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दीर्घित वर्ग जीरोबिक्यूपोला

2023-11-16T11:03:51Z

Arti:

{{Short description|37th Johnson solid}}
{{Infobox polyhedron
|image=elongated square gyrobicupola.png
|type=[[Johnson solid|Johnson]] {{math|[[elongated triangular gyrobicupola|''J''{{sub|36}}]] – '''''J''{{sub|37}}''' – [[elongated pentagonal orthobicupola|''J''{{sub|38}}]]}}
|faces=8 [[triangle]]s 18 [[Square (geometry)|squares]]
|edges=48
|vertices=24
|symmetry={{math|''D''{{sub|4d}}}}
|vertex_config={{math|8+16(3.4{{sup|3}})}}
|dual=[[Pseudo-deltoidal icositetrahedron]]
|properties=[[convex polytope|convex]], singular [[vertex figure]], [[Canonical polyhedron|canonical]]
|net=Johnson solid 37 net.png
}}
[[File:J37 elongated square gyrobicupola.stl|thumb|एक दीर्घित वर्ग गायरोबिकुपोला का 3डी प्रतिरूप]][[ज्यामिति]] में, '''दीर्घित वर्ग जीरोबिक्यूपोला''' या प्रच्छन्न-रोम्बिक्यूबोक्टाहेड्रॉन [[जॉनसन ठोस]] ({{math|''J''{{sub|37}}}}) में से एक है। यह सामान्यतः एक आर्किमिडीयन ठोस नहीं माना जाता है, भले ही इसके फलक (ज्यामिति) में [[नियमित बहुभुज]] होते हैं जो इसके प्रत्येक [[वर्टेक्स (ज्यामिति)|कोणबिंदु (ज्यामिति)]] में समान पतिरूप में मिलते हैं, क्योंकि 13 [[आर्किमिडीज़ ठोस]] के विपरीत, इसमें वैश्विक का एक सम्मुच्चय नहीं होता है समरूपता जो हर शीर्ष को हर दूसरे शीर्ष पर प्रतिचित्र करती है (हालांकि ब्रांको ग्रुनबाम ने सुझाव दिया है कि इसे 14वें उदाहरण के रूप में आर्किमिडीयन ठोस की पारंपरिक सूची में जोड़ा जाना चाहिए)। यह दृढ़ता से मिलता-जुलता है, लेकिन इसे गलत नहीं समझा जाना चाहिए, जो कि एक आर्किमिडीयन ठोस है। यह एक विहित बहुफलक भी है।

इस आकृति की खोज [[जोहान्स केप्लर]] ने आर्किमिडीयन ठोसों की अपनी गणना में की होगी, लेकिन मुद्रण में इसकी पहली स्पष्ट उपस्थिति 1905 में [[डंकन सोमरविले]] का काम प्रतीत होती है।<ref>{{citation|first=D. M. Y.|last=Sommerville|author-link=Duncan Sommerville|title=Semi-regular networks of the plane in absolute geometry|journal=Transactions of the Royal Society of Edinburgh|volume=41|year=1905|pages=725–747|doi=10.1017/s0080456800035560|url=https://zenodo.org/record/1428682}}. As cited by {{harvtxt|Grünbaum|2009}}.</ref> 1930 तक जे.सी.पी. मिलर द्वारा इसे स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा गया था (गलती से रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन का एक प्रतिरूप बनाने का प्रयास करते समय <ref>{{citation|last=Rouse Ball|title=Mathematical recreations and essays|page=137|edition=11|year=1939|editor-last=Coxeter|editor-first=H. S. M. }}</ref>) और फिर से 1957 में वी. जी. अश्किन्यूज़ द्वारा खोजा गया था।<ref>{{citation
| last = Grünbaum | first = Branko | author-link = Branko Grünbaum
| doi = 10.4171/EM/120
| issue = 3
| journal = Elemente der Mathematik
| mr = 2520469
| pages = 89–101
| title = An enduring error
| url = https://digital.lib.washington.edu/dspace/bitstream/handle/1773/4592/An_enduring_error.pdf
| volume = 64
| year = 2009| doi-access = free
}} Reprinted in {{cite book|title=The Best Writing on Mathematics 2010|editor-first=Mircea|editor-last=Pitici|publisher=Princeton University Press|year=2011|pages=18–31}}.</ref>

{{Johnson solid}}

=== निर्माण और रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन से संबंध ===
जैसा कि नाम से पता चलता है, इसका निर्माण एक [[वर्ग gyrobicupola|वर्ग जाइरोबिकोपोला]] (J29) और इसके दो हिस्सों के बीच एक अष्टकोणीय [[प्रिज्म (ज्यामिति)]] डालकर होता है।

{| class="wikitable"
|[[File:Small rhombicuboctahedron.png|120px]] रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन: त्रिकोण (नीले रंग में)
लंबवत संरेखित हैं
|[[File:Exploded rhombicuboctahedron.png|120px]] रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन के विस्फोटित खंड
|[[File:Pseudorhombicuboctahedron.png|120px]] प्रच्छन्न- रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन: त्रिकोण लंबवत कंपित हैं
|}
ठोस को वर्ग कपोला (J4) एक रॉम्बिकुबोक्टाहेड्रोन (आर्किमिडीयन ठोस में से एक; a.k.a दीर्घ वर्ग ऑर्थोबिक्यूपोला) पर 45 डिग्री तक घुमाने के परिणाम के रूप में भी देखा जा सकता है। इसलिए यह एक कर्णित रॉम्बिक्यूबोक्टाहेड्रोन है। रॉम्बिकुबोक्टाहेड्रोन की इसकी समानता इसे वैकल्पिक नाम प्रच्छन्न-रोम्बिक्यूबोक्टाहेड्रोन देती है। इसे कभी-कभी चौदहवें आर्किमिडीयन ठोस के रूप में संदर्भित किया जाता है।

यह संपत्ति अपने पंचकोणीय-आनन वाले समकक्ष, [[जाइरेट रोम्बिकोसिडोडेकाहेड्रॉन]] तक नहीं ले जाती है।

== समरूपता और वर्गीकरण ==
[[File:Pseudodeltoidal icositetrahedron.stl|thumb|प्रच्छन्न-डेल्टोइडल आईकोसाइटेट्राहेड्रॉन का 3डी प्रतिरूप]]प्रच्छन्न-रोम्बिकुबोक्टाहेड्रोन में D4d समरूपता होती है। यह स्थानीय रूप से कोणबिंदु-संस्थागत है - किसी भी कोणबिंदु पर चार फलक की घटना की व्यवस्था सभी शीर्षों के लिए समान है; यह जॉनसन ठोस के बीच अद्वितीय है। हालाँकि, जिस तरह से इसे घुमाया जाता है, वह इसे एक अलग भूमध्य रेखा और दो अलग-अलग ध्रुव देता है, जो बदले में इसके शीर्षों को 8 ध्रुवीय शिखरों (4 प्रति ध्रुव) और 16 भूमध्यरेखीय शिखरों में विभाजित करता है। इसलिए यह कोणबिंदु-सकर्मक नहीं है, और फलस्वरूप सामान्यतः आर्किमिडीयन ठोस पदार्थों में से एक नहीं माना जाता है।
इसके D4d समरूपता द्वारा रंगे चेहरों के साथ, यह इस तरह दिख सकता है:

{| class="wikitable" style="background-color: white;"
|colspan="2"| प्रच्छन्न-डेल्टोइडल इकोसिटेट्राहेड्रॉन (दाएं) द्विक बहुतल है.
|-
|[[File:Johnson solid 37.png|120px]][[File:Johnson solid 37 net.png|120px]]
|[[File:Pseudo-strombic icositetrahedron.png|120px]][[File:Pseudo-strombic icositetrahedron flat.png|120px]]
|}इसके [[भूमध्य रेखा]] के चारों ओर 8 (हरे) वर्ग, 4 (लाल) त्रिकोण और 4 (पीले) वर्ग ऊपर और नीचे हैं, और प्रत्येक ध्रुव पर एक (नीला) वर्ग है।

== संबंधित बहुकोणीय आकृति और मधुकोश ==
दीर्घित वर्ग जाइरोबिकुपोला नियमित [[ चतुर्पाश्वीय |चतुर्पाश्वीय]], घन और [[cuboctahedron|क्यूबोक्टाहेड्रोन]] के साथ एक दिक्-गरिष्ठ मधुकोष (ज्यामिति) बना सकता है। यह चतुष्फलक, [[चौकोर पिरामिड]] और घन के विभिन्न संयोजनों, विस्तारित वर्ग पिरामिड, और लम्बी चौकोर द्विपिरामिड के साथ एक और मधुकोश भी बना सकता है। <ref>{{citation|url=http://woodenpolyhedra.web.fc2.com/J37.html|title=J37 honeycombs|access-date=2016-03-21|work=Gallery of Wooden Polyhedra}}</ref> 

[[File:Pseudo-great rhombicuboctahedron.png|120px|thumb|right|[[स्यूडो ग्रेट रॉम्बिक्यूबोक्टाहेड्रोन|प्रच्छन्न]] [[गैर-उत्तल महान rhombicuboctahedron|भव्य]] रॉम्बिक्यूबोक्टाहेड्रोन]]छद्म भव्य रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन, छद्म-रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन का एक गैर-उत्तल समधर्मी है, जो [[गैर-उत्तल महान rhombicuboctahedron|गैर-उत्तल भव्य रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन]] से समान तरीके से निर्मित होता है।

