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सीगल मॉड्यूलर रूप

2023-09-20T02:48:03Z

Manidh:

{{short description|Major type of automorphic form in mathematics}}
गणित में, '''सीगल मॉड्यूलर रूप''' एक प्रमुख प्रकार का [[ स्वचालित रूप |ऑटोमोर्फिक रूप]] है। ये पारंपरिक दीर्घवृत्तीय [[मॉड्यूलर रूप]] को सामान्यीकृत करते हैं जो [[अण्डाकार वक्र|दीर्घवृत्तीय वक्र]] से निकटता से संबंधित हैं। सीगल मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में निर्मित समष्टि मैनिफोल्ड्स [[सीगल मॉड्यूलर किस्म|सीगल मॉड्यूलर]] विविध हैं, जो कि एबेलियन विविधो (कुछ अतिरिक्त स्तर की संरचना के साथ) के लिए मॉड्यूलि स्पेस के लिए मूलभूत मॉडल हैं और अलग-अलग समूहों द्वारा ऊपरी आधे समतल के अतिरिक्त सीगल ऊपरी आधे-स्थान के भागफल के रूप में निर्मित किए जाते हैं।

सीगल मॉड्यूलर रूप सकारात्मक निश्चित काल्पनिक भाग के साथ [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] ''n'' × ''n'' आव्यूह के समुच्चय पर [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]] हैं; प्रपत्रों को ऑटोमोर्फि नियम को पूरा करना होगा। सीगल मॉड्यूलर रूपों को बहुपरिवर्तनीय मॉड्यूलर रूपों के रूप में माना जा सकता है, अथार्त [[कई जटिल चर|कई समष्टि वेरिएबल]] के विशेष कार्यों के रूप में माना जाता है।

विश्लेषणात्मक रूप से द्विघात रूपों का अध्ययन करने के उद्देश्य से सीगल मॉड्यूलर रूपों की जांच सबसे पहले कार्ल लुडविग सीगल (1939) द्वारा की गई थी। ये मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत की विभिन्न शाखाओं जैसे अंकगणितीय ज्यामिति और दीर्घवृत्तीय सहसंगति में उत्पन्न होते हैं। सीगल मॉड्यूलर रूपों का उपयोग भौतिकी के कुछ क्षेत्रों जैसे अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत में ब्लैक होल थर्मोडायनामिक्स में भी किया गया है।

==परिभाषा==

===प्रारंभिक===
माना <math>g, N \in \mathbb{N}</math> और परिभाषित करें

:<math>\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\},</math>
:सीगल ऊपरी आधा स्थान। स्तर <math>N</math> के सहानुभूति समूह को परिभाषित करें, जिसे <math>\Gamma_g(N),</math> द्वारा दर्शाया गया है

:<math>\Gamma_g(N)=\left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big| \ \gamma^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} , \ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},</math>
जहां <math>I_g</math>, <math>g \times g</math> पहचान आव्यूह है। अंत में, चलो

:<math>\rho:\textrm{GL}_g(\mathbb{C}) \rightarrow \textrm{GL}(V)</math> एक [[तर्कसंगत प्रतिनिधित्व]] हो, जहां <math>V</math> एक परिमित-आयामी समष्टि [[सदिश स्थल]] है।

===सीगल मॉड्यूलर रूप ===
दिया गया

:<math>\gamma=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}</math> और

:<math>\gamma \in \Gamma_g(N),</math> संकेतन को परिभाषित करें

:<math>(f\big|\gamma)(\tau)=(\rho(C\tau+D))^{-1}f(\gamma\tau).</math>
फिर एक होलोमोर्फिक फलन

:<math>f:\mathcal{H}_g \rightarrow V</math>
:
:डिग्री <math>g</math> (कभी-कभी जीनस भी कहा जाता है), भार <math>\rho</math>, और स्तर <math>N</math> का सीगल मॉड्यूलर रूप है यदि

:<math>(f\big|\gamma)=f</math>
:
सभी के लिए <math>\gamma \in \Gamma_g(N)</math>. इस स्थिति में कि <math>g=1</math>, हमें आगे यह भी आवश्यक है कि <math>f</math> 'अनंत पर' होलोमोर्फिक हो और नीचे बताए गए कोएचर सिद्धांत के कारण यह धारणा <math>g>1</math> के लिए आवश्यक नहीं है। भार <math>\rho</math>, डिग्री <math>g</math>, और स्तर <math>N</math> सीगल मॉड्यूलर रूपों के स्थान को निरूपित करें

:<math>M_{\rho}(\Gamma_g(N)).</math>

==उदाहरण==

सीगल मॉड्यूलर रूप के निर्माण की कुछ विधियों में सम्मिलित हैं:
*आइसेनस्टीन श्रृंखला
*जालकों के थीटा कार्य (संभवतः बहु-हार्मोनिक बहुपद के साथ)
*सैतो-कुरोकावा लिफ्ट डिग्री 2 के लिए
*[[इकेदा लिफ्ट]]
*[[मियावाकी लिफ्ट]]
*सीगल मॉड्यूलर रूप के उत्पाद।

===स्तर 1, अल्प डिग्री===
डिग्री 1 के लिए, लेवल 1 सीगल मॉड्यूलर रूप लेवल 1 मॉड्यूलर रूप के समान हैं। ऐसे रूपों का वलय (डिग्री 1) ईसेनस्टीन श्रृंखला ''E''4 और ''E''6. में एक बहुपद वलय '''C'''[''E''4,''E''6] है।

डिग्री 2 के लिए, (इगुसा 1962, 1967) ने दिखाया कि स्तर 1 सीगल मॉड्यूलर रूपों की वलय (डिग्री 2) ईसेनस्टीन श्रृंखला ''E''4 और ''E''6 और भार 10, 12, और 35 के 3 और रूपों से उत्पन्न होती है। उनके बीच संबंधों का आदर्श भार 35 के वर्ग से उत्पन्न होता है जो अन्य में एक निश्चित बहुपद को घटाता है।

डिग्री 3 के लिए, {{harvtxt|Tsuyumine|1986}} लेवल 1 सीगल मॉड्यूलर रूप की वलय का वर्णन किया गया है, जिसमें 34 जनरेटर का एक समुच्चय दिया गया है।

डिग्री 4 के लिए, अल्प भार के स्तर 1 सीगल मॉड्यूलर रूप पाए गए हैं। वज़न 2, 4, या 6 का कोई उभार रूप नहीं है। भार 8 के उभार रूपों का स्थान 1-आयामी है, जो [[शोट्की रूप]] द्वारा फैला हुआ है। भार 10 के पुच्छ रूपों के स्थान का आयाम 1 है, भार 12 के पुच्छ रूपों के स्थान का आयाम 2 है, भार 14 के पुच्छ रूपों के स्थान का आयाम 3 है, और भार 16 के पुच्छ रूपों के स्थान का आयाम 7 है {{harv|Poor|Yuen|2007}}.

डिग्री 5 के लिए, उभार रूपों के स्थान का भार 10 के लिए आयाम 0 है, भार 12 के लिए आयाम 2 है। भार 12 के रूपों के स्थान का आयाम 5 है।

डिग्री 6 के लिए, भार 0, 2, 4, 6, 8 का कोई उभार रूप नहीं है। भार 2 के सीगल मॉड्यूलर रूपों के स्थान का आयाम 0 है, और भार 4 या 6 दोनों का आयाम 1 है।

