View source for ऑर्थोट्रोपिक सामग्री

[[Image:Taxus wood.jpg|300px|thumb|right|लकड़ी ऑर्थोट्रोपिक सामग्री का एक उदाहरण है। तीन लंबवत दिशाओं (अक्षीय, रेडियल और परिधि) में सामग्री के गुण अलग-अलग हैं।]][[भौतिक विज्ञान]] और [[ठोस यांत्रिकी]] में, '''ऑर्थोट्रोपिक सामग्रियों''' में एक विशेष बिंदु पर भौतिक गुण होते हैं जो तीन [[ ओर्थोगोनल ]]अक्षों के साथ भिन्न होते हैं, जहां प्रत्येक अक्ष में दो गुना [[घूर्णी समरूपता]] होती है। ताकत में इन दिशात्मक अंतरों को हैंकिंसन के समीकरण से निर्धारित किया जा सकता है।

वे [[असमदिग्वर्ती होने की दशा]] का एक उपसमूह हैं, क्योंकि विभिन्न दिशाओं से मापने पर उनके गुण बदल जाते हैं।

ऑर्थोट्रोपिक सामग्री का एक परिचित उदाहरण [[लकड़ी]] है। लकड़ी में, प्रत्येक बिंदु पर तीन परस्पर लंबवत दिशाओं को परिभाषित किया जा सकता है जिनमें गुण भिन्न होते हैं। यह कण (अक्षीय दिशा) के साथ सबसे अधिक कठोर (और सशक्त) होता है, क्योंकि अधिकांश सेलूलोज़ तंतु उसी तरह से संरेखित होते हैं। यह सामान्यतः  रेडियल दिशा (विकास वलय के बीच) में सबसे कम कठोर होता है, और परिधि दिशा में मध्यवर्ती होता है। यह अनिसोट्रॉपी विकासवाद द्वारा प्रदान की गई थी, क्योंकि यह वृक्ष को सीधा खड़ा रहने में सक्षम बनाती है।

चूँकि पसंदीदा समन्वय प्रणाली बेलनाकार (सिलिंड्रिकल)-पोलर है, इस प्रकार की ऑर्थोट्रॉपी को '''पोलर ऑर्थोट्रॉपी''' भी कहा जाता है।

ऑर्थोट्रोपिक सामग्री का एक अन्य उदाहरण भारी रोलर्स के बीच धातु के मोटे वर्गों को निचोड़ने से बनने वाली शीट धातु है। यह इसकी [[अनाज संरचना]] को चपटा और फैलाता है। परिणामस्वरूप, सामग्री [[एनिस्ट्रोपिक]] बन जाती है - इसके गुण उस दिशा के बीच भिन्न होते हैं जिस दिशा में इसे घुमाया गया था और दोनों अनुप्रस्थ दिशाओं में से प्रत्येक में हैं। इस पद्धति का उपयोग संरचनात्मक स्टील बीम और एल्यूमीनियम सतह की खाल में लाभ के लिए किया जाता है।

यदि किसी वस्तु के अंदर बिंदुओं के बीच ऑर्थोट्रोपिक गुण भिन्न होते हैं, तो इसमें ऑर्थोट्रॉपी और [[अमानवीय]] दोनों होते हैं। इससे पता चलता है कि ऑर्थोट्रॉपी संपूर्ण वस्तु के बजाय किसी वस्तु के भीतर एक बिंदु की संपत्ति है (जब तक कि वस्तु सजातीय न हो)। समरूपता के संबंधित तलों को एक बिंदु के चारों ओर एक छोटे से क्षेत्र के लिए भी परिभाषित किया जाता है और जरूरी नहीं कि वे संपूर्ण वस्तु के समरूपता के तलों के समान हों।

ऑर्थोट्रोपिक सामग्रियां अनिसोट्रॉपी का एक उपसमूह हैं; उनके गुण उस दिशा पर निर्भर करते हैं जिसमें उन्हें मापा जाता है। ऑर्थोट्रोपिक सामग्रियों में समरूपता के तीन तल/अक्ष होते हैं। इसके विपरीत, एक[[ समदैशिक | समदैशिक]] सामग्री में हर दिशा में समान गुण होते हैं। यह सिद्ध किया जा सकता है कि जिस सामग्री में सममिति के दो तल हैं, उसमें तीसरा तल अवश्य होगा। आइसोट्रोपिक सामग्रियों में समरूपता के सतह की अनंत संख्या होती है।

