View source for निरंतर स्थिति

{{Short description|Partially ordered set}}
क्रम सिद्धांत में, सतत पोसमुच्चय आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का [[निर्देशित सेट|निर्देशित समुच्चय]] सर्वोच्चतम रखता है।

== परिभाषाएँ ==
<math>a,b\in P</math> पूर्व-आदेशित समुच्चय के दो तत्व <math>(P,\lesssim)</math> होते हैं, इसके माध्यम से हम यह कह सकते हैं कि <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, या वो <math>a</math> तथा <math>b</math> के लिए बहुत नीचे है, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं।
* किसी भी निर्देशित समुच्चय के लिए <math>D\subseteq P</math> का मान इस प्रकार है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, यहाँ पर <math>d\in D</math> हैं जो इस प्रकार है कि <math>a\lesssim d</math> के समान हैं।
* किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) <math>I\subseteq P</math> इस प्रकार हैं <math>b\lesssim\sup I</math>, <math>a\in I</math> के समान हैं।
यहाँ पर यदि <math>a</math> अनुमानित <math>b</math> तो हम इस प्रकार कह सकते हैं कि <math>a\ll b</math> सन्निकटन संबंध <math>\ll</math> [[सकर्मक संबंध]] है, जो मूल क्रम से कमजोर है, इस प्रकार [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] भी है, इसके आधार पर यदि <math>P</math> आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया समुच्चय है, अपितु यह आवश्यक नहीं है कि यह [[पूर्व आदेश]] में उपयोग किया गया हों। यहाँ पर यह प्रीऑर्डर है, इस प्रकार यदि <math>(P,\lesssim)</math> [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है।<ref name="Gierz">{{cite book|author-link6=Dana Scott|date=2003|doi=10.1017/CBO9780511542725|first1=Gerhard|first2=Karl|first3=Klaus|first4=Jimmie|first5=Michael|first6=Dana S.|isbn=978-0-521-80338-0|language=en|last1=Gierz|last2=Hofmann|last3=Keimel|last4=Lawson|last5=Mislove|last6=Scott|location=Cambridge|mr=1975381|publisher=Cambridge University Press|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|title=सतत जालक और डोमेन|volume=93|zbl=1088.06001}}</ref>{{rp|p.52, Examples I-1.3, (4)}}

इसके लिए <math>a\in P</math>, का मान इस प्रकार हैं कि
:<math>\mathop\Uparrow a=\{b\in L\mid a\ll b\}</math>
:<math>\mathop\Downarrow a=\{b\in L\mid b\ll a\}</math>
तब <math>\mathop\Uparrow a</math> [[ऊपरी सेट|उच्च समुच्चय]] है, और <math>\mathop\Downarrow a</math> [[निचला सेट|निम्न समुच्चय]] हैं। इसके आधार पर यदि <math>P</math> उच्च अर्धवृत्ताकार है, तो <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित समुच्चय है, अर्थात्, <math>b,c\ll a</math> तात्पर्य <math>b\vee c\ll a</math>), और इसलिए आदर्श या आदेश सिद्धांत को प्रदर्शित करता हैं।

यहाँ पर पूर्व आदेशित समुच्चय <math>(P,\lesssim)</math> इस प्रकार हैं कि यदि इसका कोई मान इस प्रकार हैं तो इसे सतत पूर्व-आदेशित समुच्चय कहा जाता है, और <math>a\in P</math>, उपसमुच्चय <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित समुच्चय <math>a=\sup\mathop\Downarrow a</math> है।

== गुण ==

=== प्रक्षेप गुण ===
किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> सतत पूर्व-आदेशित समुच्चय का <math>(P,\lesssim)</math>, <math>a\ll b</math> हैं। इसके आधार पर यदि किसी निर्देशित समुच्चय के लिए <math>D\subseteq P</math> इस प्रकार है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, है तो <math>d\in D</math> का मान इस प्रकार होगा कि <math>a\ll d</math> के समान होगा। इसके आधार पर निरंतर पूर्व-आदेशित समुच्चय की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है, जिसके लिए <math>(P,\lesssim)</math>: किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> यहाँ <math>c\in P</math>  इस प्रकार हैं कि <math>a\ll c\ll b</math> के समान हैं।

