View source for अवस्था संक्रमण आव्यूह

[[नियंत्रण सिद्धांत]] में, '''अवस्था संक्रमण आव्यूह''' एक आव्यूह है जिसका गुणन फल अवस्था वेक्टर <math>x</math> प्रारंभिक समय में <math>t_0</math> देता है <math>x</math> बाद के समय में <math>t</math> के साथ होता है। अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग रैखिक गतिशील प्रणालियों का सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

==रैखिक प्रणाली समाधान==
अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग निम्नलिखित रूप में एक [[रैखिक प्रणाली]] के सामान्य अवस्था-संक्रमण प्रतिनिधित्व का समाधान खोजने के लिए किया जाता है
: <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)  ,    \;\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0 </math>,
जहाँ <math>\mathbf{x}(t)</math> प्रणाली की स्थितियाँ हैं, <math>\mathbf{u}(t)</math> निविष्ट संकेत है, <math>\mathbf{A}(t)</math> और <math>\mathbf{B}(t)</math> [[मैट्रिक्स फ़ंक्शन|आव्यूह फलन]] हैं, और <math>\mathbf{x}_0</math> पर <math>t_0</math> प्रारंभिक स्थिति है। <math>\mathbf{\Phi}(t, \tau)</math> अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग करना , समाधान इस प्रकार दिया गया है:<ref name=baaschl>{{cite journal|last1=Baake|first1=Michael|last2=Schlaegel|first2=Ulrike|title=पीनो बेकर श्रृंखला|journal=Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics|year=2011|volume=275|pages=155–159|doi=10.1134/S0081543811080098|s2cid=119133539}}</ref><ref name=rugh>{{cite book|last1=Rugh|first1=Wilson|title=रैखिक प्रणाली सिद्धांत|date=1996|publisher=Prentice Hall|location=Upper Saddle River, NJ | isbn = 0-13-441205-2}}</ref>
: <math>\mathbf{x}(t)= \mathbf{\Phi} (t, t_0)\mathbf{x}(t_0)+\int_{t_0}^t \mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{B}(\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau</math>
पहले शब्द को शून्य-निविष्ट प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है और यह दर्शाता है कि किसी भी निविष्ट के अभाव में प्रणाली की स्थिति कैसे विकसित होगी। दूसरे शब्द को शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है और यह परिभाषित करता है कि निविष्ट प्रणाली को कैसे प्रभावित करते हैं।

==पीनो-बेकर श्रृंखला==
सबसे सामान्य संक्रमण आव्यूह पीनो-बेकर श्रृंखला द्वारा दिया गया है
:<math> \mathbf{\Phi}(t,\tau) = \mathbf{I} + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\,d\sigma_1 + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\int_\tau^{\sigma_1}\mathbf{A}(\sigma_2)\,d\sigma_2\,d\sigma_1 + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\int_\tau^{\sigma_1}\mathbf{A}(\sigma_2)\int_\tau^{\sigma_2}\mathbf{A}(\sigma_3)\,d\sigma_3\,d\sigma_2\,d\sigma_1 + ...</math>
जहाँ <math>\mathbf{I}</math> पहचान आव्यूह है. यह आव्यूह समान रूप से और पूरी तरह से एक ऐसे समाधान में परिवर्तित होता है जो उपस्थित है और अद्वितीय है।<ref name=rugh />
==अन्य गुण==
अवस्था संक्रमण आव्यूह <math> \mathbf{\Phi}</math> निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता है:

1. यह सतत है और इसके निरंतर व्युत्पन्न हैं।

2, यह कभी विलक्षण नहीं होता; वास्तव में <math>\mathbf{\Phi}^{-1}(t, \tau) = \mathbf{ \Phi}(\tau, t)</math> और <math>\mathbf{\Phi}^{-1}(t, \tau)\mathbf{\Phi}(t, \tau) = I</math>, जहाँ <math>I</math> पहचान आव्यूह है।

3. सभी <math>t</math> के लिए  <math>\mathbf{\Phi}(t, t) = I</math>।<ref>{{cite book|first=Roger W.|last=Brockett|title=परिमित आयामी रैखिक प्रणाली|publisher=John Wiley & Sons|year=1970|isbn=978-0-471-10585-5}}</ref>

