View source for लॉग-सामान्य वितरण

{{Short description|Probability distribution}}
{{Infobox probability distribution
  | name      = Log-normal
  | type      = continuous
  | pdf_image = [[Image:Log-normal-pdfs.png|300px|Plot of the Lognormal PDF]]<br /><small>Identical parameter <math>\mu</math> but differing parameters <math>\sigma</math></small>
  | cdf_image = [[Image:Log-normal-cdfs.png|300px|Plot of the Lognormal CDF]]<br /><small><math>\mu = 0</math></small>
  | notation  = <math>\operatorname{Lognormal}(\mu,\,\sigma^2)</math>
  | parameters= <math>\mu \in (-\infty, +\infty) </math>, <br /> <math>\sigma > 0</math>
  | support   = <math>x \in (0, +\infty)</math>
  | pdf       = <math>\frac 1 {x\sigma\sqrt{2\pi}}\ ऍक्स्प \ लेफ्ट ( - \ frac {\ लेफ्ट (\ ln x - \ mu \ राइट) ^ 2} {2 \ सिग्मा ^ 2} \ राइट) </math>
  | सीडीएफ = 
गणित>\frac{1}{2}\बाएं[1 + \ऑपरेटरनाम{erf}\बाएं( \frac{\ln x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}



प्रायिकता सिद्धांत में, एक लॉग-सामान्य (या लॉगनोर्मल) वितरण एक यादृच्छिक चर का निरंतर संभावना [[सामान्य वितरण|वितरण]] होता है जिसका लघुगणक [[सामान्य वितरण|सामान्य]] रूप से वितरित किया जाता है। इस प्रकार, यदि यादृच्छिक चर {{mvar|X}} लॉग-सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो {{math|''Y'' {{=}} ln(''X'')}} का सामान्य वितरण होता है।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Log Normal Distribution|url=https://mathworld.wolfram.com/LogNormalDistribution.html|access-date=2020-09-13|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|title=1.3.6.6.9. Lognormal Distribution|url=https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3669.htm|access-date=2020-09-13|website=www.itl.nist.gov}}</ref> समतुल्य रूप से, यदि {{mvar|Y}} का सामान्य वितरण है, तो {{mvar|Y}}, {{math|''X'' {{=}} exp(''Y'')}} के घातीय फलन का लॉग-सामान्य वितरण होगा। एक यादृच्छिक चर जो लॉग-सामान्य रूप से वितरित होता है, केवल सकारात्मक वास्तविक मान लेता है। यह सटीक और [[अभियांत्रिकी]] विज्ञान, साथ ही चिकित्सा, [[अर्थशास्त्र]] और अन्य विषयों (जैसे, ऊर्जा, संकेंद्रण, लंबाई, वित्तीय साधनों की कीमतों और अन्य मीटरी पद्धति) में मापन के लिए एक सुविधाजनक और उपयोगी प्रतिरूप है।

[[फ्रांसिस गैल्टन]] के पश्चात वितरण को कभी-कभी गैल्टन वितरण या गैल्टन के वितरण के रूप में जाना जाता है।<ref name=JKB/>लॉग-सामान्य वितरण को अन्य नामों से भी संबंधित किया गया है, जैसे मैकएलिस्टर, जिब्राट का नियम और कॉब-डगलस।<ref name=JKB/>

एक लॉग-सामान्य प्रक्रिया कई स्वतंत्र यादृच्छिक चर के [[गणितीय उत्पाद|गुणात्मक उत्पाद]] का [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] बोध है, जिनमें से प्रत्येक सकारात्मक है। यह लॉग डोमेन में [[केंद्रीय सीमा प्रमेय]] (कभी-कभी जिब्रत का नियम कहा जाता है) पर विचार करने के लिए उचित है। लॉग-सामान्य वितरण एक यादृच्छिक चर {{mvar|X}}- के लिए अधिकतम एन्ट्रापी प्रायिकता वितरण है - जिसके लिए {{math|ln(''X'')}} का माध्य और विचरण निर्दिष्ट किया गया है।<ref>{{Cite journal |last1=Park |first1=Sung Y. |last2=Bera |first2=Anil K. |year=2009 |title=Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model |url=http://www.wise.xmu.edu.cn/Master/Download/..%5C..%5CUploadFiles%5Cpaper-masterdownload%5C2009519932327055475115776.pdf |url-status=dead |journal=Journal of Econometrics |volume=150 |issue=2 |pages=219–230 |citeseerx=10.1.1.511.9750 |doi=10.1016/j.jeconom.2008.12.014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160307144515/http://wise.xmu.edu.cn/uploadfiles/paper-masterdownload/2009519932327055475115776.pdf |archive-date=2016-03-07 |access-date=2011-06-02}} Table 1, p. 221.</ref>
== परिभाषाएँ ==

=== पीढ़ी और पैरामीटर ===

जब <math>Z</math> एक मानक सामान्य चर हों, और <math>\mu</math> और <math>\sigma>0</math> दो वास्तविक संख्याएँ हों। फिर, यादृच्छिक चर का वितरण

:<math> X=e^{\mu+\sigma Z} </math>
मापदंडों के साथ लॉग-सामान्य वितरण कहा जाता है <math>\mu</math> और <math>\sigma</math>। ये चर के प्राकृतिक लघुगणक का अपेक्षित मान (या माध्य) और [[मानक विचलन]] हैं, न कि अपेक्षा और मानक विचलन <math>X</math> ही है।
[[File:Lognormal Distribution.svg|thumb|upright=1.5|सामान्य और लॉग-सामान्य वितरण के बीच संबंध। यदि <math>Y=\mu+\sigma Z</math> तब सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो <math>X\sim e^{Y}</math> लॉग-सामान्य रूप से वितरित है।]]लघुगणक या घातांक फलन के आधार पर ध्यान दिए बिना यह संबंध सत्य है: यदि <math>\log_a(X)</math> सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो ऐसा है <math>\log_b(X)</math> किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं के लिए <math>a,b\neq 1</math>। इसी तरह यदि <math>e^Y</math> लॉग-सामान्य रूप से वितरित है, तो ऐसा ही है <math>a^Y</math>, जहां <math>0 < a \neq 1</math>।[[File:Lognormal Distribution.svg|thumb|upright=1.5]]अभीष्ट माध्य के साथ वितरण की उत्पत्ति करने के लिए <math>\mu_X</math> और विचरण <math>\sigma_X^2</math>, एक उपयोग करता है

<math>\mu = \ln\left(\frac{\mu_X^2}{\sqrt{\mu_X^2+\sigma_X^2}}\right) </math> और <math>\sigma^2 = \ln\left(1+\frac{\sigma_X^2}{\mu_X^2}\right). </math>

वैकल्पिक रूप से, गुणात्मक या ज्यामितीय मापदंडों <math>\mu^*=e^\mu</math> और <math>\sigma^*=e^\sigma</math> का उपयोग किया जा सकता है। उनकी अधिक प्रत्यक्ष व्याख्या है: <math>\mu^*</math> वितरण की माध्यिका है, और <math>\sigma^*</math> "तितर बितर" अंतराल निर्धारित करने के लिए उपयोगी है।

=== संभाव्यता घनत्व फलन ===

एक धनात्मक यादृच्छिक चर X लॉग-सामान्य रूप से वितरित होता है (अर्थात, <math> X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu_x,\sigma_x^2)</math>), यदि X का प्राकृतिक लघुगणक सामान्य रूप से माध्य के साथ वितरित किया जाता है <math> \mu</math> और विचरण <math> \sigma^2</math>:

:<math> \ln(X) \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>
<math>\Phi</math> और <math>\varphi</math> क्रमशः N(0,1) वितरण का संचयी संभाव्यता वितरण फलन और संभाव्यता घनत्व फलन हो, तो हमारे पास वह है<ref name=":1" /><ref name="JKB" />

: <math>
\begin{align}
f_X(x) & = \frac {\rm d}{{\rm d}x} \Pr(X \le x) = \frac {\rm d}{{\rm d}x} \Pr(\ln X \le \ln x) 
 = \frac {\rm d}{{\rm d}x} \Phi\left( \frac{\ln x -\mu} \sigma \right) \\[6pt]
& = \varphi\left( \frac{\ln x - \mu} \sigma \right) \frac {\rm d}{{\rm d}x} \left( \frac{\ln x - \mu} \sigma \right) 
 = \varphi\left( \frac{\ln x - \mu} \sigma \right) \frac 1 {\sigma x} \\[6pt]
& = \frac 1 {x\sigma\sqrt{2\pi\,}} \exp\left( -\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right).
\end{align}
</math>
=== संचयी वितरण फलन ===
संचयी वितरण फलन है

: <math> F_X(x) = \Phi\left( \frac{(\ln x) - \mu} \sigma \right) </math>
जहां

<math>\Phi</math> मानक सामान्य वितरण (अर्थात्, N(0,1)) का संचयी वितरण फलन है।

इसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:<ref name=":1" />

:<math>
\frac12 \left[ 1 + \operatorname{erf} \left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right) \right] = \frac12 \operatorname{erfc} \left(-\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)
</math>
जहां इआरएफसी पूरक त्रुटि फलन है।

=== बहुभिन्नरूपी लॉग-सामान्य ===
यदि <math>\boldsymbol X \sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\,\boldsymbol\Sigma)</math> एक [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]] है, तो <math>Y_i=\exp(X_i)</math> एक बहुभिन्नरूपी लॉग-सामान्य वितरण होगा।<ref>{{Cite conference |last=Tarmast |first=Ghasem |year=2001 |title=Multivariate Log–Normal Distribution |url=http://isi.cbs.nl/iamamember/CD2/pdf/329.PDF |conference=ISI Proceedings: 53rd Session |location=Seoul}}</ref><ref>{{Cite conference |last=Halliwell |first=Leigh |year=2015 |title=The Lognormal Random Multivariate |url=http://www.casact.org/pubs/forum/15spforum/Halliwell.pdf |conference=Casualty Actuarial Society E-Forum, Spring 2015 |location=Arlington, VA}}</ref> घातांक को यादृच्छिक सदिश पर तत्व अनुसार लागू किया जाता है <math>\boldsymbol X</math>. का मतलब <math>\boldsymbol Y</math> है

