{{Cite web|title=V. E. Firstov, "A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples", Mat. Zametki, 84:2 (2008), 281–299; Math. Notes, 84:2 (2008), 263–279|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow&#61;paper&jrnid&#61;mzm&paperid&#61;4074&option_lang&#61;eng|access-date=2023-02-08|website=www.mathnet.ru}}</ref>



== प्रमाण ==

=== विशेष रूप से अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण की उपस्थिति ===

यह विवेचनात्मक रूप से दिखाया जा सकता है, कि ट्री में अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण होते हैं, और कुछ भी नहीं दिखाते हैं कि अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण से प्रारम्भ होता है, जैसे कि प्रारंभिक नोड (3, 4, 5) के साथ उपस्थित है, प्रत्येक उत्पन्न त्रिगुण दोनों है पायथागॉरियन और अभाज्य।

=== पायथागॉरियन की संपत्ति का संरक्षण ===
यदि उपर्युक्त आव्यूहों में से कोई, मान लीजिए A, पायथागॉरियन गुण a2 + b2 = c2 वाले त्रिगुण (a, b, c)T पर लागू किया जाता है, तो एक नया त्रिगुण (d, e, f)T = A(a, बी, सी) टी, यह नया त्रिगुण भी पायथागॉरियन है। इसे d, e, और f में से प्रत्येक को a, b, और c में तीन पदों के योग के रूप में लिखकर, उनमें से प्रत्येक का वर्ग करके और f2 = d2 + e2 प्राप्त करने के लिए c2 = a2 + b2 को प्रतिस्थापित करके देखा जा सकता है। यह बी और सी के साथ-साथ ए के लिए भी है।

==== अभाज्यता का संरक्षण ====
मैट्रिक्स ए, बी, और सी सभी यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स हैं- अर्थात, उनके पास केवल पूर्णांक प्रविष्टियां हैं, और उनके निर्धारक ± 1 हैं। इस प्रकार उनके व्युत्क्रम भी एक-मॉड्यूलर होते हैं, और विशेष रूप से केवल पूर्णांक प्रविष्टियाँ होती हैं। इसलिए यदि उनमें से कोई एक, उदाहरण के लिए ए, अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण (ए, बी, सी) पर लागू होता है, टी एक और त्रिगुण (डी, ई, एफ) प्राप्त करने के लिए टी, हमारे पास (डी, ई, एफ) टी = ए (ए, बी, सी) टी और इसलिए (ए, बी, सी)टी</सुप> = ए−1(डी, ई, एफ)टी</सुप>. यदि किसी भी प्रमुख कारक को डी, ई, और एफ के किसी भी दो द्वारा साझा किया गया था, तो इस अंतिम समीकरण से प्रधान भी ए, बी, और सी में से प्रत्येक को विभाजित करेगा। इसलिए यदि a, b, और c वास्तव में जोड़ीदार सहअभाज्य हैं, तो d, e, और f जोड़ीदार सहअभाज्य भी होने चाहिए। यह B और C के साथ-साथ A के लिए भी लागू होता है।

=== हर अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण की उपस्थिति ठीक एक बार ===
यह दिखाने के लिए कि ट्री में प्रत्येक अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण सम्मिलित है, परन्तु एक से अधिक बार नहीं, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे किसी भी त्रिगुण के लिए ट्री के माध्यम से प्रारंभिक नोड (3, 4, 5) के लिए ठीक एक रास्ता है। इसे एक-मॉड्यूलर व्युत्क्रम मैट्रिसेस ए में से प्रत्येक को बारी-बारी से लागू करके देखा जा सकता है<sup>-1</sup>, बी<sup>-1</sup>, और सी<sup>−1</sup> एक मनमाने ढंग से अभाज्य पाइथागोरियन त्रिगुण (डी, ई, एफ) के लिए, यह देखते हुए कि उपरोक्त तर्क से अभाज्यता और पायथागॉरियन संपत्ति को बनाए रखा जाता है, और यह देखते हुए कि (3, 4, 5) से बड़े किसी भी त्रिगुण के लिए बिल्कुल व्युत्क्रम संक्रमण मेट्रिसेस में से एक सभी सकारात्मक प्रविष्टियों (और एक छोटा कर्ण) के साथ एक नया त्रिगुण देता है। प्रेरण द्वारा, यह नया वैध त्रिगुण स्वयं ठीक एक छोटे वैध त्रिगुण की ओर जाता है, और आगे भी। छोटे और छोटे संभावित कर्णों की संख्या की परिमितता से, अंततः (3, 4, 5) तक पहुँच जाता है। यह संदर्भित करता है कि (डी, ई, एफ) वास्तव में ट्री में होता है, क्योंकि इसे चरणों को उलट कर (3, 4, 5) से पहुंचा जा सकता है; और यह विशिष्ट रूप से होता है क्योंकि (डी, ई, एफ) से (3, 4, 5) तक केवल एक ही रास्ता था।

