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सदिश गोलीय प्रसंवादी

2023-11-16T10:57:33Z

Admin:

{{short description|Extension of the scalar spherical harmonics for use with vector fields}}
गणित में, सदिश [[गोलाकार हार्मोनिक्स|गोलीय प्रसंवादी]] (वीएसएच) [[वेक्टर क्षेत्र|सदिश क्षेत्रों]] के उपयोग के लिए अदिश गोलीय प्रसंवादी का विस्तार है। वीएसएच के घटक [[गोलाकार समन्वय प्रणाली|गोलीय समन्वय प्रणाली]] में व्यक्त जटिल-मानित फलन हैं।

== परिभाषा ==
वीएसएच को परिभाषित करने के लिए कई परिपाटी का उपयोग किया गया है।<ref>{{cite journal | last1=Barrera | first1=R G | last2=Estevez | first2=G A | last3=Giraldo | first3=J | title=वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स और मैग्नेटोस्टैटिक्स के लिए उनका अनुप्रयोग| journal=European Journal of Physics | publisher=IOP Publishing | volume=6 | issue=4 | date=1985-10-01 | issn=0143-0807 | doi=10.1088/0143-0807/6/4/014 | pages=287–294| bibcode=1985EJPh....6..287B | citeseerx=10.1.1.718.2001 | s2cid=250894245 }}</ref><ref>{{cite journal | last1=Carrascal | first1=B | last2=Estevez | first2=G A | last3=Lee | first3=Peilian | last4=Lorenzo | first4=V | title=वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स और शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स के लिए उनका अनुप्रयोग| journal=European Journal of Physics | publisher=IOP Publishing | volume=12 | issue=4 | date=1991-07-01 | issn=0143-0807 | doi=10.1088/0143-0807/12/4/007 | pages=184–191| bibcode=1991EJPh...12..184C | s2cid=250886412 }}</ref><ref>{{cite journal | last=Hill | first=E. L. | title=वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स का सिद्धांत| journal=American Journal of Physics | publisher=American Association of Physics Teachers (AAPT) | volume=22 | issue=4 | year=1954 | issn=0002-9505 | doi=10.1119/1.1933682 | pages=211–214| bibcode=1954AmJPh..22..211H | s2cid=124182424 | url=http://pdfs.semanticscholar.org/e950/1438ddec10ff6baef4614cf3b66f4e27c44b.pdf | archive-url=https://web.archive.org/web/20200412143916/http://pdfs.semanticscholar.org/e950/1438ddec10ff6baef4614cf3b66f4e27c44b.pdf | url-status=dead | archive-date=2020-04-12 }}</ref><ref>{{cite journal | last=Weinberg | first=Erick J. | title=मोनोपोल वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स| journal=Physical Review D | publisher=American Physical Society (APS) | volume=49 | issue=2 | date=1994-01-15 | issn=0556-2821 | doi=10.1103/physrevd.49.1086 | pages=1086–1092| pmid=10017069 |arxiv=hep-th/9308054| bibcode=1994PhRvD..49.1086W | s2cid=6429605 }}</ref><ref>P.M. Morse and H. Feshbach, ''Methods of Theoretical Physics, Part II'', New York: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953)</ref> हम बैरेरा एट अल का अनुसरण करते हैं। एक अदिश [[गोलाकार हार्मोनिक|गोलीय प्रसंवादी]] {{math|''Yℓm''(''θ'', ''φ'')}} दिया गया, हम तीन वीएसएच परिभाषित करते हैं:

* <math>\mathbf{Y}_{\ell m} = Y_{\ell m}\hat{\mathbf{r}},</math>
* <math>\mathbf{\Psi}_{\ell m} = r\nabla Y_{\ell m},</math>
* <math>\mathbf{\Phi}_{\ell m} = \mathbf{r}\times\nabla Y_{\ell m},</math>
जिसमें <math>\hat{\mathbf{r}}</math> गोलीय समन्वय प्रणाली में त्रिज्यीय दिशा के साथ [[इकाई वेक्टर|इकाई सदिश]] है और <math>\mathbf{r}</math> सदिश त्रिज्यीय दिशा के साथ त्रिज्या के समान मानदंड के साथ, अर्थात, <math>\mathbf{r} = r\hat{\mathbf{r}}</math>। त्रिज्यीय कारकों को यह गारंटी देने के लिए सम्मिलित किया गया है कि वीएसएच की विमा सामान्य गोलीय प्रसंवादी के समान हैं और वीएसएच त्रिज्यीय गोलीय समन्वय पर निर्भर नहीं है।

गोलीय निर्देशांक का उपयोग करते समय इन नवीन सदिश क्षेत्रों का हित त्रिज्यीय निर्भरता को कोणीय से अलग करना है, ताकि एक सदिश क्षेत्र बहुध्रुव विस्तार

<math display="block">\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(E^r_{\ell m}(r) \mathbf{Y}_{\ell m} + E^{(1)}_{\ell m}(r) \mathbf{\Psi}_{\ell m} + E^{(2)}_{\ell m}(r) \mathbf{\Phi}_{\ell m}\right)</math> को स्वीकार कर सके।

घटकों पर लेबल यह दर्शाते हैं कि <math>E^r_{\ell m}</math> सदिश क्षेत्र का त्रिज्यीय घटक है, जबकि <math>E^{(1)}_{\ell m}</math> और <math>E^{(2)}_{\ell m}</math> अनुप्रस्थ घटक हैं (त्रिज्या सदिश <math>\mathbf{r}</math> के संबंध में)।

== मुख्य गुण ==

=== समरूपता ===
अदिश गोलीय प्रसंवादी के जैसे, वीएसएच

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{Y}^*_{\ell m}, \\
\mathbf{\Psi}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{\Psi}^*_{\ell m}, \\
\mathbf{\Phi}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{\Phi}^*_{\ell m},
\end{align}</math>
को संतुष्ट करता है जो स्वतंत्र फलनों की संख्या को लगभग आधा कर देता है। तारा जटिल संयुग्म को इंगित करता है।

===लंबकोणीयता ===

वीएसएच प्रत्येक बिंदु <math>\mathbf{r}</math> पर सामान्य त्रि-विमीय विधि से [[ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन|लांबिक फलन]] हैं :

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Psi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0, \\
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0, \\
\mathbf{\Psi}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0.
\end{align}</math>
वे हिल्बर्ट समष्टि में भी लांबिक हैं:

<math display="block">\begin{align}
\int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{Y}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\
\int\mathbf{\Psi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \ell(\ell+1)\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\
\int\mathbf{\Phi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \ell(\ell+1)\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\
\int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0, \\
\int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0, \\
\int\mathbf{\Psi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0.
\end{align}</math>
एकल <math>\mathbf{r}</math> पर अतिरिक्त परिणाम (बैरेरा एट अल, 1985 में रिपोर्ट नहीं किया गया) सभी <math>\ell,m,\ell',m'</math>,

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Psi}_{\ell'm'}(\mathbf{r}) &= 0, \\
\mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell'm'}(\mathbf{r}) &= 0
\end{align}</math> के लिए है।

=== सदिश बहुध्रुव आघूर्ण ===
लंबकोणीयता संबंध किसी को सदिश क्षेत्र के गोलीय बहुध्रुव आघूर्ण को

<math display="block">\begin{align}
E^r_{\ell m} &= \int \mathbf{E}\cdot \mathbf{Y}^*_{\ell m}\,d\Omega, \\
E^{(1)}_{\ell m} &= \frac{1}{\ell(\ell+1)}\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell m}\,d\Omega, \\
E^{(2)}_{\ell m} &= \frac{1}{\ell(\ell+1)}\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell m}\,d\Omega
\end{align}</math> के रूप में परिकलित करने की अनुमति देते हैं।

=== एक अदिश क्षेत्र की प्रवणता ===
एक अदिश क्षेत्र

<math display="block">\phi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \phi_{\ell m}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi),</math>
के बहुध्रुव विस्तार को देखते हुए, हम वीएसएच के संदर्भ में