:<math>\operatorname{E}[\boldsymbol Y]_i=e^{\mu_i+\frac{1}{2}\Sigma_{ii}} ,</math>
और इसका सहप्रसरण मैट्रिक्स है

:<math>\operatorname{Var}[\boldsymbol Y]_{ij}=e^{\mu_i+\mu_j + \frac{1}{2}(\Sigma_{ii}+\Sigma_{jj}) }( e^{\Sigma_{ij}} - 1) . </math>
चूंकि बहुभिन्नरूपी लॉग-सामान्य वितरण का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए इस प्रविष्टि का शेष भाग केवल एक अविभाज्य वितरण से संबंधित है।

=== विशेषता कार्य और क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य ===

लॉग-सामान्य वितरण के सभी क्षण उपस्थित हैं और

:<math>\operatorname{E}[X^n]= e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}</math>
इसे रख कर प्राप्त किया जा सकता है <math>z=\tfrac{\ln(x) - (\mu+n\sigma^2)}{\sigma}</math> समाकल के भीतर। चूंकि, लॉग-सामान्य वितरण इसके क्षणों से निर्धारित नहीं होता है।<ref name="Heyde">{{Citation|last=Heyde|first=CC.|title=On a property of the lognormal distribution|work=Journal of the Royal Statistical Society, Series B|volume=25|issue=2|pages=392–393|year=1963|doi=10.1007/978-1-4419-5823-5_6|isbn=978-1-4419-5822-8|doi-access=free}}</ref> इसका तात्पर्य यह है कि शून्य के निकटतम में इसका परिभाषित क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य नहीं हो सकता है।<ref>{{Cite book|last=Billingsley|first=Patrick|url=https://www.worldcat.org/oclc/780289503|title=Probability and Measure|date=2012|publisher=Wiley|isbn=978-1-118-12237-2|edition=Anniversary|location=Hoboken, N.J.|pages=415|oclc=780289503}}</ref> दरअसल, अपेक्षित मूल्य <math>\operatorname{E}[e^{t X}]</math> तर्क के किसी सकारात्मक मान के लिए परिभाषित नहीं है <math>t</math>, परिभाषित है समाकल विचलन के पश्चात से।

[[विशेषता समारोह (संभावना सिद्धांत)|विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत)]] <math>\operatorname{E}[e^{i t X}]</math> को t के वास्तविक मानों के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन t के किसी भी सम्मिश्र मान के लिए परिभाषित नहीं किया गया है जिसमें एक नकारात्मक काल्पनिक भाग है, और इसलिए विशेषता कार्य मूल पर [[विश्लेषणात्मक कार्य]] नहीं है। परिणामस्वरूप, लॉग-सामान्य वितरण की विशेषता फलन को अनंत अभिसरण श्रृंखला के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।<ref name="Holgate">{{Cite journal |last=Holgate |first=P. |year=1989 |title=The lognormal characteristic function, vol. 18, pp. 4539–4548, 1989 |journal=Communications in Statistics - Theory and Methods |volume=18 |issue=12 |pages=4539–4548 |doi=10.1080/03610928908830173}}</ref> विशेष रूप से, इसकी टेलर [[औपचारिक श्रृंखला]] भिन्न होती है:

: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}</math>
चूंकि, कई वैकल्पिक अपसारी श्रृंखला निरूपण प्राप्त किए हुए हैं।<ref name=Holgate /><ref name="Barakat">{{Cite journal |last=Barakat |first=R. |year=1976 |title=Sums of independent lognormally distributed random variables |journal=Journal of the Optical Society of America |volume=66 |issue=3 |pages=211–216 |bibcode=1976JOSA...66..211B |doi=10.1364/JOSA.66.000211}}</ref><ref name="Barouch">{{Cite journal |last1=Barouch |first1=E. |last2=Kaufman |first2=GM. |last3=Glasser |first3=ML. |year=1986 |title=On sums of lognormal random variables |url=http://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/48703/onsumsoflognorma00baro.pdf |journal=Studies in Applied Mathematics |volume=75 |issue=1 |pages=37–55 |doi=10.1002/sapm198675137 |hdl=1721.1/48703|hdl-access=free }}</ref><ref name="Leipnik">{{Cite journal |last=Leipnik |first=Roy B. |date=January 1991 |title=On Lognormal Random Variables: I – The Characteristic Function |url=https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/F1563B5AD8918EF2CD51092F82EB0B73/S0334270000006901a.pdf/div-class-title-on-lognormal-random-variables-i-the-characteristic-function-div.pdf |journal=Journal of the Australian Mathematical Society, Series B |volume=32 |issue=3 |pages=327–347 |doi=10.1017/S0334270000006901|doi-access=free }}</ref>

अभिलाक्षणिक फलन के लिए एक बंद रूप सूत्र <math>\varphi(t)</math> के साथ अभिसरण के क्षेत्र में <math>t</math> ज्ञात नहीं है। एक अपेक्षाकृत सरल अनुमानित सूत्र बंद रूप में उपलब्ध है, और इसके द्वारा दिया गया है<ref name="Asmussen">S. Asmussen, J.L. Jensen, L. Rojas-Nandayapa (2016). "On the Laplace transform of the Lognormal distribution",
[https://link.springer.com/article/10.1007/s11009-014-9430-7 Methodology and Computing in Applied Probability 18 (2), 441-458.]
[http://data.imf.au.dk/publications/thiele/2013/math-thiele-2013-06.pdf Thiele report 6 (13).]</ref>
     
:<math>\varphi(t)\approx\frac{\exp\left(-\frac{W^2(-it\sigma^2e^\mu) + 2W(-it\sigma^2e^\mu)}{2\sigma^2} \right)}{\sqrt{1+W(-it\sigma^2e^\mu)}}</math>
जहां <math>W</math> [[लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह|लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन]] है। यह सन्निकटन एक स्पर्शोन्मुख विधि के माध्यम से प्राप्त किया गया है, लेकिन यह अभिसरण के पूरे कार्यक्षेत्र में तीव्र रहता है <math>\varphi</math>.

== गुण ==

[[File:Probabilities of log normal.png|thumb|right|a, <math>y</math> एक लॉग-सामान्य चर है <math>\mu=1, \sigma=0.5</math>. <math>p(\sin y>0)</math>की गणना सामान्य चर में बदलकर की जाती है <math>x = \ln y</math>, फिर द्वारा परिभाषित डोमेन पर इसके घनत्व को एकीकृत करना <math>\sin e^x>0</math> (नीला क्षेत्र), रे-ट्रेसिंग की संख्यात्मक विधि का उपयोग करते हुए।<ref name="Das" />ख और ग। समारोह का पीडीएफ और सीडीएफ लॉग-सामान्य चर के  <math> \sin y</math> की गणना भी इस तरह से की जा सकती है।]]

=== विभिन्न डोमेन में संभावना ===
किसी भी स्वैच्छिक डोमेन में लॉग-सामान्य वितरण की संभाव्यता सामग्री को पहले चर को सामान्य में बदलकर, फिर रे-ट्रेस विधि का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से एकीकृत करके वांछित सटीकता की गणना की जा सकती है।<ref name="Das">{{cite arXiv |last=Das|first=Abhranil|eprint=2012.14331|title=A method to integrate and classify normal distributions|date=2020|class=stat.ML}}</ref> ([https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/84973-integrate-and-classify-normal-distributions मैटलैब कोड])

==== लॉग-सामान्य चर के कार्यों की संभावनाएं ====
चूंकि लॉग-सामान्य की संभाव्यता की गणना किसी भी डोमेन में की जा सकती है, इसका मतलब यह है कि लॉग-सामान्य चर के किसी भी फलन के सीडीएफ (और परिणामस्वरूप पीडीएफ और व्युत्क्रम सीडीएफ) की भी गणना की जा सकती है।<ref name="Das" />([https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/84973-integrate-and-classify-normal-distributions मैटलैब कोड])

===ज्यामितीय या गुणात्मक क्षण ===

लॉग-सामान्य वितरण का ज्यामितीय माध्य है <math>\operatorname{GM}[X] = e^\mu = \mu^*</math>. यह माध्यिका के बराबर होता है। [[ज्यामितीय मानक विचलन]] है <math>\operatorname{GSD}[X] = e^{\sigma} = \sigma^*</math>.<ref name="ReferenceA">{{cite journal |last1=Kirkwood |first1=Thomas BL |title=Geometric means and measures of dispersion |journal=Biometrics |date=Dec 1979 |volume=35 |issue=4 |pages=908–9|jstor=2530139 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Limpert |first1=E |last2=Stahel |first2=W |last3=Abbt |first3=M |title=Lognormal distributions across the sciences: keys and clues |journal=BioScience |year=2001 |volume=51 |issue=5 |pages=341–352 |doi=10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2|doi-access=free }}</ref>

अंकगणितीय आँकड़ों के अनुरूप, एक ज्यामितीय विचरण को परिभाषित कर सकते है, <math>\operatorname{GVar}[X] = e^{\sigma^2}</math>द्वारा, और सापेक्ष मानक विचलन<ref name="ReferenceA" /> को<math>\operatorname{GCV}[X] = e^{\sigma} - 1</math>, द्वारा प्रस्थापित किया गया है। लॉग-सामान्य आंकड़े में गुणात्मक भिन्नता का वर्णन करने के लिए, इस शब्द का अभिप्रेत सापेक्ष मानक विचलन के अनुरूप होना था, लेकिन जीसीवी की इस परिभाषा का आकलन के रूप में कोई सैद्धांतिक आधार <math>\operatorname{CV}</math> स्वयं नहीं है (सापेक्ष मानक विचलन भी देखें)।

ध्यान दें कि ज्यामितीय माध्य अंकगणितीय माध्य से छोटा होता है। यह एएम-जीएम असमानता के कारण होता है और लघुगणक के अवतल फलन होने का परिणाम है। वास्तव में,

