View source for पूर्णतया अवयव

गणित में, एक पूर्णतया अवयव (या नष्ट करने वाला तत्व) उस समुच्चय पर [[बाइनरी ऑपरेशन]] के संबंध में एक [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] का एक विशेष प्रकार का तत्व है। समुच्चय के किसी भी तत्व के साथ अपूर्णतया अवयव के संयोजन का परिणाम अवशोषी तत्व ही है। [[ semigroup |अर्धसमूह]] सिद्धांत में, अपूर्णतया अवयव को शून्य तत्व कहा जाता है<ref>J.M. Howie, pp. 2–3</ref><ref name=kkm>M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev pp. 14–15</ref> क्योंकि उल्लेखनीय अपवाद के साथ, [[शून्य तत्व]] के साथ भ्रम का कोई खतरा नहीं है: योगात्मक संकेतन के अनुसार शून्य स्वाभाविक रूप से, एक मोनोइड के तटस्थ तत्व को निरूपित कर सकता है। इस लेख में शून्य तत्व और पूर्णतया अवयव पर्यायवाची हैं।

== परिभाषा ==
औपचारिक रूप से, मान लो {{nowrap|(''S'', •)}} एक समुच्चय S है जिसमें एक बंद बाइनरी ऑपरेशन • ([[मैग्मा (बीजगणित)]] के रूप में जाना जाता है) हैं। 'शून्य तत्व' एक ऐसा तत्व z है, जो S, {{nowrap|1=''z'' • ''s'' = ''s'' • ''z'' = ''z''}} में सभी s के लिए है। इस धारणा को बाएँ शून्य की धारणाओं में परिष्कृत किया जा सकता है, जहाँ किसी को केवल {{nowrap|1=''z'' • ''s'' = ''z''}}, और दाएँ शून्य उसकी आवश्यकता होती है, जहाँ {{nowrap|1=''s'' • ''z'' = ''z''}} है।<ref name=kkm/>

शोषक करने वाले तत्व विशेष रूप से उपसमूह, विशेष रूप से [[मोटी हो जाओ|अर्धवलय]] के गुणक उपसमूह के लिए रोचक होते हैं। 0 के साथ अर्धवलय के स्थिति में, अपूर्णतया अवयव की परिभाषा कभी-कभी निश्चित होती है जिससे 0 को शोषक करने की आवश्यकता न हो; अन्यथा, 0 ही एकमात्र अपूर्णतया अवयव होगा।<ref>J.S. Golan p. 67</ref>


== गुण ==
* यदि किसी मैग्मा में बायाँ शून्य z और दायाँ शून्य z′ हैं, तो {{nowrap|1=''z'' = ''z'' • ''z''′ = ''z''′}} के बाद से इसका शून्य होगा।
* मैग्मा में अधिकतम एक शून्य तत्व हो सकता है।

== उदाहरण ==
* अपूर्णतया अवयव का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण प्राथमिक बीजगणित से आता है, जहां किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य के बराबर होता है। शून्य इस प्रकार एक अपूर्णतया अवयव है।
*किसी भी वलय (गणित) का शून्य भी अपूर्णतया अवयव होता है। वलय R के एक तत्व r के लिए, r0=r(0+0)=r0+r0, इसलिए 0=r0, क्योंकि शून्य अद्वितीय तत्व a है जिसके लिए r-r=a वलय R में किसी भी r के लिए है। यह गुण धारण करता है rng (गणित) में भी सत्य है क्योंकि गुणात्मक पहचान की आवश्यकता नहीं है।
*आईईईई-754 मानक में परिभाषित [[तैरनेवाला स्थल|फ़्लोटिंग पॉइंट]] अंकगणित में विशेष मान होता है जिसे Not-a-Number ( NaN ) कहा जाता है। यह हर ऑपरेशन के लिए अपूर्णतया अवयव है; अर्थात, {{nowrap|1=''x'' + NaN = NaN + ''x'' = NaN}}, {{nowrap|1=''x'' − NaN = NaN − ''x'' = NaN}}, आदि।
* समुच्चय एक्स पर बाइनरी संबंधों का समुच्चय, संबंधों की संरचना के साथ शून्य के साथ [[मोनोइड]] बनाता है, जहां शून्य तत्व [[खाली संबंध]] ([[खाली सेट|खाली समुच्चय]]) होता है।
* बंद अंतराल {{nowrap|1=''H'' = [0, 1]}} साथ {{nowrap|1=''x'' • ''y'' = min(''x'', ''y'')}} भी शून्य के साथ मोनोइड है, और शून्य तत्व 0 है।
* अधिक उदाहरण के लिये:
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
! अनुक्षेत्र
! colspan=2 | कार्यवाही
! colspan=2 | अवशोषका
|-
| [[Real number|वास्तविक संख्या]]
| ⋅ || गुणन
| [[0 (number)|0]] ||
|-
| [[Integer|पूर्णांकों]]
|   || [[Greatest common divisor|महत्तम सामान्य भाजक]]
| 1 ||
|-
| एन-से-एन वर्ग [[matrix (mathematics)|आव्यूह]]
| || [[Matrix multiplication|आव्यूह गुणन]]
| || [[zero matrix|सभी शून्यों का मैट्रिक्स]]
|-
| rowspan=2 | [[Extended real number line|विस्तारित वास्तविक संख्या]]
|    || न्यूनतम/अनंत
| −∞ ||
|-
|    || अधिकतम/सर्वोच्च
| +∞ ||
|-
| [[Set (mathematics)|समुच्चयों]]
| ∩ || प्रतिच्छेदन
| ∅ || [[Empty set|खाली सेट]]
|-
| एक समुच्चय एम के उपसमुच्चय
| ∪     || यूनियन
| ''M'' ||
|-
| rowspan=2 | [[Boolean algebra|बूलियन तर्क]]
| ∧ || [[Logical conjunction|तार्किक और]]
| ⊥ || असत्यता
|-
| ∨ || [[Logical disjunction|तार्किक या]]
| ⊤ || सत्य
|}


== यह भी देखें ==
*[[Idempotent (अंगूठी सिद्धांत)|Idempotent (वलय सिद्धांत)]]{{snd}} वलय का एक तत्व x ऐसा है कि x<sup>2</sup> = x
* [[पहचान तत्व]]
* [[अशक्त अर्धसमूह]]

==टिप्पणियाँ==
{{reflist|2}}


==संदर्भ==
*{{cite book|last= Howie|first= John M.|title=Fundamentals of Semigroup Theory|year=1995|publisher=[[Clarendon Press]]|isbn=0-19-851194-9}}
* M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, ''Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs'', De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, {{ISBN|3-11-015248-7}}.
* {{cite book |title=Semirings and Their Applications |first=Jonathan S. |last=Golan |year=1999 |publisher=Springer |isbn=0-7923-5786-8}}


==बाहरी संबंध==
* [http://planetmath.org/absorbingelement Absorbing element] at PlanetMath

[[Category:Created On 01/03/2023]]
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[[Category:अर्धसमूह सिद्धांत]]
[[Category:तत्वों के बीजगणितीय गुण]]
[[Category:बाइनरी ऑपरेशंस| * अवशोषक तत्व]]