<math display="block">\nabla\phi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell\left(\frac{d\phi_{\ell m}}{dr} \mathbf{Y}_{\ell m}+
\frac{\phi_{\ell m}}{r}\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right)</math> के रूप में इसकी प्रवणता व्यक्त कर सकते हैं।

=== विचलन ===
किसी भी बहुध्रुवीय क्षेत्र के लिए हमारे निकट

<math display="block">\begin{align}
\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{Y}_{\ell m}\right) &= \left(\frac{df}{dr} + \frac{2}{r}f\right) Y_{\ell m}, \\
\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right) &= -\frac{\ell(\ell+1)}{r} f Y_{\ell m}, \\
\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right) &= 0
\end{align}</math> है।

अधिस्थापन द्वारा हम किसी भी सदिश क्षेत्र का [[विचलन]] प्राप्त करते हैं:

<math display="block">\nabla\cdot\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(\frac{dE^r_{\ell m}}{dr}+\frac{2}{r}E^r_{\ell m}-\frac{\ell(\ell+1)}{r}E^{(1)}_{\ell m}\right)Y_{\ell m}.</math>
हम देखते हैं कि {{math|'''Φ'''''ℓm''}} पर घटक सदैव [[solenoidal|परिनालिकीय]] होता है।

=== कर्ल ===
किसी भी बहुध्रुवीय क्षेत्र के लिए हमारे निकट

<math display="block">\begin{align}
\nabla\times\left(f(r)\mathbf{Y}_{\ell m}\right) &= -\frac{1}{r}f\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\
\nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right) &= \left(\frac{df}{dr}+\frac{1}{r}f\right)\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\
\nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right) &= -\frac{\ell(\ell+1)}{r}f\mathbf{Y}_{\ell m}-\left(\frac{df}{dr} + \frac{1}{r} f\right)\mathbf{\Psi}_{\ell m}
\end{align}</math> है।

अध्यारोपण द्वारा हम किसी सदिश क्षेत्र का [[कर्ल (गणित)]] प्राप्त करते हैं:

<math display="block">\nabla\times\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell
\left(-\frac{\ell(\ell+1)}{r}E^{(2)}_{\ell m}\mathbf{Y}_{\ell m}-\left(\frac{dE^{(2)}_{\ell m}}{dr}+
\frac{1}{r}E^{(2)}_{\ell m}\right)\mathbf{\Psi}_{\ell m}+
\left(-\frac{1}{r}E^r_{\ell m}+\frac{dE^{(1)}_{\ell m}}{dr}+\frac{1}{r}E^{(1)}_{\ell m}\right)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right).</math>

=== लाप्लासियन ===
[[लाप्लास ऑपरेटर|लाप्लास प्रचालक]] <math>\Delta = \nabla\cdot\nabla</math> की क्रिया निम्नानुसार अलग होती है:

<math display="block">\Delta\left(f(r)\mathbf{Z}_{\ell m}\right) = \left(\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right)\mathbf{Z}_{\ell m}
+ f(r)\Delta \mathbf{Z}_{\ell m},</math>
जहां <math>\mathbf{Z}_{\ell m} = \mathbf{Y}_{\ell m}, \mathbf{\Psi}_{\ell m}, \mathbf{\Phi}_{\ell m}</math> और

<math display="block">\begin{align}
\Delta\mathbf{Y}_{\ell m} &= -\frac{1}{r^2}(2+\ell(\ell+1))\mathbf{Y}_{\ell m} +\frac{2}{r^2}\mathbf{\Psi}_{\ell m}, \\
\Delta\mathbf{\Psi}_{\ell m} &= \frac{2}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{Y}_{\ell m} -\frac{1}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{\Psi}_{\ell m}, \\
\Delta\mathbf{\Phi}_{\ell m} &= -\frac{1}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{\Phi}_{\ell m}.
\end{align}</math>
यह भी ध्यान दें कि यह क्रिया [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] हो जाती है, अर्थात उचित सामान्यीकृत वीएसएच के लिए अप विकर्ण गुणांक <math display="inline">\frac{2}{r^2}\sqrt{\ell(\ell+1)}</math> के बराबर हैं।

== उदाहरण ==

{{multiple image|perrow=3

| image1 = YE1grid.png
| caption1 = <math>\mathbf{\Psi}_{1m}</math>

| image2 = YE2grid.png
| caption2 = <math>\mathbf{\Psi}_{2m}</math>

| image3 = YE3grid.png
| caption3 = <math>\mathbf{\Psi}_{3m}</math>

| image4 = YB1grid.png
| caption4 = <math>\mathbf{\Phi}_{1m}</math>

| image5 = YB2grid.png
| caption5 = <math>\mathbf{\Phi}_{2m}</math>

| image6 = YB3grid.png
| caption6 = <math>\mathbf{\Phi}_{3m}</math>

| footer = Visualizations of the real parts of <math>\ell=1,2,3</math> VSHs. Click to expand.
}}

=== पहला सदिश गोलीय प्रसंवादी ===
{{unordered list
| <math>\ell=0</math>.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{00} &= \sqrt{\frac{1}{4\pi}}\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{\Psi}_{00} &= \mathbf{0}, \\
\mathbf{\Phi}_{00} &= \mathbf{0}.
\end{align}</math>

| <math>\ell=1</math>.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{10} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{Y}_{11} &= -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}e^{i\varphi}\sin\theta\,\hat{\mathbf{r}},
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Psi}_{10} &= -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}, \\
\mathbf{\Psi}_{11} &= -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}e^{i\varphi}\left(\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+i\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right),
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Phi}_{10} &= -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}, \\
\mathbf{\Phi}_{11} &= \sqrt{\frac{3}{8\pi}}e^{i\varphi}\left(i\,\hat{\mathbf{\theta}}-\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right).
\end{align}</math>

| <math>\ell=2</math>.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{Y}_{20} &= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\,(3\cos^{2}\theta-1)\,\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{Y}_{21} &= -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,\cos\theta\,e^{i\varphi}\,\hat{\mathbf{r}}, \\
\mathbf{Y}_{22} &= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\,\sin^{2}\theta\,e^{2i\varphi}\,\hat{\mathbf{r}}.
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Psi}_{20} &= -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\,\sin\theta\,\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}, \\
\mathbf{\Psi}_{21} &= -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,e^{i\varphi}\,\left(\cos 2\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+i\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right), \\
\mathbf{\Psi}_{22} &= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{2i\varphi}\,\left(\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+i\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right).
\end{align}</math>

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{\Phi}_{20} &= -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\sin\theta\,\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}, \\
\mathbf{\Phi}_{21} &= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,e^{i\varphi}\,\left(i\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}-\cos 2\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right), \\
\mathbf{\Phi}_{22} &= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{2i\varphi}\,\left(-i\,\hat{\mathbf{\theta}}+\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right).
\end{align}</math>
}}
सममिति संबंधों को लागू करके {{mvar|m}} के ऋणात्मक मानों के लिए व्यंजक प्राप्त किए जाते हैं।

== अनुप्रयोग ==

=== विद्युतगतिकी ===
वीएसएच बहुध्रुव विकिरण क्षेत्रों के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है। उदाहरण के लिए, एक चुंबकीय बहुध्रुव कोणीय आवृत्ति <math>\omega</math> और जटिल विमा

<math display="block">\hat{\mathbf{J}}= J(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}</math>
के साथ एक दोलन धारा के कारण होते है, और संबंधित विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र,

<math display="block">\begin{align}
\hat{\mathbf{E}} &= E(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\
\hat{\mathbf{B}} &= B^r(r)\mathbf{Y}_{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}
\end{align}</math> के रूप में लिखे जा सकते हैं।

मैक्सवेल समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, गॉस का नियम स्वचालित रूप से

<math display="block">\nabla\cdot\hat{\mathbf{E}}=0</math>
संतुष्ट हो जाता है, जबकि फैराडे का नियम