: <math>\operatorname{E}[X] = e^{\mu + \frac12 \sigma^2} = e^{\mu} \cdot \sqrt{e^{\sigma^2}} = \operatorname{GM}[X] \cdot \sqrt{\operatorname{GVar}[X]}.</math><ref name="Acoustic Stimuli Revisited 2016">{{cite journal |last1=Heil P|first1=Friedrich B|title=Onset-Duration Matching of Acoustic Stimuli Revisited: Conventional Arithmetic vs. Proposed Geometric Measures of Accuracy and Precision|journal=Frontiers in Psychology|volume=7|pages=2013|doi=10.3389/fpsyg.2016.02013|pmid=28111557|pmc=5216879|year=2017|doi-access=free}}</ref>
गणितीय वित्त में, शब्द <math>e^{-\frac12\sigma^2}</math>को कभी-कभी उत्तलता सुधार के रूप में व्याख्या किया जाता है। [[स्टोचैस्टिक कैलकुलस]] के दृष्टिकोण से, यह वही सुधार शब्द है जो ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए गणित में, इतो का लेम्मा या इतो का सूत्र में है।

=== अंकगणितीय क्षण ===

किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या {{math|''n''}} के लिए, लॉग-सामान्य रूप से वितरित चर {{math|''X''}} का n-वें क्षण द्वारा दिया गया है<ref name=JKB/>:  <math>\operatorname{E}[X^n] = e^{n\mu + \frac12n^2\sigma^2}.</math>

विशेष रूप से, अंकगणितीय माध्य, अपेक्षित वर्ग, अंकगणितीय विचरण, और अंकगणितीय मानक विचलन एक लॉग-सामान्य रूप से वितरित चर {{math|''X''}} क्रमशः द्वारा दिया जाता हैं:<ref name=":1" />

:<math>\begin{align}
  \operatorname{E}[X] & = e^{\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2}, \\[4pt]
  \operatorname{E}[X^2] & = e^{2\mu + 2\sigma^2}, \\[4pt]
  \operatorname{Var}[X] & = \operatorname{E}[X^2] - \operatorname{E}[X]^2 = (\operatorname{E}[X])^2(e^{\sigma^2} - 1) = e^{2\mu + \sigma^2} (e^{\sigma^2} - 1), \\[4pt]
  \operatorname{SD}[X] & = \sqrt{\operatorname{Var}[X]} = \operatorname{E}[X] \sqrt{e^{\sigma^2} - 1}
  = e^{\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2}\sqrt{e^{\sigma^2} - 1},
  \end{align}</math>
अंकगणितीय सापेक्ष मानक विचलन <math>\operatorname{CV}[X]</math> का अनुपात <math>\tfrac{\operatorname{SD}[X]}{\operatorname{E}[X]}</math> है। लॉग-सामान्य वितरण के लिए यह समान है<ref name=":2" />:

<math>\operatorname{CV}[X] = \sqrt{e^{\sigma^2} - 1}.</math>

इस अनुमान को कभी-कभी  इसके ज्यामितीय विचरण के उपयोग के कारण ज्यामितीय सीवी (जीसीवी) के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>Sawant,S.; Mohan, N. (2011) [http://pharmasug.org/proceedings/2011/PO/PharmaSUG-2011-PO08.pdf "FAQ: Issues with Efficacy Analysis of Clinical Trial Data Using SAS"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110824094357/http://pharmasug.org/proceedings/2011/PO/PharmaSUG-2011-PO08.pdf |date=24 August 2011 }}, ''PharmaSUG2011'', Paper PO08</ref><ref>{{cite journal | last1 = Schiff | first1 = MH | display-authors = etal   | year = 2014 | title =  Head-to-head, randomised, crossover study of oral versus subcutaneous methotrexate in patients with rheumatoid arthritis: drug-exposure limitations of oral methotrexate at doses >=15 mg may be overcome with subcutaneous administration| journal = Ann Rheum Dis | volume = 73| issue = 8| pages = 1–3 | doi = 10.1136/annrheumdis-2014-205228 | pmid = 24728329 | pmc = 4112421}}</ref> अंकगणितीय मानक विचलन के विपरीत, अंकगणितीय सापेक्ष मानक विचलन अंकगणितीय माध्य से स्वतंत्र है।

अंकगणित माध्य और अंकगणितीय विचलन ज्ञात होने पर मापदंडों {{math|''μ''}} और {{math|''σ''}} प्राप्त किए जा सकते हैं:

: <math>\begin{align}
\mu &= \ln \left(\frac{\operatorname{E}[X]^2}{\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}}\right) = \ln \left( \frac{\operatorname{E}[X]^2}{\sqrt{\operatorname{Var}[X] + \operatorname{E}[X]^2}} \right), \\[4pt]
  \sigma^2 &=  \ln \left(\frac{\operatorname{E}[X^2]}{\operatorname{E}[X]^2}\right) =  \ln \left(1 + \frac{\operatorname{Var}[X]}{\operatorname{E}[X]^2}\right).
  \end{align}</math>
संभाव्यता वितरण विशिष्ट रूप से क्षणों {{math|1=E[''X''<sup>''n''</sup>] = e<sup>''nμ'' + {{sfrac|1|2}}''n''<sup>2</sup>''σ''<sup>2</sup></sup>}} द्वारा निर्धारित नहीं होता है {{math|''n'' ≥ 1}}. के लिए। अर्थात्, समान क्षणों के साथ अन्य वितरण उपस्थित होते।<ref name="JKB" />वास्तव में, लॉग-सामान्य वितरण के समान क्षणों के साथ वितरण की एक पूरी श्रेणी होती है।
=== मोड, माध्यिका, क्वांटाइल्स ===
[[File:Comparison mean median mode.svg|thumb|upright=1.25|विभिन्न [[तिरछापन]] के साथ दो लॉग-सामान्य वितरणों के माध्य, माध्यिका और [[मोड (सांख्यिकी)]] की तुलना।]]मोड (सांख्यिकी) संभाव्यता घनत्व फलन का सार्वत्रिक अधिकतम बिंदु है। विशेष रूप से, समीकरण को हल करके <math>(\ln f)'=0</math>, हमें वह मिलता है:

: <math>\operatorname{Mode}[X] = e^{\mu - \sigma^2}.</math>
[[लघुगणक परिवर्तन]] चर के पश्चात से <math>Y = \ln X</math> का एक सामान्य वितरण है, और मात्रात्मक को एकदिष्ट परिवर्तनों के तहत संरक्षित किया जाता है, मात्रात्मक <math>X</math> हैं

: <math>q_X(\alpha) = e^{\mu+\sigma q_\Phi(\alpha)} =\mu^* (\sigma^*)^{q_\Phi(\alpha)},</math>
जहां <math>q_\Phi(\alpha)</math> मानक सामान्य वितरण का परिमाण है।

विशेष रूप से, एक लॉग-सामान्य वितरण का माध्य इसके गुणक माध्य के बराबर होता है,<ref>{{cite book|first1=Leslie E. |last1=Daly |first2=Geoffrey Joseph |last2=Bourke |year=2000 |title=Interpretation and uses of medical statistics |journal=Journal of Epidemiology and Community Health |volume=46 |issue=3 |edition=5th |publisher=Wiley-Blackwell |isbn=978-0-632-04763-5 |page=89 |doi=10.1002/9780470696750|pmc=1059583 }}</ref>
:<math>\operatorname{Med}[X] = e^\mu = \mu^*.</math>
=== आंशिक अपेक्षा ===

एक यादृच्छिक चर की आंशिक अपेक्षा <math>X</math> एक प्रारंभ के संबंध में <math>k</math> के रूप में परिभाषित किया गया है

:<math> g(k) =  \int_k^\infty x f_X(x \vert X > k)\, dx  . </math>
वैकल्पिक रूप से, [[सशर्त अपेक्षा]] की परिभाषा का उपयोग करके, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है <math>g(k)=\operatorname{E}[X\mid X>k] P(X>k)</math>. लॉग-सामान्य सांयोगिक चर के लिए, आंशिक अपेक्षा इसके द्वारा दी जाती है:

:<math>g(k) = \int_k^\infty x f_X(x \vert X > k)\, dx  = e^{\mu+\tfrac{1}{2} \sigma^2}\, \Phi\!\left(\frac{\mu+\sigma^2-\ln k} \sigma \right) </math>
जहां <math>\Phi</math> सामान्य वितरण या गॉसियन वितरण है। सूत्र की व्युत्पत्ति वार्ता पृष्ठ में दी गई है। आंशिक अपेक्षा सूत्र में [[बीमा]] और अर्थशास्त्र अनुप्रयोग हैं, इसका उपयोग ब्लैक-स्कोल्स सूत्र के लिए आंशिक अंतर समीकरण को हल करने में किया जाता है।

=== सशर्त अपेक्षा ===

लॉग-सामान्य यादृच्छिक चर की सशर्त अपेक्षा <math>X</math>- प्रारंभ के संबंध में <math>k</math>—इसकी आंशिक अपेक्षा को उस सीमा में होने की संचयी संभावना से विभाजित करता है:

:<math>\begin{align}
E[X\mid X<k] & =e^{\mu +\frac{\sigma^2}{2}}\cdot \frac{\Phi \left[\frac{\ln(k)-\mu -\sigma^2}{\sigma} \right]}{\Phi \left[\frac{\ln(k)-\mu}{\sigma} \right]} \\[8pt]
E[X\mid X\geqslant k] &=e^{\mu +\frac{\sigma^2}{2}}\cdot \frac{\Phi \left[\frac{\mu +\sigma^2-\ln(k)} \sigma \right]}{1-\Phi \left[\frac{\ln(k)-\mu}{\sigma}\right]} \\
[8pt]
E[X\mid X\in [k_1,k_2]] &=e^{\mu +\frac{\sigma^2}{2}}\cdot 
\frac{
  \Phi \left[\frac{\ln(k_2)-\mu -\sigma^2} \sigma \right]-\Phi \left[\frac{\ln(k_1)-\mu -\sigma^2} \sigma \right]
}{
  \Phi \left[\frac{\ln(k_2)-\mu}{\sigma}\right]-\Phi \left[\frac{\ln(k_1)-\mu}{\sigma}\right]
}
\end{align}</math>
=== वैकल्पिक मानकीकरण ===
<math>\mu, \sigma</math> या <math>\mu^*, \sigma^*</math> द्वारा लक्षण वर्णन के अतिरिक्त, लॉग-सामान्य वितरण को मानकीकरण करने के कई उपाय हैं। [[ProbOnto|प्रोबऑन्टो]], संभाव्यता वितरण के ज्ञान का आधार और ऑन्कोलॉजी<ref>{{cite web |url=http://www.probonto.org |title=ProbOnto |access-date=1 July 2017}}</ref><ref>{{cite journal|pmid=27153608 | doi=10.1093/bioinformatics/btw170 | pmc=5013898  | volume=32 | issue=17 | pages=2719–21 | title=ProbOnto: ontology and knowledge base of probability distributions | year=2016 | journal=Bioinformatics | last1 = Swat | first1 = MJ | last2 = Grenon | first2 = P | last3 = Wimalaratne | first3 = S}}</ref> ऐसे सात रूपों को सूचीबद्ध करता है: [[File:LogNormal17.jpg|thumb|400px|लॉग-नॉर्मल वितरित के पैरामीटराइजेशन का ओवरव्यू।]]
*
*लॉग-स्तर पर माध्य, μ और मानक विचलन, σ, दोनों के साथ लॉग-सामान्य 1(μ,σ) <ref name="Forbes">Forbes et al. Probability Distributions (2011), John Wiley & Sons, Inc.</ref>
*:<math>P(x;\boldsymbol\mu,\boldsymbol\sigma)=\frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left[-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right]</math>
* लॉग-सामान्य 2(μ,υ) माध्य, μ और विचरण के साथ, υ, दोनों लॉग-स्तर पर
*:<math>P(x;\boldsymbol\mu,\boldsymbol {v})=\frac{1}{x \sqrt{v} \sqrt{2 \pi}} \exp\left[-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2 v}\right]</math>
* लॉग-सामान्य 3(m,σ) मध्यिका के साथ, m, प्राकृतिक पैमाने पर और मानक विचलन, σ, लॉग-पैमाने पर<ref name="Forbes" />
*<math>P(x;\boldsymbol m,\boldsymbol \sigma) =\frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left[-\frac{\ln^2(x/m)}{2 \sigma^2}\right]</math>
*
*लॉग-सामान्य 4(m,सी वी) माध्यिका, m, और भिन्नता के गुणांक, सी वी, दोनों के साथ प्राकृतिक पैमाने पर
*:<math>P(x;\boldsymbol m,\boldsymbol {cv})= \frac{1}{x \sqrt{\ln(cv^2+1)} \sqrt{2 \pi}} \exp\left[-\frac{\ln^2(x/m)}{2\ln(cv^2+1)}\right]</math>
* लॉग-सामान्य 5(μ,τ) माध्य, μ और सटीक, τ, दोनों के साथ लॉग-पैमाने पर<ref>Lunn, D. (2012). The BUGS book: a practical introduction to Bayesian analysis. Texts in
statistical science. CRC Press.</ref>
*:<math>P(x;\boldsymbol\mu,\boldsymbol \tau)=\sqrt{\frac{\tau}{2 \pi}} \frac{1}{x} \exp\left[-\frac{\tau}{2}(\ln x-\mu)^2\right]</math>
* लॉग-सामान्य 6 (m,σg) माध्यिका, मी और ज्यामितीय मानक विचलन, σ<sub>g</sub>, दोनों के साथ प्राकृतिक पैमाने पर<ref>{{cite journal | last1 = Limpert | first1 = E. | last2 = Stahel | first2 = W. A. | last3 = Abbt | first3 = M. | year = 2001 | title = Log-normal distributions across the sciences: Keys and clues | journal = BioScience | volume = 51 | issue = 5| pages = 341–352 | doi = 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 | doi-access = free }}</ref>
*:<math>P(x;\boldsymbol m,\boldsymbol {\sigma_g})=\frac{1}{x \ln(\sigma_g)\sqrt{2 \pi}} \exp\left[-\frac{\ln^2(x/m)}{2 \ln^2(\sigma_g)}\right]</math>
* लॉग-सामान्य(μ<sub>N</sub>, पी<sub>N</sub>) माध्य के साथ, μ<sub>N</sub>, और मानक विचलन, σ<sub>N</sub>, दोनों प्राकृतिक पैमाने पर<ref>{{cite journal | last1 = Nyberg | first1 = J. | display-authors = etal | year = 2012 | title = PopED - An extended, parallelized, population optimal design tool | journal = Comput Methods Programs Biomed | volume = 108 | issue = 2| pages = 789–805 | doi = 10.1016/j.cmpb.2012.05.005 | pmid = 22640817 }}</ref>
*:<math>P(x;\boldsymbol {\mu_N},\boldsymbol {\sigma_N})= \frac{1}{x \sqrt{2 \pi \ln\left(1+\sigma_N^2/\mu_N^2\right)}} \exp\left(-\frac{\Big[ \ln x - \ln\frac{\mu_N}{\sqrt{1+\sigma_N^2/\mu_N^2}}\Big]^2}{2\ln(1+\sigma_N^2/\mu_N^2)}\right)</math>
==== पुन: मानकीकरण के उदाहरण ====
उस स्थिति पर विचार करें जब कोई दो अलग-अलग सर्वोत्तम डिज़ाइन उपकरण का उपयोग करके एक प्रतिरूप चलाना चाहेगा, उदाहरण के लिए पीएफआईएम<ref>{{cite journal | last1 = Retout | first1 = S | last2 = Duffull | first2 = S | last3 = Mentré | first3 = F | year = 2001 | title = Development and implementation of the population Fisher information matrix for the evaluation of population pharmacokinetic designs | journal = Comp Meth Pro Biomed | volume = 65 | issue = 2| pages = 141–151 | doi = 10.1016/S0169-2607(00)00117-6 | pmid = 11275334 }}</ref> और पॉपपेड।<ref>The PopED Development Team (2016). PopED Manual, Release version 2.13. Technical report, Uppsala University.</ref> पूर्व क्रमशः एलएन2, पश्चात वाले एलएन7 के मानकीकरण का समर्थन करता है। इसलिए, पुन: मानकीकरण की आवश्यकता है, अन्यथा दो उपकरण अलग-अलग परिणाम देंगे।

संक्र्रांति के लिए <math>\operatorname{LN2}(\mu, v) \to \operatorname{LN7}(\mu_N, \sigma_N)</math> निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं <math display="inline">\mu_N = \exp(\mu+v/2) </math> और <math display="inline">\sigma_N = \exp(\mu+v/2)\sqrt{\exp(v)-1}</math>.

संक्र्रांति के लिए <math>\operatorname{LN7}(\mu_N, \sigma_N) \to \operatorname{LN2}(\mu, v)</math> निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं <math display="inline">\mu = \ln\left( \mu_N / \sqrt{1+\sigma_N^2/\mu_N^2} \right) </math> और <math display="inline"> v = \ln(1+\sigma_N^2/\mu_N^2)</math>.

शेष सभी पुनः-मानकीकरण सूत्र परियोजना की वेबसाइट पर विनिर्देश प्रलेख में पाए जा सकते हैं।<ref name="probontoWebsite">ProbOnto website, URL: http://probonto.org</ref>
=== एकाधिक, पारस्परिक, शक्ति ===
* एक एकाधिक से गुणा: यदि <math>X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math> तब <math>a X \sim \operatorname{Lognormal}( \mu + \ln a,\ \sigma^2)</math> के लिए <math> a > 0. </math>
* पारस्परिक: यदि <math>X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math> तब <math>\tfrac{1}{X} \sim \operatorname{Lognormal}(-\mu,\ \sigma^2).</math>
* शक्ति: यदि <math>X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math> तब <math>X^a \sim \operatorname{Lognormal}(a\mu,\ a^2 \sigma^2)</math> के लिए <math>a \neq 0.</math>

=== स्वतंत्र, लॉग-सामान्य यादृच्छिक चर का गुणन और विभाजन ===
यदि दो स्वतंत्र, लॉग-सामान्य चर <math>X_1</math> और  <math>X_2</math> गुणा [विभाजित] हैं, उत्पाद [अनुपात] मापदंडों के साथ फिर से लॉग-सामान्य है <math>\mu=\mu_1+\mu_2</math> [<math>\mu=\mu_1-\mu_2</math>] और <math>\sigma</math>, जहां <math>\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2</math>. यह आसानी से  <math>n</math> जैसे चर उत्पाद के लिए सामान्यीकृत है।

सामान्यतः अधिक, यदि <math>X_j \sim \operatorname{Lognormal} (\mu_j, \sigma_j^2)</math> हैं <math>n</math> स्वतंत्र, लॉग-सामान्य रूप से वितरित चर, फिर <math>Y = \textstyle\prod_{j=1}^n X_j \sim \operatorname{Lognormal} \Big(\textstyle \sum_{j=1}^n\mu_j,\ \sum_{j=1}^n \sigma_j^2 \Big).</math>है।

=== गुणक केंद्रीय सीमा प्रमेय ===
{{See also|जिब्रात का नियम}}
का ज्यामितीय या गुणक माध्य <math>n</math> स्वतंत्र, समान रूप से वितरित, सकारात्मक यादृच्छिक चर <math>X_i</math> दिखाता है, के लिए <math>n \to\infty</math> मापदंडों के साथ लगभग एक लॉग-सामान्य वितरण <math>\mu = E[\ln(X_i)]</math> और <math>\sigma^2 = \mbox{var}[\ln(X_i)]/n</math>, मानते हुए <math>\sigma^2</math> परिमित है।

वास्तव में, यादृच्छिक चरों को समान रूप से वितरित करने की आवश्यकता नहीं है। के वितरण के लिए पर्याप्त है <math>\ln(X_i)</math> सभी के पास परिमित प्रसरण है और केंद्रीय सीमा प्रमेय के कई रूपों में से किसी एक की अन्य शर्तों को पूरा करते हैं।

इसे सामान्यतः जिब्रात के नियम के रूप में जाना जाता है।

=== अन्य ===

लॉग-सामान्य वितरण से उत्पन्न होने वाले आंकड़े के एक सेट में एक सममित [[लॉरेंज वक्र]] होता है ([[लॉरेंज विषमता गुणांक]] भी देखें)।<ref name=EcolgyArticle>{{cite journal
  | doi = 10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2
  | last1 = Damgaard
  | first1 = Christian
  | first2 = Jacob |last2=Weiner
  | title = Describing inequality in plant size or fecundity
  | journal = Ecology
  | year = 2000  | volume = 81 | issue = 4 | pages = 1139–1142
}}</ref>

