View source for जेकोबियन आव्यूह और निर्धारक

[[सदिश कलन]] में, अनेक चरों के [[सदिश-मूल्यवान फलन]] का जेकोबियन आव्यूह ({{IPAc-en|dʒ|ə|ˈ|k|əʊ|b|i|ə|n}},<ref>{{cite web|url=https://en.oxforddictionaries.com/definition/jacobian|title=जैकबियन - ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी द्वारा अंग्रेजी में जैकोबियन की परिभाषा|website=Oxford Dictionaries - English|access-date=2 May 2018|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20171201043633/https://en.oxforddictionaries.com/definition/jacobian|archive-date=1 December 2017}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.dictionary.com/browse/jacobian|title=jacobian की परिभाषा|website=Dictionary.com|access-date=2 May 2018|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20171201040801/http://www.dictionary.com/browse/jacobian|archive-date=1 December 2017}}</ref><ref>{{cite web|url=https://forvo.com/word/jacobian/|title=याकूब उच्चारण: याकूब में हिन्दी का उच्चारण कैसे करें|first=Forvo|last=Team|website=forvo.com|access-date=2 May 2018}}</ref> {{IPAc-en|dʒ|ᵻ|-|,_|j|ᵻ|-}}) इसके सभी प्रथम-क्रम [[आंशिक अवकलज|आंशिक अवकलन]] का [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] है। जब यह आव्यूह वर्गाकार आव्यूह होता है, अर्थात, जब फलन निविष्ट के रूप में चर की समान संख्या लेता है जैसे इसके निर्गत के [[सदिश घटकों]] की संख्या होती है, तो इसके [[निर्धारक]] को जैकबियन निर्धारक कहा जाता है। दोनों आव्यूह और (यदि लागू हो) निर्धारक को प्रायः साहित्य में जैकबियन के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/याकूब.html|title=याकूब|first=Weisstein, Eric|last=W.|website=mathworld.wolfram.com|access-date=2 May 2018|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20171103144419/http://mathworld.wolfram.com/याकूब.html|archive-date=3 November 2017}}</ref>

मान लीजिए {{math|'''f''' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} एक ऐसा फलन है जिसके प्रत्येक प्रथम कोटि के आंशिक अवकलन {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर विद्यमान हैं। यह फलन निविष्ट के रूप में एक बिंदु {{math|'''x''' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}} लेता है और निर्गत के रूप में सदिश {{math|'''f'''('''x''') ∈ '''R'''<sup>''m''</sup>}} उत्पन्न करता है। तब {{math|'''f'''}} के जैकोबियन आव्यूह  को एक {{math|''m''×''n''}} आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे {{math|'''J'''}} द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसकी {{math|(''i'',''j'')}}वीं प्रविष्टि <math display="inline">\mathbf J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}</math> है, या स्पष्ट रूप से

:<math>\mathbf J = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  \nabla^{\mathrm T} f_1 \\  
  \vdots \\
  \nabla^{\mathrm T} f_m   
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
    \vdots                             & \ddots & \vdots\\
    \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{bmatrix}</math>
है, जहां <math>\nabla^{\mathrm T} f_i </math> <math>i</math> अवयव के [[ढाल|प्रवणता]] का स्थानान्तरण (पंक्ति सदिश) है।

जेकोबियन आव्यूह, जिसकी प्रविष्टियाँ निम्नलिखित {{math|'''x'''}} के फलन हैं ,उनको विभिन्न तरीकों से निरूपित किया जाता है, सामान्य अंकन सम्मिलित में{{cn|reason=Unclear whether the two last notations are commonly used|date=November 2020}} {{math|''D'''''f'''}}, {{math|'''J'''<sub>'''f'''</sub>}}, <math>\nabla \mathbf{f}</math>, और <math>\frac{\partial(f_1,..,f_m)}{\partial(x_1, ..,x_n)}</math> सम्मिलित हैं। कुछ लेखक जैकोबियन को ऊपर दिए गए रूप के [[स्थानान्तरण]] के रूप में परिभाषित करते हैं।