[[अनुप्रस्थ आइसोट्रॉपी]] सामग्री विशेष ऑर्थोट्रोपिक सामग्री होती है जिसमें समरूपता की एक धुरी होती है (कुल्हाड़ियों की कोई अन्य जोड़ी जो मुख्य एक के लंबवत होती है और आपस में ऑर्थोगोनल भी समरूपता की धुरी होती है)। समरूपता के एक अक्ष के साथ ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्री का एक सामान्य उदाहरण समानांतर ग्लास या ग्रेफाइट फाइबर द्वारा प्रबलित एक बहुलक है। ऐसी मिश्रित सामग्री की ताकत और दुर्नम्यता सामान्यतः  अनुप्रस्थ दिशा की तुलना में तंतुओं के समानांतर दिशा में अधिक होगी, और मोटाई दिशा में सामान्यतः  अनुप्रस्थ दिशा के समान गुण होते हैं। एक अन्य उदाहरण एक जैविक झिल्ली होगा, जिसमें झिल्ली के तल में गुण लंबवत दिशा से भिन्न होंगे। ऑर्थोट्रोपिक सामग्री गुणों को हड्डी की लोचदार समरूपता का अधिक सटीक प्रतिनिधित्व प्रदान करने के लिए दिखाया गया है और यह हड्डी के ऊतक-स्तर सामग्री गुणों की त्रि-आयामी दिशात्मकता के बारे में भी जानकारी दे सकता है।<ref name=Gera>Geraldes DM et al, 2014, '''A comparative study of orthotropic and isotropic bone adaptation in the femur''', International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, Volume 30, Issue 9, pages 873–889,  DOI: 10.1002/cnm.2633, http://onlinelibrary.wiley.com/wol1/doi/10.1002/cnm.2633/full</ref>

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक सामग्री जो एक लंबाई पैमाने पर अनिसोट्रोपिक है वह दूसरे (सामान्यतः  बड़े) लंबाई पैमाने पर आइसोट्रोपिक हो सकती है। उदाहरण के लिए, अधिकांश धातुएँ बहुत छोटे क्रिस्टलीय के साथ [[स्फटिक]] होती हैं। प्रत्येक व्यक्तिगत अनाज अनिसोट्रोपिक हो सकता है, लेकिन यदि संपूर्ण सामग्री में कई यादृच्छिक रूप से उन्मुख अनाज सम्मिलित हैं, तो इसके मापा यांत्रिक गुण व्यक्तिगत अनाज के सभी संभावित अभिविन्यासों के गुणों का औसत होंगेl