== रसायन विज्ञान में ==
वनाडेट आयन [V18O42]12− में प्रच्छन्न-रोम्बिकुबोक्टाहेड्रॉन संरचना है, जहां प्रत्येक वर्गाकार फलक VO5 पिरामिड के आधार के रूप में कार्य करता है।<ref>{{Greenwood&Earnshaw2nd|page=986}}</ref>

== संदर्भ ==
{{Reflist}}

==अग्रिम पठन==
* {{citation | author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7 }} अध्याय 2: आर्किमिडीयन पॉलीहेड्रा, प्रिज्मा और प्रतिप्रिज्म, p. 25 प्रच्छन्न-रहोम्बीकूबोक्टाहेड्रॉन

==बाहरी संबंध==
* {{Mathworld2 | urlname = ElongatedSquareGyrobicupola | title = Elongated square gyrobicupola | urlname2 = JohnsonSolid | title2 = Johnson solid }}
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/pseudo-rhombicuboctahedra.html George Hart: pseudo-rhombicuboctahedra]
[[Category: जॉनसन ठोस]]
[[Category: छद्म-वर्दी पॉलीहेड्रा]]

[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 17/04/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]

सदिश गोलीय प्रसंवादी

2023-11-16T11:00:35Z

Arti:

{{short description|Extension of the scalar spherical harmonics for use with vector fields}}
गणित में, सदिश [[गोलाकार हार्मोनिक्स|गोलीय प्रसंवादी]] (वीएसएच) [[वेक्टर क्षेत्र|सदिश क्षेत्रों]] के उपयोग के लिए अदिश गोलीय प्रसंवादी का विस्तार है। वीएसएच के घटक [[गोलाकार समन्वय प्रणाली|गोलीय समन्वय प्रणाली]] में व्यक्त जटिल-मानित फलन हैं।

== परिभाषा ==
वीएसएच को परिभाषित करने के लिए कई परिपाटी का उपयोग किया गया है।<ref>{{cite journal | last1=Barrera | first1=R G | last2=Estevez | first2=G A | last3=Giraldo | first3=J | title=वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स और मैग्नेटोस्टैटिक्स के लिए उनका अनुप्रयोग| journal=European Journal of Physics | publisher=IOP Publishing | volume=6 | issue=4 | date=1985-10-01 | issn=0143-0807 | doi=10.1088/0143-0807/6/4/014 | pages=287–294| bibcode=1985EJPh....6..287B | citeseerx=10.1.1.718.2001 | s2cid=250894245 }}</ref><ref>{{cite journal | last1=Carrascal | first1=B | last2=Estevez | first2=G A | last3=Lee | first3=Peilian | last4=Lorenzo | first4=V | title=वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स और शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स के लिए उनका अनुप्रयोग| journal=European Journal of Physics | publisher=IOP Publishing | volume=12 | issue=4 | date=1991-07-01 | issn=0143-0807 | doi=10.1088/0143-0807/12/4/007 | pages=184–191| bibcode=1991EJPh...12..184C | s2cid=250886412 }}</ref><ref>{{cite journal | last=Hill | first=E. L. | title=वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स का सिद्धांत| journal=American Journal of Physics | publisher=American Association of Physics Teachers (AAPT) | volume=22 | issue=4 | year=1954 | issn=0002-9505 | doi=10.1119/1.1933682 | pages=211–214| bibcode=1954AmJPh..22..211H | s2cid=124182424 | url=http://pdfs.semanticscholar.org/e950/1438ddec10ff6baef4614cf3b66f4e27c44b.pdf | archive-url=https://web.archive.org/web/20200412143916/http://pdfs.semanticscholar.org/e950/1438ddec10ff6baef4614cf3b66f4e27c44b.pdf | url-status=dead | archive-date=2020-04-12 }}</ref><ref>{{cite journal | last=Weinberg | first=Erick J. | title=मोनोपोल वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स| journal=Physical Review D | publisher=American Physical Society (APS) | volume=49 | issue=2 | date=1994-01-15 | issn=0556-2821 | doi=10.1103/physrevd.49.1086 | pages=1086–1092| pmid=10017069 |arxiv=hep-th/9308054| bibcode=1994PhRvD..49.1086W | s2cid=6429605 }}</ref><ref>P.M. Morse and H. Feshbach, ''Methods of Theoretical Physics, Part II'', New York: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953)</ref> हम बैरेरा एट अल का अनुसरण करते हैं। एक अदिश [[गोलाकार हार्मोनिक|गोलीय प्रसंवादी]] {{math|''Yℓm''(''θ'', ''φ'')}} दिया गया, हम तीन वीएसएच परिभाषित करते हैं:

* <math>\mathbf{Y}_{\ell m} = Y_{\ell m}\hat{\mathbf{r}},</math>
* <math>\mathbf{\Psi}_{\ell m} = r\nabla Y_{\ell m},</math>
* <math>\mathbf{\Phi}_{\ell m} = \mathbf{r}\times\nabla Y_{\ell m},</math>
जिसमें <math>\hat{\mathbf{r}}</math> गोलीय समन्वय प्रणाली में त्रिज्यीय दिशा के साथ [[इकाई वेक्टर|इकाई सदिश]] है और <math>\mathbf{r}</math> सदिश त्रिज्यीय दिशा के साथ त्रिज्या के समान मानदंड के साथ, अर्थात, <math>\mathbf{r} = r\hat{\mathbf{r}}</math>। त्रिज्यीय कारकों को यह गारंटी देने के लिए सम्मिलित किया गया है कि वीएसएच की विमा सामान्य गोलीय प्रसंवादी के समान हैं और वीएसएच त्रिज्यीय गोलीय समन्वय पर निर्भर नहीं है।

गोलीय निर्देशांक का उपयोग करते समय इन नवीन सदिश क्षेत्रों का हित त्रिज्यीय निर्भरता को कोणीय से अलग करना है, ताकि एक सदिश क्षेत्र बहुध्रुव विस्तार

<math display="block">\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(E^r_{\ell m}(r) \mathbf{Y}_{\ell m} + E^{(1)}_{\ell m}(r) \mathbf{\Psi}_{\ell m} + E^{(2)}_{\ell m}(r) \mathbf{\Phi}_{\ell m}\right)</math> को स्वीकार कर सके।

घटकों पर लेबल यह दर्शाते हैं कि <math>E^r_{\ell m}</math> सदिश क्षेत्र का त्रिज्यीय घटक है, जबकि <math>E^{(1)}_{\ell m}</math> और <math>E^{(2)}_{\ell m}</math> अनुप्रस्थ घटक हैं (त्रिज्या सदिश <math>\mathbf{r}</math> के संबंध में)।

== मुख्य गुण ==

=== समरूपता ===
अदिश गोलीय प्रसंवादी के जैसे, वीएसएच

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{Y}^*_{\ell m}, \\
\mathbf{\Psi}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{\Psi}^*_{\ell m}, \\
\mathbf{\Phi}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{\Phi}^*_{\ell m},
\end{align}</math>
को संतुष्ट करता है जो स्वतंत्र फलनों की संख्या को लगभग आधा कर देता है। तारा जटिल संयुग्म को इंगित करता है।

===लंबकोणीयता ===

वीएसएच प्रत्येक बिंदु <math>\mathbf{r}</math> पर सामान्य त्रि-विमीय विधि से [[ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन|लांबिक फलन]] हैं :

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Psi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0, \\
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0, \\
\mathbf{\Psi}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0.
\end{align}</math>
वे हिल्बर्ट समष्टि में भी लांबिक हैं:

<math display="block">\begin{align}
\int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{Y}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\
\int\mathbf{\Psi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \ell(\ell+1)\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\
\int\mathbf{\Phi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \ell(\ell+1)\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\
\int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0, \\
\int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0, \\
\int\mathbf{\Psi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0.
\end{align}</math>
एकल <math>\mathbf{r}</math> पर अतिरिक्त परिणाम (बैरेरा एट अल, 1985 में रिपोर्ट नहीं किया गया) सभी <math>\ell,m,\ell',m'</math>,

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Psi}_{\ell'm'}(\mathbf{r}) &= 0, \\
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell'm'}(\mathbf{r}) &= 0
\end{align}</math> के लिए है।

=== सदिश बहुध्रुव आघूर्ण ===
लंबकोणीयता संबंध किसी को सदिश क्षेत्र के गोलीय बहुध्रुव आघूर्ण को

<math display="block">\begin{align}
E^r_{\ell m} &= \int \mathbf{E}\cdot \mathbf{Y}^*_{\ell m}\,d\Omega, \\
E^{(1)}_{\ell m} &= \frac{1}{\ell(\ell+1)}\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell m}\,d\Omega, \\
E^{(2)}_{\ell m} &= \frac{1}{\ell(\ell+1)}\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell m}\,d\Omega
\end{align}</math> के रूप में परिकलित करने की अनुमति देते हैं।