जेकोबियन आव्यूह प्रत्येक बिंदु पर {{math|'''f'''}} के [[अंतर]] का [[प्रतिनिधित्व]] करता है जहां {{math|'''f'''}} अवकलनीय है। विस्तार से, यदि {{math|'''h'''}} एक [[कॉलम मैट्रिक्स|स्तंभ आव्यूह]], द्वारा प्रदर्शित [[विस्थापन वेक्टर|विस्थापन सदिश]] है, तो [[कॉलम मैट्रिक्स|आव्यूह]] [[उत्पाद]] {{math|'''J'''('''x''') ⋅ '''h'''}} एक अन्य विस्थापन सदिश है, जो कि {{math|'''x'''}} के [[पड़ोस]] में {{math|'''f'''}} के परिवर्तन का सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, यदि {{math|'''f'''('''x''')}} {{math|'''x'''}} पर [[अवकलनीय]] है।{{efn|Differentiability at {{math|'''x'''}} implies, but is not implied by, the existence of all first-order partial derivatives at {{math|'''x'''}}, and hence is a stronger condition.}} इसका मतलब यह है कि वह फलन जो {{math|'''y'''}} को {{math|'''f'''('''x''') + '''J'''('''x''') ⋅ ('''y''' – '''x''')}} से मानचित्रित करता है, {{math|'''x'''}} के करीब {{math|'''y'''}} बिंदुओं के लिए {{math|'''f'''('''y''')}} का सबसे अच्छा [[रैखिक सन्निकटन]] है। इस [[रेखीय फलन]] को {{math|'''x'''}} पर {{math|'''f'''}} के अवकलन या [[अवकल]] के रूप में जाना जाता है।

जब {{math|1=''m'' = ''n''}}, जेकोबियन आव्यूह वर्गाकार होता है, तो इसलिए इसका [[निर्धारक]] {{math|'''x'''}} का एक सुपरिभाषित फलन होता है, जिसे {{math|'''f'''}} का जैकबियन निर्धारक कहा जाता है। यह {{math|'''f'''}} के स्थानीय व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी रखता है। विशेष रूप से फलन {{math|'''f'''}} में एक बिंदु {{math|'''x'''}} के पड़ोस में एक अलग-अलग प्रतिलोम फलन होता है यदि और केवल जैकबियन निर्धारक {{math|'''x'''}} पर गैर-शून्य है (सार्वभौमिक व्युत्क्रमणीय की संबंधित समस्या के लिए [[जैकोबियन अनुमान]] देखें)। जेकोबियन निर्धारक [[कई पूर्णांको]] में चर बदलते समय भी प्रकट होता है ([[कई चर के लिए प्रतिस्थापन नियम]] देखें)।

जब {{math|1=''m'' = 1}}, अर्थात जब {{math|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''}} एक [[अदिश क्षेत्र|अदिश]] [[मूल्यवान फलन]] है, तो जैकोबियन आव्यूह [[पंक्ति वेक्टर|पंक्ति सदिश]] <math>\nabla^{\mathrm T} f</math> तक कम हो जाता है, {{math|''f''}} के सभी प्रथम-क्रम आंशिक अवकलन का यह पंक्ति सदिश {{math|''f''}} की [[प्रवणता]] का स्थानान्तरण है, अर्थात <math> \mathbf{J}_{f} = \nabla^T f </math>। आगे विशेष रूप से, जब {{math|1=''m'' = ''n'' = 1}}, वह है जब {{math|''f'' : '''R''' → '''R'''}} एकल चर का एक [[अदिश-मूल्यवान फलन]] हो, तो जैकोबियन आव्यूह में एक ही प्रविष्टि होती है, यह प्रविष्टि फलन {{math|''f''}} का अवकलन है।

इन अवधारणाओं का नाम [[गणितज्ञ]] [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] (1804-1851) के नाम पर रखा गया है।