<math display="block">\nabla\times\hat{\mathbf{E}}=-i\omega\hat{\mathbf{B}}\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases} \dfrac{\ell(\ell+1)}{r}E = i\omega B^r, \\
\dfrac{dE}{dr} +\dfrac{E}{r}= i\omega B^{(1)}\end{cases}</math> के रूप में अलग हो जाते है।

चुंबकीय क्षेत्र के लिए गॉस के नियम का अर्थ है

<math display="block">\nabla\cdot\hat{\mathbf{B}} = 0\quad\Rightarrow \quad\frac{dB^r}{dr}+\frac{2}{r}B^r - \frac{\ell(\ell+1)}{r}B^{(1)}=0,</math>
और एम्पीयर-मैक्सवेल का समीकरण

<math display="block">\nabla\times\hat{\mathbf{B}} = \mu_0 \hat{\mathbf{J}} + i\mu_0\varepsilon_0\omega \hat{\mathbf{E}} \quad\Rightarrow\quad -\frac{B^r}{r}+\frac{dB^{(1)}}{dr}+\frac{B^{(1)}}{r} = \mu_0J+i\omega\mu_0\varepsilon_0E</math> देता है।

इस प्रकार, आंशिक अवकल समीकरण साधारण अवकल समीकरणों के समुच्चय में रूपांतरित हो गए हैं।

==== वैकल्पिक परिभाषा ====
[[File:VSHwiki.svg|thumb|350px|चुंबकीय और विद्युत सदिश गोलीय प्रसंवादी का कोणीय भाग। लाल और हरे तीर क्षेत्र की दिशा दिखाते हैं। अदिश फलन उत्पन्न करना भी प्रस्तुत किया जाता है, मात्र पहले तीन क्रम दिखाए जाते हैं (द्विध्रुवीय, चतुर्ध्रुवी, अष्टध्रुव)।]]कई अनुप्रयोगों में, सदिश गोलीय प्रसंवादी को गोलीय निर्देशांक में सदिश हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के हल के मौलिक समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref name=BohrenHuffman>Bohren, Craig F. and Donald R. Huffman, Absorption and scattering of light by small particles, New York : Wiley, 1998, 530 p., {{ISBN|0-471-29340-7}}, {{ISBN|978-0-471-29340-8}} (second edition)</ref><ref name="stratton">{{Cite book|first=J. A. |last=Stratton|title=विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत|url=https://archive.org/details/electromagnetict0000stra |url-access=registration |location= New York|publisher= McGraw-Hill|year= 1941}}</ref>
इस स्थिति में, सदिश गोलीय प्रसंवादी अदिश फलन द्वारा उत्पन्न होते हैं, जो तरंगसदिश <math> \mathbf k</math> के साथ अदिश हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के हल हैं I
<math display="block">\begin{array}{l}
{\psi_{e m n} = \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r)} \\
{\psi_{o m n} = \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r)}
\end{array} </math>
यहाँ <math>P_{n}^{m}(\cos \theta)</math> [[संबंधित लीजेंड्रे बहुपद]] हैं, और <math> z_{n}({k} r) </math> कोई भी गोलीय बेसेल फलन हैं।

सदिश गोलीय प्रसंवादी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
; अनुदैर्ध्य प्रसंवादी: <math>\mathbf{L}_{^e_o m n}=\mathbf{\nabla} \psi_{^e_o m n} </math>
; चुंबकीय प्रसंवादी: <math>\mathbf{M}_{^e_o m n}=\nabla \times\left(\mathbf{r} \psi_{^e_o m n}\right) </math>
; विद्युतीय प्रसंवादी: <math>\mathbf{N}_{^e_o m n}=\frac{\nabla \times \mathbf{M}_{^e_o m n}}{{k}} </math>
यहां हम प्रसंवादी वास्तविक-मानित कोणीय भाग का उपयोग करते हैं, जहां <math> m \geq 0 </math>, परन्तु जटिल फलनों को उसी प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है।

आइए हम संकेतन <math>\rho = kr</math> का परिचय दें। घटक रूप में सदिश गोलीय प्रसंवादी को इस प्रकार लिखा जाता है:
<math display="block">\begin{aligned}
{\mathbf{M}_{e m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad {\frac{-m}{\sin (\theta)} \sin (m \varphi) P_{n}^{m}(\cos (\theta))} z_{n}(\rho)\mathbf{e}_{\theta}} \\
{{{}-\cos (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta}} }z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\varphi}
\end{aligned}</math><math display="block">\begin{aligned}
{\mathbf{M}_{o m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad {\frac{m}{\sin (\theta)} \cos (m \varphi) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) }}z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\theta} \\
{{}-\sin (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta} z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\varphi}}
\end{aligned}</math><math display="block">\begin{aligned}
{\mathbf{N}_{e m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad \frac{z_{n}(\rho)}{\rho} \cos (m \varphi) n(n+1) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) \mathbf{e}_{\mathbf{r}}} \\
{{{{}+\cos (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta}}}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\theta} \\
{{{}-m \sin (m \varphi) \frac{P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{\sin (\theta)}}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\varphi}
\end{aligned}</math><math display="block">\begin{aligned}
\mathbf{N}_{o m n} (k, \mathbf{r}) =\qquad \frac{z_{n}(\rho)}{\rho} \sin (m \varphi) n(n+1) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) \mathbf{e}_{\mathbf{r}} \\
{}+\sin (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\theta} \\
{}+{m \cos (m \varphi) \frac{P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{\sin (\theta)}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned}
</math>
चुंबकीय प्रसंवादी के लिए कोई त्रिज्यीय भाग नहीं है। विद्युतीय प्रसंवादी के लिए, त्रिज्यीय भाग कोणीय से तीव्रता से घटता है, और बड़े <math>\rho</math> के लिए उपेक्षित किया जा सकता है। हम यह भी देख सकते हैं कि विद्युत और चुंबकीय प्रसंवादी के लिए ध्रुवीय और दिगंशीय इकाई सदिश के क्रमपरिवर्तन तक कोणीय भाग समान होते हैं, इसलिए बड़े <math>\rho</math> के लिए विद्युतीय और चुंबकीय प्रसंवादी सदिश एक दूसरे के मान और लंबवत के बराबर होते हैं।

अनुदैर्ध्य प्रसंवादी:
<math display="block"> \begin{aligned}
\mathbf{L}_{^e_o{m n}}(k, \mathbf{r})
{}=\qquad &\frac{\partial}{\partial r} z_{n}(k r) P_{n}^{m}(\cos \theta){^{\cos }_{\sin }} {m \varphi} \mathbf{e}_r \\
{}+{} &\frac{1}{r} z_{n}(k r) \frac{\partial}{\partial \theta} P_{n}^{m}(\cos \theta) {^{\cos }_{\sin}} m \varphi \mathbf{e}_{\theta} \\
{}\mp{} &\frac{m}{r \sin \theta} z_{n}(k r) P_{n}^{m}(\cos \theta) {^{\sin }_{\cos}} m \varphi \mathbf{e}_{\varphi}
\end{aligned}</math>

==== लंबकोणीयता ====

हेल्महोल्ट्ज़ सदिश समीकरण के हल निम्नलिखित लंबकोणीयता संबंधों का पालन करते हैं:<ref name="stratton" />
<math display="block">\begin{align}
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{L}_{^e_omn} \cdot \mathbf{L}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{(2 n+1)^{2}} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(k r)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(k r)\right]^{2}\right\} \\[3pt]
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{M}_{^e_omn} \cdot \mathbf{M}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{2 n+1} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} n(n+1)\left[z_{n}(k r)\right]^2 \\[3pt]

\end{align}</math>
विभिन्न फलनों या विभिन्न सूचकांकों के साथ फलनों के बीच के कोणों पर अन्य सभी अभिन्न शून्य के बराबर हैं।