=== एक अदिश क्षेत्र की प्रवणता ===
एक अदिश क्षेत्र

<math display="block">\phi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \phi_{\ell m}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi),</math>
के बहुध्रुव विस्तार को देखते हुए, हम वीएसएच के संदर्भ में

<math display="block">\nabla\phi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell\left(\frac{d\phi_{\ell m}}{dr} \mathbf{Y}_{\ell m}+
\frac{\phi_{\ell m}}{r}\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right)</math> के रूप में इसकी प्रवणता व्यक्त कर सकते हैं।

=== विचलन ===
किसी भी बहुध्रुवीय क्षेत्र के लिए हमारे निकट

<math display="block">\begin{align}
\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{Y}_{\ell m}\right) &= \left(\frac{df}{dr} + \frac{2}{r}f\right) Y_{\ell m}, \\
\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right) &= -\frac{\ell(\ell+1)}{r} f Y_{\ell m}, \\
\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right) &= 0
\end{align}</math> है।

अधिस्थापन द्वारा हम किसी भी सदिश क्षेत्र का [[विचलन]] प्राप्त करते हैं:

<math display="block">\nabla\cdot\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(\frac{dE^r_{\ell m}}{dr}+\frac{2}{r}E^r_{\ell m}-\frac{\ell(\ell+1)}{r}E^{(1)}_{\ell m}\right)Y_{\ell m}.</math>
हम देखते हैं कि {{math|'''Φ'''''ℓm''}} पर घटक सदैव [[solenoidal|परिनालिकीय]] होता है।

=== कर्ल ===
किसी भी बहुध्रुवीय क्षेत्र के लिए हमारे निकट

<math display="block">\begin{align}
\nabla\times\left(f(r)\mathbf{Y}_{\ell m}\right) &= -\frac{1}{r}f\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\
\nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right) &= \left(\frac{df}{dr}+\frac{1}{r}f\right)\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\
\nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right) &= -\frac{\ell(\ell+1)}{r}f\mathbf{Y}_{\ell m}-\left(\frac{df}{dr} + \frac{1}{r} f\right)\mathbf{\Psi}_{\ell m}
\end{align}</math> है।

अध्यारोपण द्वारा हम किसी सदिश क्षेत्र का [[कर्ल (गणित)]] प्राप्त करते हैं:

<math display="block">\nabla\times\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell
\left(-\frac{\ell(\ell+1)}{r}E^{(2)}_{\ell m}\mathbf{Y}_{\ell m}-\left(\frac{dE^{(2)}_{\ell m}}{dr}+
\frac{1}{r}E^{(2)}_{\ell m}\right)\mathbf{\Psi}_{\ell m}+
\left(-\frac{1}{r}E^r_{\ell m}+\frac{dE^{(1)}_{\ell m}}{dr}+\frac{1}{r}E^{(1)}_{\ell m}\right)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right).</math>

=== लाप्लासियन ===
[[लाप्लास ऑपरेटर|लाप्लास प्रचालक]] <math>\Delta = \nabla\cdot\nabla</math> की क्रिया निम्नानुसार अलग होती है:

<math display="block">\Delta\left(f(r)\mathbf{Z}_{\ell m}\right) = \left(\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right)\mathbf{Z}_{\ell m}
+ f(r)\Delta \mathbf{Z}_{\ell m},</math>
जहां <math>\mathbf{Z}_{\ell m} = \mathbf{Y}_{\ell m}, \mathbf{\Psi}_{\ell m}, \mathbf{\Phi}_{\ell m}</math> और

<math display="block">\begin{align}
\Delta\mathbf{Y}_{\ell m} &= -\frac{1}{r^2}(2+\ell(\ell+1))\mathbf{Y}_{\ell m} +\frac{2}{r^2}\mathbf{\Psi}_{\ell m}, \\
\Delta\mathbf{\Psi}_{\ell m} &= \frac{2}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{Y}_{\ell m} -\frac{1}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{\Psi}_{\ell m}, \\
\Delta\mathbf{\Phi}_{\ell m} &= -\frac{1}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{\Phi}_{\ell m}.
\end{align}</math>
यह भी ध्यान दें कि यह क्रिया [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] हो जाती है, अर्थात उचित सामान्यीकृत वीएसएच के लिए अप विकर्ण गुणांक <math display="inline">\frac{2}{r^2}\sqrt{\ell(\ell+1)}</math> के बराबर हैं।

== उदाहरण ==

{{multiple image|perrow=3

| image1 = YE1grid.png
| caption1 = <math>\mathbf{\Psi}_{1m}</math>

| image2 = YE2grid.png
| caption2 = <math>\mathbf{\Psi}_{2m}</math>

| image3 = YE3grid.png
| caption3 = <math>\mathbf{\Psi}_{3m}</math>

| image4 = YB1grid.png
| caption4 = <math>\mathbf{\Phi}_{1m}</math>

| image5 = YB2grid.png
| caption5 = <math>\mathbf{\Phi}_{2m}</math>

| image6 = YB3grid.png
| caption6 = <math>\mathbf{\Phi}_{3m}</math>

| footer = Visualizations of the real parts of <math>\ell=1,2,3</math> VSHs. Click to expand.
}}

=== पहला सदिश गोलीय प्रसंवादी ===
{{unordered list
| <math>\ell=0</math>.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{00} &= \sqrt{\frac{1}{4\pi}}\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{\Psi}_{00} &= \mathbf{0}, \\
\mathbf{\Phi}_{00} &= \mathbf{0}.
\end{align}</math>

| <math>\ell=1</math>.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{10} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{Y}_{11} &= -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}e^{i\varphi}\sin\theta\,\hat{\mathbf{r}},
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Psi}_{10} &= -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}, \\
\mathbf{\Psi}_{11} &= -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}e^{i\varphi}\left(\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+i\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right),
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Phi}_{10} &= -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}, \\
\mathbf{\Phi}_{11} &= \sqrt{\frac{3}{8\pi}}e^{i\varphi}\left(i\,\hat{\mathbf{\theta}}-\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right).
\end{align}</math>

| <math>\ell=2</math>.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{20} &= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\,(3\cos^{2}\theta-1)\,\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{Y}_{21} &= -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,\cos\theta\,e^{i\varphi}\,\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{Y}_{22} &= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\,\sin^{2}\theta\,e^{2i\varphi}\,\hat{\mathbf{r}}.
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Psi}_{20} &= -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\,\sin\theta\,\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}, \\
\mathbf{\Psi}_{21} &= -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,e^{i\varphi}\,\left(\cos 2\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+i\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right), \\
\mathbf{\Psi}_{22} &= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{2i\varphi}\,\left(\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+i\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right).
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Phi}_{20} &= -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\sin\theta\,\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}, \\
\mathbf{\Phi}_{21} &= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,e^{i\varphi}\,\left(i\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}-\cos 2\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right), \\
\mathbf{\Phi}_{22} &= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{2i\varphi}\,\left(-i\,\hat{\mathbf{\theta}}+\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right).
\end{align}</math>
}}
सममिति संबंधों को लागू करके {{mvar|m}} के ऋणात्मक मानों के लिए व्यंजक प्राप्त किए जाते हैं।

== अनुप्रयोग ==

=== विद्युतगतिकी ===
वीएसएच बहुध्रुव विकिरण क्षेत्रों के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है। उदाहरण के लिए, एक चुंबकीय बहुध्रुव कोणीय आवृत्ति <math>\omega</math> और जटिल विमा

<math display="block">\hat{\mathbf{J}}= J(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}</math>
के साथ एक दोलन धारा के कारण होते है, और संबंधित विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र,

<math display="block">\begin{align}
\hat{\mathbf{E}} &= E(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\
\hat{\mathbf{B}} &= B^r(r)\mathbf{Y}_{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}
\end{align}</math> के रूप में लिखे जा सकते हैं।

मैक्सवेल समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, गॉस का नियम स्वचालित रूप से

<math display="block">\nabla\cdot\hat{\mathbf{E}}=0</math>
संतुष्ट हो जाता है, जबकि फैराडे का नियम

<math display="block">\nabla\times\hat{\mathbf{E}}=-i\omega\hat{\mathbf{B}}\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases} \dfrac{\ell(\ell+1)}{r}E = i\omega B^r, \\
\dfrac{dE}{dr} +\dfrac{E}{r}= i\omega B^{(1)}\end{cases}</math> के रूप में अलग हो जाते है।

चुंबकीय क्षेत्र के लिए गॉस के नियम का अर्थ है

<math display="block">\nabla\cdot\hat{\mathbf{B}} = 0\quad\Rightarrow \quad\frac{dB^r}{dr}+\frac{2}{r}B^r - \frac{\ell(\ell+1)}{r}B^{(1)}=0,</math>
और एम्पीयर-मैक्सवेल का समीकरण

<math display="block">\nabla\times\hat{\mathbf{B}} = \mu_0 \hat{\mathbf{J}} + i\mu_0\varepsilon_0\omega \hat{\mathbf{E}} \quad\Rightarrow\quad -\frac{B^r}{r}+\frac{dB^{(1)}}{dr}+\frac{B^{(1)}}{r} = \mu_0J+i\omega\mu_0\varepsilon_0E</math> देता है।

इस प्रकार, आंशिक अवकल समीकरण साधारण अवकल समीकरणों के समुच्चय में रूपांतरित हो गए हैं।