== जैकबियन आव्यूह ==

कई चरो में सदिश-मूल्यवान फलन का जेकोबियन कई चरो में [[अदिश]] मूल्यवान फलन की [[प्रवणता]] को सामान्यीकृत करता है, जो बदले में एकल चर के अदिश-मूल्यवान फलन के अवकलन का सामान्यीकरण करता है। दूसरे शब्दों में, [[कई चरो में]] एक अदिश-मूल्यवान फलन का जैकोबियन आव्यूह इसकी प्रवणता (का स्थानान्तरण) है और एक चर के अदिश-मूल्यवान फलन की प्रवणता इसका अवकलन है।

प्रत्येक बिंदु पर जहां एक फलन अवकलनीय है, इसके जैकबियन आव्यूह को "खिंचाव", "घूर्णन" या "रूपांतरण" की मात्रा का वर्णन करने के बारे में भी सोचा जा सकता है जो फलन उस बिंदु के पास स्थानीय रूप से लागू होता है। उदाहरण के लिए, यदि {{math|(''x''′, ''y''′) {{=}} '''f'''(''x'', ''y'')}} का उपयोग किसी छवि को सुचारू रूप से बदलने के लिए किया जाता है, तो जैकोबियन आव्यूह {{math|'''J'''<sub>'''f'''</sub>(''x'', ''y'')}}, वर्णन करता है कि कैसे {{math|(''x'', ''y'')}} के पड़ोस में छवि रूपांतरित है।

यदि एक बिंदु पर एक फलन अवकलनीय है, तो इसका अंतर जैकबियन आव्यूह द्वारा निर्देशांक में दिया जाता है। हालाँकि किसी फलन को उसके जैकोबियन आव्यूह को परिभाषित करने के लिए अअवकलनीय होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि केवल इसके पहले-क्रम के [[आंशिक अवकलज|आंशिक अवकलन]] मौजूद होने की आवश्यकता है।

यदि {{math|'''f'''}} , {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के किसी बिंदु {{math|'''p'''}} पर [[अवकलनीय]] है , तो इसके [[अवकल]] को {{math|'''J'''<sub>'''f'''</sub>('''p''')}} द्वारा निरूपित किया जाता है। इस मामले में, {{math|'''J'''<sub>'''f'''</sub>('''p''')}} द्वारा दर्शाया गया [[रैखिक परिवर्तन]] बिंदु {{math|'''p'''}} के पास {{math|'''f'''}} का इस अर्थ में सबसे अच्छा [[रैखिक सन्निकटन]] है , 

:<math>\mathbf f(\mathbf x) - \mathbf f(\mathbf p) = \mathbf J_{\mathbf f}(\mathbf p)(\mathbf x - \mathbf p) + o(\|\mathbf x - \mathbf p\|) \quad (\text{as } \mathbf{x} \to \mathbf{p}),</math>
जहाँ {{math|''o''(‖'''x''' − '''p'''‖)}} एक [[मात्रा|संख्या]] है जो {{math|'''x'''}} और {{math|'''p'''}} के बीच की [[दूरी]] की तुलना में बहुत तेजी से शून्य तक पहुँचती है, जब {{math|'''x'''}} ,{{math|'''p'''}} तक पहुंचता है। यह सन्निकटन डिग्री एक के अपने [[टेलर बहुपद]] ,अर्थात्

:<math>f(x) - f(p) = f'(p) (x - p) + o(x - p) \quad (\text{as } x \to p)</math>
:द्वारा एकल चर के एक अदिश फलन के सन्निकटन के लिए विशिष्ट है।

इस अर्थ में, जैकबियन को कई चरों के सदिश-मूल्यवान फलन के "[[प्रथम-क्रम अवकलज|प्रथम-क्रम अवकलन]]" के रूप में माना जा सकता है। विशेष रूप से, इसका मतलब यह है कि कई चरों के अदिश-मूल्यवान फलन की [[प्रवणता]] भी इसके"प्रथम-क्रम अवकलन" के रूप में मानी जा सकती है।