== भौतिकी में ऑर्थोट्रॉपी ==

=== अनिसोट्रोपिक सामग्री संबंध ===
भौतिक सिद्धांतों में भौतिक व्यवहार को संवैधानिक संबंधों द्वारा दर्शाया जाता है। भौतिक व्यवहारों के एक बड़े वर्ग को रैखिक सामग्री मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है जो दूसरे क्रम के [[ टेन्सर |टेन्सर]] का रूप लेते हैं। सामग्री टेंसर दो [[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन सदिश]] के बीच एक संबंध प्रदान करता है और इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
:<math>
   \mathbf{f} = \boldsymbol{K}\cdot\mathbf{d}
 </math>
जहाँ <math>\mathbf{d},\mathbf{f}</math> दो सदिश भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और <math>\boldsymbol{K}</math> दूसरे क्रम का सामग्री टेंसर है। यदि हम उपरोक्त समीकरण को [[ऑर्थोनॉर्मल]] समन्वय प्रणाली के संबंध में घटकों के संदर्भ में व्यक्त करते हैं, तो हम लिख सकते हैं
:<math>
   f_i = K_{ij}~d_j ~.
 </math>
उपरोक्त संबंध में [[आइंस्टीन संकेतन]] को माना गया है। आव्यूह रूप में हमारे पास है
:<math>
   \underline{\mathbf{f}} = \underline{\underline{\boldsymbol{K}}}~\underline{\mathbf{d}}
  \implies \begin{bmatrix} f_1\\f_2\\f_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & K_{13} \\ K_{21} & K_{22} & K_{23} \\
      K_{31} & K_{32} & K_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_1\\d_2\\d_3 \end{bmatrix}
 </math>
उपरोक्त टेम्पलेट में फिट होने वाली भौतिक समस्याओं के उदाहरण नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।<ref name=Milton>Milton, G. W., 2002, '''The Theory of Composites''', Cambridge University Press.</ref>
{| class="wikitable sortable" align="center"
|-
!प्रॉब्लम
! <math>\mathbf{f}</math> !! <math>\mathbf{d}</math> !! <math>\boldsymbol{K}</math> 
|-
| [[Electrical conduction|विद्युत चालन]] || विद्युत धारा<br /><math>\mathbf{J}</math> || [[Electric field|विद्युत क्षेत्र]] <br /><math>\mathbf{E}</math>|| [[Electrical conductivity|विद्युत चालकता]] <br /><math>\boldsymbol{\sigma}</math>
|-
|  [[Dielectric|परावैद्युतिकी]]|| [[Electrical displacement|विद्युत विस्थापन]] <br /><math>\mathbf{D}</math>  || विद्युत क्षेत्र<br /><math>\mathbf{E}</math> || [[Electric permittivity|विद्युत पारगम्यता]] <br /><math>\boldsymbol{\varepsilon}</math>
|-
|  [[Magnetism|चुम्बकत्त्व]]|| चुंबकीय प्रेरण<br /><math>\mathbf{B}</math>|| [[Magnetic field|चुंबकीय क्षेत्र]] <br /><math>\mathbf{H}</math>|| चुंबकीय पारगम्यता<br /><math>\boldsymbol{\mu}</math>
|-
| [[Thermal conduction|तापीय चालन]] || ऊष्माभिवाह<br /><math>\mathbf{q}</math>|| [[Temperature gradient|तापमान प्रवणता]] <br /><math>-\boldsymbol{\nabla}T</math> || ऊष्मीय चालकता<br /><math>\boldsymbol{\kappa}</math>
|-
|  [[Diffusion|विसरण]]|| कण अभिवाह <br /><math>\mathbf{J}</math>|| [[Concentration gradient|एकाग्रता प्रवणता]]<br /><math>-\boldsymbol{\nabla}c</math> || [[Mass diffusivity|विसरणशीलता]]<br /> <math>\boldsymbol{D}</math>
|-
| छिद्रपूर्ण मीडिया में प्रवाह || भारित द्रव वेग <br /><math>\eta_\mu\mathbf{v}</math>|| [[Pressure gradient|दाब प्रवणता]] <br /><math>\boldsymbol{\nabla}P</math>|| [[Fluid permeability|द्रव पारगम्यता]] <br /><math>\boldsymbol{\kappa}</math>
|}
=== सामग्री समरूपता के लिए शर्त ===
सामग्री आव्यूह <math>\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}</math> किसी दिए गए [[ऑर्थोगोनल परिवर्तन]] के संबंध में समरूपता है (<math>\boldsymbol{A}</math>) यदि उस परिवर्तन के अधीन होने पर यह नहीं बदलता है।

ऐसे परिवर्तन के तहत भौतिक गुणों की अपरिवर्तनीयता के लिए हमें आवश्यकता होती है
:<math>
  \boldsymbol{A}\cdot\mathbf{f} = \boldsymbol{K}\cdot(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{d}) \implies \mathbf{f} = (\boldsymbol{A}^{-1}\cdot\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{d} 
 </math>
इसलिए सामग्री समरूपता के लिए शर्त है (ऑर्थोगोनल परिवर्तन की परिभाषा का उपयोग करके)
:<math>
   \boldsymbol{K} = \boldsymbol{A}^{-1}\cdot\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}^{T}\cdot\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{A}
 </math>
ऑर्थोगोनल परिवर्तनों को कार्टेशियन निर्देशांक में '''''A''''' द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>3\times 3</math> आव्यूह <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}</math> द्वारा दिए गए
:<math>
   \underline{\underline{\boldsymbol{A}}} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
      A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}~.
 </math>
इसलिए, समरूपता स्थिति को आव्यूह रूप में लिखा जा सकता है
:<math>
   \underline{\underline{\boldsymbol{K}}} = \underline{\underline{\boldsymbol{A}^T}}~\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}
 </math>