==== वैकल्पिक परिभाषा ====
[[File:VSHwiki.svg|thumb|350px|चुंबकीय और विद्युत सदिश गोलीय प्रसंवादी का कोणीय भाग। लाल और हरे तीर क्षेत्र की दिशा दिखाते हैं। अदिश फलन उत्पन्न करना भी प्रस्तुत किया जाता है, मात्र पहले तीन क्रम दिखाए जाते हैं (द्विध्रुवीय, चतुर्ध्रुवी, अष्टध्रुव)।]]कई अनुप्रयोगों में, सदिश गोलीय प्रसंवादी को गोलीय निर्देशांक में सदिश हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के हल के मौलिक समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref name=BohrenHuffman>Bohren, Craig F. and Donald R. Huffman, Absorption and scattering of light by small particles, New York : Wiley, 1998, 530 p., {{ISBN|0-471-29340-7}}, {{ISBN|978-0-471-29340-8}} (second edition)</ref><ref name="stratton">{{Cite book|first=J. A. |last=Stratton|title=विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत|url=https://archive.org/details/electromagnetict0000stra |url-access=registration |location= New York|publisher= McGraw-Hill|year= 1941}}</ref>
इस स्थिति में, सदिश गोलीय प्रसंवादी अदिश फलन द्वारा उत्पन्न होते हैं, जो तरंगसदिश <math> \mathbf k</math> के साथ अदिश हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के हल हैं I
<math display="block">\begin{array}{l}
{\psi_{e m n} = \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r)} \\
{\psi_{o m n} = \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r)}
\end{array} </math>
यहाँ <math>P_{n}^{m}(\cos \theta)</math> [[संबंधित लीजेंड्रे बहुपद]] हैं, और <math> z_{n}({k} r) </math> कोई भी गोलीय बेसेल फलन हैं।

सदिश गोलीय प्रसंवादी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
; अनुदैर्ध्य प्रसंवादी: <math>\mathbf{L}_{^e_o m n}=\mathbf{\nabla} \psi_{^e_o m n} </math>
; चुंबकीय प्रसंवादी: <math>\mathbf{M}_{^e_o m n}=\nabla \times\left(\mathbf{r} \psi_{^e_o m n}\right) </math>
; विद्युतीय प्रसंवादी: <math>\mathbf{N}_{^e_o m n}=\frac{\nabla \times \mathbf{M}_{^e_o m n}}{{k}} </math>
यहां हम प्रसंवादी वास्तविक-मानित कोणीय भाग का उपयोग करते हैं, जहां <math> m \geq 0 </math>, परन्तु जटिल फलनों को उसी प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है।

आइए हम संकेतन <math>\rho = kr</math> का परिचय दें। घटक रूप में सदिश गोलीय प्रसंवादी को इस प्रकार लिखा जाता है:
<math display="block">\begin{aligned}
{\mathbf{M}_{e m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad {\frac{-m}{\sin (\theta)} \sin (m \varphi) P_{n}^{m}(\cos (\theta))} z_{n}(\rho)\mathbf{e}_{\theta}} \\
{{{}-\cos (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta}} }z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\varphi}
\end{aligned}</math><math display="block">\begin{aligned}
{\mathbf{M}_{o m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad {\frac{m}{\sin (\theta)} \cos (m \varphi) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) }}z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\theta} \\
{{}-\sin (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta} z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\varphi}}
\end{aligned}</math><math display="block">\begin{aligned}
{\mathbf{N}_{e m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad \frac{z_{n}(\rho)}{\rho} \cos (m \varphi) n(n+1) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) \mathbf{e}_{\mathbf{r}}} \\
{{{{}+\cos (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta}}}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\theta} \\
{{{}-m \sin (m \varphi) \frac{P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{\sin (\theta)}}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\varphi}
\end{aligned}</math><math display="block">\begin{aligned}
\mathbf{N}_{o m n} (k, \mathbf{r}) =\qquad \frac{z_{n}(\rho)}{\rho} \sin (m \varphi) n(n+1) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) \mathbf{e}_{\mathbf{r}} \\
{}+\sin (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\theta} \\
{}+{m \cos (m \varphi) \frac{P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{\sin (\theta)}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned}
</math>
चुंबकीय प्रसंवादी के लिए कोई त्रिज्यीय भाग नहीं है। विद्युतीय प्रसंवादी के लिए, त्रिज्यीय भाग कोणीय से तीव्रता से घटता है, और बड़े <math>\rho</math> के लिए उपेक्षित किया जा सकता है। हम यह भी देख सकते हैं कि विद्युत और चुंबकीय प्रसंवादी के लिए ध्रुवीय और दिगंशीय इकाई सदिश के क्रमपरिवर्तन तक कोणीय भाग समान होते हैं, इसलिए बड़े <math>\rho</math> के लिए विद्युतीय और चुंबकीय प्रसंवादी सदिश एक दूसरे के मान और लंबवत के बराबर होते हैं।

अनुदैर्ध्य प्रसंवादी:
<math display="block"> \begin{aligned}
\mathbf{L}_{^e_o{m n}}(k, \mathbf{r})
{}=\qquad &\frac{\partial}{\partial r} z_{n}(k r) P_{n}^{m}(\cos \theta){^{\cos }_{\sin }} {m \varphi} \mathbf{e}_r \\
{}+{} &\frac{1}{r} z_{n}(k r) \frac{\partial}{\partial \theta} P_{n}^{m}(\cos \theta) {^{\cos }_{\sin}} m \varphi \mathbf{e}_{\theta} \\
{}\mp{} &\frac{m}{r \sin \theta} z_{n}(k r) P_{n}^{m}(\cos \theta) {^{\sin }_{\cos}} m \varphi \mathbf{e}_{\varphi}
\end{aligned}</math>

==== लंबकोणीयता ====

हेल्महोल्ट्ज़ सदिश समीकरण के हल निम्नलिखित लंबकोणीयता संबंधों का पालन करते हैं:<ref name="stratton" />
<math display="block">\begin{align}
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{L}_{^e_omn} \cdot \mathbf{L}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{(2 n+1)^{2}} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(k r)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(k r)\right]^{2}\right\} \\[3pt]
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{M}_{^e_omn} \cdot \mathbf{M}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{2 n+1} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} n(n+1)\left[z_{n}(k r)\right]^2 \\[3pt]

\end{align}</math>
विभिन्न फलनों या विभिन्न सूचकांकों के साथ फलनों के बीच के कोणों पर अन्य सभी अभिन्न शून्य के बराबर हैं।

=== घूर्णन और व्युत्क्रमण ===
[[File:RotationwikiVSH.svg|500px|thumb|घूर्णन के अंतर्गत सदिश गोलीय प्रसंवादी के परिवर्तन का चित्रण। कोई देख सकता है कि वे उसी प्रकार से रूपांतरित होते हैं जैसे संबंधित अदिश फलन।]]घूर्णन के अंतर्गत, सदिश गोलीय प्रसंवादी एक दूसरे के माध्यम से उसी प्रकार से रूपांतरित होते हैं जैसे संबंधित गोलीय प्रसंवादी घूर्णन, जो एक विशिष्ट प्रकार के सदिश प्रसंवादी के लिए उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि उत्पादक फलन सामान्य गोलीय प्रसंवादी हैं, तो सदिश प्रसंवादी भी [[विग्नर डी-मैट्रिक्स|विग्नर डी-आव्यूह]] के माध्यम से रूपांतरित हो जाएंगे।<ref>D. A. Varhalovich, A. N. Moskalev, and V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum [in Russian], Nauka, Leningrad (1975)</ref><ref>H. Zhang, Yi. Han, '' Addition theorem for the spherical vector wave functions and its application to the beam shape coeffcients.'' J. Opt. Soc. Am. B, 25(2):255-260, Feb 2008.</ref><ref>S. Stein, ''Addition theorems for spherical wave functions'', Quarterly of Applied Mathematics, 19(1):15-24, 1961.</ref>
<math display="block">
\hat{D}(\alpha, \beta, \gamma) \mathbf{Y}_{JM}^{(s)}(\theta, \varphi)= \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{MM'}(\alpha, \beta, \gamma)]^* \mathbf{Y}_{JM'}^{(s)}(\theta, \varphi),
</math>
घूर्णन के अंतर्गत व्यवहार विद्युत, चुंबकीय और अनुदैर्ध्य प्रसंवादी के लिए समान है।

व्युत्क्रमण के अंतर्गत, विद्युत और अनुदैर्ध्य गोलीय प्रसंवादी उसी प्रकार व्यवहार करते हैं जैसे अदिश गोलीय फलन, अर्थात।
<math display="block">
\hat{I}\mathbf{N}_{JM}(\theta, \varphi)= (-1)^J \mathbf{N}_{JM}(\theta, \varphi),
</math>
और चुंबकीय वाले विपरीत समानता रखते हैं:
<math display="block">
\hat{I}\mathbf{M}_{JM}(\theta, \varphi)= (-1)^{J+1} \mathbf{M}_{JM}(\theta, \varphi),
</math>

=== द्रव गतिकी ===

कर्षण के लिए स्टोक्स के नियम की गणना में कि एक श्यान द्रव एक छोटे गोलीय कण पर निकलते है, वेग वितरण जड़ता की उपेक्षा करते हुए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का पालन करते है, अर्थात।