संगत अवकलनीय फलन {{math|'''f''' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} और {{math|'''g''' : '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''k''</sup>}} [[श्रृंखला नियम]] को संतुष्ट करते हैं, अर्थात् {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में {{math|'''x''' }}के लिए <math> \mathbf{J}_{\mathbf{g} \circ \mathbf{f}}(\mathbf{x}) = \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{f}(\mathbf{x})) \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})</math> ।

कई चरों के अदिश फलन की प्रवणता के जैकबियन का एक विशेष नाम, [[हेसियन मैट्रिक्स|हेसियन आव्यूह]] है , जो एक अर्थ में प्रश्न में फलन का [[दूसरा व्युत्पन्न|दूसरा अवकलन]] है।

== जैकबियन निर्धारक ==

[[File:Jacobian_determinant_and_distortion.svg|thumb|400px|एक अरेखीय मानचित्र <math>f \colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}</math> एक विकृत समांतर चतुर्भुज (दाएं, लाल रंग में) को एक छोटा वर्ग (बाएं, लाल रंग में) भेजता है। एक बिंदु पर जेकोबियन उस बिंदु के पास विकृत समानांतर चतुर्भुज का सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन देता है (दाएं, पारभासी सफेद रंग में), और जेकोबियन निर्धारक मूल वर्ग के सन्निकट समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का अनुपात देता है।]]यदि {{math|1=''m'' = ''n''}}, तो {{math|'''f'''}} , {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} से स्वयं में एक फलन है और जैकोबियन आव्यूह एक [[वर्ग आव्यूह]] है। इसके बाद हम इसका [[निर्धारक]] बना सकते हैं, जिसे जैकबियन निर्धारक के रूप में जाना जाता है। जैकबियन निर्धारक को कभी-कभी केवल "जैकोबियन" के रूप में जाना जाता है।

किसी दिए गए बिंदु पर जेकोबियन निर्धारक उस बिंदु के निकट {{math|'''f'''}} के व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी देता है। उदाहरण के लिए, [[निरंतर अवकलनीय फलन]] {{math|'''f'''}} एक बिंदु {{math|'''p''' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}} के निकट [[व्युत्क्रमणीय]] होता है यदि {{math|'''p'''}} पर जैकबियन निर्धारक गैर-शून्य है। यह व्युत्क्रम फलन प्रमेय है। इसके अलावा, यदि {{math|'''p'''}} पर जैकोबियन निर्धारक [[सकारात्मक संख्या|सकारात्मक]] है, तो {{math|'''f'''}} {{math|'''p'''}} के पास अभिविन्यास को संरक्षित करता है, यदि यह [[ऋणात्मक संख्या|ऋणात्मक]] है, तो {{math|'''f'''}} अभिविन्यास को व्युत्क्रमणीय कर देता है। {{math|'''p'''}} पर जेकोबियन निर्धारक का [[निरपेक्ष मान]] हमें वह कारक देता है जिसके द्वारा {{math|'''f'''}} {{math|'''p'''}} के निकट [[आयतन]] का विस्तार या संकुचन करता है ,यही कारण है कि यह सामान्य [[प्रतिस्थापन नियम]] में होता है।

जैकोबियन निर्धारक का उपयोग तब किया जाता है जब अपने प्रक्षेत्र के भीतर किसी क्षेत्र पर किसी फलन के [[एकाधिक अभिन्न]] का मूल्यांकन करते समय [[चरों में परिवर्तन]] किया जाता है। निर्देशांक के परिवर्तन के लिए समायोजित करने के लिए जैकबियन निर्धारक का परिमाण अभिन्न के भीतर गुणक कारक के रूप में उत्पन्न होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि {{math|''n''}}आयामी {{math|''dV''}} अवयव सामान्य रूप से नई समन्वय प्रणाली में एक [[समानांतर]] चतुर्भुज है, और एक समानांतर चतुर्भुज का {{math|''n''}} आयतन इसके किनारे वाले सदिश का निर्धारक है।