=== घूर्णन और व्युत्क्रमण ===
[[File:RotationwikiVSH.svg|500px|thumb|घूर्णन के अंतर्गत सदिश गोलीय प्रसंवादी के परिवर्तन का चित्रण। कोई देख सकता है कि वे उसी प्रकार से रूपांतरित होते हैं जैसे संबंधित अदिश फलन।]]घूर्णन के अंतर्गत, सदिश गोलीय प्रसंवादी एक दूसरे के माध्यम से उसी प्रकार से रूपांतरित होते हैं जैसे संबंधित गोलीय प्रसंवादी घूर्णन, जो एक विशिष्ट प्रकार के सदिश प्रसंवादी के लिए उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि उत्पादक फलन सामान्य गोलीय प्रसंवादी हैं, तो सदिश प्रसंवादी भी [[विग्नर डी-मैट्रिक्स|विग्नर डी-आव्यूह]] के माध्यम से रूपांतरित हो जाएंगे।<ref>D. A. Varhalovich, A. N. Moskalev, and V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum [in Russian], Nauka, Leningrad (1975)</ref><ref>H. Zhang, Yi. Han, '' Addition theorem for the spherical vector wave functions and its application to the beam shape coeffcients.'' J. Opt. Soc. Am. B, 25(2):255-260, Feb 2008.</ref><ref>S. Stein, ''Addition theorems for spherical wave functions'', Quarterly of Applied Mathematics, 19(1):15-24, 1961.</ref>
<math display="block">
\hat{D}(\alpha, \beta, \gamma) \mathbf{Y}_{JM}^{(s)}(\theta, \varphi)= \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{MM'}(\alpha, \beta, \gamma)]^* \mathbf{Y}_{JM'}^{(s)}(\theta, \varphi),
</math>
घूर्णन के अंतर्गत व्यवहार विद्युत, चुंबकीय और अनुदैर्ध्य प्रसंवादी के लिए समान है।

व्युत्क्रमण के अंतर्गत, विद्युत और अनुदैर्ध्य गोलीय प्रसंवादी उसी प्रकार व्यवहार करते हैं जैसे अदिश गोलीय फलन, अर्थात।
<math display="block">
\hat{I}\mathbf{N}_{JM}(\theta, \varphi)= (-1)^J \mathbf{N}_{JM}(\theta, \varphi),
</math>
और चुंबकीय वाले विपरीत समानता रखते हैं:
<math display="block">
\hat{I}\mathbf{M}_{JM}(\theta, \varphi)= (-1)^{J+1} \mathbf{M}_{JM}(\theta, \varphi),
</math>

=== द्रव गतिकी ===

कर्षण के लिए स्टोक्स के नियम की गणना में कि एक श्यान द्रव एक छोटे गोलीय कण पर निकलते है, वेग वितरण जड़ता की उपेक्षा करते हुए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का पालन करते है, अर्थात।

<math display="block">\begin{align}
0 &= \nabla\cdot \mathbf{v}, \\
\mathbf{0} &= -\nabla p + \eta \nabla^2\mathbf{v},
\end{align}</math>
सीमा स्थितियों

<math display="block">\mathbf{v} = \begin{cases}
\mathbf{0} & r = a, \\
-\mathbf{U}_0 & r \to \infty
\end{cases}</math> के साथ।

जहाँ U, कण से दूर द्रव में कण का आपेक्षिक वेग है। गोलीय निर्देशांकों में अनंत पर इस वेग को

<math display="block">\mathbf{U}_0 = U_0\left(\cos\theta\, \hat{\mathbf{r}} - \sin\theta \,\hat{\mathbf{\theta}}\right) = U_0 \left(\mathbf{Y}_{10} + \mathbf{\Psi}_{10}\right)</math> के रूप में लिखा जा सकता है।

अंतिम अभिव्यक्ति तरल वेग और दाब

<math display="block">\begin{align}
p &= p(r)Y_{10}, \\
\mathbf{v} &= v^r(r) \mathbf{Y}_{10} + v^{(1)}(r) \mathbf{\Psi}_{10}
\end{align}</math> के लिए गोलीय प्रसंवादी में विस्तार का सुझाव देती है।

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में प्रतिस्थापन गुणांकों के लिए सामान्य अंतर समीकरणों के समुच्चय उत्पन्न करते है।

== अभिन्न संबंध ==

यहाँ निम्नलिखित परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है:

<math display="block">\begin{align}
Y_{e m n} &= \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \theta) \\
Y_{o m n} &= \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \theta)
\end{align}</math><math display="block">
\mathbf{X}_{^e_o m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) = \nabla \times\left(\mathbf{k} Y_{^o_e m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)\right)
</math><math display="block">
\mathbf{Z}_{^o_e m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) = i \frac{\mathbf{k}}{k} \times \mathbf{X}_{^e_o m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)
</math>
स्थिति में, जब <math>z_n</math> के अतिरिक्त गोलीय बेसेल फलन होते हैं, तो [[समतल तरंग विस्तार]] की सहायता से निम्नलिखित अभिन्न संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं:<ref name="stout">[http://www.fresnel.fr/perso/stout/SHMs.pdf B. Stout,''Spherical harmonic lattice sums for gratings. In: Popov E, editor. Gratings: theory and numeric applications.'' Institut Fresnel, Universite d'Aix-Marseille 6 (2012).]</ref>

<math display="block">
\mathbf {N}_{pmn}(k, \mathbf r) = \frac{i^{-n}}{4\pi} \int \mathbf Z_{pmn}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) e^{i \mathbf k \mathbf r} d\Omega_k
</math><math display="block">
\mathbf {M}_{pmn}(k, \mathbf r) =\frac{i^{-n}}{4\pi} \int \mathbf X_{pmn}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) e^{i \mathbf k \mathbf r} d\Omega_k
</math>
स्थिति में, जब <math>z_n</math> गोलीय हैंकेल फलन होते हैं, तो विभिन्न सूत्रों का उपयोग करना चाहिए।<ref>[https://ieeexplore.ieee.org/document/7220 R. C. Wittmann, ''Spherical wave operators and the translation formulas,'' IEEE Transactions on Antennas and Propagation 36, 1078-1087 (1988)]</ref><ref name="stout" /> सदिश गोलीय प्रसंवादी के लिए निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं:

<math display="block">
\mathbf{M}_{p m n}^{(3)}(k, \mathbf{r}) = \frac{i^{-n}}{2 \pi k} \iint_{-\infty}^{\infty} d k_{ \|} \frac{e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y \pm k_{z} z\right)}}{k_{z}} \mathbf{X}_{p m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)
</math><math display="block">
\mathbf{N}_{p m n}^{(3)}(k, \mathbf{r}) = \frac{i^{-n}}{2 \pi k} \iint_{-\infty}^{\infty} d k_{ \|} \frac{e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y \pm k_{z} z\right)}}{k_{z}} \mathbf{Z}_{p m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)
</math>
जहां <math display="inline"> k_{z} = \sqrt{k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}} </math>, अनुक्रमणिका <math> (3) </math> का अर्थ है कि गोलीय हैंकेल फलनों का उपयोग किया जाता है।

== यह भी देखें ==

* गोलीय प्रसंवादी
* [[स्पिनर गोलाकार हार्मोनिक्स|घूर्णक गोलीय प्रसंवादी]]
* [[स्पिन-भारित गोलाकार हार्मोनिक्स|चक्रण-भारित गोलीय प्रसंवादी]]
* [[विद्युत चुम्बकीय विकिरण]]
* [[गोलाकार आधार|गोलीय आधार]]

==संदर्भ==
<references />

==बाहरी संबंध==
* [http://mathworld.wolfram.com/VectorSphericalHarmonic.html ''Vector Spherical Harmonics'' at Eric Weisstein's Mathworld]

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अंकगणितीय औसत

2023-10-20T06:33:39Z

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{{Short description|Sum of a collection of numbers divided by the count of numbers in the collection}}
{{redirect|X̄|चरित्र|मैक्रोन (विशेषक)}}
{{broader|अर्थ}}