=== ऑर्थोट्रोपिक सामग्री गुण ===
एक ऑर्थोट्रोपिक सामग्री में समरूपता के तीन ऑर्थोगोनल सतह होते हैं। यदि हम एक ऑर्थोनॉर्मल समन्वय प्रणाली चुनते हैं जैसे कि अक्ष तीन समरूपता सतह के मानदंडों के साथ मेल खाते हैं, तो परिवर्तन आव्यूह हैं
:<math>
   \underline{\underline{\boldsymbol{A}_1}} = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ~;~~
   \underline{\underline{\boldsymbol{A}_2}} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ~;~~
   \underline{\underline{\boldsymbol{A}_3}} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}
 </math>
यह दिखाया जा सकता है कि यदि आव्यूह <math>\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}</math> यदि कोई सामग्री दो ऑर्थोगोनल सतह के बारे में प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तनीय है तो यह तीसरे ऑर्थोगोनल सतह के बारे में प्रतिबिंब के तहत भी अपरिवर्तनीय है।

प्रतिबिंब पर विचार करें <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}_3}}</math> के बारे में <math>1-2\,</math> सतह तो हमारे पास हैं
:<math>
   \underline{\underline{\boldsymbol{K}}} = \underline{\underline{\boldsymbol{A}^T_3}}~\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{A}_3}} = \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & -K_{13} \\ K_{21} & K_{22} & -K_{23} \\
      -K_{31} & -K_{32} & K_{33} \end{bmatrix}
 </math>
उपरोक्त संबंध का तात्पर्य यह है <math>K_{13} = K_{23} = K_{31} = K_{32} = 0</math>. आगे एक प्रतिबिंब पर विचार करें <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}_2}}</math> के बारे में <math>1-3\,</math> सतह। फिर हमारे पास है
:<math>
   \underline{\underline{\boldsymbol{K}}} = \underline{\underline{\boldsymbol{A}^T_2}}~\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{A}_2}} = \begin{bmatrix} K_{11} & -K_{12} & 0 \\ -K_{21} & K_{22} & 0 \\
      0 & 0 & K_{33} \end{bmatrix}
 </math>
इसका तात्पर्य यह है <math>K_{12} = K_{21} = 0</math>. इसलिए, ऑर्थोट्रोपिक सामग्री के भौतिक गुणों का वर्णन आव्यूह द्वारा किया जाता हैl 
:<math>
  \underline{\underline{\boldsymbol{K}}} =  \begin{bmatrix} K_{11} & 0 & 0 \\ 0 & K_{22} & 0 \\
      0 & 0 & K_{33} \end{bmatrix}
 </math>
== फलनरैखिक लोच में ऑर्थोट्रॉपी ==