एक [[संतुलन बिंदु]] के निकट व्यवहार का अनुमान लगाकर [[मैट्रिक्स अंतर समीकरण|विभेदक समीकरणों की प्रणालियों]] के लिए संतुलन की स्थिरता का निर्धारण करने के लिए जैकबियन का भी उपयोग किया जा सकता है। इसके अनुप्रयोगों में डिजीज प्रतिरूपण में डिजीज मुक्त संतुलन की स्थिरता का निर्धारण करना सम्मिलित है।<ref>{{cite journal |vauthors=((Smith? RJ)) |title=जैकबियन की खुशियाँ|journal=Chalkdust |volume=2 |pages=10–17 |year=2015 |url=http://chalkdustmagazine.com/features/the-joys-of-the-jacobian/}}</ref>
== व्युत्क्रम ==

[[व्युत्क्रम फलन प्रमेय]] के अनुसार, व्युत्क्रम फलन के जैकोबियन [[आव्यूह का व्युत्क्रमणीय]] आव्यूह [[व्युत्क्रम फलन]] का जकोबियन आव्यूह होता है। अर्थात, यदि फलन {{math|'''f''' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} का जैकोबियन संतत है और {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में बिंदु {{math|'''p'''}} पर एकवचन नहीं है, तो {{math|'''p'''}} और

:<math>\mathbf J_{\mathbf f^{-1}} = {\mathbf J_{\mathbf f}}^{-1} .</math>
के कुछ पड़ोस तक सीमित होने पर {{math|'''f'''}} व्युत्क्रमणीय होता है। दूसरे शब्दों में, यदि एक बिंदु पर जेकोबियन निर्धारक शून्य नहीं है, तो इस बिंदु के पास फलन स्थानीय रूप से व्युत्क्रमणीय है, अर्थात इस बिंदु का एक [[पड़ोस (गणित)|पड़ोसी]] है जिसमें फलन व्युत्क्रमणीय होता है।

(अप्रमाणित) [[जेकोबियन अनुमान]] एक [[बहुपद]] फलन के मामले में वैश्विक व्युत्क्रम से संबंधित है, जो कि n चर में n [[बहुपदों]] द्वारा परिभाषित एक फलन है। यह दावा करता है कि, यदि जेकोबियन निर्धारक एक गैर-शून्य स्थिरांक है (या, समतुल्य रूप से, कि इसमें कोई जटिल शून्य नहीं है), तो फलन व्युत्क्रमणीय है और इसका व्युत्क्रम एक बहुपद फलन है।

== महत्वपूर्ण बिंदु ==

{{main|महत्वपूर्ण बिन्दू (गणित)|l1 = महत्वपूर्ण बिन्दू}}

यदि {{math|'''f''' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} एक [[अवकलनीय फलन]] है, तो {{math|'''f'''}} का एक महत्वपूर्ण बिंदु एक बिंदु है जहां जेकोबियन आव्यूह का [[रैंक (रैखिक बीजगणित)|कोटि]] अधिकतम नहीं है। इसका मतलब यह है कि महत्वपूर्ण बिंदु पर कोटि कुछ पड़ोसी बिंदु पर कोटि से कम है। दूसरे शब्दों में, {{math|''k''}} को {{math|'''f'''}} की छवि में निहित [[खुली गेंद|खुली गेंदों]] का अधिकतम आयाम होना चाहिए, तो एक बिंदु महत्वपूर्ण है यदि {{math|'''f'''}} के कोटि {{math|''k''}} के सभी [[अवयस्क]] शून्य हैं।

एसे मामले में जहां {{math|1=''m'' = ''n'' = ''k''}}, एक बिंदु महत्वपूर्ण है यदि जेकोबियन निर्धारक शून्य है।