गणित और सांख्यिकी में, '''अंकगणितीय माध्य''' ({{IPAc-en|pron|ˌ|æ|r|ɪ|θ|ˈ|m|ɛ|t|ɪ|k|_|ˈ|m|iː|n}} {{respell|arr|ith|MET|ik}}), '''अंकगणितीय [[औसत]]''', या केवल माध्य या औसत (जब संदर्भ स्पष्ट होता है), संग्रह में संख्याओं की संख्या से विभाजित संख्याओं के संग्रह का योग होता है।<ref>{{cite book|last=Jacobs|first=Harold R.|title=Mathematics: A Human Endeavor|edition=Third|year=1994|publisher=[[W. H. Freeman]]|page=547|isbn=0-7167-2426-X}}</ref> संग्रह अधिकांशतः विशेष [[प्रयोग]], अवलोकन संबंधी अध्ययन, या [[सर्वेक्षण (सांख्यिकी)]] से परिणामों का समूह होता है। इस प्रकार <nowiki>''अंकगणित माध्य''</nowiki> शब्द को कुछ गणित और सांख्यिकी संदर्भों में पसंद किया जाता है जिससे कि यह इसे अन्य प्रकार के साधनों, जैसे कि ज्यामितीय माध्य और [[अनुकूल माध्य]] से भिन्न करने में सहायता करता है।

गणित और सांख्यिकी के अतिरिक्त, अंकगणित माध्य अधिकांशतः [[अर्थशास्त्र]], नृविज्ञान, [[इतिहास]] और लगभग प्रत्येक शैक्षणिक क्षेत्र में कुछ सीमा तक उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[प्रति व्यक्ति आय]] किसी देश की जनसंख्या की अंकगणितीय औसत आय होती है।

जबकि अंकगणित माध्य का उपयोग अधिकांशतः [[केंद्रीय प्रवृत्ति]] की सूची करने के लिए किया जाता है, यह [[मजबूत आँकड़ा|शक्तिशाली आँकड़ा]] नहीं है। यह [[ग़ैर]] से अधिक (अधिकांश अन्य की तुलना में बहुत बड़ा या छोटा मान) प्रभावित होता है। इस प्रकार विषम वितरण के लिए, जैसे कि [[आय का वितरण]] जिसके लिए कुछ लोगों की आय अधिकांश लोगों की तुलना में अधिक होती है, अतः अंकगणितीय माध्य किसी की "मध्यम" की धारणा के साथ मेल नहीं खा सकता है। उस स्थिति में, माध्यिका जैसे मजबूत आँकड़े, केंद्रीय प्रवृत्ति का उत्तम विवरण प्रदान कर सकते हैं।

== परिभाषा ==
[[डेटा सेट|डेटा समूह]] दिया गया <math>X=\{x_1,\ldots,x_n\}</math>, अंकगणितीय माध्य (माध्य या औसत भी), निरूपित <math>\bar{x}</math> (पढ़ना <math>x</math> बार), <math>n</math> मान <math>x_1,\ldots,x_n</math> का माध्य है।<ref name="JM">{{cite book|last=Medhi|first=Jyotiprasad|title=Statistical Methods: An Introductory Text|url=https://books.google.com/books?id=bRUwgf_q5RsC|year=1992|publisher=New Age International|isbn=9788122404197|pages=53–58}}</ref>

अंकगणित माध्य किसी डेटा समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला और सरलता से समझा जाने वाला माप है। सामान्यतः सांख्यिकी में, औसत शब्द केंद्रीय प्रवृत्ति के किसी भी माप को संदर्भित करता है। अवलोकन किए गए डेटा के समूह का अंकगणितीय माध्य प्रत्येक अवलोकन के संख्यात्मक मानों के योग के सामान्तर होता है, जिसे प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है। इस प्रकार सांकेतिक रूप से, मानों से युक्त डेटा समूह के लिए <math>x_1,\dots,x_n</math>, अंकगणितीय माध्य सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

:<math>\bar{x}=\frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^n{x_i}\right)
=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=अंकगणित औसत|url=https://mathworld.wolfram.com/ArithmeticMean.html|access-date=2020-08-21|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
([[ योग | योग]] ऑपरेटर की व्याख्या के लिए, समेशन देखें।)

उदाहरण के लिए, यदि मासिक वेतन <math>10</math> कर्मचारी हैं <math>\{2500,2700,2400,2300,2550,2650,2750,2450,2600,2400\}</math>, तो अंकगणितीय माध्य है:

:<math>\frac{2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+2400}{10}=2530</math>
यदि डेटा समूह [[सांख्यिकीय जनसंख्या]] है (अर्थात्, इसमें प्रत्येक संभव अवलोकन सम्मिलित है और न केवल उनका उपसमुच्चय), तब उस जनसंख्या के माध्य को जनसंख्या माध्य कहा जाता है और इसे [[ग्रीक वर्णमाला]] <math>\mu</math>द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि डेटा समूह [[नमूनाकरण (सांख्यिकी)]] (जनसंख्या का उपसमूह) है, तब इसे [[नमूना माध्य]] कहा जाता है (जो डेटा समूह <math>X</math> के लिए <math>\overline{X}</math> के रूप में दर्शाया गया है)।

अंकगणित माध्य को समान रूप से सदिश (गणित और भौतिकी) के लिए अनेक आयामों में परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल [[अदिश (गणित)]] मान में परिभाषित किया जा सकता है। इसे अधिकांशतः [[केन्द्रक]] के रूप में जाना जाता है। सामान्यतः, जिससे कि अंकगणितीय माध्य [[उत्तल संयोजन]] है (अर्थात् इसके गुणांकों का योग <math>1</math> होता है), इसे [[उत्तल स्थान]] पर परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल सदिश स्थान पर।

== प्रेरक गुण ==
विशेष रूप से केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के रूप में अंकगणितीय माध्य में अनेक गुण होते हैं जो इसे रोचक बनाते हैं। इसमे सम्मिलित है:

*यदि अंक <math>x_1,\dotsc,x_n</math> का माध्य <math>\bar{x}</math> है, तब <math>(x_1-\bar{x})+\dotsb+(x_n-\bar{x})=0</math>. तब से <math>x_i-\bar{x}</math> किसी दी गई संख्या से माध्य की दूरी होती है, इस गुण की व्याख्या करने की विधि यह है कि माध्य के बाईं ओर की संख्या को दाईं ओर की संख्या द्वारा संतुलित किया जाता है। इस प्रकार माध्य ही एकमात्र ऐसी संख्या है जिसके लिए आंकड़ों में त्रुटियां और अवशेष (अनुमान से विचलन) का योग शून्य होता है। इसे यह कहते हुए भी व्याख्यायित किया जा सकता है कि कारण किसी भी वास्तविक संख्या के अर्थ में [[अनुवादिक समरूपता]] <math>\overline{x + a} = \bar{x} + a</math> है।
* यदि ज्ञात संख्याओं के समूह के लिए विशिष्ट मान के रूप में एकल संख्या <math>x_1,\dotsc,x_n</math> का उपयोग करना आवश्यक होता है, तब संख्याओं का अंकगणितीय माध्य यह सबसे अच्छा करता है जिससे कि यह विशिष्ट मान से वर्ग विचलन के योग को कम करता है। इसका योग <math>(x_i-\bar{x})^2</math> नमूना माध्य भी सबसे अच्छा एकल भविष्यवक्ता है जिससे कि इसमें सबसे कम [[मूल माध्य चुकता त्रुटि]] है।<ref name="JM"/> यदि संख्याओं की जनसंख्या का अंकगणितीय माध्य वांछित होता है, तब इसका अनुमान जो कि [[निष्पक्ष अनुमान]] है, जनसंख्या से निकाले गए नमूने का अंकगणितीय माध्य होता है।