=== अनिसोट्रोपिक लोच ===
[[रैखिक लोच]] में, [[तनाव (भौतिकी)]] और अनंत तनाव सिद्धांत के बीच संबंध विचाराधीन सामग्री के प्रकार पर निर्भर करता है। इस संबंध को हुक के नियम के नाम से जाना जाता है। अनिसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए हुक के नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है<ref name=Lekh>Lekhnitskii, S. G., 1963, '''Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body''', Holden-Day Inc.</ref>
:<math>\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{c}\cdot\boldsymbol{\varepsilon}</math>
जहाँ <math>\boldsymbol{\sigma}</math> तनाव टेंसर है, <math>\boldsymbol{\varepsilon}</math> तनाव टेंसर है, और <math>\mathsf{c}</math> लोचदार [[कठोरता टेंसर|दुर्नम्यता टेंसर]] है। यदि उपरोक्त अभिव्यक्ति में टेंसरों को एक ऑर्थोनॉर्मल समन्वय प्रणाली के संबंध में घटकों के संदर्भ में वर्णित किया गया है तो हम लिख सकते हैं
:<math>\sigma_{ij} = c_{ijk\ell}~ \varepsilon_{k\ell}</math>
जहां बार-बार सूचकांकों पर योग माना गया है। चूंकि तनाव और तनाव टेंसर [[सममित टेंसर]] हैं, और चूंकि रैखिक लोच में तनाव-खिंचाव संबंध [[तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन|तनाव ऊर्जा घनत्व]] फलनसे प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए रैखिक लोचदार सामग्री के लिए निम्नलिखित समरूपताएं लागू होती हैं
:<math>c_{ijk\ell} = c_{jik\ell} ~,~~c_{ijk\ell} = c_{ij\ell k} ~,~~ c_{ijk\ell} = c_{k\ell ij} ~.</math>
उपरोक्त समरूपताओं के कारण, रैखिक लोचदार सामग्रियों के लिए तनाव-खिंचाव संबंध को आव्यूह रूप में व्यक्त किया जा सकता है
:<math>
  \begin{bmatrix}\sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = 
  \begin{bmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1131} & c_{1112} \\
      c_{2211} & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2231} & c_{2212} \\
c_{3311} & c_{3322} & c_{3333} & c_{3323} & c_{3331} & c_{3312} \\
c_{2311} & c_{2322} & c_{2333} & c_{2323} & c_{2331} & c_{2312} \\
c_{3111} & c_{3122} & c_{3133} & c_{3123} & c_{3131} & c_{3112} \\
c_{1211} & c_{1222} & c_{1233} & c_{1223} & c_{1231} & c_{1212} 
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}\varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}
 </math>
वोइग्ट नोटेशन में एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व है
:<math>
  \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\
C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \\ \varepsilon_5 \\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}
 </math>
या
:<math>
   \underline{\underline{\boldsymbol{\sigma}}} = \underline{\underline{\mathsf{C}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}
 </math>
[[कठोरता मैट्रिक्स|दुर्नम्यता आव्यूह]] (स्टिफनेस  मैट्रिक्स) <math>\underline{\underline{\mathsf{C}}}</math> उपरोक्त संबंध में [[बिंदु समरूपता]] को संतुष्ट करता है।<ref name=Slawinski>Slawinski, M. A., 2010, '''Waves and Rays in Elastic Continua: 2nd Ed.''', World Scientific. [https://web.archive.org/web/20090210192845/http://samizdat.mines.edu/wavesandrays/WavesAndRays.pdf]</ref>
=== सामग्री समरूपता के लिए शर्त ===
दुर्नम्यता आव्यूह <math>\underline{\underline{\mathsf{C}}}</math> किसी दी गई समरूपता स्थिति को संतुष्ट करता है यदि यह संबंधित ऑर्थोगोनल परिवर्तन के अधीन होने पर नहीं बदलता है। ऑर्थोगोनल परिवर्तन एक बिंदु समरूपता, [[समरूपता की धुरी]] या समरूपता के एक सतह के संबंध में समरूपता का प्रतिनिधित्व कर सकता है। रैखिक लोच में ऑर्थोगोनल परिवर्तनों में घूर्णन और प्रतिबिंब सम्मिलित होते हैं, लेकिन आकार बदलने वाले परिवर्तन नहीं होते हैं और इन्हें ऑर्थोनॉर्मल निर्देशांक में, एक द्वारा दर्शाया जा सकता है। <math>3\times 3</math> आव्यूह <math>\underline{\underline{\mathbf{A}}}</math> द्वारा दिए गए
:<math>
   \underline{\underline{\mathbf{A}}} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
      A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}~.
 </math>
वोइग्ट नोटेशन में, तनाव टेंसर के लिए परिवर्तन आव्यूह को एक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>6\times6</math> आव्यूह <math>\underline{\underline{\mathsf{A}_\sigma}}</math> द्वारा दिए गए<ref name=Slawinski/>:<math>
   \underline{\underline{\mathsf{A}_\sigma}} = \begin{bmatrix} 
     A_{11}^2 & A_{12}^2 & A_{13}^2 & 2A_{12}A_{13} & 2A_{11}A_{13} & 2A_{11}A_{12} \\
     A_{21}^2 & A_{22}^2 & A_{23}^2 & 2A_{22}A_{23} & 2A_{21}A_{23} & 2A_{21}A_{22} \\
     A_{31}^2 & A_{32}^2 & A_{33}^2 & 2A_{32}A_{33} & 2A_{31}A_{33} & 2A_{31}A_{32} \\
     A_{21}A_{31} & A_{22}A_{32} & A_{23}A_{33} & A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32} & A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31} & A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31} \\
     A_{11}A_{31} & A_{12}A_{32} & A_{13}A_{33} & A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32} & A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31} & A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31} \\
     A_{11}A_{21} & A_{12}A_{22} & A_{13}A_{23} & A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22} & A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21} & A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21} \end{bmatrix}
 </math>