== उदाहरण ==

=== उदाहरण 1 ===

फलन {{math|'''f''' : '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''<sup>2</sup>}} पर विचार करें, जिसमें {{math|(''x'', ''y'') ↦ (''f''<sub>1</sub>(''x'', ''y''), ''f''<sub>2</sub>(''x'', ''y'')),}} 
:<math> \mathbf f\left(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}  x^2 y \\5 x + \sin y 
  \end{bmatrix}</math>
:द्वारा दिया गया है।
फिर हमारे पास
:<math>f_1(x, y) = x^2 y</math>
और
:<math>f_2(x, y) = 5 x + \sin y</math>
हैं और {{math|'''f'''}} जैकोबियन आव्यूह 
:<math>\mathbf J_{\mathbf f}(x, y) = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial f_1}{\partial x} & \dfrac{\partial f_1}{\partial y}\\[1em]
  \dfrac{\partial f_2}{\partial x} & \dfrac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  2 x y & x^2    \\
  5     & \cos y \end{bmatrix}</math>
है और जैकोबियन निर्धारक
:<math>\det(\mathbf J_{\mathbf f}(x, y)) = 2 x y \cos y - 5 x^2 </math>
:है।
=== उदाहरण 2, ध्रुवीय-कार्तीय रूपांतरण ===

[[ध्रुवीय समन्वय प्रणाली|ध्रुवीय निर्देशांक]] {{math|(''r'', ''φ'')}} से [[कार्तीय निर्देशांक]] (x, y) में रूपांतरण फलन {{math|'''F''': '''R'''<sup>+</sup> × [0, 2{{pi}}) → '''R'''<sup>2</sup>}} द्वारा घटकों के साथ दिया जाता है,

:<math>\begin{align}
x &= r \cos \varphi ; \\
y &= r \sin \varphi .
\end{align}</math>
:<math>\mathbf J_{\mathbf F}(r, \varphi) = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\varphi}\\[1em]
  \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial\varphi} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  \cos\varphi & - r\sin \varphi \\
  \sin\varphi &   r\cos \varphi \end{bmatrix}</math>
जेकोबियन निर्धारक {{math|''r''}} के बराबर है। इसका उपयोग दो समन्वय प्रणालियों के बीच पूर्णांको को बदलने के लिए किया जा सकता है,
:<math>\iint_{\mathbf F(A)} f(x, y) \,dx \,dy = \iint_A f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) \, r \, dr \, d\varphi .</math>
=== उदाहरण 3, गोलीय-कार्तीय रूपांतरण ===

[[गोलाकार समन्वय प्रणाली|गोलाकार निर्देशांक]] {{math|(''ρ'', ''φ'', ''θ'')}}<ref>Joel Hass, Christopher Heil, and Maurice Weir. ''Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e''. Pearson, 2018, p. 959.</ref> से [[कार्तीय निर्देशांक]] (x, y, z) में रूपांतरण फलन {{math|'''F''': '''R'''<sup>+</sup> × [0, ''π'') × [0, 2''π'') → '''R'''<sup>3</sup>}} द्वारा घटकों के साथ दिया जाता है,

:<math>\begin{align}
x &= \rho \sin \varphi \cos \theta ; \\
y &= \rho \sin \varphi \sin \theta ; \\
z &= \rho \cos \varphi .
\end{align}</math>
इस निर्देशांक परिवर्तन के लिए यह जेकोबियन आव्यूह है

:<math>\mathbf J_{\mathbf F}(\rho, \varphi, \theta)
= \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial x}{\partial \rho} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\[1em]
  \dfrac{\partial y}{\partial \rho} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \\[1em]
  \dfrac{\partial z}{\partial \rho} & \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta}
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
      \sin \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \cos \theta & -\rho \sin \varphi \sin \theta \\
      \sin \varphi \sin \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta \\
      \cos \varphi & - \rho \sin \varphi & 0
  \end{bmatrix}.</math>
[[निर्धारक]] {{math|''ρ''<sup>2</sup> sin ''φ''}} है। चूँकि {{math|''dV'' {{=}} ''dx'' ''dy'' ''dz''}} एक आयताकार विभेदक आयतन अवयव के लिए आयतन है (क्योंकि एक आयताकार आयत का आयतन इसके पक्षों का गुणनफल है), हम {{math|''dV'' {{=}} ''ρ''<sup>2</sup> sin ''φ'' ''dρ'' ''dφ'' ''dθ''}} की व्याख्या गोलाकार [[अंतर आयतन अवयव]] के आयतन के रूप में कर सकते हैं। आयताकार विभेदक आयतन अवयव के आयतन के विपरीत, यह विभेदक आयतन अवयव का आयतन स्थिर नहीं है, और निर्देशांक ({{math|''ρ''}} और {{math|''φ''}}) के साथ बदलता रहता है। इसका उपयोग दो समन्वय प्रणालियों के बीच पूर्णांको को बदलने के लिए किया जा सकता है,
:<math>\iiint_{\mathbf F(U)} f(x, y, z) \,dx \,dy \,dz = \iiint_U f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi\sin \theta, \rho \cos \varphi) \, \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta .</math>
=== उदाहरण 4 ===