<math display="block">\begin{align}
0 &= \nabla\cdot \mathbf{v}, \\
\mathbf{0} &= -\nabla p + \eta \nabla^2\mathbf{v},
\end{align}</math>
सीमा स्थितियों

<math display="block">\mathbf{v} = \begin{cases}
\mathbf{0} & r = a, \\
-\mathbf{U}_0 & r \to \infty
\end{cases}</math> के साथ।

जहाँ U, कण से दूर द्रव में कण का आपेक्षिक वेग है। गोलीय निर्देशांकों में अनंत पर इस वेग को

<math display="block">\mathbf{U}_0 = U_0\left(\cos\theta\, \hat{\mathbf{r}} - \sin\theta \,\hat{\mathbf{\theta}}\right) = U_0 \left(\mathbf{Y}_{10} + \mathbf{\Psi}_{10}\right)</math> के रूप में लिखा जा सकता है।

अंतिम अभिव्यक्ति तरल वेग और दाब

<math display="block">\begin{align}
p &= p(r)Y_{10}, \\
\mathbf{v} &= v^r(r) \mathbf{Y}_{10} + v^{(1)}(r) \mathbf{\Psi}_{10}
\end{align}</math> के लिए गोलीय प्रसंवादी में विस्तार का सुझाव देती है।

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में प्रतिस्थापन गुणांकों के लिए सामान्य अंतर समीकरणों के समुच्चय उत्पन्न करते है।

== अभिन्न संबंध ==

यहाँ निम्नलिखित परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है:

<math display="block">\begin{align}
Y_{e m n} &= \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \theta) \\
Y_{o m n} &= \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \theta)
\end{align}</math><math display="block">
\mathbf{X}_{^e_o m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) = \nabla \times\left(\mathbf{k} Y_{^o_e m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)\right)
</math><math display="block">
\mathbf{Z}_{^o_e m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) = i \frac{\mathbf{k}}{k} \times \mathbf{X}_{^e_o m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)
</math>
स्थिति में, जब <math>z_n</math> के अतिरिक्त गोलीय बेसेल फलन होते हैं, तो [[समतल तरंग विस्तार]] की सहायता से निम्नलिखित अभिन्न संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं: <ref name="stout">[http://www.fresnel.fr/perso/stout/SHMs.pdf B. Stout,''Spherical harmonic lattice sums for gratings. In: Popov E, editor. Gratings: theory and numeric applications.'' Institut Fresnel, Universite d'Aix-Marseille 6 (2012).]</ref>

<math display="block">
\mathbf {N}_{pmn}(k, \mathbf r) = \frac{i^{-n}}{4\pi} \int \mathbf Z_{pmn}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) e^{i \mathbf k \mathbf r} d\Omega_k
</math><math display="block">
\mathbf {M}_{pmn}(k, \mathbf r) =\frac{i^{-n}}{4\pi} \int \mathbf X_{pmn}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) e^{i \mathbf k \mathbf r} d\Omega_k
</math>
स्थिति में, जब <math>z_n</math> गोलीय हैंकेल फलन होते हैं, तो विभिन्न सूत्रों का उपयोग करना चाहिए।<ref>[https://ieeexplore.ieee.org/document/7220 R. C. Wittmann, ''Spherical wave operators and the translation formulas,'' IEEE Transactions on Antennas and Propagation 36, 1078-1087 (1988)]</ref><ref name="stout" /> सदिश गोलीय प्रसंवादी के लिए निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं:

<math display="block">
\mathbf{M}_{p m n}^{(3)}(k, \mathbf{r}) = \frac{i^{-n}}{2 \pi k} \iint_{-\infty}^{\infty} d k_{ \|} \frac{e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y \pm k_{z} z\right)}}{k_{z}} \mathbf{X}_{p m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)
</math><math display="block">
\mathbf{N}_{p m n}^{(3)}(k, \mathbf{r}) = \frac{i^{-n}}{2 \pi k} \iint_{-\infty}^{\infty} d k_{ \|} \frac{e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y \pm k_{z} z\right)}}{k_{z}} \mathbf{Z}_{p m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)
</math>
जहां <math display="inline"> k_{z} = \sqrt{k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}} </math>, अनुक्रमणिका <math> (3) </math> का अर्थ है कि गोलीय हैंकेल फलनों का उपयोग किया जाता है।

== यह भी देखें ==

* गोलीय प्रसंवादी
* [[स्पिनर गोलाकार हार्मोनिक्स|घूर्णक गोलीय प्रसंवादी]]
* [[स्पिन-भारित गोलाकार हार्मोनिक्स|चक्रण-भारित गोलीय प्रसंवादी]]
* [[विद्युत चुम्बकीय विकिरण]]
* [[गोलाकार आधार|गोलीय आधार]]

==संदर्भ==
<references />

==बाहरी संबंध==
* [http://mathworld.wolfram.com/VectorSphericalHarmonic.html ''Vector Spherical Harmonics'' at Eric Weisstein's Mathworld]

[[Category:Created On 12/05/2023]]
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[[Category:विभेदक समीकरण]]
[[Category:विशेष कार्य]]
[[Category:वेक्टर पथरी]]
[[Category:व्यावहारिक गणित]]
[[Category:सैद्धांतिक भौतिकी]]

सदिश गोलीय प्रसंवादी

2023-11-16T11:00:03Z

Arti: Arti moved page वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स to सदिश गोलीय प्रसंवादी without leaving a redirect

{{short description|Extension of the scalar spherical harmonics for use with vector fields}}
गणित में, सदिश [[गोलाकार हार्मोनिक्स|गोलीय प्रसंवादी]] (वीएसएच) [[वेक्टर क्षेत्र|सदिश क्षेत्रों]] के उपयोग के लिए अदिश गोलीय प्रसंवादी का विस्तार है। वीएसएच के घटक [[गोलाकार समन्वय प्रणाली|गोलीय समन्वय प्रणाली]] में व्यक्त जटिल-मानित फलन हैं।

== परिभाषा ==
वीएसएच को परिभाषित करने के लिए कई परिपाटी का उपयोग किया गया है।<ref>{{cite journal | last1=Barrera | first1=R G | last2=Estevez | first2=G A | last3=Giraldo | first3=J | title=वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स और मैग्नेटोस्टैटिक्स के लिए उनका अनुप्रयोग| journal=European Journal of Physics | publisher=IOP Publishing | volume=6 | issue=4 | date=1985-10-01 | issn=0143-0807 | doi=10.1088/0143-0807/6/4/014 | pages=287–294| bibcode=1985EJPh....6..287B | citeseerx=10.1.1.718.2001 | s2cid=250894245 }}</ref><ref>{{cite journal | last1=Carrascal | first1=B | last2=Estevez | first2=G A | last3=Lee | first3=Peilian | last4=Lorenzo | first4=V | title=वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स और शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स के लिए उनका अनुप्रयोग| journal=European Journal of Physics | publisher=IOP Publishing | volume=12 | issue=4 | date=1991-07-01 | issn=0143-0807 | doi=10.1088/0143-0807/12/4/007 | pages=184–191| bibcode=1991EJPh...12..184C | s2cid=250886412 }}</ref><ref>{{cite journal | last=Hill | first=E. L. | title=वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स का सिद्धांत| journal=American Journal of Physics | publisher=American Association of Physics Teachers (AAPT) | volume=22 | issue=4 | year=1954 | issn=0002-9505 | doi=10.1119/1.1933682 | pages=211–214| bibcode=1954AmJPh..22..211H | s2cid=124182424 | url=http://pdfs.semanticscholar.org/e950/1438ddec10ff6baef4614cf3b66f4e27c44b.pdf | archive-url=https://web.archive.org/web/20200412143916/http://pdfs.semanticscholar.org/e950/1438ddec10ff6baef4614cf3b66f4e27c44b.pdf | url-status=dead | archive-date=2020-04-12 }}</ref><ref>{{cite journal | last=Weinberg | first=Erick J. | title=मोनोपोल वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स| journal=Physical Review D | publisher=American Physical Society (APS) | volume=49 | issue=2 | date=1994-01-15 | issn=0556-2821 | doi=10.1103/physrevd.49.1086 | pages=1086–1092| pmid=10017069 |arxiv=hep-th/9308054| bibcode=1994PhRvD..49.1086W | s2cid=6429605 }}</ref><ref>P.M. Morse and H. Feshbach, ''Methods of Theoretical Physics, Part II'', New York: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953)</ref> हम बैरेरा एट अल का अनुसरण करते हैं। एक अदिश [[गोलाकार हार्मोनिक|गोलीय प्रसंवादी]] {{math|''Yℓm''(''θ'', ''φ'')}} दिया गया, हम तीन वीएसएच परिभाषित करते हैं:

* <math>\mathbf{Y}_{\ell m} = Y_{\ell m}\hat{\mathbf{r}},</math>
* <math>\mathbf{\Psi}_{\ell m} = r\nabla Y_{\ell m},</math>
* <math>\mathbf{\Phi}_{\ell m} = \mathbf{r}\times\nabla Y_{\ell m},</math>
जिसमें <math>\hat{\mathbf{r}}</math> गोलीय समन्वय प्रणाली में त्रिज्यीय दिशा के साथ [[इकाई वेक्टर|इकाई सदिश]] है और <math>\mathbf{r}</math> सदिश त्रिज्यीय दिशा के साथ त्रिज्या के समान मानदंड के साथ, अर्थात, <math>\mathbf{r} = r\hat{\mathbf{r}}</math>। त्रिज्यीय कारकों को यह गारंटी देने के लिए सम्मिलित किया गया है कि वीएसएच की विमा सामान्य गोलीय प्रसंवादी के समान हैं और वीएसएच त्रिज्यीय गोलीय समन्वय पर निर्भर नहीं है।

गोलीय निर्देशांक का उपयोग करते समय इन नवीन सदिश क्षेत्रों का हित त्रिज्यीय निर्भरता को कोणीय से अलग करना है, ताकि एक सदिश क्षेत्र बहुध्रुव विस्तार

<math display="block">\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(E^r_{\ell m}(r) \mathbf{Y}_{\ell m} + E^{(1)}_{\ell m}(r) \mathbf{\Psi}_{\ell m} + E^{(2)}_{\ell m}(r) \mathbf{\Phi}_{\ell m}\right)</math> को स्वीकार कर सके।

घटकों पर लेबल यह दर्शाते हैं कि <math>E^r_{\ell m}</math> सदिश क्षेत्र का त्रिज्यीय घटक है, जबकि <math>E^{(1)}_{\ell m}</math> और <math>E^{(2)}_{\ell m}</math> अनुप्रस्थ घटक हैं (त्रिज्या सदिश <math>\mathbf{r}</math> के संबंध में)।

== मुख्य गुण ==

=== समरूपता ===
अदिश गोलीय प्रसंवादी के जैसे, वीएसएच

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{Y}^*_{\ell m}, \\
\mathbf{\Psi}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{\Psi}^*_{\ell m}, \\
\mathbf{\Phi}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{\Phi}^*_{\ell m},
\end{align}</math>
को संतुष्ट करता है जो स्वतंत्र फलनों की संख्या को लगभग आधा कर देता है। तारा जटिल संयुग्म को इंगित करता है।

===लंबकोणीयता ===

वीएसएच प्रत्येक बिंदु <math>\mathbf{r}</math> पर सामान्य त्रि-विमीय विधि से [[ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन|लांबिक फलन]] हैं :

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Psi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0, \\
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0, \\
\mathbf{\Psi}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0.
\end{align}</math>
वे हिल्बर्ट समष्टि में भी लांबिक हैं:

<math display="block">\begin{align}
\int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{Y}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\
\int\mathbf{\Psi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \ell(\ell+1)\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\
\int\mathbf{\Phi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \ell(\ell+1)\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\
\int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0, \\
\int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0, \\
\int\mathbf{\Psi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0.
\end{align}</math>
एकल <math>\mathbf{r}</math> पर अतिरिक्त परिणाम (बैरेरा एट अल, 1985 में रिपोर्ट नहीं किया गया) सभी <math>\ell,m,\ell',m'</math>,

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Psi}_{\ell'm'}(\mathbf{r}) &= 0, \\
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell'm'}(\mathbf{r}) &= 0
\end{align}</math> के लिए है।

=== सदिश बहुध्रुव आघूर्ण ===
लंबकोणीयता संबंध किसी को सदिश क्षेत्र के गोलीय बहुध्रुव आघूर्ण को

<math display="block">\begin{align}
E^r_{\ell m} &= \int \mathbf{E}\cdot \mathbf{Y}^*_{\ell m}\,d\Omega, \\
E^{(1)}_{\ell m} &= \frac{1}{\ell(\ell+1)}\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell m}\,d\Omega, \\
E^{(2)}_{\ell m} &= \frac{1}{\ell(\ell+1)}\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell m}\,d\Omega
\end{align}</math> के रूप में परिकलित करने की अनुमति देते हैं।

=== एक अदिश क्षेत्र की प्रवणता ===
एक अदिश क्षेत्र

<math display="block">\phi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \phi_{\ell m}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi),</math>
के बहुध्रुव विस्तार को देखते हुए, हम वीएसएच के संदर्भ में

<math display="block">\nabla\phi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell\left(\frac{d\phi_{\ell m}}{dr} \mathbf{Y}_{\ell m}+
\frac{\phi_{\ell m}}{r}\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right)</math> के रूप में इसकी प्रवणता व्यक्त कर सकते हैं।

=== विचलन ===
किसी भी बहुध्रुवीय क्षेत्र के लिए हमारे निकट

<math display="block">\begin{align}
\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{Y}_{\ell m}\right) &= \left(\frac{df}{dr} + \frac{2}{r}f\right) Y_{\ell m}, \\
\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right) &= -\frac{\ell(\ell+1)}{r} f Y_{\ell m}, \\
\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right) &= 0
\end{align}</math> है।

अधिस्थापन द्वारा हम किसी भी सदिश क्षेत्र का [[विचलन]] प्राप्त करते हैं:

<math display="block">\nabla\cdot\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(\frac{dE^r_{\ell m}}{dr}+\frac{2}{r}E^r_{\ell m}-\frac{\ell(\ell+1)}{r}E^{(1)}_{\ell m}\right)Y_{\ell m}.</math>
हम देखते हैं कि {{math|'''Φ'''''ℓm''}} पर घटक सदैव [[solenoidal|परिनालिकीय]] होता है।

=== कर्ल ===
किसी भी बहुध्रुवीय क्षेत्र के लिए हमारे निकट

<math display="block">\begin{align}
\nabla\times\left(f(r)\mathbf{Y}_{\ell m}\right) &= -\frac{1}{r}f\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\
\nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right) &= \left(\frac{df}{dr}+\frac{1}{r}f\right)\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\
\nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right) &= -\frac{\ell(\ell+1)}{r}f\mathbf{Y}_{\ell m}-\left(\frac{df}{dr} + \frac{1}{r} f\right)\mathbf{\Psi}_{\ell m}
\end{align}</math> है।

अध्यारोपण द्वारा हम किसी सदिश क्षेत्र का [[कर्ल (गणित)]] प्राप्त करते हैं:

<math display="block">\nabla\times\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell
\left(-\frac{\ell(\ell+1)}{r}E^{(2)}_{\ell m}\mathbf{Y}_{\ell m}-\left(\frac{dE^{(2)}_{\ell m}}{dr}+
\frac{1}{r}E^{(2)}_{\ell m}\right)\mathbf{\Psi}_{\ell m}+
\left(-\frac{1}{r}E^r_{\ell m}+\frac{dE^{(1)}_{\ell m}}{dr}+\frac{1}{r}E^{(1)}_{\ell m}\right)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right).</math>

=== लाप्लासियन ===
[[लाप्लास ऑपरेटर|लाप्लास प्रचालक]] <math>\Delta = \nabla\cdot\nabla</math> की क्रिया निम्नानुसार अलग होती है:

<math display="block">\Delta\left(f(r)\mathbf{Z}_{\ell m}\right) = \left(\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right)\mathbf{Z}_{\ell m}
+ f(r)\Delta \mathbf{Z}_{\ell m},</math>
जहां <math>\mathbf{Z}_{\ell m} = \mathbf{Y}_{\ell m}, \mathbf{\Psi}_{\ell m}, \mathbf{\Phi}_{\ell m}</math> और

<math display="block">\begin{align}
\Delta\mathbf{Y}_{\ell m} &= -\frac{1}{r^2}(2+\ell(\ell+1))\mathbf{Y}_{\ell m} +\frac{2}{r^2}\mathbf{\Psi}_{\ell m}, \\
\Delta\mathbf{\Psi}_{\ell m} &= \frac{2}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{Y}_{\ell m} -\frac{1}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{\Psi}_{\ell m}, \\
\Delta\mathbf{\Phi}_{\ell m} &= -\frac{1}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{\Phi}_{\ell m}.
\end{align}</math>
यह भी ध्यान दें कि यह क्रिया [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] हो जाती है, अर्थात उचित सामान्यीकृत वीएसएच के लिए अप विकर्ण गुणांक <math display="inline">\frac{2}{r^2}\sqrt{\ell(\ell+1)}</math> के बराबर हैं।

== उदाहरण ==

{{multiple image|perrow=3

| image1 = YE1grid.png
| caption1 = <math>\mathbf{\Psi}_{1m}</math>

| image2 = YE2grid.png
| caption2 = <math>\mathbf{\Psi}_{2m}</math>

| image3 = YE3grid.png
| caption3 = <math>\mathbf{\Psi}_{3m}</math>

| image4 = YB1grid.png
| caption4 = <math>\mathbf{\Phi}_{1m}</math>

| image5 = YB2grid.png
| caption5 = <math>\mathbf{\Phi}_{2m}</math>

| image6 = YB3grid.png
| caption6 = <math>\mathbf{\Phi}_{3m}</math>

| footer = Visualizations of the real parts of <math>\ell=1,2,3</math> VSHs. Click to expand.
}}