हार्मोनिक <math>H</math>, ज्यामितीय <math>G</math> और अंकगणित <math>A</math> इस वितरण के द्वारा संबंधित हैं;<ref name="Rossman1990">{{cite journal|last=Rossman |first=Lewis A |date=July 1990 |title=Design stream flows based on harmonic means |journal=Journal of Hydraulic Engineering |volume=116 |issue=7 |pages=946–950 |doi=10.1061/(ASCE)0733-9429(1990)116:7(946)}}</ref> ऐसा संबंध द्वारा दिया गया है

: <math>H = \frac{G^2} A.</math>
लॉग-सामान्य वितरण [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]] हैं,<ref name=OlofThorin1978LNInfDivi/>लेकिन वे [[स्थिर वितरण]] नहीं हैं, जिन्हें आसानी से निकाला जा सकता है।<ref name=Gao/>
== संबंधित वितरण ==
* यदि <math>X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> एक सामान्य वितरण है, फिर <math>\exp(X) \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2).</math>
* यदि <math>X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math> लॉग-सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तब <math>\ln(X) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> एक सामान्य यादृच्छिक चर है।
* <math>X_j \sim \operatorname{Lognormal}(\mu_j, \sigma_j^2)</math> स्वतंत्र लॉग-सामान्य रूप से वितरित चर हो सकते हैं जिनमें संभवतः भिन्नता हो <math>\sigma</math> और <math>\mu</math> मापदंडों, और <math display="inline">Y = \sum_{j=1}^n X_j</math>. का वितरण <math>Y</math> की कोई बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं है, लेकिन एक अन्य लॉग-सामान्य वितरण द्वारा यथोचित अनुमान लगाया जा सकता है की <math>Z</math> दाहिने अंतिम भाग पर है।<ref name="Asmussen2">{{cite journal| first1=S. |last1=Asmussen |first2=L. |last2=Rojas-Nandayapa |title=Asymptotics of Sums of Lognormal Random Variables with Gaussian Copula |journal=Statistics and Probability Letters |volume=78 |issue=16 |pages=2709–2714 |year=2008 |doi=10.1016/j.spl.2008.03.035 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00595951/file/PEER_stage2_10.1016%252Fj.spl.2008.03.035.pdf }}</ref> संभाव्यता घनत्व फलन की विशेषता 0 के निकटतम में<ref name=Gao/> होती है और यह किसी लॉग-सामान्य वितरण के समान नहीं है। एल.एफ. फेंटन के कारण सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला सन्निकटन (लेकिन पहले आर.आई. विल्किंसन द्वारा कहा गया था और मार्लो द्वारा गणितीय औचित्य<ref name="Marlow">{{cite journal |first=NA. |last=Marlow |title=A normal limit theorem for power sums of independent normal random variables |journal=Bell System Technical Journal |volume=46 |issue=9 |pages=2081–2089 |date=Nov 1967 |doi=10.1002/j.1538-7305.1967.tb04244.x}}</ref>) एक अन्य लॉग-सामान्य वितरण के माध्य और विचरण से मेल करके प्राप्त किया जाता है:<math display="block">\begin{align}
  \sigma^2_Z &= \ln\!\left[ \frac{\sum e^{2\mu_j+\sigma_j^2}(e^{\sigma_j^2}-1)}{(\sum e^{\mu_j+\sigma_j^2/2})^2} + 1\right], \\
  \mu_Z &= \ln\!\left[ \sum e^{\mu_j+\sigma_j^2/2} \right] - \frac{\sigma^2_Z}{2}.
  \end{align}</math> स्थिति में यह सब <math>X_j</math> एक ही विचरण मापदंडों है <math>\sigma_j=\sigma</math>, ये सूत्र सरल करते हैं <math display="block">\begin{align}
  \sigma^2_Z &= \ln\!\left[ (e^{\sigma^2}-1)\frac{\sum e^{2\mu_j}}{(\sum e^{\mu_j})^2} + 1\right], \\
  \mu_Z &= \ln\!\left[ \sum e^{\mu_j} \right] + \frac{\sigma^2}{2} -  \frac{\sigma^2_Z}{2}.
  \end{align}</math>
अधिक सटीक समीपता के लिए, संचयी वितरण फलन, पीडीएफ और सही अंतिम भाग का अनुमान लगाने के लिए [[मोंटे कार्लो विधि]] का उपयोग कर सकते हैं।<ref name="BotLec2017">{{cite conference 
|title=Accurate computation of the right tail of the sum of dependent log-normal variates 
|last1=Botev |first1=Z. I. 
|last2=L'Ecuyer |first2=P.  
|date=2017 
|publisher=IEEE
|isbn=978-1-5386-3428-8
|book-title= 2017 Winter Simulation Conference (WSC), 3rd–6th Dec 2017  
|pages=1880–1890 
|location=Las Vegas, NV, USA
|doi= 10.1109/WSC.2017.8247924 
|arxiv=1705.03196}}
</ref><ref name="AGL2016">{{cite arXiv 
|last1=Asmussen
|first1=A.
|last2=Goffard
|first2=P.-O. 
|last3=Laub
|first3=P. J.
|date=2016 
|title=Orthonormal polynomial expansions and lognormal sum densities
|eprint=1601.01763v1|class=math.PR
}}
</ref>
सहसंबद्ध लॉग-सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग भी लॉग-सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता  हैं। <math display="block">\begin{align}
	S_+ &= \operatorname{E}\left[\sum_i X_i \right] = \sum_i 
	\operatorname{E}[X_i] = 
	\sum_i e^{\mu_i + \sigma_i^2/2}
	\\
	\sigma^2_{Z} &= 1/S_+^2 \, \sum_{i,j}
	  \operatorname{cor}_{ij} \sigma_i \sigma_j \operatorname{E}[X_i] \operatorname{E}[X_j] =
	  1/S_+^2 \, \sum_{i,j}
	  \operatorname{cor}_{ij} \sigma_i \sigma_j e^{\mu_i+\sigma_i^2/2} 
	  e^{\mu_j+\sigma_j^2/2} 
	\\
	\mu_Z &= \ln\left( S_+ \right) - \sigma_{Z}^2/2 
\end{align}</math>
* यदि <math>X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math> तब <math>X+c</math> कहा जाता है कि समर्थन के साथ तीन-फलन लॉग-सामान्य वितरण है <math>x\in (c, +\infty)</math>.<ref name="Sangal1970">{{cite journal|first1=B. |last1=Sangal |first2=A. |last2=Biswas |title=The 3-Parameter Lognormal Distribution Applications in Hydrology |journal=Water Resources Research |volume=6 |issue=2 |pages=505–515 |year=1970 |doi=10.1029/WR006i002p00505}}</ref> <math>\operatorname{E}[X+c] = \operatorname{E}[X] + c</math>, <math>\operatorname{Var}[X+c] = \operatorname{Var}[X]</math>
* कहा जाता है कि समर्थन के साथ तीन-फलन प्रारंभिक-सामान्य वितरण है।<ref name="Johnson1949">{{cite journal |author-link=Norman Lloyd Johnson |last=Johnson |first=N. L. |date=1949 |title=Systems of Frequency Curves Generated by Methods of Translation| journal=[[Biometrika]] |volume=36 |issue=1/2 |pages=149–176 |jstor=2332539 |doi=10.2307/2332539| pmid=18132090 }}</ref>
* यदि <math>X\mid Y \sim \operatorname{Rayleigh}(Y)</math> साथ <math> Y \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math>, तब <math> X \sim \operatorname{Suzuki}(\mu, \sigma)</math> ([[सुजुकी वितरण]])।
* लॉग-सामान्य के लिए एक विकल्प जिसका समाकलित तत्व अधिक प्राथमिक फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है<ref>{{Cite journal | last1 = Swamee | first1 = P. K. | title = Near Lognormal Distribution | doi = 10.1061/(ASCE)1084-0699(2002)7:6(441) | journal = Journal of Hydrologic Engineering | volume = 7 | issue = 6 | pages = 441–444 | year = 2002 }}</ref> सीडीएफ के लिए एक समीपता प्राप्त करने के लिए उसे [[रसद वितरण]] के आधार पर प्राप्त किया जा सकता है<math display="block"> F(x;\mu,\sigma) = \left[\left(\frac{e^\mu}{x}\right)^{\pi/(\sigma \sqrt{3})} + 1\right]^{-1}.</math> यह एक [[लॉग-लॉजिस्टिक वितरण]] है।

== सांख्यिकीय निष्कर्ष ==

=== मापदंडों का अनुमान ===

लॉग-सामान्य वितरण मापदंडों μ और σ के अधिकतम संभावना अनुमानक का निर्धारण करने के लिए, हम सामान्य वितरण के समान प्रक्रिया का उपयोग कर सकते हैं। ध्यान दें कि
<math display="block">L(\mu, \sigma) = \prod_{i=1}^n \frac 1 {x_i} \varphi_{\mu,\sigma} (\ln x_i),</math>
जहां <math>\varphi</math> सामान्य वितरण का घनत्व फलन है <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>. इसलिए, लॉग-संभावित फलन है
<math display="block">
\ell (\mu,\sigma \mid x_1, x_2, \ldots, x_n) = - \sum _i \ln x_i + \ell_N (\mu, \sigma \mid \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n).</math>
चूंकि पहला शब्द μ और σ के संबंध में स्थिर है, दोनों लघुगणक संभावना फलन हैं, <math>\ell</math> और <math>\ell_N</math>, उसी के साथ अपने अधिकतम तक पहुँचें <math>\mu</math> और <math>\sigma</math>। इसलिए, अवलोकनों के लिए सामान्य वितरण के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक समान हैं <math>\ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n)</math>,
<math display="block">\widehat \mu = \frac {\sum_i \ln x_i}{n}, \qquad \widehat \sigma^2 = \frac {\sum_i \left( \ln x_i - \widehat \mu \right)^2} {n}.</math>
परिमित ''n'' के लिए, अनुमानक के लिए <math>\mu</math> निष्पक्ष है, लेकिन एक के लिए <math>\sigma</math> पक्षपाती है। सामान्य वितरण के लिए, एक निष्पक्ष अनुमानक के लिए समीकरण में हर n को n−1 से प्रतिस्थापित करके <math>\sigma</math> प्राप्त किया जा सकता है <math>\widehat\sigma^2</math> में। 