फलन {{math|'''F''' : '''R'''<sup>3</sup> → '''R'''<sup>4</sup>}} का घटक

:<math>\begin{align}
y_1 &= x_1 \\
y_2 &= 5 x_3 \\
y_3 &= 4 x_2^2 - 2 x_3 \\
y_4 &= x_3 \sin x_1
\end{align}</math>
के साथ जैकोबियन आव्यूह

:<math>\mathbf J_{\mathbf F}(x_1, x_2, x_3) = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[1em]
  \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[1em]
  \dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[1em]
  \dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 5 \\
  0 & 8 x_2 & -2 \\
  x_3\cos x_1 & 0 & \sin x_1 \end{bmatrix}</math> 
:है।
इस उदाहरण से पता चलता है कि जेकोबियन आव्यूह को वर्ग आव्यूह होने की आवश्यकता नहीं है।

=== उदाहरण 5 ===

फलन {{math|'''F''' : '''R'''<sup>3</sup> → '''R'''<sup>3</sup>}} का अवयव

:<math>\begin{align}
  y_1 &= 5x_2 \\
  y_2 &= 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \\
  y_3 &= x_2 x_3
\end{align}</math>
के साथ जेकोबियन निर्धारक

:<math>\begin{vmatrix}
  0 & 5 & 0 \\
  8 x_1 & -2 x_3 \cos(x_2 x_3) & -2 x_2 \cos (x_2 x_3) \\
  0 & x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -8 x_1 \begin{vmatrix}
  5 & 0 \\
  x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -40 x_1 x_2</math> 
:है।
इससे हम देखते हैं कि {{math|'''F'''}} उन बिंदुओं के पास अभिविन्यास को प्रतिलोम कर देता है जहां {{math|''x''<sub>1</sub>}} और {{math|''x''<sub>2</sub>}} एक ही चिन्ह है, फलन स्थानीय रूप से हर जगह व्युत्क्रमणीय होता है सिवाय निकट बिंदुओं के जहां {{math|''x''<sub>1</sub> {{=}} 0}} या {{math|''x''<sub>2</sub> {{=}} 0}}। सहज रूप से, अगर कोई बिंदु {{math|(1, 2, 3)}} के चारों ओर एक छोटी वस्तु से शुरू करता है और उस वस्तु पर {{math|'''F'''}} लागू करता है, तो उसे परिणामी वस्तु लगभग {{math|40 × 1 × 2 {{=}} 80}} गुना मूल एक के आयतन के साथ मिलेगी, जिसमें अभिविन्यास उत्क्रमित हो जाएगा।

== अन्य उपयोग ==

=== प्रतिगमन और न्यूनतम वर्ग अन्वायोजन ===
जेकोबियन सांख्यिकीय [[प्रतिगमन विश्लेषण|प्रतिगमन]] और [[वक्र अन्वायोजन]] में एक रैखिक [[डिजाइन मैट्रिक्स|अभिकल्प आव्यूह]] के रूप में कार्य करता है, जिसके लिए [[गैर रेखीय कम से कम वर्ग|गैर रेखीय न्यूनतम वर्ग]] देखें।