4. सभी <math>t_0 \leq  t_1 \leq t_2</math> के लिए <math>\mathbf{\Phi}(t_2, t_1)\mathbf{\Phi}(t_1, t_0) = \mathbf{\Phi}(t_2, t_0)</math>।

5. यह अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है <math>\frac{\partial \mathbf{\Phi}(t, t_0)}{\partial t} = \mathbf{A}(t)\mathbf{\Phi}(t, t_0)</math> प्रारंभिक उपबंध <math>\mathbf{\Phi}(t_0, t_0) = I</math> के साथ।

6. अवस्था-संक्रमण आव्यूह <math>\mathbf{\Phi}(t, \tau)</math>, द्वारा दिए गए
: <math>\mathbf{\Phi}(t, \tau)\equiv\mathbf{U}(t)\mathbf{U}^{-1}(\tau)</math>
जहां <math>n \times n</math> आव्यूह <math>\mathbf{U}(t)</math> [[मौलिक मैट्रिक्स (रैखिक अंतर समीकरण)|मौलिक आव्यूह (रैखिक अंतर समीकरण)]] है जो संतुष्ट करता है
: <math>\dot{\mathbf{U}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{U}(t)</math> प्रारंभिक उपबंध के साथ <math>\mathbf{U}(t_0) = I</math>।

7. अवस्था को देखते हुए <math>\mathbf{x}(\tau)</math> किसी भी समय <math>\tau</math>, किसी अन्य समय में अवस्था <math>t</math> प्रतिचित्रण द्वारा दिया गया है
:<math>\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{x}(\tau)</math>
==अवस्था-संक्रमण आव्यूह का अनुमान==

समय-अपरिवर्तनीय सन्दर्भ में, हम[[ मैट्रिक्स घातांक | आव्यूह घातांक]] का उपयोग करते हुए <math> \mathbf{\Phi}</math> परिभाषित कर सकते हैं, जैसे <math>\mathbf{\Phi}(t, t_0) = e^{\mathbf{A}(t - t_0)}</math>। <ref>{{cite journal |last1=Reyneke |first1=Pieter V. |title=Polynomial Filtering: To any degree on irregularly sampled data |journal=Automatika |date=2012 |volume=53 |issue=4 |pages=382–397|doi=10.7305/automatika.53-4.248 |s2cid=40282943 |url=http://hrcak.srce.hr/file/138435 |doi-access=free }}</ref>

समय-संस्करण सन्दर्भ में, अवस्था-संक्रमण आव्यूह <math>\mathbf{\Phi}(t, t_0)</math> अंतर समीकरण <math>\dot{\mathbf{u}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{u}(t)</math> के समाधान से अनुमान लगाया जा सकता है  प्रारंभिक उपबंध के साथ <math>\mathbf{u}(t_0)</math> द्वारा दिए गए <math>[1,\ 0,\ \ldots,\ 0]^T</math>, <math>[0,\ 1,\ \ldots,\ 0]^T</math>, ..., <math>[0,\ 0,\ \ldots,\ 1]^T</math>. संबंधित समाधान  <math>n</math> आव्यूह के कॉलम <math>\mathbf{\Phi}(t, t_0)</math> प्रदान करते हैं। अब, गुण 4 से,
 <math>\mathbf{\Phi}(t, \tau) = \mathbf{\Phi}(t, t_0)\mathbf{\Phi}(\tau, t_0)^{-1}</math> सभी के लिए <math>t_0 \leq  \tau \leq t</math>. समय-भिन्न समाधान पर विश्लेषण जारी रखने से पहले अवस्था-संक्रमण आव्यूह निर्धारित किया जाना चाहिए।

== यह भी देखें ==
*[[मैग्नस विस्तार]]
* लिउविले का सूत्र

==संदर्भ==
{{Reflist}}


==अग्रिम पठन==
* {{cite journal
 | author = Baake, M.
 | author2 = Schlaegel, U.
 | year = 2011
 | title = The Peano Baker Series
 | journal = Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics
 | volume = 275 
 | pages = 155–159
| doi = 10.1134/S0081543811080098
 | s2cid = 119133539
 }}
* {{cite book
 | author = Brogan, W.L.
 | year = 1991
 | title = Modern Control Theory
 | publisher = Prentice Hall
 | isbn = 0-13-589763-7
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/moderncontrolthe00brog
 }}
[[Category: शास्त्रीय नियंत्रण सिद्धांत]] 



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[[Category:Created On 15/08/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]