नोटेशन की पसंद के कारण स्ट्रेन टेंसर के परिवर्तन का रूप थोड़ा अलग होता है। यह परिवर्तन आव्यूह है
:<math>
   \underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}} = \begin{bmatrix} 
     A_{11}^2 & A_{12}^2 & A_{13}^2 & A_{12}A_{13} & A_{11}A_{13} & A_{11}A_{12} \\
     A_{21}^2 & A_{22}^2 & A_{23}^2 & A_{22}A_{23} & A_{21}A_{23} & A_{21}A_{22} \\
     A_{31}^2 & A_{32}^2 & A_{33}^2 & A_{32}A_{33} & A_{31}A_{33} & A_{31}A_{32} \\
     2A_{21}A_{31} & 2A_{22}A_{32} & 2A_{23}A_{33} & A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32} & A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31} & A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31} \\
     2A_{11}A_{31} & 2A_{12}A_{32} & 2A_{13}A_{33} & A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32} & A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31} & A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31} \\
     2A_{11}A_{21} & 2A_{12}A_{22} & 2A_{13}A_{23} & A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22} & A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21} & A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21} \end{bmatrix}
 </math>
ऐसा दिखाया जा सकता है <math>\underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}^T = \underline{\underline{\mathsf{A}_\sigma}}^{-1}</math>.

ऑर्थोगोनल परिवर्तन के तहत सातत्य के लोचदार गुण अपरिवर्तनीय होते हैं <math>\underline{\underline{\mathbf{A}}}</math> अगर और केवल अगर<ref name="Slawinski" />:<math>
   \underline{\underline{\mathsf{C}}} = \underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}^T~\underline{\underline{\mathsf{C}}}~\underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}
 </math>

=== ऑर्थोट्रोपिक लोच में दुर्नम्यता और अनुपालन आव्यूह ===
एक ऑर्थोट्रोपिक लोचदार सामग्री में समरूपता के तीन ऑर्थोगोनल सतह होते हैं। यदि हम एक ऑर्थोनॉर्मल समन्वय प्रणाली चुनते हैं जैसे कि अक्ष तीन समरूपता सतह के मानदंडों के साथ मेल खाते हैं, तो परिवर्तन आव्यूह हैं
:<math>
   \underline{\underline{\mathbf{A}_1}} = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ~;~~
   \underline{\underline{\mathbf{A}_2}} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ~;~~
   \underline{\underline{\mathbf{A}_3}} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}
 </math>
हम यह दिखा सकते हैं कि यदि आव्यूह <math>\underline{\underline{\mathsf{C}}}</math> यदि एक रैखिक लोचदार सामग्री दो ऑर्थोगोनल सतह के बारे में प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तनीय है तो यह तीसरे ऑर्थोगोनल सतह के बारे में प्रतिबिंब के तहत भी अपरिवर्तनीय है।