=== सतत डी काॅप्स ===
किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय का <math>(P,\le)</math> मान निम्नलिखित दो स्थितियों के समतुल्य होते हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(i)}}
* <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>.
* किसी भी निर्देशित समुच्चय के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\le\sup D</math>, यहाँ <math>d\in D</math> इस प्रकार हैं कि <math>a\ll d</math> और <math>a\ne d</math> के समान हैं।
इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>, यहाँ है <math>c\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll c\ll b</math> और <math>a\ne c</math> के समान हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(ii)}}

निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय के लिए <math>(P,\le)</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|Theorem I-1.10}}
* यहाँ पर <math>P</math> सतत है।
* सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(P)\to P</math> आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय से <math>P</math> के लिए यह <math>P</math> का [[बायां जोड़]] है।
इस स्थिति में, वास्तविक बायां जोड़ इस प्रकार है-
:<math>{\Downarrow} \colon P\to\operatorname{Ideal}(P)</math>
:<math>\mathord\Downarrow\dashv\sup</math>
=== सतत पूर्ण स्थिति ===
किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in L</math> [[पूर्ण जाली|पूर्ण स्थिति]] के लिए <math>L</math>, <math>a\ll b</math> इस प्रकार हैं यदि किसी उपसमुच्चय के लिए <math>A\subseteq L</math> के समान हैं तो <math>b\le\sup A</math> [[परिमित उपसमुच्चय]] को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार यहाँ पर <math>F\subseteq A</math> इस प्रकार हैं कि <math>a\le\sup F</math>  के समान हैं।

यहाँ पर <math>L</math> पूर्ण स्थिति को प्रदर्शित करता हैं, इसके आधार पर निम्नलिखित शर्तें सामने आती हैं।
* <math>L</math> सतत है।
* सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(L)\to L</math> के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी स्थिति से <math>L</math> को <math>L</math> की [[सबसे कम]] को सुरक्षित रखता है।
*किसी भी समूह के लिए <math>\mathcal D</math> के निर्देशित समुच्चय के <math>L</math>, <math>\textstyle\inf_{D\in\mathcal D}\sup D=\sup_{f\in\prod\mathcal D}\inf_{D\in\mathcal D}f(D)</math> के समान हैं।
* <math>L</math> [[स्कॉट-निरंतर]] निष्क्रिय मानचित्र की [[छवि (गणित)]] के लिए [[समरूपी]] <math>r \colon \{0,1\}^\kappa\to\{0,1\}^\kappa</math> है। इस विधि से कई दो-बिंदुओं के [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] पर <math>\{0,1\}</math> मान प्राप्त होता हैं।<ref name="Grätzer">{{cite book|date=2011|doi=10.1007/978-3-0348-0018-1|first=George|isbn=978-3-0348-0017-4|language=en|last=Grätzer|authorlink = George Grätzer|lccn=2011921250|location=Basel|mr=2768581|publisher=Springer|title=जाली सिद्धांत: आधार|zbl=1233.06001}}</ref>{{rp|p.56, Theorem 44}}

किसी सतत पूर्ण स्थिति को अधिकांशतः सतत जालक कहा जाता है।

== उदाहरण ==

=== विवृत समुच्चय की स्थिति ===
[[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के लिए <math>X</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।
* [[संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित]] <math>\operatorname{Open}(X)</math> के विवृत समुच्चय के <math>X</math> सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
* जिसके लिए <math>X</math> को [[स्थानीय रूप से सघन स्थान]] माना जाता है, इसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट समुच्चय]] [[स्थानीय आधार]] है।
* <math>X</math> श्रेणी में घातांकीय वस्तु है, जो <math>\operatorname{Top}</math> टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का मान हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|p.196, Theorem II-4.12}} अर्थात फलन <math>(-)\times X\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Top}</math> दायां जोड़ के समान है।

== संदर्भ ==
{{reflist}}
== बाहरी संबंध ==
* {{eom|title=Continuous lattice}}
* {{eom|title=Core-compact space}}
* {{nlab|id=continuous_poset|title=Continuous poset}}
* {{nlab|id=continuous_category|title=Continuous category}}
* {{nlab|id=exponential_law_for_spaces|title=Exponential law for spaces}}
* {{PlanetMath|urlname=ContinuousPoset|title=Continuous poset}}

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