===स्तर 1, अल्प भार ===

अल्प भार और स्तर 1 के लिए, {{harvtxt|Duke|Imamoḡlu|1998}} निम्नलिखित परिणाम दें (किसी भी सकारात्मक डिग्री के लिए):
*भार 0: रूपों का स्थान 1-आयामी है, 1 द्वारा फैला हुआ है।
*भार 1: एकमात्र सीगल मॉड्यूलर रूप 0 है।
*भार 2: एकमात्र सीगल मॉड्यूलर रूप 0 है।
*भार 3: एकमात्र सीगल मॉड्यूलर रूप 0 है।
* भार 4: किसी भी डिग्री के लिए, भार 4 के रूपों का स्थान 1-आयामी है, जो E8 के थीटा फलन द्वारा फैला हुआ है जाली (उचित डिग्री की) एकमात्र उभार रूप 0 है
*भार 5: एकमात्र सीगल मॉड्यूलर रूप 0 है।
*भार 6: भार 6 के रूपों के स्थान का आयाम 1 है यदि डिग्री अधिकतम 8 है, और आयाम 0 यदि डिग्री कम से कम 9 है। एकमात्र उभार रूप 0 है।
*भार 7: यदि डिग्री 4 या 7 है तो उभार रूपों का स्थान अदृश्य हो जाता है।
*भार 8: जीनस 4 में, उभार रूपों का स्थान 1-आयामी है, शोट्की रूप द्वारा फैला हुआ है और रूपों का स्थान 2-आयामी है। यदि जीनस 8 है तो कोई उभार रूप नहीं हैं।
*यदि वंश भार के दोगुने से अधिक है तो कोई उभार रूप नहीं है।

===स्तर 1 सीगल मॉड्यूलर रूप के स्थानों के आयामों की तालिका ===

निम्न तालिका उपरोक्त परिणामों को {{harvtxt|पुअर|यूएन|2006}} और {{harvtxt|चेनवीयर|लैंस|2014}}और {{harvtxt|तैबी|2014}} की जानकारी के साथ जोड़ती है।
{| class="wikitable"
|+ स्तर 1 सीगल कस्प फॉर्म के स्थानों के आयाम: सीगल मॉड्यूलर फॉर्म
! वज़न !! डिग्री 0 !! डिग्री 1!! डिग्री 2!! डिग्री 3!! डिग्री 4!! डिग्री 5!! डिग्री 6!! डिग्री 7!! डिग्री 8!!डिग्री 9!!डिग्री 10!!डिग्री 11!!डिग्री 12
|-
| 0 || 1: 1||0: 1||0: 1||0: 1||0: 1||0: 1||0: 1||0: 1||0: 1||0: 1||0: 1||0: 1||0: 1
|-
| 2 || 1: 1 || 0: 0|| 0: 0|| 0: 0|| 0: 0|| 0: 0|| 0: 0|| 0: 0|| 0: 0||0: 0|| 0: 0|| 0: 0||0: 0
|-
| 4 || 1: 1 || 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1
|-
| 6 || 1: 1 || 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 1|| 0: 0|| 0: 0|| 0: 0|| 0: 0
|-
| 8 || 1: 1 || 0: 1 ||0: 1||0:1 ||1: 2 ||0: 2 ||0: 2 ||0: 2 ||0: 2 || 0:|| 0:|| 0:||0:
|-
| 10 || 1: 1 || 0: 1 || 1: 2||0: 2 ||1: 3 ||0: 3 ||1: 4||0: 4||1: ||0: ||0: || 0:||0:
|-
| 12 || 1: 1 || 1: 2 || 1: 3 ||1: 4||2: 6 ||2: 8 ||3: 11||3: 14 ||4: 18|| 2:20 ||2: 22||1: 23 ||1: 24
|-
| 14 || 1: 1 ||0: 1 || 1: 2||1: 3 ||3:6 ||3: 9||9: 18||9: 27|| || || || ||
|-
| 16|| 1: 1 || 1: 2 || 2: 4 ||3: 7 ||7: 14 ||13:27 ||33:60 ||83:143 || || || || ||
|-
| 18 || 1: 1 || 1: 2 || 2: 4||4:8 ||12:20 ||28: 48||117: 163|| || || || || ||
|-
| 20 || 1: 1 || 1: 2 || 3: 5 ||6: 11||22: 33||76: 109||486:595 || || || || || ||
|-
| 22 || 1: 1 || 1: 2||4: 6|| 9:15||38:53 ||186:239 || || || || || || ||
|-
| 24 || 1: 1 || 2: 3 || 5: 8||14: 22|| || || || || || || || ||
|-
| 26 || 1: 1 || 1: 2|| 5: 7||17: 24|| || || || || || || || ||
|-
| 28 || 1: 1 || 2: 3|| 7: 10||27: 37|| || || || || || || || ||
|-
| 30 || 1: 1 || 2: 3|| 8: 11||34: 45|| || || || || ||
|}

==कोएचर सिद्धांत==

कोएचर सिद्धांत के रूप में जाना जाने वाला प्रमेय बताता है कि यदि <math>f</math> भार <math>\rho</math>, स्तर 1, और डिग्री <math>g>1</math> का सीगल मॉड्यूलर रूप है, तो <math>f</math> , <math>\mathcal{H}_g</math> के उपसमुच्चय पर घिरा है।

:<math>\left\{\tau \in \mathcal{H}_g \ | \textrm{Im}(\tau) > \epsilon I_g \right\},

</math>

जहाँ <math>\epsilon>0</math> इस प्रमेय का परिणाम यह तथ्य है कि डिग्री <math>g>1</math> के सीगल मॉड्यूलर रूपों में फूरियर विस्तार होता है और इस प्रकार अनंत पर होलोमोर्फिक होते हैं।<ref>This was proved by [[Max Koecher]], ''Zur Theorie der Modulformen n-ten Grades I'', Mathematische. Zeitschrift 59 (1954), 455–466. A corresponding principle for [[Hilbert modular form]]s was apparently known earlier, after Fritz Gotzky, ''Uber eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veranderlicher'', Math. Ann. 100 (1928), pp. 411-37</ref>

==भौतिकी में अनुप्रयोग==
स्ट्रिंग सिद्धांत में सुपरसिमेट्रिक ब्लैक होल की डी1डी5पी प्रणाली में, वह फलन जो स्वाभाविक रूप से ब्लैक होल एन्ट्रापी के माइक्रोस्टेट्स को अधिकृत करता है, एक सीगल मॉड्यूलर रूप है। सामान्य रूप से , सीगल मॉड्यूलर रूपों को ब्लैक होल या अन्य गुरुत्वाकर्षण प्रणालियों का वर्णन करने की क्षमता के रूप में वर्णित किया गया है।<ref name="entropy">{{cite journal |last1=Belin |first1=Alexandre |last2=Castro |first2=Alejandra |last3=Gomes |first3=João |last4=Keller |first4=Christoph A. |title=सीगल मॉड्यूलर रूप और ब्लैक होल एन्ट्रापी|journal=Journal of High Energy Physics |date=11 April 2017 |volume=2017 |issue=4 |page=57 |doi=10.1007/JHEP04(2017)057|arxiv=1611.04588 |bibcode=2017JHEP...04..057B |s2cid=256037311 }}</ref>