यदि हम प्रतिबिम्ब पर विचार करें <math>\underline{\underline{\mathbf{A}_3}}</math> के बारे में <math>1-2\,</math> सतह, तो हमारे पास है
:<math>
   \underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}} = \begin{bmatrix} 
     1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
     0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
     0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
     0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
     0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
     0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
      \end{bmatrix}
 </math>
फिर आवश्यकता <math>
   \underline{\underline{\mathsf{C}}} = \underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}^T~\underline{\underline{\mathsf{C}}}~\underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}
 </math> इसका आशय है<ref name="Slawinski" />:<math>
\begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\
C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & -C_{14} & -C_{15} & C_{16} \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & -C_{24} & -C_{25} & C_{26} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & -C_{34} & -C_{35} & C_{36} \\
-C_{14} & -C_{24} & -C_{34} & C_{44} & C_{45} & -C_{46} \\
-C_{15} & -C_{25} & -C_{35} & C_{45} & C_{55} & -C_{56} \\
C_{16} & C_{26} & C_{36} & -C_{46} & -C_{56} & C_{66} \end{bmatrix}
 </math>

उपरोक्त आवश्यकता तभी पूरी हो सकती है यदि
:<math>
  C_{14} = C_{15} = C_{24} = C_{25} = C_{34} = C_{35} = C_{46} = C_{56} = 0 ~.
 </math>
आइए आगे प्रतिबिंब पर विचार करें <math>\underline{\underline{\mathbf{A}_2}}</math> के बारे में <math>1-3\,</math> सतह (प्लेन)। उसपरिस्थिति में
:<math>
   \underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}} = \begin{bmatrix} 
     1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
     0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
     0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
     0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
     0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
     0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1
      \end{bmatrix}
 </math>
पुनः अपरिवर्तनीय स्थिति का उपयोग करते हुए, हमें अतिरिक्त आवश्यकता प्राप्त होती है
:<math>
  C_{16} = C_{26} = C_{36} = C_{45} = 0 ~.
 </math>
कोई और जानकारी प्राप्त नहीं की जा सकती क्योंकि तीसरे समरूपता तल के बारे में प्रतिबिंब उन सतह के बारे में प्रतिबिंब से स्वतंत्र नहीं है जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। इसलिए, ऑर्थोट्रोपिक रैखिक लोचदार सामग्री की दुर्नम्यता आव्यूह को इस प्रकार लिखा जा सकता हैl
:<math>
\underline{\underline{\mathsf{C}}} = 
   \begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0  \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0  & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0  & 0 & C_{55} & 0\\
0 & 0 & 0  & 0 & 0 & C_{66} \end{bmatrix} 
 </math>
इस आव्यूह का व्युत्क्रम सामान्यतः  इस प्रकार लिखा जाता है<ref name=Boresi>Boresi, A. P, Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M., 1993, ''Advanced Mechanics of Materials'', Wiley.</ref>
:<math>
  \underline{\underline{\mathsf{S}}} = 
  \begin{bmatrix}
    \tfrac{1}{E_{\rm 1}} & - \tfrac{\nu_{\rm 21}}{E_{\rm 2}} & - \tfrac{\nu_{\rm 31}}{E_{\rm 3}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm 12}}{E_{\rm 1}} & \tfrac{1}{E_{\rm 2}} & - \tfrac{\nu_{\rm 32}}{E_{\rm 3}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm 13}}{E_{\rm 1}} & - \tfrac{\nu_{\rm 23}}{E_{\rm 2}} & \tfrac{1}{E_{\rm 3}} & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 23}} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 31}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 12}} \\
    \end{bmatrix}
 </math>
जहाँ <math>{E}_{\rm i}\,</math> अक्ष के अनुदिश यंग मापांक है <math>i</math>, <math>G_{\rm ij}\,</math> दिशा में अपरूपण मापांक है <math>j</math> उस तल पर जिसका अभिलम्ब दिशा में है <math>i</math>, और <math>\nu_{\rm ij}\,</math> पॉइसन का अनुपात है जो दिशा में संकुचन से मेल खाता है <math>j</math> जब कोई एक्सटेंशन दिशा में लगाया जाता है <math>i</math>.