* अंकगणित माध्य माप की इकाइयों के पैमाने से स्वतंत्र है, इस अर्थ में कि <math>\text{avg}(ca_{1},\cdots,ca_{n})=c\cdot\text{avg}(a_{1},\cdots,a_{n}).</math> इसलिए, उदाहरण के लिए, लीटर के माध्य की गणना करना और फिर गैलन में परिवर्तित करना वैसा ही है जैसे पहले गैलन में परिवर्तित करना और फिर माध्य की गणना करना होता है। इसे [[सजातीय कार्य]] भी कहा जाता है।

=== अतिरिक्त गुण ===
* किसी नमूने का अंकगणितीय माध्य सदैव उस नमूने के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों के मध्य होता है।
* समान आकार के संख्या समूहों की किसी भी राशि का अंकगणितीय माध्य प्रत्येक समूह के अंकगणितीय माध्य का अंकगणितीय माध्य है।

== माध्यिका के साथ तुलना करें ==
{{main|मध्य}}

अंकगणित माध्य की तुलना माध्यिका से की जा सकती है। इस प्रकार माध्यिका को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि आधे से अधिक मान बड़े नहीं होते हैं, और आधे से अधिक इससे छोटे नहीं होते हैं। यदि [[अंकगणितीय प्रगति]] में तत्वों को किसी क्रम में रखा जाता है, तब माध्यिका और अंकगणितीय औसत सामान्तर होते हैं। उदाहरण के लिए, डेटा नमूना पर विचार करें <math>\{1,2,3,4\}</math>. कारण है <math>2.5</math>, जैसा कि माध्यिका है। चूँकि, जब हम ऐसे नमूने पर विचार करते हैं जिसे अंकगणितीय रूप से बढ़ाने के लिए व्यवस्थित नहीं किया जा सकता है, जैसे <math>\{1,2,4,8,16\}</math>, माध्यिका और अंकगणितीय औसत महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हो सकते हैं। इस स्थितियों में, अंकगणितीय औसत <math>6.2</math> होता है, जबकि माध्यिका <math>4</math> है। इस प्रकार नमूने में अधिकांश मूल्यों से औसत मूल्य अधिक भिन्न हो सकता है और अधिक से अधिक बड़ा या छोटा हो सकता है।

अनेक क्षेत्रों में इस घटना के अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, सन्न 1980 के दशक के पश्चात् से, संयुक्त राज्य में औसत आय के अंकगणितीय औसत की तुलना में धीमी गति से बढ़ी है।<ref>{{cite magazine|first=Paul|last=Krugman|url=http://prospect.org/article/rich-right-and-facts-deconstructing-inequality-debate|title=The Rich, the Right, and the Facts: Deconstructing the Income Distribution Debate|magazine=The American Prospect|date=4 June 2014|orig-year=Fall 1992}}</ref>
== सामान्यीकरण ==

=== भारित औसत ===
{{main|भारित औसत}}

भारित औसत, या भारित माध्य, औसत होता है जिसमें कुछ डेटा अंक दूसरों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण होते हैं जिससे कि उन्हें गणना में अधिक वजन दिया जाता है।<ref>{{Cite web|title=Mean {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/mean|access-date=2020-08-21|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> उदाहरण के लिए, <math>3</math> और <math>5</math> का अंकगणितीय माध्य <math>\frac{3+5}{2}=4</math> है, या समकक्ष <math>3\frac{1}{2}+5\frac{1}{2}=4</math> होता है। इसके विपरीत, भारित माध्य जिसमें पहली संख्या प्राप्त होती है, उदाहरण के लिए, दूसरे से दोगुना वजन (संभवतः इसलिए होता है कि यह सामान्य जनसंख्या में दो बार दिखाई देने वाला माना जाता है जिससे इन नंबरों का नमूना लिया गया था) <math>3\frac{2}{3}+5\frac{1}{3}=\frac{11}{3}</math> की गणना की जाती है। यहाँ भार, जिनका योग आवश्यक रूप से <math>\frac{2}{3}</math> और <math>\frac{1}{3}</math> है, पूर्व दो बार उत्तरार्द्ध होता है। अंकगणित माध्य (कभी-कभी भारित औसत या समान भारित औसत कहा जाता है) को भारित औसत के विशेष स्थितियों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जिसमें सभी भार ही संख्या के सामान्तर होते हैं (उपरोक्त उदाहरण में <math>\frac{1}{2}</math> और <math>\frac{1}{n}</math> के साथ स्थिति में <math>n</math> संख्याओं का औसत निकाला जा रहा है)।

=== सतत संभाव्यता वितरण ===
[[File:Comparison mean median mode.svg|thumb|300px|'''दो [[ लॉग-सामान्य वितरण |लॉग-सामान्य वितरण]] की तुलना समान माध्यिका के साथ, किन्तु भिन्न-भिन्न [[तिरछापन]], जिसके परिणामस्वरूप विभिन्न साधन और मोड (आँकड़े) होते हैं''']]यदि कोई संख्यात्मक गुण, और उससे प्राप्त डेटा का कोई भी नमूना, उदाहरण के लिए, केवल पूर्णांकों के अतिरिक्त निरंतर श्रेणी से कोई भी मान ले सकता है, तब किसी संख्या के संभावित मानों की किसी सीमा में गिरने की [[संभावना]] को एकीकृत करके वर्णित किया जा सकता है। इस श्रेणी में [[निरंतर संभाव्यता वितरण]], तब भी जब नमूना संख्या के लिए असीम रूप से अनेक से निश्चित मान लेने की सहज संभावना शून्य होती है। इस संदर्भ में, भारित औसत का एनालॉग, जिसमें प्रत्येक श्रेणी में चर के त्रुटिहीन मान के लिए अपरिमित रूप से अनेक संभावनाएँ होती हैं, अतः संभाव्यता बंटन का माध्य कहलाता है। इस प्रकार सबसे व्यापक रूप से सामना किए जाने वाले संभाव्यता वितरण को [[सामान्य वितरण]] कहा जाता है। इसकी संपत्ति है कि इसकी केंद्रीय प्रवृत्ति के सभी उपाय, न केवल माध्य किंतु ऊपर वर्णित माध्यिका और मोड (तीन एमएस),<ref name=ThreeMs>{{cite web|url=https://www.visualthesaurus.com/cm/lessons/the-three-ms-of-statistics-mode-median-mean/|title=The Three M's of Statistics: Mode, Median, Mean June 30, 2010|website=www.visualthesaurus.com|author=Thinkmap Visual Thesaurus|date=2010-06-30|access-date=2018-12-03}}</ref> सामान्तर होते हैं। यह समानता अन्य संभाव्यता वितरणों के लिए नहीं होता है, जैसा कि यहां लॉग-सामान्य वितरण के लिए सचित्र होता है।

=== कोण ===
{{main|वृत्ताकार मात्राओं का माध्य}}

सामान्यतः चरण या [[कोण]] जैसे चक्रीय डेटा का उपयोग करते समय विशेष देखभाल की आवश्यकता होती है। इस प्रकार 1° और 359° का अंकगणितीय माध्य लेने पर 180° (कोण) का परिणाम प्राप्त होता है।

यह दो कारणों से गलत होता है:
* सबसे पहले, कोण माप केवल 360° (<math>2\pi</math> या <math>\tau</math>, अगर [[ कांति |कांति]] में माप रहे हैं)। इस प्रकार, इन्हें सरलता से 1° और -1°, या 361° और 719° कहा जा सकता है, जिससे कि इनमें से प्रत्येक भिन्न औसत उत्पन्न करता है।
*दूसरा कारण, इस स्थिति में, 0° (या 360°) ज्यामितीय रूप से उत्तम औसत मान होता है। इसके बारे में कम [[सांख्यिकीय फैलाव]] होता है (इससे 1° और 180° से 179°, अंक ख्यात औसत दोनों होते हैं)।

सामान्य अनुप्रयोग में, इस प्रकार के निरीक्षण से औसत मूल्य कृत्रिम रूप से संख्यात्मक सीमा के मध्य की ओर बढ़ जाता है। इस समस्या का समाधान अनुकूलन सूत्रीकरण का उपयोग करना है (अर्थात्, मध्य बिंदु के रूप में कारण को परिभाषित करते है। वह बिंदु जिसके बारे में सबसे कम फैलाव होता है) और अंतर को मॉड्यूलर दूरी (अर्थात् सर्कल पर दूरी) के रूप में फिर से परिभाषित करते है। इसलिए 1° और 359° के मध्य की मॉड्यूलर दूरी 2°, 358° नहीं होती है)।