== गुण ==
मैट्रिक्स ए का उपयोग कर परिवर्तन, यदि बार-बार (ए, बी, सी) = (3, 4, 5) से किया जाता है, तो फीचर बी + 1 = सी को संरक्षित करता है; मैट्रिक्स बी a – b = ±1 (3, 4, 5) से प्रारम्भ करके सुरक्षित रखता है; और मैट्रिक्स C (3, 4, 5) से प्रारम्भ होने वाली विशेषता a+2=c को सुरक्षित रखता है।

इस ट्री के लिए एक ज्यामितीय व्याख्या में प्रत्येक नोड पर उपस्थित बहिर्वृत्त सम्मिलित हैं। किसी भी माता-पिता त्रिकोण के तीन बच्चे माता-पिता से "विरासत" प्राप्त करते हैं: माता-पिता की बाहरी त्रिज्या अगली पीढ़ी के लिए अंतःत्रिज्या बन जाती है।<ref name="Price">{{cite arXiv |last=Price |first=H. Lee |eprint=0809.4324 |title=The Pythagorean Tree: A New Species |year=2008|class=math.HO }}</ref>{{rp|p.7}} उदाहरण के लिए, माता-पिता (3, 4, 5) के पास 2, 3 और 6 के बराबर त्रिज्या है। ये ठीक तीन बच्चों (5, 12, 13), (15, 8, 17) और {{nowrap|(21, 20, 29)}} क्रमश।

यदि प्रारंभिक स्थिति के रूप में उपयोग किए जाने वाले किसी भी पायथागॉरियन त्रिगुण से ए या सी में से किसी एक को बार-बार लागू किया जाता है, तो ए, बी, और सी में से किसी की गतिशीलता को एक्स की गतिशीलता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

:<math> x_{n+3} - 3x_{n+2} + 3x_{n+1} - x_n = 0 \, </math>
जो मेट्रिसेस के साझा विशेषता बहुपद विशेषता समीकरण पर प्रतिरूपित है

:<math>\lambda ^3 -3 \lambda ^2 + 3 \lambda -1 = 0. \, </math>
यदि बी को बार-बार लागू किया जाता है, तो ए, बी, और सी में से किसी की गतिशीलता को एक्स की गतिशीलता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

:<math> x_{n+3} - 5x_{n+2} - 5x_{n+1} + x_n = 0, \, </math>
जो बी के चारित्रिक समीकरण पर प्रतिरूपित है।<ref>Mitchell, Douglas W., "Feedback on 92.60", ''Mathematical Gazette'' 93, July 2009, 358–9.</ref>

इसके अतिरिक्त, अन्य तीसरे क्रम के अविभाज्य [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] की एक अनंतता को तीन आव्यूहों में से किसी एक को एक मनमाना क्रम में कई बार एक मनमाना संख्या में गुणा करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स डी = सीबी एक ही चरण में एक को दो नोड्स द्वारा ट्री से बाहर ले जाता है; D का विशिष्ट समीकरण सामूहिक रूप से संपूर्ण घटनाओं D द्वारा गठित गैर-संपूर्ण वृक्ष में a, b, या c में से किसी के तीसरे क्रम की गतिशीलता के लिए पैटर्न प्रदान करता है।

== ट्री बनाने के वैकल्पिक तरीके ==
[[file:Price's tree (classical approach).svg|500px|thumb|अभाज्य पाइथोगोरियन त्रिगुण्स का प्राइस ट्री।]]इस ट्री की गतिशीलता के लिए एक और दृष्टिकोण<ref>{{citation|last1=Saunders|first1=Robert A.|last2=Randall|first2=Trevor|title=The family tree of the Pythagorean triplets revisited|journal=Mathematical Gazette|volume=78|date=July 1994|pages=190–193|doi=10.2307/3618576 |jstor= 3618576|s2cid=125749577 }}.</ref> सभी अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण उत्पन्न करने के लिए मानक सूत्र पर निर्भर करता है:

:<math>a = m^2 - n^2, \, </math>
:<math>b = 2mn, \, </math>
:<math>c = m^2 + n^2, \, </math>
एम >एन > 0 और एम और एन कोप्राइम और विपरीत समता के साथ। जोड़े (एम, एन) को इनमें से किसी के द्वारा पूर्व-गुणा (कॉलम वेक्टर के रूप में व्यक्त) करके पुनरावृत्त किया जा सकता है

:<math>
\begin{array}{lcr}
\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, &
\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0  \end{bmatrix}, &
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1  \end{bmatrix},
\end{array}
</math>
जिनमें से प्रत्येक असमानताओं, सहप्रधानता और विपरीत समानता को संरक्षित करता है। परिणामी त्रिगुट ट्री, (2,1) से प्रारम्भ होकर, प्रत्येक ऐसे (एम, एन) जोड़े को ठीक एक बार सम्मिलित करता है, और जब इसे (ए,बी,सी) त्रिगुण में परिवर्तित किया जाता है, तो यह ऊपर वर्णित ट्री के समान हो जाता है।

त्रिगुण के ट्री को उत्पन्न करने के लिए दो अंतर्निहित पैरामीटर का उपयोग करने का दूसरा विधि<ref>Mitchell, Douglas W., "An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples", ''Mathematical Gazette'' 85, July 2001, 273–275.</ref> जिसमे सभी अभाज्य त्रिगुणों के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करता है:

:<math>a = uv, \, </math>
:<math>b = \frac{u^2-v^2}{2},</math>
:<math>c = \frac{u^2+v^2}{2},</math>
यू > वी > 0 और यू और वी कोप्राइम और दोनों ऑड के साथ। जोड़े (यू, वी) को उपरोक्त 2 × 2 आव्यूहों में से किसी के द्वारा पूर्व-गुणा करके पुनरावृत्त किया जा सकता है, जिनमें से तीनों असमानताओं, सहप्रधानता और दोनों तत्वों की विषम समानता को संरक्षित करते हैं। जब यह प्रक्रिया (3, 1) पर प्रारम्भ होती है, तो परिणामी त्रिगुट वृक्ष में ऐसी प्रत्येक (यू, वी) जोड़ी ठीक एक बार होती है, और जब इसे (ए,बी,सी) त्रिगुणों में परिवर्तित किया जाता है, तो यह ऊपर वर्णित ट्री के समान हो जाता है।

== एक अलग ट्री ==
वैकल्पिक रूप से, कोई प्राइस द्वारा प्राप्त 3 अलग-अलग मैट्रिसेस का भी उपयोग कर सकता है।<ref name="Price"/>ये आव्यूह A', B', C' और उनके संबंधित रैखिक परिवर्तन नीचे दिखाए गए हैं।

: <math>\overset{{{A}'}}{\mathop{\left[ \begin{matrix}
   2 & 1 & -1  \\
   -2 & 2 & 2  \\
   -2 & 1 & 3
\end{matrix} \right]}} \left[ \begin{matrix}
   a  \\
   b  \\
   c
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   a_1  \\
   b_1  \\
   c_1
\end{matrix} \right],\quad \text{     }\overset{{{B}'}}{\mathop{\left[ \begin{matrix}
   2 & 1 & 1  \\
   2 & -2 & 2  \\
   2 & -1 & 3
\end{matrix} \right]}} \left[ \begin{matrix}
   a  \\
   b  \\
   c  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   a_2 \\
   b_2 \\
   c_2
\end{matrix} \right],\quad \text{     }\overset{{{C}'}}{\mathop{\left[ \begin{matrix}
   2 & -1 & 1  \\
   2 & 2 & 2  \\
   2 & 1 & 3  \\
\end{matrix} \right]}} \left[ \begin{matrix}
   a  \\
   b  \\
   c  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   a_3 \\
   b_3 \\
   c_3
\end{matrix} \right]</math>
मूल्य के तीन रैखिक परिवर्तन हैं

: <math>\begin{align}
  & \begin{matrix}
   +2a+b-c=a_1 \quad & -2a+2b+2c=b_1 \quad & -2a+b+3c=c_1 & \quad \to \left[ \text{ }a_1,\text{ }b_1,\text{ }c_1 \right]
\end{matrix} \\ 
 & \begin{matrix}
   +2a+b+c=a_2 \quad & +2a-2b+2c=b_2 \quad  & +2a-b+3c=c_2 & \quad \to \left[ \text{ }a_2,\text{ }b_2,\text{ }c_2  \right]
\end{matrix} \\ 
 & \begin{matrix}
   +2a-b+c=a_3 \quad & +2a+2b+2c=b_3 \quad  & +2a+b+3c=c_3 & \quad \to \left[ \text{ }a_3,\text{ }b_3,\text{ }c_3 \right]
\end{matrix} \\ 
 &
\end{align}</math>
मेट्रिसेस के दो समुच्चयों में से प्रत्येक के द्वारा उत्पादित 3 बच्चे समान नहीं हैं, लेकिन प्रत्येक समुच्चय अलग-अलग सभी अभाज्य त्रिगुण उत्पन्न करता है।
 
उदाहरण के लिए, माता-पिता के रूप में [5, 12, 13] का उपयोग करते हुए, हमें तीन बच्चों के दो समुच्चय मिलते हैं:

: <math>\begin{array}{ccc}
     & \left[ 5,12,13 \right] &   \\
   A &      B      & C \\
   \left[ 45,28,53 \right] & \left[ 55,48,73 \right] & \left[ 7,24,25 \right]
\end{array}
\quad \quad \quad \quad \quad \quad 
\begin{array}{ccc}
   {} & \left[ 5,12,13 \right] & {}  \\
   A' & B' & C'  \\
   \left[ 9,40,41 \right] & \left[ 35,12,37\right] & \left[ 11,60,61 \right]
\end{array}
</math>


== नोट्स और संदर्भ ==
{{reflist}}

== बाहरी संबंध ==
* [https://web.archive.org/web/20071128165439/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PT_matrix.shtml The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples] at [[cut-the-knot]]
* Frank R. Bernhart, and H. Lee Price, "Pythagoras' garden, revisited", Australian Senior Mathematics Journal 01/2012; 26(1):29-40.[https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ992372.pdf]
* {{MathWorld |urlname=PythagoreanTriple |title=Pythagorean Triple}}

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[[Category:डायोफैंटाइन समीकरण]]
[[Category:पेड़ (डेटा संरचनाएं)]]