=== गतिकीय प्रणाली ===

विधि <math>\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x})</math> की एक [[गतिशील प्रणाली|गतिकीय प्रणाली]] पर विचार करें, जहां <math>\dot{\mathbf{x}}</math> [[विकास पैरामीटर|विकास प्राचल]] <math>t</math> (समय ) के संबंध में <math>\mathbf{x}</math> (घटक-वार) का अवकलन है, और <math>F \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}</math> अवकलनीय है। यदि <math>F(\mathbf{x}_{0}) = 0</math>, तो <math>\mathbf{x}_{0}</math> एक [[स्थिर बिंदु]] है (जिसे [[स्थिर अवस्था]] भी कहा जाता है)। [[हार्टमैन-ग्रोबमैन प्रमेय]] के अनुसार, एक स्थिर बिंदु के निकट प्रणाली का व्यवहार <math>\mathbf{J}_{F} \left( \mathbf{x}_{0} \right)</math> के [[ईगेनवैल्यू|आइगेनवैल्यू]] से संबंधित है, जो स्थिर बिंदु पर <math>F</math> का जैकोबियन है।<ref>{{cite book |first=D. K. |last=Arrowsmith |first2=C. M. |last2=Place |title=डायनेमिक सिस्टम: डिफरेंशियल इक्वेशन, मैप्स और अराजक व्यवहार|chapter=The Linearization Theorem |publisher=Chapman & Hall |location=London |year=1992 |isbn=0-412-39080-9 |pages=77–81 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=8qCcP7KNaZ0C&pg=PA77 }} </ref> विशेष रूप से, यदि आइगेनवैल्यू में सभी वास्तविक भाग हैं जो नकारात्मक हैं, तो प्रणाली स्थिर बिंदु के पास स्थिर है, यदि किसी आइगेनवैल्यू का वास्तविक भाग सकारात्मक होता है, तो बिंदु अस्थिर होता है। यदि आइगेनमानों का सबसे बड़ा वास्तविक भाग शून्य है, तो जेकोबियन आव्यूह स्थिरता के मूल्यांकन की अनुमति नहीं देता है।<ref>{{cite book |first=Morris |last=Hirsch |first2=Stephen |last2=Smale |title=विभेदक समीकरण, गतिशील प्रणाली और रैखिक बीजगणित|year=1974 |isbn=0-12-349550-4 }}</ref>
=== न्यूटन की विधि ===

युग्मित अरेखीय समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली को [[न्यूटन की विधि]] द्वारा पुनरावृत्त रूप से हल किया जा सकता है। यह विधि समीकरणों की प्रणाली के जैकोबियन आव्यूह का उपयोग करती है।

== यह भी देखें ==
* [[केंद्र कई गुना|केंद्र बहुविध]]
* [[हेसियन आव्यूह]]
* [[पुशफॉरवर्ड (अंतर)|पुशफॉरवर्ड (अवकलन)]]

==टिप्पणियाँ==
{{notelist}}


== संदर्भ ==
{{Reflist}}
== आगे की पढाई ==
* {{cite book |last=Gandolfo |first=Giancarlo |author-link=Giancarlo Gandolfo |title=Economic Dynamics |location=Berlin |publisher=Springer |edition=Third |year=1996 |isbn=3-540-60988-1 |pages=305–330 |chapter=Comparative Statics and the Correspondence Principle |chapter-url=https://www.google.com/books/edition/Economic_Dynamics/ZMwXi67nhHQC?hl=en&gbpv=1&pg=PA305 }}
* {{cite book |first=Murray H. |last=Protter |author-link=Murray H. Protter |first2=Charles B. Jr. |last2=Morrey |author-link2=Charles B. Morrey Jr. |title=Intermediate Calculus |location=New York |publisher=Springer |edition=Second |year=1985 |isbn=0-387-96058-9 |chapter=Transformations and Jacobians |pages=412–420 }}
== बाहरी कड़ियाँ ==

* {{springer|title=Jacobian|id=p/j054080}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Jacobian.html Mathworld] A more technical explanation of Jacobians

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