{{AM_GM_inequality_visual_proof.svg}}

== प्रतीक और एन्कोडिंग ==
अंकगणित माध्य को अधिकांशतः बार विंकुलम (प्रतीक) या मैक्रोन (विशेषक) द्वारा निरूपित किया जाता है, जैसा कि <math>\bar{x}</math>.<ref name="JM"/>

कुछ सॉफ़्टवेयर ([[टेक्स्ट प्रोसेसिंग]], [[वेब ब्राउज़र]]) x̄ प्रतीक को सही रूप से प्रदर्शित नहीं कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, [[HTML|एचटीएमएल]] प्रतीक x̄ दो कोडों को जोड़ता है - आधार अक्षर एक्स प्लस उपरोक्त पंक्ति के लिए कोड (̄ या ¯) होता है।<ref>{{Cite web|url=http://www.personal.psu.edu/ejp10/psu/gotunicode/statsym.html|title=स्टेट सिंबल के लिए यूनिकोड पर नोट्स|website=www.personal.psu.edu|access-date=2018-10-14}}</ref>

सामान्यतः कुछ दस्तावेज़ स्वरूपों (जैसे [[पीडीएफ]]) में, [[माइक्रोसॉफ्ट वर्ड]] जैसे टेक्स्ट प्रोसेसर में कॉपी किए जाने पर प्रतीक को ¢ (यूरो सिक्के) प्रतीक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

== यह भी देखें ==
{{QM_AM_GM_HM_inequality_visual_proof.svg}}
* फ्रेचेट कारण
*[[सामान्यीकृत माध्य]]
*जियोमेट्रिक माध्य
*अनुकूल माध्य
* [[अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता]]
* [[नमूना माध्य और सहप्रसरण]]
*[[मानक विचलन]]
* [[माध्य की मानक त्रुटि]]
*[[सारांश आँकड़े]]

==संदर्भ==
{{Reflist}}

==अग्रिम पठन==
*{{cite book|last=Huff|first=Darrell|title=How to Lie with Statistics|year=1993|publisher=W. W. Norton|isbn=978-0-393-31072-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/howtoliewithstat00huff}}
==बाहरी संबंध==
*[http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm दो संख्याओं के अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य के बीच गणना और तुलना]
*[http://www.fxsolver.com/browse/formulas/Arithmetic+Mean fxSolver पर संख्याओं की श्रृंखला के अंकगणितीय माध्य की गणना करें]
{{DEFAULTSORT:Arithmetic Mean}}

[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Arithmetic Mean]]
[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
[[Category:Citation Style 1 templates|M]]
[[Category:Collapse templates]]
[[Category:Created On 21/03/2023|Arithmetic Mean]]
[[Category:Lua-based templates|Arithmetic Mean]]
[[Category:Machine Translated Page|Arithmetic Mean]]
[[Category:Missing redirects|Arithmetic Mean]]
[[Category:Navigational boxes| ]]
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[[Category:Pages with script errors|Arithmetic Mean]]
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[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
[[Category:Templates that generate short descriptions|Arithmetic Mean]]
[[Category:Templates using TemplateData|Arithmetic Mean]]
[[Category:Wikipedia fully protected templates|Cite magazine]]
[[Category:Wikipedia metatemplates]]
[[Category:साधन|Arithmetic Mean]]

आर्गन-आर्गन डेटिंग

2023-10-20T06:33:33Z

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{{Short description|Radiometric dating method}}
'''आर्गन-आर्गन (या40Ar/39Ar) डेटिंग''' एक [[रेडियोमेट्रिक डेटिंग]] विधि है जिसका आविष्कार स्पष्टतः में पोटेशियम{{ndash}}[[आर्गन]] (K/Ar) डेटिंग को प्रतिस्थापित करने के लिए किया गया है। पुरानी विधि में भिन्न-भिन्न [[ पोटैशियम |पोटैशियम]] और आर्गन माप के लिए नमूनों को दो भागों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, जबकि नवीन विधि में केवल एक चट्टान के टुकड़े या खनिज अनाज की आवश्यकता होती है और आर्गन आइसोटोप के एकल माप का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार से 40Ar/39Ar डेटिंग पोटेशियम के स्थिर रूप (39K) को रेडियोधर्मी 39Ar में परिवर्तित करने के लिए परमाणु रिएक्टर से न्यूट्रॉन विकिरण पर निर्भर करती है। जब तक ज्ञात आयु के मानक को अज्ञात नमूनों के साथ सह-विकिरणित किया जाता है, तब तक 40K/40Ar* अनुपात की गणना करने के लिए आर्गन आइसोटोप के एकल माप का उपयोग करना संभव है, और इस प्रकार अज्ञात नमूने की आयु की गणना करना संभव है। इस प्रकार से 40Ar* रेडियोजेनिक 40Ar को संदर्भित करता है अथार्त 40K 40Ar* के [[ रेडियम-धर्मी |रेडियम-धर्मी]] क्षय से उत्पन्न 40Ar में सतह पर सोख लिया गया या प्रसार के माध्यम से विरासत में मिला वायुमंडलीय आर्गन सम्मिलित नहीं है और इसकी गणना मूल्य 36Ar को मापने से प्राप्त होता है (जिसे वायुमंडलीय उत्पत्ति माना जाता है) ) और यह मानते हुए कि वायुमंडलीय गैसों में 40Ar 36Ar के स्थिर अनुपात में पाया जाता है।

==विधि==
इस प्रकार से नमूने को सामान्यतः कुचल दिया जाता है और किसी खनिज के एकल क्रिस्टल या चट्टान के टुकड़े को विश्लेषण के लिए हाथ से चुना जाता है। फिर इन्हें [[(एन-पी) प्रतिक्रिया|(n-p) प्रतिक्रिया]] 39K(n,p)39Ar के माध्यम से 39K से 39Ar उत्पन्न करने के लिए विकिरणित किया जाता है। फिर नमूने को लेजर या प्रतिरोध भट्ठी के माध्यम से उच्च-वैक्यूम [[मास स्पेक्ट्रोमीटर]] में विघटित किया जाता है। इस प्रकार से तापन करने से खनिज (या खनिज) की क्रिस्टल संरचना व्यर्थ हो जाती है, और, जैसे ही नमूना पिघलता है, फंसी हुई गैसें निकल जाती हैं। जिससे गैस में वायुमंडलीय गैसें सम्मिलित हो सकती हैं, जैसे कार्बन डाइऑक्साइड, जल, नाइट्रोजन और आर्गन, और रेडियोजेनिक गैसें, जैसे आर्गन और हीलियम, जो की भूगर्भिक समय पर नियमित रेडियोधर्मी क्षय से उत्पन्न होती हैं। और नमूने की उम्र के साथ 40Ar* की प्रचुरता बढ़ती है, चूंकि वृद्धि की दर 40K के अर्ध जीवन के साथ तीव्रता से कम हो जाती है, जो कि 1.248 अरब वर्ष है।

==आयु समीकरण==
इस प्रकार से एक नमूने की आयु आयु समीकरण द्वारा दी गई है:
:<math>t=\frac{1}{\lambda} \ln (J \times R+1) </math>
जहां λ 40K रेडियोधर्मी [[क्षय स्थिरांक]] है (लगभग 5.5 x 10−10वर्ष−1, लगभग 1.25 अरब वर्षों के अर्ध जीवन के अनुरूप), J, J-कारक (विकिरण प्रक्रिया से जुड़ा पैरामीटर) है, और R, 40Ar*/39Ar अनुपात है। इस प्रकार से J कारक विकिरण प्रक्रिया के समय न्यूट्रॉन बमबारी के प्रवाह से संबंधित है; न्यूट्रॉन कणों का सघन प्रवाह कम सघन कण की तुलना में 39K के अधिक परमाणुओं को 39Ar में परिवर्तित कर देगा।