सीगल मॉड्यूलर फॉर्म का उपयोग अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत, विशेष रूप से काल्पनिक एडीएस/सीएफटी पत्राचार में बढ़ते केंद्रीय चार्ज के साथ सीएफटी2के वर्गों के लिए कार्य उत्पन्न करने के रूप में भी होता है।<ref>{{cite journal |last1=Belin |first1=Alexandre |last2=Castro |first2=Alejandra |last3=Gomes |first3=João |last4=Keller |first4=Christoph A. |title=Siegel paramodular forms and sparseness in AdS3/CFT2 |journal=Journal of High Energy Physics |date=7 November 2018 |volume=2018 |issue=11 |page=37 |doi=10.1007/JHEP11(2018)037|arxiv=1805.09336 |bibcode=2018JHEP...11..037B |s2cid=256040660 }}</ref>
==संदर्भ==
<references/>
*{{citation|title=Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier
|first1=Gaëtan |last1=Chenevier |first2= Jean |last2=Lannes
|year= 2014|arxiv=1409.7616|bibcode=2014arXiv1409.7616C}}
*{{citation|mr=1600030
|last1=Duke|first1= W.|last2= Imamoḡlu|first2= Ö.
|title=Siegel modular forms of small weight
|journal=Math. Ann. |volume=310 |year=1998|issue=1|pages= 73–82|doi=10.1007/s002080050137|s2cid=122219495 }}
*{{citation|mr=0871067
|last=Freitag|first= E.
|title=Siegelsche Modulfunktionen
|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften |volume= 254. Springer-Verlag|place= Berlin|year= 1983|isbn= 978-3-540-11661-5|doi=10.1007/978-3-642-68649-8}}
*{{citation|mr=2409679
|last=van der Geer|first=Gerard
|chapter=Siegel modular forms and their applications|title=The 1-2-3 of modular forms, 181–245
|pages=181–245|series=Universitext|publisher= Springer|place= Berlin|year= 2008|arxiv=math/0605346|doi=10.1007/978-3-540-74119-0_3|isbn=978-3-540-74117-6}}
*{{citation|mr=0141643
|last=Igusa|first= Jun-ichi
|title=On Siegel modular forms of genus two
|journal=Amer. J. Math.|volume= 84 |issue=1|year=1962 |pages=175–200|doi=10.2307/2372812|jstor=2372812}}
*{{citation|first=Helmut|last= Klingen|title=Introductory Lectures on Siegel Modular Forms|publisher=Cambridge University Press |year=2003|isbn= 978-0-521-35052-5}}
*{{citation|mr=0001251
|last=Siegel|first= Carl Ludwig
|title=Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades
|journal=Math. Ann.|volume= 116|year=1939|pages= 617–657|doi=10.1007/bf01597381|s2cid=124337559 }}
*{{citation|title=Dimensions of spaces of level one automorphic forms for split classical groups using the trace formula|first=Olivier|last= Taïbi|arxiv=1406.4247 |year=2014|bibcode=2014arXiv1406.4247T}}
*{{citation|mr=0853217
|last=Tsuyumine|first= Shigeaki
|title=On Siegel modular forms of degree three
|journal=Amer. J. Math. |volume=108 |year=1986|issue= 4|pages= 755–862|jstor=2374517|doi=10.2307/2374517}}

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[[Category:मॉड्यूलर रूप]]
[[Category:स्वचालित रूप]]

सीमेंट रसायनज्ञ अंकन

2023-09-20T02:47:52Z

Manidh:

{{Short description|Abbreviated notation for chemical formulas of common oxides}}
[[सीमेंट]] केमिस्ट नोटेशन (CCN) को सीमेंट केमिस्ट द्वारा दैनिक आधार पर उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को सरल बनाने के लिए विकसित किया गया था। यह [[कैल्शियम]], [[सिलिकॉन]] और विभिन्न [[धातु]]ओं के [[ऑक्साइड]] के [[रासायनिक सूत्र]] को लिखने की संक्षिप्त विधि है।

== ऑक्साइड के संक्षिप्त रूप ==

सीमेंट (या कांच और मिट्टी के पात्र में) में सम्मिलित मुख्य आक्साइड को निम्न विधियों से संक्षिप्त किया गया है:

{|class="wikitable"
!CCN!!वास्तविक सूत्र!!नाम
|-
|C||CaO||कैल्शियम ऑक्साइड, या चूना
|-
|S||SiO2||सिलिकॉन डाइऑक्साइड, या सिलिका
|-
|A||Al2O3||एल्यूमीनियम ऑक्साइड, या एल्यूमिना
|-
|F||Fe2O3||आयरन ऑक्साइड, या जंग
|-
|T||TiO2||टाइटेनियम डाइऑक्साइड, या टिटानिया
|-
|M||MgO||मैग्नीशियम ऑक्साइड, या पेरीक्लेज़
|-
|K||K2O||[[Potassium oxide|पोटेशियम ऑक्साइड]]
|-
|N||Na2O||[[Sodium oxide|सोडियम ऑक्साइड]]
|-
|H||H2O||जल
|-
|{{overline|C}}||CO2||[[Carbon dioxide|कार्बन डाईऑक्साइड]]
|-
|{{overline|S}}||SO3||[[Sulfur trioxide|सल्फर ट्राइऑक्साइड]]
|-
|P||P4O10||[[Phosphorus pentoxide|फास्फोरस पेंटोक्साइड]]
|}

==हाइड्रॉक्साइड्स का ऑक्साइड और मुक्त जल में रूपांतरण==
द्रव्यमान संतुलन गणना के लिए, कठोर सीमेंट पेस्ट में पाए जाने वाले हाइड्रेटेड चरणों में सम्मिलित हाइड्रॉक्साइड्स, जैसे [[ पोर्टलैंडर्स |पोर्टलैंडर्स]] , Ca(OH)2 पहले ऑक्साइड और पानी में परिवर्तित होना जाना चाहिए।

ऑक्साइड और पानी में हाइड्रॉक्साइड आयनों की रूपांतरण प्रक्रिया को उत्तम ढंग से समझने के लिए, [[हाइड्रॉकसिल]] आयनों के ऑटोप्रोटोलिसिस पर विचार करना आवश्यक है; इसका तात्पर्य दो OH− के बीच [[प्रोटॉन]] एक्सचेंज से है, जो मौलिक अम्ल-क्षार अभिक्रिया की तरह हैं:

:{{underset|acid 1|OH−}} + {{underset|base 2|OH−}} → {{underset|base 1|O2−}} + {{underset|acid 2|H2O}}
या भी,
: 2 CO− → O2− + H2O

पोर्टलैंडाइट के लिए यह इस प्रकार निम्नलिखित द्रव्यमान संतुलन देता है:

: Ca (OH)2 → CaO + H2O

इस प्रकार पोर्टलैंडाइट को Ca(O H)2 O या CH के रूप में लिखा जा सकता है।

== हाइड्रेशन से पहले और इसके पश्चात पोर्टलैंड सीमेंट में मुख्य चरण ==

इन आक्साइड का उपयोग अधिक जटिल यौगिक (रसायन) बनाने के लिए किया जाता है। इसके बाद वर्णित मुख्य क्रिस्टलीय चरण क्रमशः की संरचना से संबंधित हैं:
* क्लिंकर और गैर-हाइड्रेटेड पोर्टलैंड सीमेंट, और;
* हाइड्रेशन और सीमेंट सेटिंग के बाद प्राप्त कठोर सीमेंट पेस्ट सम्मिलित किया जाता हैं।

=== क्लिंकर और गैर-हाइड्रेटेड पोर्टलैंड सीमेंट ===

[[क्लिंकर (सीमेंट)]] और गैर-हाइड्रेटेड पोर्टलैंड सीमेंट में चार मुख्य चरण सम्मिलित हैं। वे सीमेंट भट्ठे में उच्च तापमान (1,450 °C) पर बनते हैं और निम्नलिखित हैं:

{|class="wikitable"
!CCN!!वास्तविक सूत्र!!नाम!!खनिज चरण
|-
|C3S||3 CaO · SiO2||ट्राइकैल्शियम सिलिकेट||[[Alite|एलीट]]
|-
|C2S||2 CaO · SiO2||[[calcium silicate|डायकैल्शियम सिलिकेट]]||[[Belite|बेलीट]]
|-
|C3A||3 CaO · Al2O3||[[Tricalcium aluminate|ट्राइकैल्शियम एलुमिनेट]]||एल्युमिनेट या सेलाइट
|-
|C4AF||4 CaO · Al2O3 · Fe2O3||टेट्राकैल्शियम एलुमिनो फेराइट||[[Calcium Aluminoferrite|फेराइट]]
|}
चार यौगिकों को सी कहा जाता है। इस प्रकार SC2SC3A और C4A को पोर्टलैंड सीमेंट के मुख्य क्रिस्टलीय चरणों के रूप में जाना जाता है। विशेष सीमेंट की चरण संरचना को गणना के जटिल सेट के माध्यम से परिमाणित किया जा सकता है जिसे बोगू सूत्र के रूप में जाना जाता है।

=== हाइड्रेटेड सीमेंट पेस्ट ===

कठोर सीमेंट पेस्ट (जिसे एचसीपी के रूप में भी जाना जाता है) में बनने वाले [[ जलयोजन प्रतिक्रिया |जलयोजन प्रतिक्रिया]] उत्पाद अधिक जटिल होते हैं, क्योंकि इनमें से कई उत्पादों का सूत्र लगभग समान होता है और कुछ अतिव्यापी सूत्रों के साथ ठोस समाधान होते हैं। कुछ उदाहरण नीचे दिए गए हैं:

{|class="wikitable"
!CCN !! वास्तविक सूत्र !! नाम या खनिज चरण
|-
|[[Portlandite|CH]]||Ca(OH)2 or CaO · H2O||[[Calcium hydroxide|कैल्शियम हाइड्रॉक्साइड]]
|-
||[[Calcium silicate hydrate|C-S-H]]||0.6–2.0 CaO · SiO2 · 0.9–2.5 H2O, इस सीमा के भीतर Al तथा Si के लिए परिवर्तनशील संरचना के साथ, और अक्सर आंशिक प्रतिस्थापन भी सम्मिलित होता है।||[[Calcium silicate hydrate|कैल्शियम सिलिकेट हाइड्रेट]]
|-
|[[Calcium Aluminate Hydrate|C-A-H]]||यह C-S-H से भी अधिक जटिल है||कैल्शियम एल्युमिनेट हाइड्रेट
|-
|[[AFt phase|AFt]]||C6A{{overline|S}}3H32, कभी-कभी अल के लिए Fe के प्रतिस्थापन के साथ, और/या [[Carbonate|{{chem|CO|3|2-}}]] के लिए [[Sulfate|{{chem|SO|4|2-}}]]||कैल्शियम ट्राइसल्फोएलुमिनेट हाइड्रेट, या एट्रिंगाइट
|-
|[[AFm phase|AFm]]||C4A{{overline|S}}H12, अक्सर के प्रतिस्थापन के साथ Fe के लिए Al,और/या विभिन्न अन्य आयन जैसे OH− या {{chem|CO|3|2-}} के लिए {{chem|SO|4|2-}} ||कैल्शियम मोनोसल्फोएलुमिनेट
|-
|[[Hydrogarnet|C3AH6]]||3CaO · Al2O3 · 6 H2O||[[Hydrogarnet|हाइड्रोगार्नेट]]
|}
C-S-H में हाइफ़न चर संरचना के कैल्शियम सिलिकेट हाइड्रेट चरण का संकेत देते हैं, जबकि 'CSH' कैल्शियम सिलिकेट चरण, Ca2H4 का संकेत देता हैं।

== मिट्टी के पात्र, कांच और ऑक्साइड रसायन में प्रयोग करें ==
सीमेंट केमिस्ट नोटेशन सीमेंट अनुप्रयोगों तक ही सीमित नहीं है, किन्तु वास्तव में सीमेंट रसायन सेंसु स्ट्रिक्टो की तुलना में अन्य डोमेन पर लागू ऑक्साइड रसायन का अधिक सामान्य संकेतन है।

उदाहरण के लिए, [[चीनी मिट्टी]] के अनुप्रयोगों में, ऑक्साइड के संदर्भ में [[kaolinite|कालोनाइट]] सूत्र भी लिखा जा सकता है, इस प्रकार काओलाइट के लिए संबंधित सूत्र,
: Al2O2O5(OH)4,

S2O3 · 2 SiO2 · 2 H2O

या CCN2H2
== खनिज विज्ञान में सीसीएन का संभावित उपयोग ==
यद्यपि खनिज विज्ञान में बहुत विकसित अभ्यास नहीं है, कुछ रासायनिक प्रतिक्रियाओं में सिलिकेट और ऑक्साइड को पिघल या हाइड्रोथर्मल सिस्टम में सम्मिलित किया जाता है, और सिलिकेट अपक्षय प्रक्रियाओं को सिलिकेट खनिज विज्ञान के लिए सीमेंट केमिस्ट नोटेशन को लागू करके सफलतापूर्वक वर्णित किया जा सकता है।

एक उदाहरण बेलिट हाइड्रेशन और [[forsterite|फोर्सटेराइट]] सर्पेन्टाइन की औपचारिक तुलना हो सकती है, जो दो संरचनात्मक रूप से समान पृथ्वी-क्षारीय सिलिकेट, Ca2H4 Ca4 मिलीग्राम के जलयोजन से सर्पेन्टाइन खनिजों का निर्माण करती है।

कैल्शियम सिस्टम: बेलीट हाइड्रेशन:
{{NumBlk|::
|{{overset|[[Belite]]|2 Ca2SiO4}} + {{overset|water|4 H2O}} → {{overset|C-S-H phase|3 CaO · 2 SiO2 · 3 H2O}} + {{overset|[[portlandite]]|Ca(OH)2}}
|{{EquationRef|अभिक्रिया 4a}}}}
{{NumBlk|::
|2 C2S + 4 H → C3S2H3 + CH
|{{EquationRef|अभिक्रिया 4b}}}}

;मैग्नीशियम सिस्टम: फोर्सटेराइट सर्पेंटिनाइट सर्पेन्टाइन खनिजों का गठन:
{{NumBlk|::
|{{overset|Forsterite|2 Mg2SiO4}} + {{overset|water|3 H2O}} → {{overset|[[serpentinite|serpentine]] |Mg3Si2O5(OH)4}} + {{overset|[[brucite]]|Mg(OH)2}}
|{{EquationRef|अभिक्रिया 4c}}}}
{{NumBlk|::
|2 M2S + 3 H → M3S2H2 + MH
|{{EquationRef|अभिक्रिया 4d}}}}

हाइड्रेशन प्रतिक्रिया के हाइड्रेटेड सिलिकेट उत्पादों के लिए डाइकैल्शियम और डाइमैग्नीशियम सिलिकेट अभिकर्मकों के लिए अनुपात Ca/Si (C/S) और Mg/Si (M/S) 2 से घटकर 1.5 हो जाता है। दूसरे शब्दों में, C-S-H या टेढ़ा क्रमशः Ca और Mg में कम समृद्ध हैं। यही कारण है कि प्रतिक्रिया से पोर्टलैंडाइट की अधिकता समाप्त हो जाती है। इस प्रकार (Ca(OH)2) और [[brucite|ब्रूसाइट]] (मिलीग्राम (OH)2), क्रमशः, सिलिकेट प्रणाली से बाहर, अलग-अलग चरणों के रूप में दोनों हाइड्रॉक्साइड्स के क्रिस्टलीकरण को जन्म देता है।

सीमेंट की सेटिंग में हाइड्रेशन की तीव्र प्रतिक्रिया औपचारिक रूप से फ़ॉस्टराइट (ऑलिविन का मैग्नीशियम अंत-सदस्य) के धीमे प्राकृतिक हाइड्रेशन के लिए रासायनिक रूप से अनुरूप है, जिससे प्रकृति में [[कुंडल]] और ब्रुसाइट का निर्माण होता है। चूंकि, प्राकृतिक परिस्थितियों में अच्छी तरह से क्रिस्टलीकृत Mg-ओलिविन के धीमे रूपांतरण/अपक्षय की तुलना में खराब क्रिस्टलीकृत कृत्रिम बेलीट के जलयोजन की गतिज बहुत तेज है।

इस तुलना से पता चलता है कि खनिजविद संभवतः अपने कार्यों में सीमेंट रसायनज्ञ संकेतन की संक्षिप्त औपचारिकता से भी लाभान्वित हो सकते हैं।

== यह भी देखें ==
* बेलीट हाइड्रेशन (फोर्स्टराइट हाइड्रेशन के अनुरूप)
* सर्पेंटिनाइट सर्पेन्टाइन खनिजों का निर्माण|सर्पेंटिनाइजेशन में फोर्सटेराइट (ओलिविन) की जलयोजन प्रतिक्रिया

==संदर्भ==
*{{cite book
| last = Locher
| first = Friedrich W.
| authorlink =
| title = Cement: Principles of production and use
| publisher = Verlag Bau + Technik GmbH
| year = 2006
| location = Düsseldorf, Germany
| isbn = 3-7640-0420-7 }}

*{{cite book
| author = Mindess, S.
|author2=Young, J.F.
| title = Concrete
| publisher = Prentice-Hall
| year = 1981
| location = Englewood, NJ, USA
| isbn = 0-13-167106-5 }}

==बाहरी संबंध==
* [https://web.archive.org/web/20050920222050/http://www.whd.co.uk/Understanding%20Cement/cementandconcret.html Cement and Concrete Glossary]

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[[Category:ऑक्साइड खनिज]]
[[Category:ठोस]]
[[Category:रासायनिक सूत्र]]
[[Category:सिलिकेट]]
[[Category:सीमेंट]]