=== पहला सदिश गोलीय प्रसंवादी ===
{{unordered list
| <math>\ell=0</math>.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{00} &= \sqrt{\frac{1}{4\pi}}\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{\Psi}_{00} &= \mathbf{0}, \\
\mathbf{\Phi}_{00} &= \mathbf{0}.
\end{align}</math>

| <math>\ell=1</math>.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{10} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{Y}_{11} &= -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}e^{i\varphi}\sin\theta\,\hat{\mathbf{r}},
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Psi}_{10} &= -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}, \\
\mathbf{\Psi}_{11} &= -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}e^{i\varphi}\left(\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+i\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right),
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Phi}_{10} &= -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}, \\
\mathbf{\Phi}_{11} &= \sqrt{\frac{3}{8\pi}}e^{i\varphi}\left(i\,\hat{\mathbf{\theta}}-\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right).
\end{align}</math>

| <math>\ell=2</math>.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{20} &= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\,(3\cos^{2}\theta-1)\,\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{Y}_{21} &= -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,\cos\theta\,e^{i\varphi}\,\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{Y}_{22} &= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\,\sin^{2}\theta\,e^{2i\varphi}\,\hat{\mathbf{r}}.
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Psi}_{20} &= -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\,\sin\theta\,\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}, \\
\mathbf{\Psi}_{21} &= -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,e^{i\varphi}\,\left(\cos 2\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+i\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right), \\
\mathbf{\Psi}_{22} &= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{2i\varphi}\,\left(\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+i\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right).
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Phi}_{20} &= -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\sin\theta\,\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}, \\
\mathbf{\Phi}_{21} &= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,e^{i\varphi}\,\left(i\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}-\cos 2\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right), \\
\mathbf{\Phi}_{22} &= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{2i\varphi}\,\left(-i\,\hat{\mathbf{\theta}}+\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right).
\end{align}</math>
}}
सममिति संबंधों को लागू करके {{mvar|m}} के ऋणात्मक मानों के लिए व्यंजक प्राप्त किए जाते हैं।

== अनुप्रयोग ==

=== विद्युतगतिकी ===
वीएसएच बहुध्रुव विकिरण क्षेत्रों के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है। उदाहरण के लिए, एक चुंबकीय बहुध्रुव कोणीय आवृत्ति <math>\omega</math> और जटिल विमा

<math display="block">\hat{\mathbf{J}}= J(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}</math>
के साथ एक दोलन धारा के कारण होते है, और संबंधित विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र,

<math display="block">\begin{align}
\hat{\mathbf{E}} &= E(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\
\hat{\mathbf{B}} &= B^r(r)\mathbf{Y}_{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}
\end{align}</math> के रूप में लिखे जा सकते हैं।

मैक्सवेल समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, गॉस का नियम स्वचालित रूप से

<math display="block">\nabla\cdot\hat{\mathbf{E}}=0</math>
संतुष्ट हो जाता है, जबकि फैराडे का नियम

<math display="block">\nabla\times\hat{\mathbf{E}}=-i\omega\hat{\mathbf{B}}\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases} \dfrac{\ell(\ell+1)}{r}E = i\omega B^r, \\
\dfrac{dE}{dr} +\dfrac{E}{r}= i\omega B^{(1)}\end{cases}</math> के रूप में अलग हो जाते है।

चुंबकीय क्षेत्र के लिए गॉस के नियम का अर्थ है

<math display="block">\nabla\cdot\hat{\mathbf{B}} = 0\quad\Rightarrow \quad\frac{dB^r}{dr}+\frac{2}{r}B^r - \frac{\ell(\ell+1)}{r}B^{(1)}=0,</math>
और एम्पीयर-मैक्सवेल का समीकरण

<math display="block">\nabla\times\hat{\mathbf{B}} = \mu_0 \hat{\mathbf{J}} + i\mu_0\varepsilon_0\omega \hat{\mathbf{E}} \quad\Rightarrow\quad -\frac{B^r}{r}+\frac{dB^{(1)}}{dr}+\frac{B^{(1)}}{r} = \mu_0J+i\omega\mu_0\varepsilon_0E</math> देता है।

इस प्रकार, आंशिक अवकल समीकरण साधारण अवकल समीकरणों के समुच्चय में रूपांतरित हो गए हैं।

==== वैकल्पिक परिभाषा ====
[[File:VSHwiki.svg|thumb|350px|चुंबकीय और विद्युत सदिश गोलीय प्रसंवादी का कोणीय भाग। लाल और हरे तीर क्षेत्र की दिशा दिखाते हैं। अदिश फलन उत्पन्न करना भी प्रस्तुत किया जाता है, मात्र पहले तीन क्रम दिखाए जाते हैं (द्विध्रुवीय, चतुर्ध्रुवी, अष्टध्रुव)।]]कई अनुप्रयोगों में, सदिश गोलीय प्रसंवादी को गोलीय निर्देशांक में सदिश हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के हल के मौलिक समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref name=BohrenHuffman>Bohren, Craig F. and Donald R. Huffman, Absorption and scattering of light by small particles, New York : Wiley, 1998, 530 p., {{ISBN|0-471-29340-7}}, {{ISBN|978-0-471-29340-8}} (second edition)</ref><ref name="stratton">{{Cite book|first=J. A. |last=Stratton|title=विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत|url=https://archive.org/details/electromagnetict0000stra |url-access=registration |location= New York|publisher= McGraw-Hill|year= 1941}}</ref>
इस स्थिति में, सदिश गोलीय प्रसंवादी अदिश फलन द्वारा उत्पन्न होते हैं, जो तरंगसदिश <math> \mathbf k</math> के साथ अदिश हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के हल हैं I
<math display="block">\begin{array}{l}
{\psi_{e m n} = \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r)} \\
{\psi_{o m n} = \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r)}
\end{array} </math>
यहाँ <math>P_{n}^{m}(\cos \theta)</math> [[संबंधित लीजेंड्रे बहुपद]] हैं, और <math> z_{n}({k} r) </math> कोई भी गोलीय बेसेल फलन हैं।

सदिश गोलीय प्रसंवादी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
; अनुदैर्ध्य प्रसंवादी: <math>\mathbf{L}_{^e_o m n}=\mathbf{\nabla} \psi_{^e_o m n} </math>
; चुंबकीय प्रसंवादी: <math>\mathbf{M}_{^e_o m n}=\nabla \times\left(\mathbf{r} \psi_{^e_o m n}\right) </math>
; विद्युतीय प्रसंवादी: <math>\mathbf{N}_{^e_o m n}=\frac{\nabla \times \mathbf{M}_{^e_o m n}}{{k}} </math>
यहां हम प्रसंवादी वास्तविक-मानित कोणीय भाग का उपयोग करते हैं, जहां <math> m \geq 0 </math>, परन्तु जटिल फलनों को उसी प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है।

आइए हम संकेतन <math>\rho = kr</math> का परिचय दें। घटक रूप में सदिश गोलीय प्रसंवादी को इस प्रकार लिखा जाता है:
<math display="block">\begin{aligned}
{\mathbf{M}_{e m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad {\frac{-m}{\sin (\theta)} \sin (m \varphi) P_{n}^{m}(\cos (\theta))} z_{n}(\rho)\mathbf{e}_{\theta}} \\
{{{}-\cos (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta}} }z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\varphi}
\end{aligned}</math><math display="block">\begin{aligned}
{\mathbf{M}_{o m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad {\frac{m}{\sin (\theta)} \cos (m \varphi) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) }}z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\theta} \\
{{}-\sin (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta} z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\varphi}}
\end{aligned}</math><math display="block">\begin{aligned}
{\mathbf{N}_{e m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad \frac{z_{n}(\rho)}{\rho} \cos (m \varphi) n(n+1) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) \mathbf{e}_{\mathbf{r}}} \\
{{{{}+\cos (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta}}}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\theta} \\
{{{}-m \sin (m \varphi) \frac{P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{\sin (\theta)}}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\varphi}
\end{aligned}</math><math display="block">\begin{aligned}
\mathbf{N}_{o m n} (k, \mathbf{r}) =\qquad \frac{z_{n}(\rho)}{\rho} \sin (m \varphi) n(n+1) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) \mathbf{e}_{\mathbf{r}} \\
{}+\sin (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\theta} \\
{}+{m \cos (m \varphi) \frac{P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{\sin (\theta)}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned}
</math>
चुंबकीय प्रसंवादी के लिए कोई त्रिज्यीय भाग नहीं है। विद्युतीय प्रसंवादी के लिए, त्रिज्यीय भाग कोणीय से तीव्रता से घटता है, और बड़े <math>\rho</math> के लिए उपेक्षित किया जा सकता है। हम यह भी देख सकते हैं कि विद्युत और चुंबकीय प्रसंवादी के लिए ध्रुवीय और दिगंशीय इकाई सदिश के क्रमपरिवर्तन तक कोणीय भाग समान होते हैं, इसलिए बड़े <math>\rho</math> के लिए विद्युतीय और चुंबकीय प्रसंवादी सदिश एक दूसरे के मान और लंबवत के बराबर होते हैं।