== केवल सापेक्ष डेटिंग ==
40Ar/39Ar विधि केवल सापेक्ष तिथियों को मापती है। 40Ar/39Ar तकनीक द्वारा आयु की गणना करने के लिए, J पैरामीटर को एक मानक के लिए ज्ञात आयु के नमूने के साथ अज्ञात नमूने को विकिरणित करके निर्धारित किया जाना चाहिए। क्योंकि यह (प्राथमिक) मानक अंततः 40Ar/39Ar द्वारा निर्धारित नहीं किया जा सकता है, इसे पहले किसी अन्य डेटिंग पद्धति द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए। प्राथमिक मानक की तिथि निर्धारित करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधि पोटेशियम-आर्गन डेटिंग पारंपरिक K/Ar तकनीक है।<ref>{{cite web |url=http://geoinfo.nmt.edu/labs/argon/methods/home.html |title=New Mexico Geochronology Research Laboratory: K/Ar and 40Ar/39Ar Methods |publisher=New Mexico Bureau of Geology and Mineral Resources}}</ref> प्रयुक्त मानक को अंशांकित करने का वैकल्पिक विधि खगोलीय ट्यूनिंग ([[कक्षीय ट्यूनिंग]] के रूप में भी जाना जाता है) है, जो थोड़ा अलग उम्र में आता है।<ref>{{cite journal |last1=Kuiper |first1=K. F. |last2=Hilgen |first2=F. J. |last3=Steenbrink |first3=J. |last4=Wijbrans |first4=J. R. |title=40Ar/39Ar ages of tephras intercalated in astronomically tuned Neogene sedimentary sequences in the eastern Mediterranean |journal=Earth and Planetary Science Letters |date=2004 |volume=222 |issue=2 |pages=583–597 |doi=10.1016/j.epsl.2004.03.005 |bibcode=2004E&PSL.222..583K |url=http://www.geo.uu.nl/~forth/publications/Kuiper04a.pdf}}</ref>
==अनुप्रयोग==
इस प्रकार से 40Ar/39Ar भू-कालक्रम का प्राथमिक उपयोग कायापलट और आग्नेय खनिजों का काल निर्धारण करना है। जो कि 40Ar/39Ar द्वारा [[ग्रेनाइट]] की प्रवेश की आयु प्रदान करने की संभावना नहीं है क्योंकि आयु सामान्यतः उस समय को दर्शाती है जब एक खनिज अपने समापन तापमान के माध्यम से ठंडा हो गया था। चूंकि, एक रूपांतरित चट्टान में जो अपने बंद होने के तापमान से अधिक नहीं हुई है, खनिज के क्रिस्टलीकरण की आयु संभावित है। 40Ar/39Ar विधि से दोष प्रणालियों पर गति की डेटिंग भी संभव है। विभिन्न खनिजों का समापन तापमान भिन्न-भिन्न होता है; [[ धड़कनें |बायोटाइट]] ~300°C है, [[ मास्कोवासी |मस्कोवाइट]] लगभग 400°C है और [[हानब्लैन्ड]] का [[समापन तापमान]] ~550°C है। इस प्रकार, तीनों खनिजों से युक्त ग्रेनाइट विस्थापन की तीन भिन्न-भिन्न "आयु" रिकॉर्ड करेगा क्योंकि यह इन समापन तापमानों के माध्यम से ठंडा हो जाता है। इस प्रकार, चूंकि क्रिस्टलीकरण की उम्र उपयुक्त नहीं की गई है, फिर भी जानकारी चट्टान के थर्मल इतिहास के निर्माण में उपयोगी है।

डेटिंग खनिज किसी चट्टान की उम्र की जानकारी प्रदान कर सकते हैं, किन्तु धारणाएँ अवश्य बनाई जानी चाहिए। खनिज सामान्यतः केवल अंतिम बार रिकॉर्ड करते हैं जब वे समापन तापमान से नीचे ठंडा हो गए थे, और यह उन सभी घटनाओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है जो चट्टान से गुज़री हैं, और प्रवेश की उम्र से मेल नहीं खा सकती हैं। इस प्रकार, आयु डेटिंग का विवेक और व्याख्या आवश्यक है। 40Ar/39अर भू-कालानुक्रम मानती है कि समापन तापमान के बाद ठंडा होने के पश्चात एक चट्टान अपने सभी 40Ar को विद्यमान रखती है और विश्लेषण के समय इसका उचित रूप से नमूना लिया गया था।

इस प्रकार से यह तकनीक K-Ar डेटिंग में सम्मिलित त्रुटियों की जाँच करने की अनुमति देती है। आर्गन-आर्गन डेटिंग का लाभ यह है कि इसमें पोटेशियम के निर्धारण की आवश्यकता नहीं होती है। विश्लेषण के आधुनिक विधियां क्रिस्टल के भिन्न-भिन्न क्षेत्रों की जांच करने की अनुमति देते हैं। यह विधि महत्वपूर्ण है क्योंकि यह विभिन्न घटनाओं के समय क्रिस्टल बनने और ठंडा होने की पहचान करने की अनुमति देती है।

==पुनःअंशांकन==
इस प्रकार से आर्गन-आर्गन डेटिंग के साथ एक समस्या डेटिंग के अन्य विधियो के साथ थोड़ी सी विसंगति रही है।<ref>{{cite journal |last1=Renne |first1=P. R. |title=निरपेक्ष आयु बिल्कुल सटीक नहीं होती|journal=Science |date=1998 |volume=282 |issue=5395 |pages=1840–1841 |doi=10.1126/science.282.5395.1840|s2cid=129857264 }}</ref> और कुइपर एट अल द्वारा किए गए कार्य से पता चलता है कि 0.65% सुधार की आवश्यकता है।<ref>{{cite journal |last1=Kuiper |first1=K. F. |last2=Deino |first2=A. |last3=Hilgen |first3=F. J. |last4=Krijgsman |first4=W. |last5=Renne |first5=P. R. |last6=Wijbrans |first6=J. R. |title=पृथ्वी के इतिहास की रॉक घड़ियों को सिंक्रोनाइज़ करना|journal=Science |date=2008 |volume=320 |issue=5875 |pages=500–504 |doi=10.1126/science.1154339|pmid=18436783 |bibcode=2008Sci...320..500K |s2cid=11959349 }}</ref> इस प्रकार क्रेटेशियस-पेलियोजीन विलुप्त होने की घटना (जब डायनासोर समाप्त हो गए) - पहले 65.0 या 65.5 मिलियन वर्ष पूर्व - अधिक स्पष्ट रूप से 66.0-66.1 Ma को दिनांकित किया गया है।

==यह भी देखें==
* [[ग्रेनविले टर्नर]], तकनीक के आविष्कारक
* [[बर्कले जियोक्रोनोलॉजी सेंटर]]

==संदर्भ==
{{reflist}}

==बाहरी संबंध==
{{Wikibooks |Historical Geology|Ar-Ar dating}}
* [http://geochronology.geoscience.wisc.edu/ WiscAr Geochronology Laboratory, University of Wisconsin-Madison]
* [[UC Berkeley]] press release: "[http://www.berkeley.edu/news/media/releases/97legacy/pompeii.html Precise dating of the destruction of Pompeii proves argon-argon method can reliably date rocks as young as 2,000 years]"
* [https://geoinfo.nmt.edu/labs/argon/home.cfml New Mexico Geochronology Research Laboratory]
* [http://www.gla.ac.uk/departments/suerc/nercfacilities/argonisotopefacility/ Argon Isotope Facility] of the Scottish Universities Environmental Research Council
* [http://www8.open.ac.uk/science/argon-noble-gas-research Open University Ar/Ar and Noble Gas Laboratory]
* [https://argon.anu.edu.au/ Argon Laboratory / Australian National University]

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