सुचारु विश्लेषण

2023-09-20T02:47:42Z

Manidh:

[[File:Every pixel has a random color.png|thumb|व्यवस्थित रूप से उत्पन्न [[बिटमैप]] सामान्य चित्रों जैसा नहीं होता है।]]
[[File:Edible fungi in basket 2012 G1.jpg|thumb|एक सामान्य चित्र किसी रैंडम बिटमैप जैसा नहीं होता.]][[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में, '''स्मूथ्द एनालिसिस''' एल्गोरिदम के एनालिसिस को मापने की एक विधि है। 2001 में इसके प्रारंभ होने के बाद से, [[गणितीय प्रोग्रामिंग]], [[संख्यात्मक विश्लेषण|नुमेरिकल एनालिसिस]], [[ यंत्र अधिगम |मशीन लर्निंग]] और [[डेटा खनन|डेटा माइनिंग]] से लेकर समस्याओं के लिए स्मूथ्द एनालिसिस का उपयोग अधिक शोध के आधार के रूप में किया गया है।<ref name="spielman-teng-2009" /> यह वर्स्ट केस या औसत-स्थिति परिदृश्यों का उपयोग करने वाले एनालिसिस की तुलना में एल्गोरिदम के व्यावहारिक प्रदर्शन (उदाहरण के लिए, रनिंग टाइम, सक्सेस रेट, अप्प्रोक्सिमेसन क्वालिटी) का अधिक यथार्थवादी एनालिसिस दे सकता है।

स्मूथ्द एनालिसिस वर्स्ट केस और औसत-स्थिति एनालिसिस का एक मिश्रण है जो दोनों के लाभ प्राप्त करता है। यह वर्स्ट केस वाले इनपुट के समान्य रैनडम पेरटूरबाशन के तहत एल्गोरिदम के अपेक्षित प्रदर्शन को मापता है। यदि किसी एल्गोरिदम की स्मूथ्द कोम्प्लेक्ससिटी कम है, तो यह संभावना नहीं है कि एल्गोरिदम को व्यावहारिक उदाहरणों को हल करने में लंबा समय लगेगा, जिनका डेटा सामान्य ध्वनि और अशुद्धियों के अधीन है। स्मूथ्द कोम्प्लेक्ससिटी परिणाम शसक्त संभाव्य परिणाम हैं, सामान्य रूप से यह बताते हुए कि, इनपुट के स्थान के प्रत्येक बड़े पर्याप्त निकट में, अधिकांश इनपुट आसानी से हल करने योग्य हैं। इस प्रकार, लो स्मूथ्द कोम्प्लेक्ससिटी का अर्थ है कि इनपुट की कठोरता एक ब्रिटत्ल प्रॉपर्टी है।

यद्यपि [[सबसे खराब स्थिति का विश्लेषण|वर्स्ट केस]] एनालिसिस कई एल्गोरिदम के व्यावहारिक प्रदर्शन को समझाने में व्यापक रूप से सफल रहा है, एनालिसिस की यह शैली कई समस्याओं के लिए मिसलीडिंग परिणाम देती है। [[सबसे खराब स्थिति का विश्लेषण|वर्स्ट केस]] कोम्प्लेक्ससिटी किसी भी इनपुट को हल करने में लगने वाले समय को मापती है, चूँकि हल करने में कठिन इनपुट अभ्यास में कभी नहीं आ सकते हैं। ऐसे स्थितियों में, वर्स्ट केस रनिंग टाइम अभ्यास में ओब्सेर्वे रनिंग टाइम कहीं अधिक वोर्स हो सकता है। उदाहरण के लिए, [[सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म]] का उपयोग करके एक [[रैखिक कार्यक्रम|लीनियर प्रोग्राम]] को हल करने की वर्स्ट केस कोम्प्लेक्ससिटी घातीय है,<ref name="amenta-ziegler" /> चूँकि अभ्यास में चरणों की देखी गई संख्या सामान्य रूप से लीनियर है।<ref name="shamir" /><ref name="andrei" /> सिम्पलेक्स एल्गोरिथ्म वास्तव में अभ्यास में एल्लिप्सोइड विधि की तुलना में बहुत तेज़ है, चूँकि उत्तरार्द्ध में पालीनोमिअल टाइम की वर्स्ट केस वाली कोम्प्लेक्ससिटी है।

औसत-केस एनालिसिस सबसे पहले सबसे वर्स्ट -केस एनालिसिस की सीमाओं को दूर करने के लिए प्रस्तुत किया गया था। चूँकि, परिणामी औसत-स्थिति की कोम्प्लेक्ससिटी इनपुट पर चुने गए प्रोबब्लिटी डिस्ट्रीबुसन पर बहुत अधिक निर्भर करती है। वास्तव में वास्तविक इनपुट और इनपुट का डिस्ट्रीबुसन एनालिसिस के समय बनाई गई धारणाओं से भिन्न हो सकता है: एक रैंडम इनपुट एक विशिष्ट इनपुट से बहुत भिन्न हो सकता है। डेटा मॉडल की इस पसंद के कारण, सैद्धांतिक औसत-स्थति का परिणाम एल्गोरिदम के व्यावहारिक प्रदर्शन के बारे में बहुत कम कह सकता है।

स्मूथ्द एनालिसिस वर्स्ट केस और औसत-स्थिति एनालिसिस दोनों को सामान्यीकृत करता है और दोनों की शक्ति प्राप्त करता है। इसका उद्देश्य औसत-स्थिति की कोम्प्लेक्ससिटी से कहीं अधिक सामान्य होना है जबकि अभी भी कम कोम्प्लेक्ससिटी सीमाओं को सिद्ध करने की अनुमति है।

==इतिहास==
[[संगणक तंत्र संस्था|एसीएम]] और [[ईएटीसीएस]] ने स्मूथ्द एनालिसिस विकसित करने के लिए [[डेनियल स्पीलमैन]] और [[शांग ड्रा टी]] को 2008 गोडेल प्राइज से सम्मानित किया था। स्मूथेड एनालिसिस नाम [[एलन एडेलमैन]] द्वारा डेवलपिंग किया गया था।<ref name="spielman-teng-2009" /> 2010 में स्पीलमैन को स्मूथ्द एनालिसिस विकसित करने के लिए [[नेवानलिन्ना पुरस्कार|नेवानलिन्ना प्राइज]] मिला। स्पीलमैन और टेंग का जेएसीएम पेपर एल्गोरिदम का स्मूथ्द एनालिसिस: सिम्प्लेक्स एल्गोरिदम सामान्यत: बहुपद समय क्यों लेता है, [[गणितीय प्रोग्रामिंग सोसायटी]] (एमपीएस) और अमेरिकन गणितीय सोसाइटी (एएमएस) द्वारा संयुक्त रूप से प्रायोजित 2009 फुलकर्सन प्राइज के तीन विजेताओं में से एक था।

==उदाहरण==

===[[रैखिक प्रोग्रामिंग|लीनियर प्रोग्रामिंग]] के लिए सिंप्लेक्स एल्गोरिदम===
सिम्प्लेक्स एल्गोरिदम अभ्यास में एक बहुत ही कुशल एल्गोरिदम है, और यह अभ्यास में लीनियर प्रोग्रामिंग के लिए प्रमुख एल्गोरिदम में से एक है। प्रायोगिक समस्याओं पर, एल्गोरिदम द्वारा उठाए गए कदमों की संख्या चर और बाधाओं की संख्या में लीनियर है।<ref name="shamir" /><ref name="andrei" /> फिर भी सैद्धांतिक रूप से वर्स्ट केस में सबसे सफलतापूर्वक विश्लेषित धुरी नियमों के लिए इसमें तेजी से कई कदम उठाने पड़ते हैं। स्मूथ्द एनालिसिस विकसित करने के लिए यह मुख्य प्रेरणाओं में से एक था।<ref name=spielman-teng-2001 />