जब मूलभूत स्तंभ <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> उपलब्ध नहीं हैं, लेकिन प्रतिरूप का मतलब है <math>\bar x</math> और मानक विचलन एस है, तो संबंधित मापदंडों को निम्नलिखित सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो अपेक्षा के लिए समीकरणों को हल करने से प्राप्त होते हैं <math>\operatorname{E}[X]</math> और विचरण <math>\operatorname{Var}[X]</math> के लिए <math>\mu</math> और <math>\sigma</math>:
<math display="block"> \mu = \ln\left(\bar x\ \Big/ \ \sqrt{1+\frac{\widehat\sigma^2}{\bar x^2}}\right), 
\qquad \sigma^2 = \ln\left(1 + \frac{\widehat\sigma^2}{\bar x^2}\right).</math>
=== सांख्यिकी ===
लॉग-सामान्य रूप से वितरित आंकड़े का विश्लेषण करने का सबसे कुशल उपाए लघुगणकीय रूप से रूपांतरित आंकड़े के लिए सामान्य वितरण के आधार पर प्रसिद्ध विधियों को लागू करना है और यदि उपयुक्त हो तो परिणामों को वापस-परिवरतित करना है।

=== तितर बितर अंतराल ===
तितर-बितर अंतराल द्वारा एक बुनियादी उदाहरण दिया जाता है: सामान्य वितरण के लिए, अंतराल <math>[\mu-\sigma,\mu+\sigma]</math> में संभाव्यता (या एक बड़े नमूने) का लगभग दो तिहाई (68%) होता है, और <math>[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]</math> में 95% होता हैं। इसलिए, लॉग-सामान्य वितरण के लिए,
<math display="block">[\mu^*/\sigma^*,\mu^*\cdot\sigma^*]=[\mu^* {}^\times\!\!/ \sigma^*]</math> 2/3 सम्मलित है, और
<math display="block">[\mu^*/(\sigma^*)^2,\mu^*\cdot(\sigma^*)^2] = [\mu^* {}^\times\!\!/ (\sigma^*)^2]</math> संभावना का 95% सम्मलित है। अनुमानित मापदंडों का उपयोग करते हुए, इन अंतरालों में आंकड़ों का लगभग समान प्रतिशत होना चाहिए।

=== मुक्त पैरामीटर σ को हल करने के लिए एन्ट्रापी का चरम सिद्धांत===
अनुप्रयोगों में, <math>\sigma</math> निर्धारित करने के लिए एक मापदंडों है। उत्पादन और विसरण द्वारा संतुलित बढ़ती प्रक्रियाओं के लिए, शैनन एंट्रॉपी के चरम सिद्धांत का उपयोग दर्शाता है कि<ref name="bai">{{cite journal| last1=Wu|first1=Ziniu| last2=Li|first2=Juan| last3=Bai|first3=Chenyuan| title=Scaling Relations of Lognormal Type Growth Process with an Extremal Principle of Entropy| journal=Entropy| volume=19| issue=56| year=2017| pages=1–14| doi=10.3390/e19020056| bibcode=2017Entrp..19...56W| doi-access=free}}</ref>

<math display="block">\sigma = \frac 1 \sqrt{6} </math>इसके पश्चात इस मान का उपयोग मोड़ बिंदु और लॉग-सामान्य वितरण के अधिकतम बिंदु के बीच कुछ स्केलिंग संबंध देने के लिए किया जा सकता है। यह संबंध प्राकृतिक लघुगणक के आधार से निर्धारित होता है, <math>e = 2.718\ldots</math>, और न्यूनतम सतह ऊर्जा सिद्धांत के लिए कुछ ज्यामितीय समानता प्रदर्शित करता है।

ये स्केलिंग संबंध कई विकास प्रक्रियाओं (महामारी फैलना, बूंदों के छींटे, जनसंख्या वृद्धि, बाथटब भंवर की घूमने की दर, भाषा वर्णों का वितरण, विक्षोभ का वेग प्रोफ़ाइल, आदि) की भविष्यवाणी करने के लिए उपयोगी हैं।उदाहरण के लिए, लॉग--सामान्य फलन के साथ <math>\sigma</math> छोटी बूंदों के प्रभाव और एक महामारी रोग के प्रसार के समय माध्यमिक रूप से उत्पादित बूंदों के आकार के साथ अच्छी तरह से फिट बैठता है। <ref name="wu" />

मूल्य <math display="inline">\sigma = 1 \big/ \sqrt{6}</math> का उपयोग ड्रेक समीकरण के लिए एक संभाव्य समाधान प्रदान करने के लिए किया जाता है।<ref name="Bloetscher">{{cite journal |last1=Bloetscher|first1=Frederick |title=Using predictive Bayesian Monte Carlo- Markov Chain methods to provide a probabilistic solution for the Drake equation |journal=Acta Astronautica
|volume=155|year=2019|pages=118–130 |doi=10.1016/j.actaastro.2018.11.033 |bibcode=2019AcAau.155..118B |s2cid=117598888}}</ref>
== घटना और अनुप्रयोग ==
प्राकृतिक परिघटनाओं के वर्णन में लॉग-सामान्य वितरण महत्वपूर्ण है। कई प्राकृतिक विकास प्रक्रियाएं कई छोटे प्रतिशत परिवर्तनों के संचय द्वारा संचालित होती हैं जो लॉग मापने पर योगात्मक हो जाती हैं। उपयुक्त नियमितता की शर्तों के तहत, परिणामी संचित परिवर्तनों का वितरण एक लॉग-सामान्य द्वारा तेजी से अच्छी तरह से अनुमानित होगा, जैसा कि "गुणात्मक केंद्रीय सीमा प्रमेय" पर ऊपर दिए गए अनुभाग में बताया गया है। रॉबर्ट जिब्रत (1904-1980) के पश्चात इसे जिब्राट के सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है, जिन्होंने इसे कंपनियों के लिए तैयार किया था।<ref>{{cite journal|jstor=2729692| last=Sutton |first=John |date=Mar 1997 |title=Gibrat's Legacy |journal=Journal of Economic Literature |volume=32 |issue=1 |pages=40–59}}</ref> यदि इन छोटे परिवर्तनों के संचय की दर समय के साथ भिन्न नहीं होती है, तो वृद्धि आकार से स्वतंत्र हो जाती है। यहां तक कि यदि यह धारणा सही नहीं है, तो समय के साथ बढ़ने वाली किसी भी उम्र में आकार का वितरण लॉग-सामान्य हो जाता है। परिणामस्वरूप, स्वस्थ व्यक्तियों में शारीरिक माप के लिए संदर्भ श्रेणी या संदर्भ अंतराल माध्य के बारे में एक सममित वितरण मानकर एक लॉग-सामान्य वितरण मानकर अधिक सटीक रूप से अनुमान लगाया जाता है।

एक दूसरा औचित्य इस अवलोकन पर आधारित है कि मौलिक प्राकृतिक नियम सकारात्मक चरों के गुणन और विभाजन को लागू करते हैं। उदाहरण परिणामी बल के साथ द्रव्यमान और दूरी को जोड़ने वाला सरल गुरुत्वाकर्षण नियम हैं, या एक समाधान में रसायनों की साम्य सांद्रता के लिए सूत्र है जो उत्पादों और उत्पादों की सांद्रता को जोड़ता है। सम्मलित चरों के लॉग-सामान्य वितरण को मानने से इन स्थितियों में सुसंगत प्रारूप बनते हैं।

निम्नलिखित उपखंडों में विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं।

=== मानव व्यवहार ===

* अंतरजाल चर्चा मंचों में पोस्ट की गई टिप्पणियों की लंबाई लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करती है।<ref>{{cite journal |last1=Pawel |first1=Sobkowicz|title=Lognormal distributions of user post lengths in Internet discussions - a consequence of the Weber-Fechner law? |journal=EPJ Data Science |year=2013|display-authors=etal}}</ref>
* ऑनलाइन लेखों (चुटकुले, समाचार आदि) पर उपयोगकर्ताओं का समय एक लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करता है।<ref>{{cite conference |last1=Yin|first1=Peifeng |last2=Luo|first2=Ping |last3=Lee|first3=Wang-Chien  |last4=Wang|first4=Min |title=Silence is also evidence: interpreting dwell time for recommendation from psychological perspective |conference=ACM International Conference on KDD |year=2013 |url=http://mldm.ict.ac.cn/platform/pweb/academicDetail.htm?id=16}}</ref>
* [[शतरंज]] के खेल की लंबाई लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करती है।<ref>{{cite web|url=http://chess.stackexchange.com/questions/2506/what-is-the-average-length-of-a-game-of-chess/4899#4899|title=What is the average length of a game of chess?|website=chess.stackexchange.com|access-date=14 April 2018}}</ref>
* एक मानक उत्तेजना से मेल खाने वाली ध्वनिक तुलना उत्तेजनाओं की प्रारंभ की अवधि एक लॉग-सामान्य वितरण का पालन करती है।<ref name="Acoustic Stimuli Revisited 2016"/>
*रूबिक घन हल करता है, दोनों सामान्य या व्यक्तिगत रूप से, लॉग-सामान्य वितरण का पालन करते प्रतीत होते हैं।
=== जीव विज्ञान और चिकित्सा ===