अनुदैर्ध्य प्रसंवादी:
<math display="block"> \begin{aligned}
\mathbf{L}_{^e_o{m n}}(k, \mathbf{r})
{}=\qquad &\frac{\partial}{\partial r} z_{n}(k r) P_{n}^{m}(\cos \theta){^{\cos }_{\sin }} {m \varphi} \mathbf{e}_r \\
{}+{} &\frac{1}{r} z_{n}(k r) \frac{\partial}{\partial \theta} P_{n}^{m}(\cos \theta) {^{\cos }_{\sin}} m \varphi \mathbf{e}_{\theta} \\
{}\mp{} &\frac{m}{r \sin \theta} z_{n}(k r) P_{n}^{m}(\cos \theta) {^{\sin }_{\cos}} m \varphi \mathbf{e}_{\varphi}
\end{aligned}</math>

==== लंबकोणीयता ====

हेल्महोल्ट्ज़ सदिश समीकरण के हल निम्नलिखित लंबकोणीयता संबंधों का पालन करते हैं:<ref name="stratton" />
<math display="block">\begin{align}
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{L}_{^e_omn} \cdot \mathbf{L}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{(2 n+1)^{2}} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(k r)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(k r)\right]^{2}\right\} \\[3pt]
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{M}_{^e_omn} \cdot \mathbf{M}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{2 n+1} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} n(n+1)\left[z_{n}(k r)\right]^2 \\[3pt]

\end{align}</math>
विभिन्न फलनों या विभिन्न सूचकांकों के साथ फलनों के बीच के कोणों पर अन्य सभी अभिन्न शून्य के बराबर हैं।

=== घूर्णन और व्युत्क्रमण ===
[[File:RotationwikiVSH.svg|500px|thumb|घूर्णन के अंतर्गत सदिश गोलीय प्रसंवादी के परिवर्तन का चित्रण। कोई देख सकता है कि वे उसी प्रकार से रूपांतरित होते हैं जैसे संबंधित अदिश फलन।]]घूर्णन के अंतर्गत, सदिश गोलीय प्रसंवादी एक दूसरे के माध्यम से उसी प्रकार से रूपांतरित होते हैं जैसे संबंधित गोलीय प्रसंवादी घूर्णन, जो एक विशिष्ट प्रकार के सदिश प्रसंवादी के लिए उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि उत्पादक फलन सामान्य गोलीय प्रसंवादी हैं, तो सदिश प्रसंवादी भी [[विग्नर डी-मैट्रिक्स|विग्नर डी-आव्यूह]] के माध्यम से रूपांतरित हो जाएंगे।<ref>D. A. Varhalovich, A. N. Moskalev, and V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum [in Russian], Nauka, Leningrad (1975)</ref><ref>H. Zhang, Yi. Han, '' Addition theorem for the spherical vector wave functions and its application to the beam shape coeffcients.'' J. Opt. Soc. Am. B, 25(2):255-260, Feb 2008.</ref><ref>S. Stein, ''Addition theorems for spherical wave functions'', Quarterly of Applied Mathematics, 19(1):15-24, 1961.</ref>
<math display="block">
\hat{D}(\alpha, \beta, \gamma) \mathbf{Y}_{JM}^{(s)}(\theta, \varphi)= \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{MM'}(\alpha, \beta, \gamma)]^* \mathbf{Y}_{JM'}^{(s)}(\theta, \varphi),
</math>
घूर्णन के अंतर्गत व्यवहार विद्युत, चुंबकीय और अनुदैर्ध्य प्रसंवादी के लिए समान है।

व्युत्क्रमण के अंतर्गत, विद्युत और अनुदैर्ध्य गोलीय प्रसंवादी उसी प्रकार व्यवहार करते हैं जैसे अदिश गोलीय फलन, अर्थात।
<math display="block">
\hat{I}\mathbf{N}_{JM}(\theta, \varphi)= (-1)^J \mathbf{N}_{JM}(\theta, \varphi),
</math>
और चुंबकीय वाले विपरीत समानता रखते हैं:
<math display="block">
\hat{I}\mathbf{M}_{JM}(\theta, \varphi)= (-1)^{J+1} \mathbf{M}_{JM}(\theta, \varphi),
</math>

=== द्रव गतिकी ===

कर्षण के लिए स्टोक्स के नियम की गणना में कि एक श्यान द्रव एक छोटे गोलीय कण पर निकलते है, वेग वितरण जड़ता की उपेक्षा करते हुए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का पालन करते है, अर्थात।

<math display="block">\begin{align}
0 &= \nabla\cdot \mathbf{v}, \\
\mathbf{0} &= -\nabla p + \eta \nabla^2\mathbf{v},
\end{align}</math>
सीमा स्थितियों

<math display="block">\mathbf{v} = \begin{cases}
\mathbf{0} & r = a, \\
-\mathbf{U}_0 & r \to \infty
\end{cases}</math> के साथ।

जहाँ U, कण से दूर द्रव में कण का आपेक्षिक वेग है। गोलीय निर्देशांकों में अनंत पर इस वेग को

<math display="block">\mathbf{U}_0 = U_0\left(\cos\theta\, \hat{\mathbf{r}} - \sin\theta \,\hat{\mathbf{\theta}}\right) = U_0 \left(\mathbf{Y}_{10} + \mathbf{\Psi}_{10}\right)</math> के रूप में लिखा जा सकता है।

अंतिम अभिव्यक्ति तरल वेग और दाब

<math display="block">\begin{align}
p &= p(r)Y_{10}, \\
\mathbf{v} &= v^r(r) \mathbf{Y}_{10} + v^{(1)}(r) \mathbf{\Psi}_{10}
\end{align}</math> के लिए गोलीय प्रसंवादी में विस्तार का सुझाव देती है।

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में प्रतिस्थापन गुणांकों के लिए सामान्य अंतर समीकरणों के समुच्चय उत्पन्न करते है।

== अभिन्न संबंध ==

यहाँ निम्नलिखित परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है:

<math display="block">\begin{align}
Y_{e m n} &= \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \theta) \\
Y_{o m n} &= \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \theta)
\end{align}</math><math display="block">
\mathbf{X}_{^e_o m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) = \nabla \times\left(\mathbf{k} Y_{^o_e m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)\right)
</math><math display="block">
\mathbf{Z}_{^o_e m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) = i \frac{\mathbf{k}}{k} \times \mathbf{X}_{^e_o m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)
</math>
स्थिति में, जब <math>z_n</math> के अतिरिक्त गोलीय बेसेल फलन होते हैं, तो [[समतल तरंग विस्तार]] की सहायता से निम्नलिखित अभिन्न संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं:<ref name="stout">[http://www.fresnel.fr/perso/stout/SHMs.pdf B. Stout,''Spherical harmonic lattice sums for gratings. In: Popov E, editor. Gratings: theory and numeric applications.'' Institut Fresnel, Universite d'Aix-Marseille 6 (2012).]</ref>

<math display="block">
\mathbf {N}_{pmn}(k, \mathbf r) = \frac{i^{-n}}{4\pi} \int \mathbf Z_{pmn}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) e^{i \mathbf k \mathbf r} d\Omega_k
</math><math display="block">
\mathbf {M}_{pmn}(k, \mathbf r) =\frac{i^{-n}}{4\pi} \int \mathbf X_{pmn}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) e^{i \mathbf k \mathbf r} d\Omega_k
</math>
स्थिति में, जब <math>z_n</math> गोलीय हैंकेल फलन होते हैं, तो विभिन्न सूत्रों का उपयोग करना चाहिए।<ref>[https://ieeexplore.ieee.org/document/7220 R. C. Wittmann, ''Spherical wave operators and the translation formulas,'' IEEE Transactions on Antennas and Propagation 36, 1078-1087 (1988)]</ref><ref name="stout" /> सदिश गोलीय प्रसंवादी के लिए निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं:

<math display="block">
\mathbf{M}_{p m n}^{(3)}(k, \mathbf{r}) = \frac{i^{-n}}{2 \pi k} \iint_{-\infty}^{\infty} d k_{ \|} \frac{e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y \pm k_{z} z\right)}}{k_{z}} \mathbf{X}_{p m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)
</math><math display="block">
\mathbf{N}_{p m n}^{(3)}(k, \mathbf{r}) = \frac{i^{-n}}{2 \pi k} \iint_{-\infty}^{\infty} d k_{ \|} \frac{e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y \pm k_{z} z\right)}}{k_{z}} \mathbf{Z}_{p m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)
</math>
जहां <math display="inline"> k_{z} = \sqrt{k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}} </math>, अनुक्रमणिका <math> (3) </math> का अर्थ है कि गोलीय हैंकेल फलनों का उपयोग किया जाता है।

== यह भी देखें ==

* गोलीय प्रसंवादी
* [[स्पिनर गोलाकार हार्मोनिक्स|घूर्णक गोलीय प्रसंवादी]]
* [[स्पिन-भारित गोलाकार हार्मोनिक्स|चक्रण-भारित गोलीय प्रसंवादी]]
* [[विद्युत चुम्बकीय विकिरण]]
* [[गोलाकार आधार|गोलीय आधार]]

==संदर्भ==
<references />

==बाहरी संबंध==
* [http://mathworld.wolfram.com/VectorSphericalHarmonic.html ''Vector Spherical Harmonics'' at Eric Weisstein's Mathworld]

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[[Category:विशेष कार्य]]
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[[Category:व्यावहारिक गणित]]
[[Category:सैद्धांतिक भौतिकी]]