पेरटूरबाशन मॉडल के लिए, हम मानते हैं कि इनपुट डेटा [[गाऊसी वितरण|गाऊसी डिस्ट्रीब्यूशन]] से ध्वनि से परेशान है। सामान्यीकरण उद्देश्यों के लिए, हम अप्रभावित डेटा मानते हैं <math>\bar{\mathbf A} \in \mathbb{R}^{n\times d}, \bar{\mathbf b} \in \mathbb{R}^n, \mathbf c \in \mathbb{R}^d</math> संतुष्ट <math>\|(\bar{\mathbf a}_i, \bar{b}_i)\|_2 \leq 1</math> सभी पंक्तियों के लिए <math>(\bar{\mathbf a}_i, \bar{b}_i)</math> आव्यूह का <math>(\bar{\mathbf A}, \bar{\mathbf b}).</math> ये ध्वनि <math>(\hat{\mathbf A}, \hat{\mathbf b})</math> माध्य के साथ गाऊसी डिस्ट्रीबुसन से नमूना की गई स्वतंत्र प्रविष्टियाँ <math>0</math> और मानक विचलन <math>\sigma</math>. हमने <math>\mathbf A = \bar{\mathbf A} + \hat{\mathbf A}, \mathbf b = \bar{\mathbf b} + \hat{\mathbf b}</math>.सेट किया है जो स्मूथ्द इनपुट डेटा में लीनियर प्रोग्राम सम्मिलित होता है

:अधिकतम करें
::<math>\mathbf{c^T} \cdot \mathbf{x}</math>
:का विषय है
::<math>\mathbf A \mathbf{x} \leq \mathbf b</math>.

यदि डेटा पर हमारे एल्गोरिदम का चलने का समय <math>\mathbf A, \mathbf b, \mathbf c</math> द्वारा दिया गया है <math>T(\mathbf A, \mathbf b,\mathbf c)</math> तो सिंप्लेक्स विधि की स्मूथ्द कोम्प्लेक्ससिटी है<ref>{{Citation | last1=Dadush |first1=Daniel|last2=Huiberts|first2=Sophie|title=A friendly smoothed analysis of the simplex method|year=2018|journal=Proceedings of the 50th Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing|pages=390–403|arxiv=1711.05667|doi=10.1145/3188745.3188826|isbn=9781450355599}}</ref>
::<math>C_s(n,d,\sigma) := \max_{\bar{\mathbf A}, \bar{\mathbf b}, \mathbf c} ~ \mathbb{E}_{\hat{\mathbf A},\hat{\mathbf b}}[T(\bar{\mathbf A} + \hat{\mathbf A}, \bar{\mathbf b} + \hat{\mathbf b}, \mathbf c)] = {\rm poly}(d,\log n, \sigma^{-1}).</math>
यह सीमा एक विशिष्ट धुरी नियम के लिए है जिसे छाया शीर्ष नियम कहा जाता है। शैडो वर्टेक्स नियम सामान्यत: उपयोग किए जाने वाले धुरी नियमों जैसे कि डेंटज़िग नियम या सबसे तेज किनारे वाले नियम की तुलना में धीमा है<ref name=borgwardt-damm-donig-joas /> किंतु इसमें ऐसे गुण हैं जो इसे संभाव्य एनालिसिस के लिए बहुत उपयुक्त बनाते हैं।<ref name=borgwardt />

===संयुक्त अनुकूलन के लिए कोम्बिनाटोरिअल ओप्टीमायजैसन ===
कई [[स्थानीय खोज (अनुकूलन)]] एल्गोरिदम का चलने का समय सबसे व्यर्थ होता है, किंतु अभ्यास में वे अच्छा प्रदर्शन करते हैं।<ref>{{Citation |last=Manthey |first=Bodo |title=Smoothed Analysis of Local Search |date=2021 |url=https://www.cambridge.org/core/books/beyond-the-worstcase-analysis-of-algorithms/smoothed-analysis-of-local-search/CA67DD5FE32ABD53898165847C3F86C7 |work=Beyond the Worst-Case Analysis of Algorithms |pages=285–308 |editor-last=Roughgarden |editor-first=Tim |place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |doi=10.1017/9781108637435.018 |isbn=978-1-108-49431-1 |access-date=2022-06-15}}</ref>

एक उदाहरण [[ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या]] के लिए [[2-ऑप्ट]] अनुमानी है। स्थानीय रूप से इष्टतम समाधान मिलने तक इसमें तेजी से कई पुनरावृत्तियां हो सकती हैं, चूँकि अभ्यास में चलने का समय वेर्टिसस की संख्या में सबक्वाड्रैटीक है।<ref name="engler-roeglin-voecking" /> [[सन्निकटन अनुपात|अप्प्रोक्सिमेसन रेश्यो]], जो एल्गोरिदम के आउटपुट की लंबाई और इष्टतम समाधान की लंबाई के बीच का अनुपात है, अभ्यास में अच्छा होता है किंतु सैद्धांतिक रूप से वर्स्ट केस में भी व्यर्थ हो सकता है।

समस्या उदाहरणों का एक वर्ग बॉक्स <math>[0,1]^d</math> में <math>n</math> बिंदुओं द्वारा दिया जा सकता है, जहां उनकी युग्‍मानूसार दूरियां एक नॉर्म (गणित) से आती हैं। पहले से ही दो आयामों में, 2-ऑप्ट अनुमान स्थानीय इष्टतम खोजने तक तेजी से कई पुनरावृत्तियों को ले सकता है। इस सेटिंग में, कोई पेरटूरबाशन मॉडल का विश्लेषण कर सकता है जहां कोने <math>v_1,\dots,v_n</math> को प्रोबब्लिटी डेंसिटी फ़ंक्शन <math>f_1,\dots,f_n : [0,1]^d \rightarrow [0,\theta]</math> के साथ युनिफोर्मिली डिस्ट्रीबुसन के अनुसार स्वतंत्र रूप से नमूना किया जाता है। <math>\theta = 1</math> के लिए, अंक समान रूप से वितरित किए गए हैं। जब <math>\theta > 1</math> बड़ा होता है, तो प्रतिद्वंद्वी के पास कठिन समस्या की संभावना को बढ़ाने की अधिक क्षमता होती है। इस पेरटूरबाशन मॉडल में, 2-ऑप्ट हेयुरिस्टिक के पुनरावृत्तियों की अपेक्षित संख्या, साथ ही परिणामी आउटपुट के अनुमानित अनुपात, <math>n</math> और <math>\theta</math> के बहुपद कार्यों से बंधे हैं।<ref name="engler-roeglin-voecking" />

एक अन्य स्थानीय खोज एल्गोरिदम जिसके लिए स्मूथ्द एनालिसिस सफल रहा वह के-मीन्स विधि है।<math>[0,1]^d</math> में <math>n</math> अंक दिए जाने पर, एक ही क्लस्टर में बिंदुओं के बीच छोटी युग्म दूरी वाले समूहों में एक अच्छा विभाजन खोजना एनपी-कठिन है। लॉयड का एल्गोरिदम व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और अभ्यास में बहुत तेज़ है, चूँकि यह स्थानीय रूप से इष्टतम समाधान खोजने के लिए सबसे वर्स्ट केस में पुनरावृत्तियों को ले सकता है। चूँकि यह मानते हुए कि बिंदुओं में स्वतंत्र गॉसियन डिस्ट्रीबुसन हैं, प्रत्येक की अपेक्षा <math>[0,1]^d</math> और मानक विचलन <math>\sigma</math> है, एल्गोरिदम के पुनरावृत्तियों की अपेक्षित संख्या <math>n</math>, <math>d</math> और <math>\sigma</math>. में एक बहुपद से घिरी है।<ref name="david-manthey-roeglin" />
==यह भी देखें==

*एवरेज केस कॉम्पलेक्ससिटी
*सूडो -पालीनोमिअल टाइम
*[[सबसे खराब स्थिति जटिलता|वर्स्ट केस कॉम्पलेक्ससिटी]]

==संदर्भ==
{{Reflist|refs=
<ref name=andrei>{{Citation
| last = Andrei
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| journal = Studies in Informatics and Control
| volume = 13
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}}</ref>