* जीवित ऊतक के आकार का माप (लंबाई, त्वचा क्षेत्र, वजन)।<ref>{{cite book
  | last = Huxley | first = Julian S.
  | year = 1932
  | title = Problems of relative growth
  | publisher = London
  | oclc = 476909537
  | isbn = 978-0-486-61114-3
  }}</ref>
* अत्यधिक संचारी महामारी के लिए, जैसे कि 2003 में सार्स, में यदि सार्वजनिक हस्तक्षेप नियंत्रण नीतियां सम्मलित हैं, तो अस्पताल में भर्ती स्थितियों की संख्या लॉग-सामान्य वितरण को बिना किसी मुक्त मापदंडों के संतुष्ट करने के लिए दिखाई जाती है और यदि एक एंट्रॉपी मान ली जाती है तो मानक विचलन [[एन्ट्रापी उत्पादन]] की अधिकतम दर के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जाता है।<ref>{{cite journal |last1=S. K. Chan |first1=Jennifer |last2=Yu |first2=Philip L. H. |title=Modelling SARS data using threshold geometric process |journal=Statistics in Medicine |date=2006 |volume=25 |issue=11 |pages=1826–1839 |doi=10.1002/sim.2376 |pmid=16345017 |s2cid=46599163 }}</ref>
* वृद्धि की दिशा में जैविक प्रतिरूप के अक्रिय उपांगों (बाल, पंजे, नाखून, दांत) की लंबाई।
* किसी भी जीनोमिक क्षेत्र के लिए सामान्यीकृत आरएनए-सेक रीडकाउंट को लॉग-सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है।
* [[प्रशांत बायोसाइंसेस|प्रशांत बायोसाइंसेज]] अनुक्रमण पढ़ने की लंबाई लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करती है।<ref>{{Cite journal|last1=Ono|first1=Yukiteru|last2=Asai|first2=Kiyoshi|last3=Hamada|first3=Michiaki|date=2013-01-01|title=PBSIM: PacBio reads simulator—toward accurate genome assembly|url=https://academic.oup.com/bioinformatics/article/29/1/119/273243|journal=Bioinformatics|language=en|volume=29|issue=1|pages=119–121|doi=10.1093/bioinformatics/bts649|pmid=23129296|issn=1367-4803|doi-access=free}}</ref>
* कुछ शारीरिक माप, जैसे कि वयस्क मनुष्यों का रक्तचाप (पुरुष/महिला उप-जनसंख्या पर अलग होने के पश्चात)।<ref>{{cite journal|last=Makuch|first=Robert W. |author2=D.H. Freeman |author3=M.F. Johnson|title=Justification for the lognormal distribution as a model for blood pressure|journal=Journal of Chronic Diseases|year=1979|volume=32|issue=3|pages=245–250|doi=10.1016/0021-9681(79)90070-5|pmid=429469 }}</ref>
*कई [[फार्माकोकाइनेटिक्स]] चर, जैसे कि सी अधिकतम, उन्मूलन [[जैविक आधा जीवन]] और [[उन्मूलन दर स्थिर]]।<ref>{{Cite journal|last1=Lacey|first1=L. F.|last2=Keene|first2=O. N.|last3=Pritchard|first3=J. F.|last4=Bye|first4=A.|date=1997-01-01|title=Common noncompartmental pharmacokinetic variables: are they normally or log-normally distributed?|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/10543409708835177|journal=Journal of Biopharmaceutical Statistics|language=en|volume=7|issue=1|pages=171–178|doi=10.1080/10543409708835177|pmid=9056596|issn=1054-3406}}</ref>
* तंत्रिका विज्ञान में, न्यूरॉन्स की आबादी में फायरिंग दरों का वितरण अधिकांशतः लगभग लॉग-सामान्य होता है। यह पहले कॉर्टेक्स और स्ट्रिएटम <ref>{{Cite conference|last1=Scheler|first1=Gabriele|last2=Schumann|first2=Johann|title=Diversity and stability in neuronal output rates|conference=36th Society for Neuroscience Meeting, Atlanta|date=2006-10-08}}</ref> में और पश्चात में हिप्पोकैम्पस और एंटोरहिनल कॉर्टेक्स,<ref>{{Cite journal|last1=Mizuseki|first1=Kenji|last2=Buzsáki|first2=György|date=2013-09-12|title=Preconfigured, skewed distribution of firing rates in the hippocampus and entorhinal cortex|journal=Cell Reports|volume=4|issue=5|pages=1010–1021|doi=10.1016/j.celrep.2013.07.039|issn=2211-1247|pmc=3804159|pmid=23994479}}</ref> और मस्तिष्क में कहीं देखा गया है।<ref>{{Cite journal|last1=Buzsáki|first1=György|last2=Mizuseki|first2=Kenji|date=2017-01-06|title=The log-dynamic brain: how skewed distributions affect network operations|journal=Nature Reviews. Neuroscience|volume=15|issue=4|pages=264–278|doi=10.1038/nrn3687|issn=1471-003X|pmc=4051294|pmid=24569488}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Wohrer|first1=Adrien|last2=Humphries|first2=Mark D.|last3=Machens|first3=Christian K.|date=2013-04-01|title=Population-wide distributions of neural activity during perceptual decision-making|journal=Progress in Neurobiology|volume=103|pages=156–193|doi=10.1016/j.pneurobio.2012.09.004|issn=1873-5118|pmid=23123501|pmc=5985929}}</ref>साथ ही,आंतरिक लाभ वितरण और सिनैप्टिक वजन वितरण लॉग-सामान्य<ref>{{Cite journal|last=Scheler|first=Gabriele|title=Logarithmic distributions prove that intrinsic learning is Hebbian|journal=F1000Research| doi=10.12688/f1000research.12130.2|date=2017-07-28|pmid=29071065|volume=6|pmc=5639933|page=1222}}</ref>भी प्रतीत होते हैं।
*ऑपरेटिंग-रूम प्रबंधन में, सर्जरी की अवधि का वितरण।
* जीवित कोशिकाओं के साइटोस्केलेटन में फ्रैक्चर के ऐवलैन्च के आकार में, लॉग-सामान्य वितरण दिखा रहा है, स्वस्थ लोगों की तुलना में कैंसर कोशिकाओं में काफी अधिक आकार के साथ। <ref>Polizzi, S., Laperrousaz, B., Perez-Reche, F. J., Nicolini, F. E., Satta, V. M., Arneodo, A., & Argoul, F. (2018). A minimal rupture cascade model for living cell plasticity. New Journal of Physics, 20(5), 053057. doi: https://doi.org/10.1088/1367-2630/aac3c7</ref>
=== रसायन विज्ञान ===
रसायन विज्ञान में, लॉग-सामान्य वितरण का उपयोग  [[पार्टिकल साइज़ डिस्ट्रीब्यूशन|पार्टिकल साइज वितरण]] और [[दाढ़ द्रव्यमान वितरण|मोलर द्रव्यमान वितरण]] को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है।

=== [[जल विज्ञान]] ===

*जल विज्ञान में, लॉग-सामान्य वितरण का उपयोग ऐसे चर के चरम मूल्यों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है जैसे दैनिक वर्षा और नदी निर्वहन मात्रा के मासिक और वार्षिक अधिकतम मूल्यों के लिए।<ref>{{cite book |last=Oosterbaan |first=R.J. |editor-last=Ritzema |editor-first=H.P. |chapter=6: Frequency and Regression Analysis |year=1994 |title=Drainage Principles and Applications, Publication 16 |publisher=International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI) |location=Wageningen, The Netherlands |pages=[https://archive.org/details/drainageprincipl0000unse/page/175 175–224] |chapter-url=http://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf |isbn=978-90-70754-33-4 |url=https://archive.org/details/drainageprincipl0000unse/page/175 }}</ref>
::दाईं ओर का प्रतिबिंब, [[CumFreq|कम फ्रीक]]  के साथ बनाई गई, वार्षिक अधिकतम एक-दिवसीय वर्षा के लिए लॉग-सामान्य वितरण को फिट करने का एक उदाहरण दिखाता है, जो [[द्विपद वितरण]] के आधार पर 90% [[आत्मविश्वास बेल्ट]] भी दिखाता है।<ref name=":0">[https://www.waterlog.info/cumfreq.htm CumFreq, free software for distribution fitting]</ref>
:: संचयी बारंबारता विश्लेषण के भाग के रूप में वर्षा के आंकड़ों को [[साजिश रचने की स्थिति|प्लॉटिंग पोजीशन]] द्वारा दर्शाया जाता है।