=== ऑर्थोट्रोपिक लोचदार सामग्री के मॉड्यूल पर सीमाएं ===
ऑर्थोट्रोपिक रैखिक लोचदार सामग्रियों के लिए तनाव-तनाव संबंध को वोइग्ट नोटेशन में लिखा जा सकता है
:<math>
   \underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \underline{\underline{\mathsf{S}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{\sigma}}}
 </math>
जहां अनुपालन आव्यूह <math>\underline{\underline{\mathsf{S}}}</math> द्वारा दिया गया है
:<math>
   \underline{\underline{\mathsf{S}}} = 
   \begin{bmatrix}
  S_{11} & S_{12} & S_{13} & 0 & 0 & 0 \\
S_{12} & S_{22} & S_{23} & 0 & 0 & 0  \\
S_{13} & S_{23} & S_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0  & S_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0  & 0 & S_{55} & 0\\
0 & 0 & 0  & 0 & 0 & S_{66} \end{bmatrix} 
 </math>
अनुपालन आव्यूह [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] है और तनाव ऊर्जा घनत्व फलन के  घनात्मक होने के लिए  [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|घनात्मक-निश्चित आव्यूह]] होना चाहिए। सिल्वेस्टर की कसौटी से इसका तात्पर्य यह है कि आव्यूह के सभी प्रमुख [[लघु (रैखिक बीजगणित)]]  घनात्मक हैं,<ref name=Ting>Ting, T. C. T. and Chen, T., 2005, ''Poisson's ratio for anisotropic elastic materials can have no bounds,'', Q. J. Mech. Appl. Math., 58(1), pp. 73-82.</ref> अर्थात।,
:<math>
   \Delta_k := \det(\underline{\underline{\mathsf{S}_k}}) > 0
 </math>
जहाँ <math>\underline{\underline{\mathsf{S}_k}}</math> है <math>k\times k</math> का प्रमुख उपाव्यूह<math>\underline{\underline{\mathsf{S}}}</math>.

तब,
:<math>
  \begin{align}
   \Delta_1 > 0  & \implies \quad S_{11} > 0 \\
   \Delta_2 > 0  & \implies \quad S_{11}S_{22} - S_{12}^2 > 0 \\
   \Delta_3 > 0  & \implies \quad (S_{11}S_{22}-S_{12}^2)S_{33}-S_{11}S_{23}^2+2S_{12}S_{23}S_{13}-S_{22}S_{13}^2 >0 \\
   \Delta_4 > 0  & \implies \quad S_{44}\Delta_3 > 0 \implies S_{44} > 0\\
   \Delta_5 > 0  & \implies \quad S_{44}S_{55}\Delta_3 > 0 \implies S_{55} > 0 \\
   \Delta_6 > 0  & \implies \quad S_{44}S_{55}S_{66}\Delta_3 > 0 \implies S_{66} > 0
  \end{align}
 </math>
हम दिखा सकते हैं कि शर्तों का यह सेट इसका तात्पर्य है<ref name=Ting1>{{citation|last=Ting|first=T. C. T.|year=1996|title=Positive definiteness of anisotropic elastic constants|journal=[[Mathematics & Mechanics of Solids]]|volume=1|issue=3|pages=301–314|doi=10.1177/108128659600100302|s2cid=122747373}}.</ref>
:<math>
  S_{11} > 0 ~,~~ S_{22} > 0 ~,~~ S_{33} > 0 ~,~~ S_{44} > 0 ~,~~ S_{55} > 0 ~,~~ S_{66} > 0
 </math>
या
:<math>
  E_1 > 0 , E_2 > 0, E_3 > 0, G_{12} > 0 , G_{23} > 0, G_{13} > 0
 </math>
हालाँकि, पॉइसन के अनुपात के मूल्यों पर कोई समान निचली सीमा नहीं रखी जा सकती है <math>\nu_{ij}</math>.<ref name=Ting/>
==यह भी देखें==
* अनिसोट्रॉपी
* [[तनाव (यांत्रिकी)]]
* अनंतिम तनाव सिद्धांत
* [[परिमित तनाव सिद्धांत]]
* हुक का नियम

== संदर्भ ==
{{Reflist}}
==अग्रिम पठन==
*[http://www.oofem.org/resources/doc/matlibmanual/html/node6.html Orthotropy modeling equations] from [[OOFEM]] Matlib manual section.
*[http://www.efunda.com/formulae/solid_mechanics/mat_mechanics/hooke_orthotropic.cfm Hooke's law for orthotropic materials]
[[Category: सातत्यक यांत्रिकी]] [[Category: सामग्री]] 



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[[Category:Created On 16/08/2023]]
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