<ref name=amenta-ziegler>{{Citation
| last1 = Amenta
| first1 = Nina
| author-link = Nina Amenta
| last2 = Ziegler
| first2 = Günter
| author2-link = Gunter M. Ziegler
| title = Deformed products and maximal shadows of polytopes
| journal = Contemporary Mathematics
| volume = 223
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| publisher = American Mathematical Society
| mr = 1661377
| doi = 10.1090/conm/223
| isbn = 9780821806746
| citeseerx = 10.1.1.80.3241
| year = 1999
}}</ref>

<ref name=borgwardt-damm-donig-joas>{{Citation
| last1 = Borgwardt
| first1 = Karl-Heinz
| last2 = Damm
| first2 = Renate
| last3 = Donig
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| journal = ORSA Journal on Computing
| publisher = Operations Research Society of America
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| pages = 249–260
| doi = 10.1287/ijoc.5.3.249
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| last = Borgwardt
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| title = The Simplex Method: A Probabilistic Analysis
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| publisher = Springer-Verlag
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<ref name=david-manthey-roeglin>{{Citation
| last1 = Arthur
| first1 = David
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| first2 = Bodo
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| title = Smoothed Analysis of the k-Means Method
| year = 2011
| journal = Journal of the ACM
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| issue = 5
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<ref name=engler-roeglin-voecking>{{Citation
| last1 = Englert
| first1 = Matthias
| last2 = Röglin
| first2 = Heiko
| last3 = Vöcking
| first3 = Berthold
| title = Worst Case and Probabilistic Analysis of the 2-Opt Algorithm for the TSP
| journal = Proceedings of the Eighteenth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms
| volume = 68
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| year = 2007
| doi = 10.1007/s00453-013-9801-4
| doi-access = free
}}</ref>

<ref name=shamir>{{Citation
| last = Shamir
| first = Ron
| author-link = Ron Shamir
| title = The Efficiency of the Simplex Method: A Survey
| journal = Management Science
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| doi = 10.1287/mnsc.33.3.301
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<ref name=spielman-teng-2001>{{Citation
| last1=Spielman
| first1=Daniel
| last2=Teng
| first2=Shang-Hua
| author1-link=Daniel Spielman
| author2-link=Shanghua Teng
| journal=Proceedings of the Thirty-Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing
| publisher=ACM
| isbn=978-1-58113-349-3
| doi=10.1145/380752.380813
| year=2001
| title=Smoothed analysis of algorithms: why the simplex algorithm usually takes polynomial time
| pages=296–305
| arxiv=cs/0111050
| bibcode=2001cs.......11050S
}}</ref>

<ref name=spielman-teng-2009>{{Citation
| last1=Spielman
| first1=Daniel
| author-link=Daniel Spielman
| last2=Teng
| first2=Shang-Hua
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| title=Smoothed analysis: an attempt to explain the behavior of algorithms in practice
| url=http://cs-www.cs.yale.edu/homes/spielman/Research/cacmSmooth.pdf
| journal=Communications of the ACM
| volume=52
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| page=76–84
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| publisher=ACM
| doi=10.1145/1562764.1562785
}}</ref>

}}

[[Category:Created On 09/07/2023]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:एल्गोरिदम का विश्लेषण]]
[[Category:कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]]
[[Category:गणितीय अनुकूलन]]

सुरक्षा बग

2023-09-20T02:47:32Z

Manidh:

{{Short description|Type of software bug}}
{{Information security}}

सुरक्षा बग या सुरक्षा दोष एक [[सॉफ़्टवेयर बग]] है जिसका उपयोग कंप्यूटर सिस्टम पर अनधिकृत पहुंच या विशेषाधिकार प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। सुरक्षा बग इनमें से एक या अधिक से समझौता करके [[भेद्यता (कंप्यूटिंग)]] का परिचय देते हैं:
* [[उपयोगकर्ता (कंप्यूटिंग)]] और अन्य संस्थाओं का [[प्रमाणीकरण]] <ref name="mitre">{{cite web|title=CWE/SANS TOP 25 Most Dangerous Software Errors|url=http://cwe.mitre.org/top25/index.html#CWE-306|publisher=SANS|accessdate=13 July 2012}}</ref>
*[[अभिगम नियंत्रण]] और विशेषाधिकार का प्राधिकरण (कंप्यूटिंग) <ref name="mitre" />
* डेटा [[गोपनीयता]]
* [[आंकड़ा शुचिता]]

सुरक्षा बगों की पहचान करने की आवश्यकता नहीं है और न ही एक्सप्लॉइट (कंप्यूटर सुरक्षा) को इस तरह योग्य बनाने की आवश्यकता है और यह लगभग किसी भी सिस्टम में ज्ञात कमजोरियों की तुलना में बहुत अधिक सामान्य माना जाता है।

==कारण==
{{main|भेद्यता (कंप्यूटिंग)}}
सुरक्षा बग, अन्य सभी [[सॉफ़्टवेयर बग]] की तरह, [[मूल कारण विश्लेषण|रूट कॉज एनालिसिस]] से उत्पन्न होते हैं जिन्हें सामान्यतः अनुपस्थित या अपर्याप्त पाया जा सकता है: <ref>{{cite web|url=http://swreflections.blogspot.com/2008/11/software-quality-and-software-security.html|title=सॉफ़्टवेयर गुणवत्ता और सॉफ़्टवेयर सुरक्षा|date=2008-11-02|access-date=2017-04-28}}</ref>
* [[सॉफ्टवेयर डेवलपर]] प्रशिक्षण
* यूज़ केस एनालिसिस
* [[सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग पद्धति]]
* [[गुणवत्ता आश्वासन]] परीक्षण
* और अन्य सर्वोत्तम प्रथाएँ

==वर्गीकरण==
सुरक्षा बग सामान्यतः काफी कम संख्या में व्यापक श्रेणियों में आते हैं जिनमें निम्न सम्मिलित हैं:<ref>{{Cite journal|last1=Alhazmi|first1=Omar H.|last2=Woo|first2=Sung-Whan|last3=Malaiya|first3=Yashwant K.|date=Jan 2006|title=प्रमुख सॉफ्टवेयर सिस्टम में सुरक्षा भेद्यता श्रेणियां|url=https://www.researchgate.net/publication/220885085|journal=Proceedings of the Third IASTED International Conference on Communication, Network, and Information Security}}</ref>
* मेमोरी सुरक्षा (उदाहरण के लिए [[बफ़र अधिकता|बफर ओवरफ्लो]] और डैंगलिंग पॉइंटर बग)
* [[दौड़ की स्थिति|रेस कंडीशन]]
* सुरक्षित इनपुट और आउटपुट हैंडलिंग
* [[एपीआई]] का दोषपूर्ण उपयोग
* अनुचित उपयोग की स्तिथि को संभालना
* अनुचित अपवाद प्रबंधन
* संसाधन लीक, प्रायः लेकिन हमेशा नहीं, अनुचित अपवाद प्रबंधन के कारण
* स्वीकार्य होने के लिए जाँचने से पहले इनपुट स्ट्रिंग्स को प्रीप्रोसेस करना

==शमन==
[[सॉफ़्टवेयर सुरक्षा आश्वासन]] देखें।

== यह भी देखें ==

* [[कंप्यूटर सुरक्षा]]
* हैकिंग: शोषण की कला
*[[आईटी जोखिम]]
* [[खतरा (कंप्यूटर)|थ्रेट (कंप्यूटर)]]
* भेद्यता (कंप्यूटिंग)
* [[हार्डवेयर बग]]
* [[सुरक्षित कोडिंग]]

==संदर्भ==

{{Reflist}}

==अग्रिम पठन==
* {{cite web| url=https://www.owasp.org/index.php/Top_10_2013-Top_10 |title=2013 Top 10 List |date=21 August 2015 |author=Open Web Application Security Project}}
* {{cite web|title=CWE/SANS TOP 25 Most Dangerous Software Errors|url=http://cwe.mitre.org/top25/index.html#CWE-862|publisher=SANS|accessdate=13 July 2012}}

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सेमीफ़ील्ड

2023-09-20T02:47:24Z

Manidh:

{{Short description|Algebraic structure}}
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गणित में, अर्धक्षेत्र एक [[बीजगणितीय संरचना]] है जिसमें दो द्वि-आधारी संक्रियाएँ, जोड़ और गुणा होते हैं, जो एक क्षेत्र के समान है, लेकिन कुछ सिद्धांतों के साथ शिथिल है।

== सिंहावलोकन ==
अर्धक्षेत्र शब्द के दो परस्पर विरोधी अर्थ हैं, जिनमें से दोनों में क्षेत्र को एक विशेष विषय के रूप में सम्मिलित किया गया है।

* [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] और [[परिमित ज्यामिति]] ([[गणित विषय वर्गीकरण]] 51A, 51E, 12K10) में, अर्धक्षेत्र गुणक पहचान तत्व के साथ एक गैर-साहचर्य विभाजन वलय है।<ref name="Knuth" /> अधिक सटीक रूप से, यह एक [[गैर-सहयोगी बीजगणित|गैर-साहचर्य वलय]] है जिसके अशून्य तत्व गुणन के तहत एक [[पाश (बीजगणित)|परिपथ (लूप)]] बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, अर्धक्षेत्र एक समुच्चय S है जिसमें दो संक्रियाएं + (जोड़) और · (गुणा) होते हैं, जैसे कि
** (S,+) एक [[एबेलियन समूह]] है,
** गुणन बाएँ और दाएँ दोनों पर वितरणात्मक है,
** वहाँ एक गुणात्मक [[पहचान तत्व]] उपस्थित है, और
** [[विभाजन (गणित)]] हमेशा: S में प्रत्येक a और प्रत्येक अशून्य b के लिए संभव होता है, S में अद्वितीय x और y उपस्थित होते हैं जिनके लिए b·x = a और y·b = a होता है।
: विशेष रूप से ध्यान दें कि गुणन को क्रमविनिमेय या साहचर्य नहीं माना जाता है। अर्धक्षेत्र जो साहचर्य है वह एक विभाजन वलय है, और जो साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है वह एक क्षेत्र (गणित) है। इस परिभाषा के अनुसार अर्धक्षेत्र [[kassifield|क्वासिफ़ील्ड]] का एक विशेष विषय है। यदि S परिमित है, तो उपरोक्त परिभाषा में अंतिम अभिगृहीत को इस धारणा से प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि कोई शून्य विभाजक नहीं हैं, ताकि a·b = 0 का तात्पर्य यह हो कि a = 0 या b = 0 है।<ref name="Landquist" /> ध्यान दें कि [[साहचर्य]] की कमी के कारण, अंतिम अभिगृहीत इस धारणा के समतुल्य नहीं है कि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है, जैसा कि आमतौर पर क्षेत्रों और विभाजन वलय की परिभाषाओं में पाया जाता है।

* [[अंगूठी सिद्धांत|वलय सिद्धांत]], साहचर्य, [[कार्यात्मक विश्लेषण|फलनिक विश्लेषण]] और [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] (गणित विषय वर्गीकरण 16Y60) में, 'अर्धक्षेत्र' एक [[मोटी हो जाओ|अर्ध वलय]] (S,+,·) है जिसमें सभी गैर-शून्य तत्वों का गुणक व्युत्क्रम होता है।<ref name="Golan" /><ref name="HW" /> इन वस्तुओं को उचित अर्धक्षेत्र भी कहा जाता है। इस परिभाषा में भिन्नता उत्पन्न होती है यदि ''S'' में एक अवशोषित शून्य होता है जो गुणक इकाई ''e'' से भिन्न होता है, यह आवश्यक है कि गैर-शून्य तत्व व्युत्क्रमणीय हों, और ''a'·0 = 0·''a'' = 0 हों''। चूंकि गुणन साहचर्य है, अर्धक्षेत्र के (गैर-शून्य) तत्व एक समूह (गणित) बनाते हैं। फिर भी, युग्म (S,+) केवल एक अर्धसमूह है, अर्थात योगात्मक व्युत्क्रम का अस्तित्व आवश्यक नहीं है, या, बोलचाल की भाषा में, 'कोई घटाव नहीं है'। कभी-कभी, यह नहीं माना जाता है कि गुणन साहचर्य है।

== अर्धक्षेत्रों की आदिमता ==
एक अर्धक्षेत्र D को दाहिना (सम्मान. बाएं) अभाज्य कहा जाता है यदि इसमें एक तत्व w इस प्रकार है कि D * के गैर-शून्य तत्वों का समुच्चय w के सभी दाएं (सम्मान. बाएं) प्रमुख घात के समुच्चय के बराबर है।

== उदाहरण ==
हम केवल दूसरे अर्थ में अर्धक्षेत्रों का उदाहरण देते हैं, अर्थात वितरण गुणन के साथ योज्य अर्धसमूह। इसके अतिरिक्त, हमारे उदाहरणों में योग क्रमविनिमेय है और गुणन साहचर्य है।

* परिमेय संख्याएँ सामान्य जोड़ और गुणन के साथ क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाती हैं।
*: इसे अवशोषित 0 द्वारा विस्तृत किया सकता है।
* सामान्य जोड़ और गुणा के साथ धनात्मक [[वास्तविक संख्या]]एँ क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाती हैं।
*: इसे एक अवशोषित 0 द्वारा विस्तृत किया सकता है, जिससे प्रायिकता अर्ध वलय बनती है, जो [[लॉग सेमीरिंग|लॉग अर्ध वलय]] के लिए समरूपी है।
* f / g रूप के [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत फलन]], जहां f और g सकारात्मक गुणांक वाले चर में [[बहुपद]] हैं, एक क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाते हैं।
*: इसे 0 सम्मिलित करने के लिए विस्तृत किया सकता है।
* वास्तविक संख्या 'R' को अर्धक्षेत्र में देखा जा सकता है जहां दो तत्वों का योग उनकी अधिकतम और उत्पाद को उनकी सामान्य राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है; यह अर्धक्षेत्र अधिक संक्षिप्त रूप से निरूपित है ('R', अधिकतम, +)। इसी तरह ('R', निम्नतम, +) एक अर्धक्षेत्र है। इन्हें [[उष्णकटिबंधीय]] अर्ध वलय कहा जाता है।
*: इसे −∞ (अवशोषित 0) द्वारा विस्तृत किया सकता है; यह लॉग अर्ध वलय की सीमा (उष्णकटिबंधीयकरण) है क्योंकि आधार अनंत तक जाता है।
* पिछले उदाहरण का सामान्यीकरण, अगर (A,·,≤) एक जालीदार-आदेशित समूह है तो (A,+,·) योगात्मक रूप से निष्क्रिय अर्धक्षेत्र है, जिसमें अर्धक्षेत्र योग को दो तत्वों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके विपरीत, कोई भी योगात्मक रूप से निष्क्रिय अर्धक्षेत्र (A,+,·) एक जाली-आदेशित समूह (A,·,≤) को परिभाषित करता है, जहाँ a≤b तब ही है संभव जब a + b = b हो।
* बूलियन अर्धक्षेत्र 'बी' = {0, 1} जोड़ के साथ [[तार्किक या]] द्वारा परिभाषित, और गुणन के साथ [[तार्किक और]] द्वारा परिभाषित होता है।

== यह भी देखें ==

* तलीय त्रिगुट वलय (प्रथम भाव)

== संदर्भ ==
{{Reflist|
refs=
<ref name="Landquist">Landquist, E.J., "On Nonassociative Division Rings and Projective Planes", Copyright 2000.</ref>
<ref name="Knuth">[[Donald Knuth]], ''Finite semifields and projective planes''. J. Algebra, 2, 1965, 182--217 {{MathSciNet|id=0175942}}.</ref>
<ref name="Golan">Golan, Jonathan S., ''Semirings and their applications''. Updated and expanded version of ''The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science'' (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, {{MathSciNet|id=1163371}}. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. {{isbn|0-7923-5786-8}} {{MathSciNet|id=1746739}}.</ref>
<ref name="HW">Hebisch, Udo; Weinert, Hanns Joachim, ''Semirings and semifields''. Handbook of algebra, Vol. 1, 425--462, North-Holland, Amsterdam, 1996. {{MathSciNet|id=1421808}}.</ref>
}}

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