=== सामाजिक विज्ञान और जनसांख्यिकी ===

* अर्थशास्त्र में, इस बात के प्रमाण हैं कि 97% -99% जनसंख्या की [[आय]] सामान्य रूप से वितरित की जाती है।<ref>Clementi, Fabio; [[Mauro Gallegati|Gallegati, Mauro]] (2005) [http://ideas.repec.org/p/wpa/wuwpmi/0505006.html  "Pareto's law of income distribution: Evidence for Germany, the United Kingdom, and the United States"], EconWPA</ref> (उच्च आय वाले व्यक्तियों का वितरण पारेटो वितरण का अनुसरण करता है)।<ref>{{cite conference |arxiv = cond-mat/0202388 |title= Physics of Personal Income|last = Wataru|first = Souma|date= 2002-02-22|publisher= Springer |book-title=  Empirical Science of Financial Fluctuations: The Advent of Econophysics | doi=10.1007/978-4-431-66993-7 | editor-last= Takayasu | editor-first= Hideki }}</ref>
* यदि आय वितरण मानक विचलन के साथ लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करता है <math>\sigma</math>, तो गिनी गुणांक, सामान्यतः आय असमानता का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसकी गणना की जा सकती है <math>G = \operatorname{erf}\left(\frac{\sigma }{2 }\right)</math> जहां <math>\operatorname{erf}</math> त्रुटि फलन है, चूंकि <math> G=2 \Phi \left(\frac{\sigma }{\sqrt{2}}\right)-1</math>, जहां  <math>\Phi(x)</math> एक मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फलन है।
* [[वित्त]] में,  विशेष रूप से ब्लैक-स्कोल्स प्रारूप, विनिमय दरों, मूल्य सूचकांकों और शेयर बाजार सूचकांकों के लघुगणक में परिवर्तन को सामान्य माना जाता है।<ref>{{Cite journal | doi = 10.1086/260062| title = The Pricing of Options and Corporate Liabilities| journal = Journal of Political Economy| volume = 81| issue = 3| pages = 637| year = 1973| last1 = Black | first1 = F. | last2 = Scholes | first2 = M. | s2cid = 154552078}}</ref> (ये चर चक्रवृद्धि ब्याज की तरह व्यवहार करते हैं, साधारण ब्याज की तरह नहीं, और इसलिए गुणक हैं)। चूंकि, [[बेनोइट मंडेलब्रॉट]] जैसे कुछ गणितज्ञों ने तर्क दिया है<ref>{{cite book|last=Mandelbrot|first=Benoit|title=The (mis-)Behaviour of Markets |year=2004 |url=https://books.google.com/books?id=9w15j-Ka0vgC |publisher=Basic Books |isbn=9780465043552}}</ref> कि लॉग-लेवी वितरण, जिसमें [[भारी पूंछ]] होती है, एक अधिक उपयुक्त प्रारूप होता है, विशेष रूप से [[शेयर बाजार में गिरावट]] के विश्लेषण के लिए। वास्तव में, स्टॉक मूल्य वितरण सामान्यतः एक [[मोटी पूंछ]] प्रदर्शित करते हैं।<ref>Bunchen, P., ''Advanced Option Pricing'', University of Sydney coursebook, 2007</ref> स्टॉक मार्केट क्रैश के समय परिवर्तनों की मोटी पूंछ वितरण केंद्रीय सीमा प्रमेय की धारणाओं को अमान्य कर देता है।
* [[साइनोमेट्रिक्स]] में, दैनिक लेखों और पेटेंट के उद्धरणों की संख्या असतत लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करती है।<ref>{{cite journal |last1=Thelwall|first1=Mike|last2=Wilson|first2=Paul |title=Regression for citation data: An evaluation of different methods |journal=Journal of Informetrics |year=2014 |volume=8 |issue=4 |pages=963–971 |doi=10.1016/j.joi.2014.09.011|arxiv=1510.08877|s2cid=8338485}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Sheridan|first1=Paul|last2=Onodera|first2=Taku |title=A Preferential Attachment Paradox: How Preferential Attachment Combines with Growth to Produce Networks with Log-normal In-degree Distributions |journal=Scientific Reports |year=2020 |volume=8 |issue=1 |pages=2811 |doi=10.1038/s41598-018-21133-2|pmid=29434232|pmc=5809396|arxiv=1703.06645}}</ref>
* [[ऐतिहासिक शहरी समुदाय आकार]] (जनसंख्या) जिब्रात के नियम को संतुष्ट करता है।<ref>{{Cite journal|last=Eeckhout|first=Jan|date=2004|title=Gibrat's Law for (All) Cities|url=https://www.jstor.org/stable/3592829|journal=American Economic Review|volume=94|issue=5|pages=1429–1451|doi=10.1257/0002828043052303|jstor=3592829|via=JSTOR}}</ref> शहर के आकार की विकास प्रक्रिया आकार के संबंध में आनुपातिक और अपरिवर्तनीय होती है। केंद्रीय सीमा प्रमेय से इसलिए, शहर के आकार को लॉग सामान्य रूप से वितरित किया जाता है।
* लॉग-सामान्य वितरण द्वारा यौन भागीदारों की संख्या का सबसे अच्छा वर्णन किया गया प्रतीत होता है।<ref>{{Cite journal |last=Kault |first=David |title=The Shape of the Distribution of the Number of Sexual Partners |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/(SICI)1097-0258(19960130)15:2%3C221::AID-SIM148%3E3.0.CO;2-Q |journal=Statistics in Medicine |year=1996 |volume=15 |issue=2 |pages=221–230|doi=10.1002/(SICI)1097-0258(19960130)15:2<221::AID-SIM148>3.0.CO;2-Q |pmid=8614756 }}</ref>
=== प्रौद्योगिकी ===
* [[विश्वसनीयता (सांख्यिकी)]] विश्लेषण में, लॉग-सामान्य वितरण का उपयोग अधिकांशतः एक अनुरक्षण योग्य प्रणाली की मरम्मत के लिए प्रारूप समय के लिए किया जाता है।<ref>{{cite book  | last1 = O'Connor | first1 = Patrick
  | last2 = Kleyner | first2 = Andre  | year = 2011
  | title = Practical Reliability Engineering
  | publisher = John Wiley & Sons
  | isbn = 978-0-470-97982-2
  | page = 35
  }}</ref>
* बेतार संचार में, लघुगणक मानों में व्यक्त स्थानीय-माध्य शक्ति, जैसे डीबी या नेपर, का सामान्य (अर्थात, गॉसियन) वितरण होता है।<ref>{{cite web |title=Shadowing |website=www.WirelessCommunication.NL |url=http://wireless.per.nl/reference/chaptr03/shadow/shadow.htm |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120113201345/http://wireless.per.nl/reference/chaptr03/shadow/shadow.htm |archive-date=January 13, 2012 }}</ref> साथ ही, बड़ी इमारतों और पहाड़ियों के कारण रेडियो संकेतों की यादृच्छिक रुकावट, जिसे [[लुप्त होती]] कहा जाता है, को अधिकांशतः लॉग-सामान्य वितरण के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है।
* [[बॉल मिल|बॉल मिलिंग]] जैसे यादृच्छिक प्रभावों के साथ टुकड़े टुकड़े करने द्वारा उत्पादित कण आकार वितरण।
* सार्वजनिक रूप से उपलब्ध ऑडियो और वीडियो आंकड़े फ़ाइलों (एमआईएमइ प्रकार) का फ़ाइल आकार वितरण परिमाण के पाँच आदेशों पर एक लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करता है।<ref>
{{cite journal |last1=Gros |first1=C |last2=Kaczor |first2=G.|last3=Markovic |first3=D |title=Neuropsychological constraints to human data production on a global scale |journal=The European Physical Journal B |year=2012 |volume=85 |issue=28 |pages=28 |doi=10.1140/epjb/e2011-20581-3|arxiv=1111.6849 |bibcode=2012EPJB...85...28G |s2cid=17404692 }}</ref>
* कंप्यूटर नेटवर्क और [[इंटरनेट यातायात]] विश्लेषण में, लॉग-सामान्य को प्रति यूनिट समय ट्रैफ़िक की मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अच्छे सांख्यिकीय प्रारूप के रूप में दिखाया गया है। यह वास्तविक इंटरनेट अंशों के एक बड़े समूह पर एक मजबूत सांख्यिकीय दृष्टिकोण लागू करके दिखाया गया है। इस संदर्भ में, लॉग-सामान्य वितरण ने दो मुख्य उपयोग स्थितियों में अच्छा प्रदर्शन दिखाया है: (1) समय यातायात के अनुपात की भविष्यवाणी एक निश्चित स्तर से अधिक हो जाएगी (सेवा स्तर समझौते या लिंक क्षमता अनुमान के लिए) अर्थात बैंडविड्थ प्रावधान के आधार पर लिंक आयाम और (2) 95वें प्रतिशतता मूल्य निर्धारण की भविष्यवाणी करना।<ref>{{cite arXiv | last1 = Alamsar | first1 = Mohammed
  | last2 = Parisis | first2 = George | last3 = Clegg | first3 = Richard | last4 = Zakhleniuk | first4 = Nickolay | year = 2019
  | title = On the Distribution of Traffic Volumes in the Internet and its Implications
  | eprint = 1902.03853
  | class = cs.NI
 }}</ref>
== यह भी देखें ==

* [[भारी पूंछ वाला वितरण]]
* [[लॉग-डिस्टेंस पाथ लॉस मॉडल|लॉग-दूरी रास्ता भूलना प्रारूप]]
* [[संशोधित लॉगनॉर्मल पावर-लॉ वितरण]]
* [[धीमी लुप्तप्राय]]

== टिप्पणियाँ ==
{{Reflist|30em|refs=

<ref name=JKB>{{Citation | last1=Johnson | first1=Norman L. | last2=Kotz | first2=Samuel | last3=Balakrishnan | first3=N. | title=Continuous univariate distributions. Vol. 1 | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | series=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics | isbn=978-0-471-58495-7 | mr = 1299979| year=1994 |chapter=14: Lognormal Distributions}}</ref>

<ref name=Gao>{{cite journal | doi = 10.1155/2009/630857 | volume=2009 | title=Asymptotic Behavior of Tail Density for Sum of Correlated Lognormal Variables | year=2009 | journal=International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences | pages=1–28 | last1 = Gao | first1 = Xin| doi-access=free }}</ref>

<ref name=wu>{{cite journal | doi = 10.1016/S0266-8920(03)00028-6 | volume=18 | issue=3 | title=Prediction of the size distribution of secondary ejected droplets by crown splashing of droplets impinging on a solid wall | year=2003 | journal=Probabilistic Engineering Mechanics | pages=241–249 | last1 = Wu | first1 = Zi-Niu}}</ref>

<ref name=OlofThorin1978LNInfDivi>{{cite journal|last1=Thorin|first1=Olof|title=On the infinite divisibility of the lognormal distribution|journal=Scandinavian Actuarial Journal|volume=1977|issue=3|year=1977|pages=121–148|issn=0346-1238|doi=10.1080/03461238.1977.10405635}}</ref>

}}
== अग्रिम पठन ==
* {{Citation
 | editor-last = Crow
 | editor-first = Edwin L.
 | editor-last2 = Shimizu
 | editor-first2 = Kunio
 | title = Lognormal Distributions, Theory and Applications
 | place = New York
 | publisher = Marcel Dekker, Inc.
 | series = Statistics: Textbooks and Monographs
 | volume = 88
 | year = 1988
 | pages = xvi+387
 | isbn = 978-0-8247-7803-3
 | mr = 0939191
 | zbl = 0644.62014}}
* Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)  ''The Lognormal Distribution'', Cambridge University Press.
* {{cite journal |last1=Limpert |first1=E |last2=Stahel |first2=W |last3=Abbt |first3=M |title=Lognormal distributions across the sciences: keys and clues |journal=BioScience |year=2001 |volume=51 |issue=5 |pages=341–352 |doi=10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2|doi-access=free }}
* {{Cite journal | last1 = Holgate | first1 = P. | title = The lognormal characteristic function | doi = 10.1080/03610928908830173 | journal = Communications in Statistics - Theory and Methods | volume = 18 | issue = 12 | pages = 4539–4548 | year = 1989 }}
* {{cite journal | last1 = Brooks | first1 = Robert | author-link3 = Jimbo Wales | last2 = Corson | first2 = Jon | last3 = Donal | first3 = Wales | title = The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion | ssrn = 5735 | journal = Advances in Futures and Options Research | volume = 7 | year = 1994 }}
==बाहरी संबंध==
{{Commons category}}
*[https://stat.ethz.ch/~stahel/talks/lognormal.pdf सामान्य वितरण लॉग-सामान्य वितरण है।]

{{ProbDistributions|continuous-semi-infinite}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Log-Normal Distribution}}[[Category: निरंतर वितरण]] [[Category: सामान्य वितरण]] [[Category: घातीय परिवार वितरण]] [[Category: गैर-न्यूटोनियन कलन]] 



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[[Category:Created On 08/02/2023]]